《数学史概论》教案

《数学史概论》教案

第一讲 数学的起源与早期发展

主要内容：数与形概念的产生、河谷文明与早期数学、西汉以前的中国数学。 1、数与形概念的产生

从原始的“数”到抽象的“数”概念的形成，是一个缓慢、渐进的过程。人从生产活动中认识到了具体的数，导致了记数法。“屈指可数”表明人类记数最原始、最方便的工具是手指。

早期几种记数系统，如古埃及、古巴比伦、中国甲骨文、古希腊、古印度、玛雅（玛雅文明诞生于热带丛林之中，玛雅是一个地区、一支民族和一种文明，分布在今墨西哥的尤卡坦半岛、危地马拉、伯利兹、洪都拉斯和萨尔瓦多西部）等。

世界上不同年代出现了五花八门的进位制和眼花缭乱的记数符号体系，足以证明数学起源的多元性和数学符号的多样性。

2、河谷文明与早期数学 2.1 古代埃及的数学

（1）古王国时期：前2686－前2181年。埃及进入统一时代，开始建造金字塔，是第一个繁荣而伟大的时代。

（2）新王国时期：前1567－前1086年。埃及进入极盛时期，建立了地跨亚非两洲的大帝国。

数学贡献：记数制，基本的算术运算，分数运算，一次方程，正方形、矩形、等腰梯形等图形的面积公式，近似的圆面积，锥体体积等。

公元前4世纪希腊人征服埃及以后，这一古老的数学完全被蒸蒸日上的希腊数学所取代。

2.2 古代巴比伦的数学 背景：古代巴比伦简况

两河流域（美索不达米亚）文明上溯到距今6000年之前，几乎和埃及人同时发明了文字“楔形文字”。

（1）古巴比伦王国：公元前1894－前729年。汉穆拉比（在位前 1792－前 1750）统一了两河流域，建成了一个强盛的中央集权帝国，颁布了著名的《汉

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穆拉比法典》。

（2）亚述帝国：前8世纪－前612年，建都尼尼微 （今伊拉克的摩苏尔市）。 （3）新巴比伦王国：前612－前538年。尼布甲尼撒二世（在位前604－前562年）统治时期达到极盛，先后两次攻陷耶路撒冷，建成世界古代七大奇观之一的巴比伦“空中花园”。世界古代七大奇观指埃及金字塔、巴比伦空中花园、阿苔密斯神殿、摩索拉斯陵墓、宙斯神像、亚历山大灯塔、罗德岛太阳神铜像，他们是分布于西亚、北非和地中海沿岸的古迹，是古代西方人眼中的全部世界，而中国的长城距他们太远了。记录者古希腊哲学家费隆·拜占廷说过：“心眼所见，永难磨灭”。

2.3 西汉以前的中国数学 黄河壶口瀑布（中国，2002）

《史记·夏本纪》大禹治水（公元前21世纪） 中提到“左规矩，右准绳”，表明使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，而且知道“勾三股四弦五”。

考古学的成就，充分说明了中国数学的起源与早期发展。

1952年在陕西西安半坡村出土的，至今六七千年的陶器上刻画的符号中，有一些符号就是表示数字的符号。

在殷墟出土的商代甲骨文中，有一些是记录数字的文字，表明中国已经使用了完整的十进制记数，包括从一至十，以及百、千、万，最大的数字为三万。殷墟甲骨上数学（商代，公元前1400－前1100年，1983－1984年间河南安阳出土）。

算筹（1971年陕西千阳县西汉墓出土）是中国古代的计算工具，它的起源大约可上溯到公元前5世纪，后来写在纸上便成为算筹记数法。至迟到春秋战国时代，又开始出现严格的十进位制筹算记数（约公元前300年）。怎样用算筹记数呢？公元3－4世纪成书的《孙子算经》记载说：“凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。”

为了避免涂改，在唐代以后，我国又创用了一种商业大写数字，又叫会计体：壹、贰、叁、肆、伍、陆、柒、捌、玖、拾、佰、仟、万。

中国传统数学的最大特点是建立在筹算基础之上，是中国传统数学对人类文明的特殊贡献，这与西方及阿拉伯数学是明显不同的。

我国是世界上首先发现和认识负数的国家。战国时法家李悝（约公元前455

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－前395年）曾任魏文侯相，主持变法，我国第一部比较完整的法典《法经》（现已失传）中已应用了负数，“衣五人终岁用千百不足四百五十”，意思是说，5个人一年开支1500钱，差450钱。甘肃居延海附近（今甘肃省张掖市管领）发现的汉简中有“负四筭（suàn，筹码，同算），得七筭，相除得三筭”的句子。

在2002年中国考古发现报告会上，介绍了继秦始皇陵兵马俑坑之后秦代考古的又一重大发现：湖南龙山里耶战国－秦汉时期城址及秦代简牍。2002年7月，考古人员在湖南龙山里耶战国－秦汉古城出土了36000余枚秦简，记录的是秦始皇二十六年至三十七年（即公元前221－前210年）的秦朝历史，其中有一份完整的“九九乘法口诀表”。 在《管子》、《荀子》、《战国策》等先秦典籍中，都提到过“九九”，但实物还是首次发现，这是我国有文字记录最早的乘法口诀表。

最后给一首数字诗，取自宋朝理学家邵康节（公元1011－1077年，中国占卜界的主要代表人物）写的一首诗，描绘像花园一样美丽的地方，一幅朴实自然的乡村风俗画，宛如一副淡雅的水墨画：

