2010年下期《数学模型》考试试卷（A卷）参考答案

1、我们建立的“商人怎样安全过河”模型是（ A ）。 A.允许决策模型

B.状态转移模型

C.马氏链模型

D.多步决策模型

4、“公平合理的席位分配”模型中，以下说法错误的（ D ）。 A.参照惯例的席位分配结果是较合理的

B.提出的相对不公平程度对席位分配有改进效果

C. 席位分配一类问题的Q值法是较公平的 D.存在满足四个公平分配公理的分配方法 10、“层次分析模型”中成比对矩阵A?(aij)如果满足如下（ D ）式，则称为一致阵。

A、aij?0

1B、aij?

aji C、

?ai?1nij?1

D、aij?ajk?aik

二、填空题（2分/空×10空=20分）

1、“商人怎样安全过河”模型中状态随决策变化的规律是sk?1?sk?(?1)kdk。

pi22、“公平的席位分配”模型中的Q值法计算公式是Qi?。

ni(ni?1)7、“传染病模型”中SIS模型是指被传染者康复以后，还有可能再次感染该传染病。

三、问答题（40分）

1、请用简练的语言全面的描述数学建模的过程和数学模型的特点。(10’)

答：（1）建模过程：模型准备→模型假设→模型构成→模型求解→模型检验→模型应用。 （2）数学模型的特点：逼真性和可行性；渐进性；强健性；可转移性；

非预制性；条理性；技艺性；局限性；

2、某家具厂生产桌子和椅子两种家具，桌子售价50元/个，椅子销售价格30元/个，生产桌子和椅子要求需要木工和油漆工两种工种。生产一个桌子需要木工4小时，油漆工2小时。生产一个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。该厂每个月可用木工工时为120小时，油漆工工时为50小时。问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？（建立模型不计算）(10’) 解：（1）确定决策变量：x1=生产桌子的数量

x2=生产椅子的数量 4分 （2）确定目标函数：家具厂的目标是销售收入最大

max z=50x1+30x2

（3）确定约束条件：

4x1+3x2<120（木工工时限制） 2x1+x2>50（油漆工工时限制）

（4）建立的数学模型为：

max S=50x1+30x2 s.t. 4x1+3x2<120 2x1+ x2>50 x1, x2 >0

3、有四个工人，要分别指派他们完成四项不同的工作，每人做各项工作所消耗的时间如下表所示，问应

第1页，共6页

如何指派工作，才能使总的消耗时间为最少？（建立模型不计算）(10’) ?0,指派第i人完成第j项工作解：令xij??

1,不指折派第i项工作?目标函数：

minZ?15x11?18x12?21x3?24x14?19x21?23x22?18x24?26x31?17x32?16x33?19x34?19x41?21x4217x44

约束条件：

???st..????x11?x21?x31?x41?1x12?x22?x32?x42?1x13?x23?x33?x43?1x14?x24?x34?x44?1

4、结合自身的实际情况，谈谈数学建模的方法和自身能力的培训。(10’) 答：（1）方法：机理分析、测试分析、实例研究 ? ； （2）能力：想象力、洞察力 ? 。

1.某银行计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益按50%的税率纳税。此外还有以下限制： （1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；

（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；

（3）所购进证券的平均到期年限不超过5年。证券名称 A B C D E 证券种类 市政 代办机构 政府 政府 市政 信用等级 2 2 1 1 5 到期年限 9 15 4 3 2 到期税前收益（%） 4.3 5.4 5.0 4.4 4.5 若该经理有1000万元资金，应如何投资？写出投资计划的数学模型。

解：设x1,x2,x3,x4,x5分别表示购买证卷A,B,C,D,E的金额（万元），则到期后的净收益为

maxz?0.043x1?0.027x2?0.025x3?0.022x4?0.045x5

约束条件为；

（1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元，即

x2?x3?x4?400

（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4，即

2x1?2x2?x3?x4?5x5?1.4

x1?x2?x3?x4?x5（3）所购进证券的平均到期年限不超过5年。(4)投资总额为1000万

9x1?15x2?4x3?3x4?2x5?5

x1?x2?x3?x4?x5x1?x2?x3?x4?x5?1000

第2页，共6页

整理得到（以百万为单位）：

maxz?0.043x1?0.027x2?0.025x3?0.022x4?0.045x5?x2?x3?x4?4?6x?6x?4x?4x?36x?012345??s..t?4x1?10x2?x3?2x4?3x5?0?x?0,i?1,2,3,4,5?i??x1?x2?x3?x4?x5?10

三、（传染病模型）（25分）

模型一：假设（1）每个病人每天传染的人数为常数?；（2）一个人得病后，经久不愈，

并在传染期内不会死亡；记i(t)表示时刻t的病人人数，求i(t)所满足的微分方程，求出

i(t)并对进行讨论（i(0)?i0）。

模型二：用i(t)、s(t)分别表示在t时刻传染病人数和健康人数，i(0)?i0。假设(1)每个病人在单位时间内传染的人数与健康人数成正比，比例系数为?；（2）一个人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡；（3）总人数不变，i(t)?s(i)?N；求t时刻传染病人数i(t)，并对模型及i(t)进行讨论。

解：模型一：

由假设在时间?t内，增加的病人人数为i(t??t)?i(t)??i(t)?t，于是得到微分方程为

?di(t)??i(t)? dt???i(0)?i0解得i(t)?i0e?t。

讨论：上述函数说明传染病的传播是按指数函数增加的；这个结果与传染病的初期是比较吻合的，传播速度比较快；但当i???，i(t)???，这显然不符合实际情况。 模型二：

由假设在时间?t内，增加的病人人数为i(t??t)?i(t)?i(t)??s(t)?t，于是得到微分方程：

?di(t)??i(t)s(t)?dt? ?i(0)?i0???s(t)?i(t)?N模型求解： 原方程变为

?di(t)??i(t)[N?i(t)]di(t)di(t)???dt???dt，，利用分离变量法得到，或?dt?i(t)[N?i(t)]i(t)[N?i(t)]?i(0)?i0?111(?)di(t)??t?c1， N?i(i)N?i(t)或

1{lni(t)?ln[N?i(t)]}??t?c1 N第3页，共6页

CNe?NtcN化简得到i(t)?，其中c?e1，由初始条件i(0)?i0得 ?Nt1?Cei0CNe?Nt，故i(t)?c???NtN?i01?CeN?N?1???1?e??Nt?i0?

