2003考研数四真题及解析

Born to win

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题

一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (1) 极限lim[1?ln(1?x)]=

x?02x . .

(2)

?1?1(x?x)e?xdx=

?a,若0?x?1,(3) 设a?0，f(x)?g(x)?? 而D表示全平面，则

0,其他，?I???f(x)g(y?x)dxdy=

D .

?202???(4) 设A,B均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵. 已知AB?2A?B, B?040,则 ????202??(A?E)?1=

.

T(5) 设n维向量??(a,0,?,0,a),a?0；E为n阶单位矩阵，矩阵

1A?E???T， B?E???T，

a其中A的逆矩阵为B，则a? .

(6) 设随机变量X 和Y的相关系数为0.5,EX?EY?0,EX?EY?2, 则

22E(X?Y)2= .

二、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

1(1) 曲线y?xex ( )

(A) 仅有水平渐近线. (B) 仅有铅直渐近线.

(C) 既有铅直又有水平渐近线. (D) 既有铅直又有斜渐近线.

(2) 设函数f(x)?x?1?(x)，其中?(x)在x?1处连续，则?(1)?0是f(x)在x?1处可导的 ( )

(A) 充分必要条件. (B)必要但非充分条件.

(C) 充分但非必要条件 . (D) 既非充分也非必要条件. (3) 设可微函数f(x,y)在点(x0,y0)取得极小值，则下列结论正确的是 ( )

32 Born to win

(A) f(x0,y)在y?y0处的导数等于零. (B)f(x0,y)在y?y0处的导数大于零. (C) f(x0,y)在y?y0处的导数小于零. (D) f(x0,y)在y?y0处的导数不存在.

?001???(4) 设矩阵B?010.已知矩阵A相似于B，则秩(A?2E)与秩(A?E)之和等于????100??( )

(A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) 5. (5) 对于任意二事件A和B ( )

(A) 若AB??，则A,B一定独立. (B) 若AB??，则A,B有可能独立. (C) 若AB??，则A,B一定独立. (D) 若AB??，则A,B一定不独立. (6) 设随机变量X和Y都服从正态分布，且它们不相关，则 ( )

(A) X与Y一定独立. (B) (X,Y)服从二维正态分布. (C) X与Y未必独立. (D) X+Y服从一维正态分布.

三 、(本题满分8分)

设 f(x)?11111??,x?[,1).试补充定义f(1)使得f(x)在[,1]上连?xsin?x?(1?x)22续.

四 、(本题满分8分)

?2f?2f122设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足2?2?1，又g(x,y)?f[xy,(x?y)],

?u?v2?2g?2g求?2. 2?x?y五 、(本题满分8分) 计算二重积分

I???e?(xD222?y2??)sin(x2?y2)dxdy.

其中积分区域D?{(x,y)x?y??}. 六、(本题满分9分)

设a?1，f(t)?a?at在(??,??)内的驻点为t(a). 问a为何值时，t(a)最小？并求出最小值.

七、(本题满分9分)

tM(x,y)为该曲线上设y?f(x)是第一象限内连接点A(0,1),B(1,0)的一段连续曲线，

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任意一点，点C为M在x轴上的投影，O为坐标原点. 若梯形OCMA的面积与曲边三角形

x31CBM的面积之和为?，求f(x)的表达式.

63八、(本题满分8分)

设某商品从时刻0到时刻t的销售量为x(t)?kt，t?[0,T],(k?0). 欲在T 时将数量为A的该商品销售完，试求

(1) t时的商品剩余量，并确定k的值；

(2) 在时间段[0,T]上的平均剩余量. 九、(本题满分13分)

TTT设有向量组(I)：?1?(1,0,2)，?2?(1,1,3)，?3?(1,?1,a?2)和向量组(II)：

?1?(1,2,a?3)T，?2?(2,1,a?6)T，?3?(2,1,a?4)T. 试问：当a为何值时，向量组

(I)与(II)等价？当a为何值时，向量组(I)与(II)不等价？ 十、(本题满分13分)

?211??1?????设矩阵A?121可逆，向量??b是矩阵A*的一个特征向量，?是?对应的???????11a???1??特征值，其中A是矩阵A的伴随矩阵. 试求a,b和?的值. 十一、(本题满分13分)

设随机变量X的概率密度为

*?1,若x?[1,8],? f(x)??33x2

其他;??0,F(X)是X的分布函数. 求随机变量Y?F(X)的分布函数.