一去二三里，烟村四五家。 亭台六七座，八九十枝花。

思考题

1、您对《数学史》课程的期望。 2、谈谈您的理解：数学是什么? 3、数学崇拜与数学忌讳。

4、从数学的起源简述人类活动对文化发展的贡献。 5、数的概念的发展给我们的启示。

6、探讨古代埃及和古代巴比伦的数学知识在现实生活中的意义。

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第二讲 古代希腊数学

1、古典时期的希腊数学 公元前600－前300年。

1.1 爱奥尼亚学派（米利都学派）：泰勒斯（公元前625－前547年），出生于爱奥尼亚的米利都城，早年经商，被称为“希腊哲学、科学之父”。

1.2 毕达哥拉斯学派：毕达哥拉斯（约公元前560－前480年），出生于小亚细亚的萨摩斯岛，与中国的孔子（公元前551－前479年）同时，曾师从爱奥尼亚学派，年青时曾游历埃及和巴比伦，在萨摩斯岛建立了具有宗教、哲学、科学性质的学派，致力于哲学和数学的研究，繁荣兴旺达一个世纪以上。

1.3 伊利亚学派：芝诺（约公元前490－前430年），出生于意大利南部半岛的伊利亚城邦，毕达哥拉斯学派成员的学生。

芝诺悖论：两分法，运动不存在。再由是：位移事物在达到目的地之前必须先抵达一半处，即不可能在有限的时间内通过无限多个点，所以，如果它起动了，它永远到不了终点，或者，它根本起动不了。

阿基里斯（荷马史诗《依里亚特》中的希腊名将，善跑）、飞矢不动。 芝诺的功绩在于把动和静的关系、无限和有限的关系、连续和离散的关系以非数学的形态提出，并进行了辩证的考察。

1.4 诡辩学派（智人学派）：活跃于公元前5世纪下半叶的雅典城，代表人物均以雄辩著称，诡辩的希腊原词含智慧之意，故亦称智人学派。

古典几何三大作图问题：三等分任意角、化圆为方、倍立方。

1.5 柏拉图学派：柏拉图（约公元前427－前347年），出生于雅典的显贵世家，曾师从毕达哥拉斯学派，哲学家苏格拉底（公元前469－前399年）的学生。作为一名哲学家，柏拉图对于欧洲的哲学乃至整个文化的发展，有着深远的影响，特别是他的认识论、数学哲学和数学教育思想，后人将分析法和归谬法归的使用归功于柏拉图，在古代希腊社会条件下，对于科学的形成和数学的发展，起了不可磨灭的推进作用。代表作《理想国》。

古希腊最著名的哲学家、科学家：亚里士多德（公元前384－前322年）（乌拉圭，1996），柏拉图的学生。

1.6 亚里士多德学派（吕园学派）：出生于马其顿的斯塔吉拉镇，公元前335

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年建立了自己的学派，讲学于雅典的吕园，又称“吕园学派”，相传亚里士多德还做过亚历山大大帝的老师。“吾爱吾师，吾尤爱真理”。

世界古代七大奇观指埃及金字塔、巴比伦空中花园、阿苔密斯神殿、摩索拉斯陵墓、宙斯神像、亚历山大灯塔、罗德岛太阳神铜像，他们是分布于西亚、北非和地中海沿岸的古迹，那是古代西方人眼中的全部世界，而中国的长城距他们太远了。记录者古希腊哲学家费隆·拜占廷说过：“心眼所见，永难磨灭”。

2、亚历山大学派时期

公元前300－前30年。托勒密（托勒密·索特尔，约前367－前283年）统治下的希腊埃及，定都于亚历山大城，于公元前300年左右，开始兴建亚历山大艺术博物馆和图书馆，提倡学术，罗致人才，进入了亚历山大时期：希腊数学黄金时代，先后出现了欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯三大数学家，他们的成就标志了古典希腊数学的巅峰。

2.1 欧几里得（公元前325－前265年）

早年学习于雅典，公元前300年应托勒密一世之请来到亚历山大，成为亚历山大学派的奠基人。用逻辑方法把几何知识建成一座巍峨的大厦，他的公理化思想和方法历尽沧桑而流传千古，成为后人难以跨跃的高峰。“几何无王者之道”，后推广为：“求知无坦途”。

《原本》（Στοιχετα，意指：学科中具有广泛应用的最重要的定理）。 2.2 数学之神：阿基米德（公元前287－前212年）与牛顿（英，1642－1727年）、高斯（德，1777－1855年）并列有史以来最伟大的三大数学家之一，出生于西西里岛的叙拉古，曾在亚历山大城师从欧几里得的门生。

2.3 阿波罗尼奥斯（约公元前262－前190年），出生于小亚细亚的珀尔加，年青时曾在亚历山大城跟随欧几里得的门生学习，贡献涉及几何学和天文学，最重要的数学成就是在前人工作的基础上创立了相当完美的圆锥曲线论，以欧几里得严谨风格写成的传世之作《圆锥曲线》，是希腊演绎几何的最高成就，用纯几何的手段达到了今日解析几何的一些主要结论，确实令人惊叹，对圆锥曲线研究所达到的高度，直到17世纪笛卡儿、帕斯卡出场之前，始终无人能够超越。《圆锥曲线》全书共8卷，含487个命题。