讨论：首先由

di(t)Ndi(t)??i(t)[N?i(t)]知，当i(t)?时，达到最大值，由 dt2dt

i(t)?N?N?1???1?e??Nt?i0???N?di(t)N，推出达到最大值的时刻为tm???1N?1ln??1?，

dt2?i0?这时病人人数增加最快，预示着传染病高潮的到来；第二，tm与?、N成反比，既总人数和传染强度增加时，传染病高峰来的越快。同时，如果知道了传染强度?（可由统计数据给出），总人数N，则可以预报传染病高峰到来的时间，对于防治传染病是有益处的；第三，模型的缺点是当t???，i(t)?N，既所有的人将要生病，这与实际不符。主要原因是模型假设没有考虑病人会被治愈，病人也可能死亡等情况。

四、（共20分）

学生毕业后选择工作，有两个衡量准则：工资水平和个人发展。现有三个待选单位：A1,A2,A3。假设相对于总目标选择工作C，准则“工资水平c1”和“个人发展c2”c1,c2的权重为w0?[0.5,0.5]T，相对于

25??1??12?，相对于准则“个人发展c2”，方准则“工资水平c1”，方案A1,A2,A3的判断距阵为A??1/2?1/51/21????131/3???案A1,A2,A3的判断距阵为B??1/311/5?，试用和法求方案A1,A2,A3对总目标的权重。

?351???C

答：

c1 c2 25??1??A??1/212? 中各列归一化 ?1/51/21????1.785???各行求和 ?0.830?再归一化 ?0.385???/8??10/174/75A?1 ??5/172/72/8? ?2/171/71/8????0.595????0.277?=w1 6分 ?0.128???A2 A3 第4页，共6页

?131/3???B??1/311/5? 中各列归一化

?351????0.2310.3330.217???0.0770.1110.130?? ?0.6920.5560.652????0.260???求各行平均值 ?0.106?=w2 6分

?0..633???所以三个方案A1,A2,A3对总目标的权重为：

?0.5950.260??0.43?0.5?????0.19? 3分

W?(w1,w2)w0??0.2770.106???0.5????????0.1280.633???0.38??故三个待选单位A1,A2,A3的排名为 1，3，2。

1、“商人怎样安全过河”模型中，从初始状态到终止状态中的每一步决策（D ）。 A.称之为状态

B.记为sk=(xk, yk) C.是集合S中的元素 D.都是集合D中的元素

8、“传染病模型”中所未涉及的模型是（B ）。

A、SI模型

B、SIS模型

C、SID模型

D、SIR模型

1、我们建立的“商人怎样安全过河”模型是（ A ）。 A.允许决策模型

B.状态转移模型

C.马氏链模型

D.多步决策模型

4、“公平合理的席位分配”模型中，以下说法错误的（ D ）。 A.参照惯例的席位分配结果是较合理的

B.提出的相对不公平程度对席位分配有改进效果

C. 席位分配一类问题的Q值法是较公平的 D.存在满足四个公平分配公理的分配方法 8、“经济增长模型”中，要保持总产值Q(t)增长，即要求（ C ）。 A、

dQ?0 dt B、

dQ?0 dtC、

dQ?0 dt D、

Q?0 L10、“层次分析模型”中成比对矩阵A?(aij)如果满足如下（ D ）式，则称为一致阵。

A、aij?0

1B、aij?

aji C、

?ai?1nij?1

D、aij?ajk?aik

二、填空题（2分/空×10空=20分）

1、“商人怎样安全过河”模型中状态随决策变化的规律是sk?1?sk?(?1)dk。

kpi22、“公平的席位分配”模型中的Q值法计算公式是Qi?。

ni(ni?1)7、“传染病模型”中SIS模型是指被传染者康复以后，还有可能再次感染该传染病。

三、问答题（40分）

第5页，共6页

1、请用简练的语言全面的描述数学建模的过程和数学模型的特点。(10’)

答：（1）建模过程：模型准备→模型假设→模型构成→模型求解→模型检验→模型应用。 （2）数学模型的特点：逼真性和可行性；渐进性；强健性；可转移性；

非预制性；条理性；技艺性；局限性；

3、有四个工人，要分别指派他们完成四项不同的工作，每人做各项工作所消耗的时间如下表所示，问应

如何指派工作，才能使总的消耗时间为最少？（建立模型不计算）(10’) ?0,指派第i人完成第j项工作解：令xij??

1,不指折派第i项工作?目标函数：

minZ?15x11?18x12?21x3?24x14?19x21?23x22?18x24?26x31?17x32?16x33?19x34?19x41?21x4217x44

约束条件：

???st..????x11?x21?x31?x41?1x12?x22?x32?x42?1x13?x23?x33?x43?1x14?x24?x34?x44?1

4、结合自身的实际情况，谈谈数学建模的方法和自身能力的培训。(10’) 答：（1）方法：机理分析、测试分析、实例研究 ? ； （2）能力：想象力、洞察力 ? 。

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