十二、(本题满分13分)

对于任意二事件A 和B，0?P(A)?1,0?P(B)?1，

??P(AB)?P(A)P(B)P(A)P(B)P(A)P(B)

称作事件A和B的相关系数.

(1) 证明事件A和B独立的充分必要条件是其相关系数等于零；

(2) 利用随机变量相关系数的基本性质，证明

??1.

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2003年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析

一、填空题 (1)【答案】e

【详解】方法1：lim[1?ln(1?x)]，属于1?型未定式极限，可以考虑利用重要极限求解．首

x?02x2先凑成重要极限形式：

lim[1?ln(1?x)]?lim?1?ln(1?x)?x?0x?02x2x1?2ln(1?x)xln(1?x)lim2ln(1?x)lim2xx?ex?0?ex?0x2ln(1?x)?ex?0xlim?e2

方法2：lim[1?ln(1?x)]=limex?0x?02ln[1?ln(1?x)]x=2ln[1?ln(1?x)]xex?0lim?e2

ln(1?x))

(注意：ln[1?ln(1?x)]

(2)【答案】2(1?2e)

【分析】对称区间上的定积分，有

?1?af(x)dx?2af(x)dx?0???a?a??f(x)dx?0??a【详解】

当f(x)为偶函数当f(x)为奇函数1?x

?1?1(x?x)e10?xdx=?xe?1?x1?xdx??xe?110dx =?xe?11?xdx+0?2?xe?xdx

01??2?xde

(3)【答案】a

2?x??2[xe10??e?xdx]=2(1?2e?1)．

【详解】本题积分区域为全平面，但只有当0?x?1,0?y?x?1时，被积函数才不为零，则二重积分只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分商积分即可，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可．

I???f(x)g(y?x)dxdy=

D0?x?10?y?x?1??a2dxdy=a2?0dx?xdy?a2?0[(x?1)?x]dx?a2

1x?11

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?001???(4)【答案】010 ????100??【详解】 应先化简，从AB?2A?B中确定(A?E)．

?1AB?2A?B?AB?B?2A?2E?2E?(A?E)B?2(A?E)?2E

1?(A?E)(B?2E)?2E?(A?E)?(B?2E)?E，

2?001?1???1所以 (A?E)=(B?2E)=010．

??2??100??

(5) 【答案】-1

【详解】这里??为n阶矩阵，而???2a为数，直接通过AB?E进行计算并注意利用乘法的结合律即可．由题设，有

TT2111AB?(E???T)(E???T)=E???T???T???T???T

aaa111?E???T???T??(?T?)?T=E???T???T?2a??T

aaa1?E?(?1?2a?)??T?E，

a112于是有?1?2a??0，即2a?a?1?0，解得a?,a??1. 已知a?0，故a??1．

a2

(6)【答案】6

【分析】本题的核心是逆向思维，利用协方差公式E(XY)?cov(X,Y)?E(X)E(Y)． 涉及公式：(1)D(X)?E(X)?[E(X)]，(2)D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2cov(X,Y)

(3)?XY?22cov(X,Y)

D(X)D(Y)【详解】方法1：由方差定义的公式和相关系数的定义

D(X)?E(X2)?[E(X)]2?2?0?2, 同理D(Y)?2，

1cov(X,Y)??XY?D(X)?D(Y)??2?1．

2所以 E(X?Y)?D(X?Y)?[E(X?Y)]?D(X?Y)?(EX?EY)

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