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3、希腊数学的衰落

公元180年前后的罗马帝国版图。

公元前6世纪，在意大利半岛的台伯河畔，有一座罗马城逐渐建立起来。公元前509年，罗马建立了共和国。古罗马经过多个世纪的战争，时分时合多次。公元前27年，罗马建立了元首政治，共和国宣告灭亡，从此进入罗马帝国时代。在公元前1世纪完全征服了希腊各国而夺得了地中海地区的霸权，建立了强大的罗马帝国。1世纪时，罗马帝国继续扩张，到2世纪，帝国版图确定下来，它地跨欧、亚、非三洲，地中海成了它的内湖。传统的史学家把公元前27年到公元284年称为早期罗马帝国。

进入晚期罗马帝国时期，帝国在战乱中于395年由最后一个君主提奥多正式把帝国分为两部分，西部以罗马为首都分给了长子阿卡狄（称为西罗马帝国），东部以君士坦丁堡（今土耳其的伊斯坦布尔）为首都分给了次子贺诺里（称为东罗马帝国）。476年，西罗马帝国皇帝被日耳曼人废掉，西罗马帝国灭亡，西欧奴隶制社会的历史结束了，从此进入了封建社会时期。

古罗马斗兽场 （建于公元70－82年）。

西班牙古罗马高架引水桥（建于公元1世纪末2世纪初）高架引水桥从遥远的雪山引水到阿尔卡萨城堡，全长15公里，有166个拱门，它由2万多块大石头堆砌而成，石块间没有任何水泥等灰浆类物质黏合，至今仍能坚固完好，实在令人叹为观止。据说，这座已经1900岁引水桥的引水功能，直到1950年还在使用呢！如今它是塞哥维亚的标志性建筑。

罗马帝国的建立，唯理的希腊文明从而被务实的罗马文明所取代。同气势恢弘的罗马建筑相比，罗马人在数学领域远谈不上有什么显赫的功绩。由于希腊文化的惯性影响以及罗马统治者对自由研究的宽松态度，在相当长一段时间内亚历山大城仍然维持学术中心的地位，产生了一批杰出的数学家和数学著作。从公元前30年－公元600年常称为希腊数学的“亚历山大后期”。

亚历山大后期希腊数学的一个重要特征是突破了前期以几何学为中心的传统，使算术和代数成为独立的学科。希腊算术与代数成就的最高标志是丢番图的《算术》，这是一部具有东方色彩、对古典希腊几何传统最离经叛道的算术与代数著作，其中最有名的一个不定方程：将一个已知的平方数分为两个平方数。17

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世纪法国数学家费马在阅读《算术》时对该问题给出一个边注，引出了后来举世瞩目的“费马大定理”。另一重要贡献是创用了一套缩写符号，一种“简写代数”，是真正的符号代数出现之前的一个重要阶段。

古希腊数学的落幕。

基督教在罗马被奉为国教后，将希腊学术视为异端邪说，对异教学者横加迫害。公元415年，亚历山大女数学家希帕蒂娅（公元370－415年）被一群听命于主教的基督暴徒残酷杀害。希帕蒂娅曾注释过阿基米德、阿波罗尼奥斯和丢番图的著作，是历史上第一位杰出的女数学家。希帕蒂娅的被害预示了在基督教的阴影笼罩下整个中世纪欧洲数学的厄运。

柏拉图学园被封闭。公元529年东罗马皇帝查士丁尼（527－565年）下令封闭了雅典的所有学校，包括柏拉图公元前387年创立的雅典学院。

思考题

1、试分析芝诺悖论：飞矢不动。

2、欧几里得《原本》对数学以及整个科学的发展有什么意义？ 3、简述欧几里得《原本》的现代意义？

4、以“化圆为方”问题为例，说明未解决问题在数学中的重要性。 5、体验阿基米德方法：通过计算半径为1的圆内接和外切正96边形的周长，计算圆周率的近似值，计算到小数点后3位数。

6、毕达哥拉斯学派是怎样引起第一次数学危机的？他们为什么要对这次数学危机采取回避的态度？

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第三讲：中世纪的东西方数学I

中国传统数学的形成与兴盛：公元前1世纪至公元14世纪。分成三个阶段：《周髀算经》与《九章算术》、刘徽与祖冲之、宋元数学，这反映了中国传统数学发展的三次高峰，简述9位中国科学家的数学工作。

1、中算发展的第一次高峰：数学体系的形成

秦始皇陵兵马俑（中国，1983），秦汉时期形成中国传统数学体系。 《周髀算经》（髀：量日影的标杆）编纂于西汉末年，约公元前100年，它虽是一部天文学著作（“盖天说”－天圆地方；中国古代正统的宇宙观是“浑天说”－大地是悬浮于宇宙空间的圆球，“天体如弹丸，地如卵中黄”），涉及的数学知识有的可以追溯到公元前11世纪（西周），其中包括两项重要的数学成就：勾股定理的普遍形式（中国最早关于勾股定理的书面记载），数学在天文测量中的应用（测太阳高或远的“陈子测日法”，陈子约公元前6、7世纪人，相似形方法）。

勾股定理的普遍形式：求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。

中国传统数学最重要的著作是《九章算术》（东汉，公元100年）。它不是出自一个人之手，是经过历代多人修订、增补而成，其中的数学内容，有些也可以追溯到周代。中国儒家的重要经典著作《周礼》记载西周贵族子弟必学的六门课程“六艺”（礼、乐、射、御、书、数）中有一门是“九数”。《九章算术》是由“九数”发展而来。在秦焚书（公元前213年）之前，至少已有原始的本子。经过西汉张苍（约公元前256－152年，约公元前200年，西汉阳武（今河南原阳）人）、耿寿昌（公元前73－49年，约公元前50年）等人删补，大约成书于东汉时期，至迟在公元100年。

2、中算发展的第二次高峰：数学稳步发展 三国演义（中国，1998）。

从公元220年东汉分裂，到公元581年隋朝建立，史称魏晋南北朝。这是中国历史上的动荡时期，也是思想相对活跃的时期。在长期独尊儒学之后，学术界思辨之风再起，在数学上也兴起了论证的趋势。许多研究以注释《周髀算经》、《九章算术》的形式出现，实质是寻求这两部著作中一些重要结论的数学证明。

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这是中国数学史上一个独特而丰产的时期，是中国传统数学稳步发展的时期。

《九章算术》注释中最杰出的代表是刘徽和祖冲之父子。

2.1 刘徽（魏晋，公元3世纪）（中国，2002），淄乡（今山东邹平县）人，布衣数学家，于263年撰《九章算术注》，不仅对《九章算术》的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，而且系统地阐述了中国传统数学的理论体系与数学原理，并且多有创造，奠定了这位数学家在中国数学史上的不朽地位，成为中国传统数学最具代表性的人物。

刘徽数学成就中最突出的是“割圆术”（圆内接正多边形面积无限逼近圆面积）。在刘徽之前，通常认为“周三径一”，即圆周率取为3。刘徽在《九章算术注》中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，通过计算圆内接正3072边形的面积，求出圆周率为3927/1250（=3.1416）（阿基米德计算了圆内接和外切正96边形的周长）。为方便计算，刘徽主张利用圆内接正192边形的面积求出157/50（=3.14）作为圆周率，后人常把这个值称为“徽率”。这使刘徽成为中算史上第一位用可靠的理论来推算圆周率的数学家，并享有国际声誉。

2.2 祖冲之（429－500年），范阳遒县（今河北涞源）人，活跃于南朝的宋、齐两代，曾做过一些小官，但他却成为历代为数很少能名列正史的数学家之一。

祖冲之：“迟疾之率，非出神怪，有形可检，有数可推。”

祖冲之如何算出如此精密结果，《隋书·律历志》写道：“所著之书，名为《缀术》，学官莫能究其深奥，是故废而不理”。《缀术》失传了，没有任何史料流传下来。史学家认为，祖冲之除开继续使用刘徽的“割圆术”“割之又割”外，并不存在有其它方法的可能性。如按刘徽的方法，继续算至圆内接正12288边形和正24576边形可得出圆周率在3.14159261与3.14159271之间。

《缀术》的另一贡献是祖氏原理 ：幂势既同则积不容异，在西方文献中称为卡瓦列里原理，或不可分量原理，因为1635年意大利数学家卡瓦列里（1598－1647年）独立提出，对微积分的建立有重要影响。

在数学成就方面，整个唐代却没有产生出能够与其前的魏晋南北朝和其后的宋元时期相媲美的数学大家，主要的数学成就在于建立中国数学教育制度。为了教学需要唐初由李淳风（604－672年）等人注释并校订了《算经十书》（约656

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年），即《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》（刘徽）、《孙子算经》（约成书于公元400年，内有“物不知数”问题）、《夏候阳算经》（成书于公元6、7世纪，内有“百鸡问题”：今有鸡翁一，直钱五；鸡母一，直钱三；鸡雏三，直钱一。凡百钱，买鸡翁、母、雏各几何）、《张邱建算经》（张邱建，北魏清河（今邢台市清河县）人，约成书于公元466－485年间）、《缀术》（祖冲之）、《五曹算经》（北周甄鸾（字叔遵，河北无极人）著）、《五经算经》（北周甄鸾著）和《缉古算经》（约成书于626年前后，唐王孝通，内有三次方程及其根，但没有解题方法）。十部算经对继承古代数学经典有积极的意义，显示了汉唐千余年间中国数学发展的水平，是当时科举考试的必读书（公元587年隋文帝开创中国的科举考试制度，1905年清朝废止科举制度）。

3、中算发展的第三次高峰：数学全盛时期

社会背景：公元960年，北宋王朝的建立结束了五代十国（907－960年）割据的局面。北宋的农业、手工业、商业空前繁荣，科学技术突飞猛进，火药、指南针、印刷术三大发明就是在这种经济高涨的情况下得到了广泛应用。雕版印书的发达，特别是北宋中期，在宋仁宗庆历年间（约1041—1048年），毕升活字印刷术的发明（平民发明家毕升总结了历代雕版印刷的丰富的实践经验，经过反复试验，制成了胶泥活字，实行排版印刷，完成了印刷史上一项重大的革命，关于毕升的生平事迹，人们却一无所知，幸亏毕升创造活字印刷术的事迹，比较完整地记录在北宋著名科学家沈括的名著《梦溪笔谈》里），给数学著作的保存与流传带来了福音。事实上，整个宋元时期（960—1368年），重新统一了的中国封建社会发生了一系列有利于数学发展的变化，以筹算为主要内容的中国传统数学达到了鼎盛时期。中国传统数学以宋元数学为最高境界。这一时期涌现许多杰出的数学家和先进的数学计算技术，其印刷出版、记载着中国传统数学最高成就的宋元算书，是世界文化的重要遗产。

下面介绍宋元时期的一些计算技术。 3.1 贾宪三角

贾宪（约公元11世纪）是北宋人，在朝中任左班殿值，约1050年完成一部叫《黄帝九章算术细草》的著作，原书丢失，但其主要内容被杨辉的《详解九章算法》摘录，因能传世。贾宪发明了“增乘开方法”，是中算史上第一个完整、

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可推广到任意次方的开方程序，一种非常有效和高度机械化的算法。在此基础上，贾宪创造了“开方作法本源图”（即“古法七乘方图”或贾宪三角），西方人叫“帕斯卡三角”或“算术三角形”，因为法国数学家帕斯卡（1623－1662年）于1654年发表论文《论算术三角形，以及另外一些类似的小问题》。

算术三角形（利比里亚，1999）。 3.2 隙积术

沈括（1030－1094年），北宋钱塘（今浙江杭州）人，北宋著名的科学家，1080年任延州（今陕西延安市）知州，因1082年的“永乐城（今宁夏银川附近）之战”败于西夏（1032－1227年）而结束政治生涯，经过6年的软禁之苦后，开始赋闲幽居生活。沈括一生论著极多，其中以《梦溪笔谈》（1093年）影响最大，内容包括数学、天文、历法、地理、物理、化学等领域，被英国著名科学史家李约瑟誉为“中国科学史的里程碑”。他对数学的主要成就有两项，会圆术（解决由弦求孤的问题）和隙积术（开创研究高阶等差级数之先河）。

3.3天元术

李冶（金、元，1192－1279年），金代真定栾城（今河北栾城）人，出生的时候，金朝（1115－1234年）正由盛而衰，曾任钧州（今河南禹县）知事，1232年钧州被蒙古军所破，遂隐居于封龙山治学，潜心学问。1248年撰成代数名著《测圆海镜》，该书是首部系统论述“天元术”（一元高次方程）的著作，“天元术”与现代代数中的列方程法相类似，称未知数为天元，“立天元一为某某”，相当于“设x为某某”，可以说是符号代数的尝试，在数学史上具有里程碑意义。刘徽注释《九章算术》“正负术”中云：“正算赤，负算黑”，李冶感到用笔记录时换色的不便，便在《测圆海镜》中用斜画一杠表示负数。

“积财千万，不如薄技在身”。 3.4 大衍术

秦九韶（约1202－1261年），南宋普州安岳（今四川安岳）人，曾任和州（今安徽和县）守，1244年，因母丧离任，回湖州（今浙江吴兴）守孝三年。此间，秦九韶专心致志于研究数学，于1247年完成数学名著《数书九章》， 内容分为九类：大衍类、天时类、田域类、测望类、赋役类、钱谷类、营建类、军旅类、市易类，其中有两项贡献使得宋代算书在中世纪世界数学史上占有突出的

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地位。

《数书九章》是我国古算中最早用圆圈Ο表示0号的著作。 3.5 垛积术

杨辉（公元13世纪），南宋钱塘（今浙江杭州）人，曾做过地方官，足迹遍及钱塘、台州、苏州等地，是东南一带有名的数学家和数学教育家。杨辉的主要数学著作之一《详解九章算法》（1261年）是为了普及《九章算术》中的数学知识而作，它从《九章算术》的246道题中选择了80道有代表性的题目，进行详解，其中主要的数学贡献是“垛积术”，这是在沈括“隙积术”的基础上发展起来的，由多面体体积公式导出相应的垛积术公式。另一贡献是所谓的“杨辉三角”，其实是记载了贾宪的工作。

3.6 四元术

朱世杰（约1260－1320年），寓居燕山（今北京附近），当时的北方，正处于天元术逐渐发展成为二元术、三元术的重要时期，朱世杰在经过长期游学、讲学之后，终于在1299年和1303年在扬州刊刻了他的两部代表作《算学启蒙》和《四元玉鉴》。

清代数学家罗士琳（1774—1853年）在《畴人传·续编·朱世杰条》中说：汉卿在宋元间，与秦道古（九韶）、李仁卿（冶）可称鼎足而三。道古正负开方，仁卿天元如积，皆足上下千古，汉卿又兼包众有，充类尽量，神而明之，尤超越乎秦李之上。

3.7 内插法

郭守敬（1231－1316年），顺德邢台（今河北邢台）人，元代大天文学家、数学家、水利专家和仪器制造家，曾任工部郎中、太史令、都水监事和昭文馆大学士等官职。与太史令王恂（1235－1281年，中山府（今河北定州）唐县（今唐县人），至元十八年（1281年），王恂丧父，去官守孝。守孝期间，因悲伤过度，不思饮食，饥馁染病而亡，享年46岁），一同吸收了前代历法的精华，运用宋金两朝的数学成就（包括沈括的会圆术），使用了三次内插公式，在1280年完成了中国古代最精密的历法《授时历》。设定一年为365.2425天，比地球绕太阳一周的实际运行时间只差26秒，早于欧洲1582年开始使用的“格里历”300年，使用时间长达363年（1281－1643年），中国古代的历法也发展到了高峰。

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古希腊数学以几何定理的演绎推理为特征、具有公理化模式，与中国传统数学以计算为中心、具有程序性和机械性的算法化模式相辉映，交替影响世界数学的发展。这一时期创造的宋元算法，如隙积术、大衍术、开方术、垛积术、招差术、天元术等在世界数学史上占有光辉的地位。

4、中算的衰落

朱世杰可以被看作是中国宋元时期数学发展的总结性人物，是中国以筹算为主要计算工具的古代数学发展的顶峰，而《四元玉鉴》可以说是宋元（960－1368年）数学的绝唱。14世纪中、后叶，明王朝建立以后，统治者奉行以八股文为特征的科举制度，1370年明太祖朱元璋（1328－1398年）规定八股文为科举考试的主要文体，在国家科举考试中大幅度消减数学内容，明初起300余年内中国传统数学研究呈现全面衰退，致使明代大数学家看不懂宋元重要数学成就。明清两朝（1368－1911年）共543年，不仅未能产生出与《数书九章》、《四元玉鉴》相媲美的数学杰作，而且在18世纪中叶“乾嘉学派”重新发掘研究以前，像“四元术”这样一些宋元数学的精粹长期失传、无人通晓。

中国与西方科学发展示意图。

思考题

1、简述刘徽的数学贡献。

2、用数列极限证明：圆内椄正6?2^{n}边形的周长的极限是圆周长。 3、《九章算术》在中国数学发展史上的地位和意义如何？

4、试比较阿基米德证明体积计算公式的方法与中国古代数学家的球体积计算公式的推导方法的异同。

5、更精确地计算圆周率是否有意义？谈谈您的理由。 6、分析宋元时期中国传统数学兴盛的社会条件。

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第四讲：中世纪的东西方数学II

主要内容：印度数学、阿拉伯数学、中世纪的欧洲数学，简述了10位科学家的数学工作。

1、印度数学（公元5－12世纪） 背景：古印度简况

史前时期：公元前2300年前，公元前2500年前后，先民开始使用文字； 哈拉帕文化（1922年印度哈拉帕地区发掘发现）：前2300－前1750年，印度河流域出现早期国家；

早期吠陀时代：前1500－前900年，前1500年左右，吠陀时代开始，印度文明的中心渐次由西向东推进到恒河流域，后雅利安人侵入印度；

后期吠陀时代：前900－前600年，雅利安人的国家形成，婆罗门教形成； 列国时代：前6－前4世纪，摩揭陀国在恒河流域中部称霸，开始走上统一北印度的道路，佛教产生；

帝国时代：前4－公元4世纪，从孔雀王朝到贵霜帝国；

印度数学分为河谷文化时期（约公元前3000－前1400年）、吠陀时期（约公元前10－前3世纪）、悉檀多时期（公元5－12世纪）。

1.1 吠陀时期（公元前10－前3世纪）

《吠陀》手稿（毛里求斯，1980），《吠陀》（梵文，意为知识、光明）是印度雅利安人的作品，成书于公元前15－前5世纪，历时1000年左右，婆罗门教的经典，其中的《绳法经》（前8－前2世纪）是《吠陀》中关于庙宇、祭坛的设计与测量的部分（释迦牟尼（公元前565－公元前486年）传扬佛教时期，佛教是古印度的迦毗罗卫国（今尼泊尔境内）王子乔达摩·悉达多所创，因父为释迦族，得道后被尊称为释迦牟尼也就是“释迦族的圣人”的意思，门徒称他为佛），包含几何、代数知识，如毕达哥拉斯定理、圆周率的近似值等。

阿育王（在位年代约为公元前268－前232年）是印度第一个信奉佛教的君主，阿育王石柱（尼泊尔，1996）记录了现在阿拉伯数字的最早形态。

1.2 “悉檀多”时期（公元5世纪－12世纪） 1.2.1阿耶波多（公元476－约550年）

在印度的科学史上有重要的影响的人物，“阿耶波多号”人造卫星（印度，

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1975）。最早的印度数学家，499年天文学著作《阿耶波多历数书》（圣使天文书）传世（相当于祖冲之《缀术》的年代），最突出之处在于对希腊三角学的改进,制作正弦表（sine一词由阿耶波多称为半弦的jiva演化而来），和一次不定方程的解法。阿耶波多获得了π的近似值3.1416（与刘徽所得的近似值相当），建立了丢番图方程求解的“库塔卡”（原意为“粉碎”）法。

1.2.2 婆罗摩笈多（598－约665年）

印度古天文台：乌贾因天文台。在这段时间（中国的隋唐时期），整个世界（无论东方还是西方）都没有产生一个大数学家。婆罗摩笈多出生在印度的7大宗教圣城之一的乌贾因，并在这里长大。婆多摩笈多成年以后，一直在故乡乌贾因天文台工作，在望远镜出现之前，它可谓是东方最古老的天文台之一。628年发表天文学著作《婆罗摩修正体系》（宇宙的开端），这是一部有21章的天文学著作，其中第12、18章讲的是数学，分数成就十分可贵，比较完整地叙述了零的运算法则，丢番图方程求解的“瓦格布拉蒂”法，即现在所谓的佩尔（英，1611－1685年）方程的一种解法。

1.2.3婆什迦罗Ⅱ（1114－1188年）

印度的第二颗人造卫星“婆什迦罗号”（1979）。

印度古代和中世纪最伟大的数学家、天文学家婆什迦罗，出生于印度南方的比德尔，成年后来到乌贾因天文台工作，成为婆多摩笈多的继承者，后来还做了这家天文台的台长。

古印度数学最高成就《天文系统之冠》（1150年，中国的南宋时期），其中有两部婆什迦罗的重要数学著作《算法本源》、《莉拉沃蒂》。

《算法本源》主要探讨代数问题。《莉拉沃蒂》（原意“美丽”）从一个印度教信徒的祈祷开始展开，讲的是算术问题，流传着一个浪漫的故事。

《由于印度屡被其他民族征服，使印度古代天文学和数学受外来文化影响较深，但印度数学始终保持东方数学以计算为中心的实用化特点。现代初等算术运算方法的发展，起始于印度，可能在大约10、11世纪，它被阿拉伯人采用，后来传到欧洲，在那里，它们被改造成现在的形式。这些工作受到15世纪欧洲算术家们的充分注意。

与算术和代数相比，印度人在几何方面的工作则显得薄弱。此外，印度人用

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诗的语言来表达数学，他们的著作含糊而神秘（虽然发明了零号），且多半是经验的，很少给出推导和证明。

2、阿拉伯数学（公元8－15世纪） 背景：阿拉伯简况

四大哈里发时期（632－661年）：632年穆罕默德逝世后，他的最初四个继任者，哈里发为阿拉伯文的音译，意为真主使者的“继承人”。

《圣训》（穆罕默德阐释《古兰经》和实践伊斯兰教理的言行录）中说：学问虽远在中国，亦当求之。

倭（wō）马亚王朝时期（661－750年）：主要支持者是叙利亚和埃及的大贵族，因此他们把首都迁至大马士革，遵奉伊斯兰教的逊尼派（正统派），崇尚白色，中国史籍称“白衣大食”。倭马亚王朝发动大规模的对外战争，版图东起印度西部，西至西班牙，北抵里海和中亚，南达北非，成为地跨亚、非、欧三大洲的庞大帝国。迄今为止，这可能是人类历史上最大的帝国。

阿拔斯王朝时期（750－1258年）：阿拉伯帝国第二个封建王朝，因其旗帜尚黑，中国史籍称“黑衣大食”。750年，由阿拉伯贵族艾布·阿拔斯（750－754年在位）创建，故名。

2.1 早期阿拉伯数学（8世纪中叶－9世纪）

阿尔·花拉子米（783－850年）（苏联，1983），生于波斯北部花拉子模地区（今乌兹别克境内），813年来到巴格达，后成为智慧宫的领头学者。820年出版《还原与对消概要》，以其逻辑严密、系统性强、通俗易懂和联系实际等特点被奉为“代数教科书的鼻祖”，1140年被罗伯特（英）译成拉丁文传入欧洲，成为欧洲延用几个世纪标准的代数学教科书，这也使得花拉子米成为中世纪对欧洲数学影响最大的阿拉伯数学家，这对东方数学家来说十分罕见。阿拉伯语的“al-jabr”意为还原，即移项，传入欧洲后，到14世纪演变为拉丁语“algebra”，就成了今天英文的“algebra”（代数），因此花拉子米的上述著作通常称为《代数学》。可以说，正如埃及人发明了几何学，阿拉伯人命名了代数学。

《代数学》所讨论的数学问题本身并不比丢番图或婆罗摩笈多的问题简单，但它探讨了一般性解法，因而远比希腊人和印度人的著作更接近于近代初等代数。《代数学》中关于三项二次方程的求解。

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2.3 后期阿拉伯数学（13－15世纪）

纳西尔丁·图西（1201－1274年）（伊朗，1956），出生于波斯的图斯城（也属霍拉桑地区，今伊朗境内），最重要的数学著作《论完全四边形》是数学史上流传至今最早的三角学专著。在此以前，三角学知识只出现于天文学的论著中，是附属于天文学的一种计算方法，纳西尔丁的工作使得三角学成为纯粹数学的一个独立分支，对15世纪欧洲三角学的发展起重要的作用。正是在这部书里，首次陈述了著名的正弦定理。

3、中世纪的欧洲数学（5－14世纪） 3.1 教会统治

犹太教最神圣的露天会堂：哭墙（耶路撒冷圣殿山，犹太人把这座墙视为他们信仰和团结的象征。据传说，当罗马人占领耶路撒冷时，犹太人经常聚集在这里举行宗教仪式。他们每每追忆往事，回想起所罗门圣殿被毁的情景，不免嚎啕大哭一场。后来常有犹太人来到这里哭号，“哭墙”因而得名。如今，每到犹太教安息日，仍然有人到“哭墙”表示哀悼）。

基督教的经典是《圣经》（《旧约》、《新约》），记述的都是上帝的启示，是基督教徒信仰的总纲和处世的规范，是永恒的真理。据《圣经》记载，耶稣和他们的门徒会并一起进行了“最后的晚餐”，在晚餐上就坐的正好是13个人，耶稣是被他的第13个门徒犹大出卖的。13就成了不吉利的数字了。

135年从犹太教中分裂出来成为独立的宗教。

土耳其君士坦丁堡索非亚大教堂（建于532－537年，2008年4月3日北京奥运圣火途经之地）。

基督教产生不久，就逐渐形成拉丁语系的西派和希腊语的东派。东派以君士坦丁堡为中心，西派以罗马为中心，天主教就是从西派的基础上演化而来的。

在古代基督教中，西派不占优势。5世纪时外族侵扰帝国西部，西罗马当局已无力支撑局面，罗马主教利奥一世利用其影响，一度使罗马免遭匈奴入侵，这使罗马主教的威信大大提高，得以居于意大利、北非、西班牙、高卢一带拉丁语系教会的首位。476年，西罗马帝国灭亡。5世纪末起至10世纪，罗马主教和罗马教会逐步确立了在整个西派教会中的实际领导地位。5世纪起，东西两派矛盾日益尖锐，863年和867年，出现了罗马主教尼古拉一世和君士坦丁堡主教佛提

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乌相互革除对方教籍的严重局面。1054年，东西两派正式分裂，东派自称正教，西派自称公教。天主教会及其教皇制，作为独特的单一教会和体制至此正式确立。

罗马公教也称天主教，因为16世纪传入中国后，因其信徒将所崇奉的神称为“天主”，因而在中国被称为天主教。

16世纪中叶，罗马公教派生出新教派，统称“新教”，在中国称为“耶稣教”。所以，基督教是公教、东正教和新教三大教派的总称。

圣彼得教堂（梵蒂冈，建于1506－1626年）。

公元392年，基督教成为罗马帝国的国教。5世纪末起至10世纪，罗马主教和罗马教会逐步确立了在整个西派教会中的实际领导地位，基督教逐渐成为中世纪欧洲封建社会的主要精神支柱。

5－11世纪，成为欧洲历史上的黑暗时期。

梵蒂冈在拉丁语中意为“先知之地”。1929年，意大利政府同教皇签订了“拉特兰条约”，承认梵蒂冈为主权国家，其主权属教皇。

3.2 科学复苏

贸易与旅游的发展，欧洲出现新兴的城市，欧洲人开始与阿拉伯人、拜占庭人发生接触，了解阿拉伯、希腊的文化，创立了大学（1088年博洛尼亚大学，1160年巴黎大学，1167年牛津大学，1209年剑桥大学，1222年帕多瓦大学，1224年那不勒斯大学）。

“十字军东征”（1096－1291年）。

十字军东征是西欧封建主、大商人和天主教会以维护基督教为名，对地中海东岸地区发动的侵略性远征。因东侵军队的衣服上均有红十字的标记，故称为十字军。1095年，罗马教皇在法国召开宗教大会，宣布组成十字军远征，从异教徒（穆斯林）手中夺回圣城耶路撒冷。

12世纪是欧洲数学的大翻译时期，希腊人的著作被阿拉伯文译成拉丁文后，“在惊讶的西方面前展示了一个新的世界”。

阿德拉特（英，1090－1150年）——《原本》和花拉子米的天文表。 杰拉德（意，1114－1187年）——《天文学大成》、《原本》、《圆锥曲线》、《圆的度量》。

欧洲人了解到希腊和阿拉伯数学，构成后来欧洲数学发展的基础。

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13世纪，整个拉丁世界数学无大进展，而14世纪相对是数学上的不毛之地，因为一是发生了英法“百年战争”（1337－1453年）使政治动乱，环境不安定（战争的导火线主要是王位继承问题；1337－1360英胜，1369－1396年法几乎收复全部失地，双方缔结20年停战协定，1415－1428年英胜，1429－1453年法领土全部收复，至此百年战争以法的胜利而结束）；二是10年之久的鼠疫引起了“黑死病”瘟疫，扫荡了欧洲1/3以上的人口，使人的思想不能集中追求知识（1348－1352年，“黑死病”把欧洲变成了死亡陷阱，这条毁灭之路断送了欧洲三分之一的人口，总计约2500万人）；三是烦琐哲学的思想仍在束缚科学，压得科学家抬不起头，只好把精力消磨在神学和形而上学的奇妙莫测的无聊问题论证上，如“一根针尖上可以站立多少个天使？”“苍蝇有多少根胡须？”

科学在欧洲的复苏，加速了欧洲手工业、商业的发展，最终导致了文艺复兴时期欧洲数学的高涨。

思考题

1、印度数学对世界数学发展最重要的贡献是什么？他们的数学发展有何重要贡献？

2、有关零号“0”的历史。

3、简述阿尔·花拉子米的数学贡献。

4、论述阿拉伯数学对保存希腊数学、传播东方数学的作用。 5、试说明：古代东方数学的特点之一是以计算为中心的实用化数学。 6、求斐波那契数列的通项公式。

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第五讲：文艺复兴时期的数学

1、文明背景 1.1 文艺复兴

14世纪可以看做是文艺复兴的开始。文艺复兴是指14世纪意大利各城市兴起（一般认为第一个代表人物是但丁（意，1265－1321年），代表作为《神曲》（写于1307－1321年），他的作品首先以含蓄的手法批评和揭露中世纪宗教统治的腐败和愚蠢），15世纪后期起扩展到西欧各国，16世纪在欧洲盛行的一场思想文化运动。

“人文主义”思想是文艺复兴的灵魂和中心，主张以世俗的“人”为中心，歌颂人性、反对神性，提倡人权、反对神权，提倡个性自由、反对宗教禁锢，赞颂世俗生活、反对来世观念和禁欲主义。

1.2 技术进步

欧洲文艺复兴时期的主要成就之一，是在15世纪后半叶开始产生近代自然科学。

四大发明相继传入欧洲。

1450年，德意志人古腾堡（右一）改良了中国的活字印刷术，发明了金属活字印刷术。欧几里得的《原本》1482年在威尼斯出版了第一个印刷版。

马克思《机器、自然力和科学的应用》：火药、指南针、印刷术 —— 这是预告资产阶级社会到来的三大发明。??总的说来变成了科学复兴的手段，变成对精神发展创造必要前提的最强大的杠杆。

1.3 航海探险

最知名的有哥伦布（西，1451－1506年）（智利，1992）。 1.4 天文学的革命

托勒密（埃及，90－165年），宗教神学的宇宙观：上帝创造了地球，地球是宇宙的中心。

2、文艺复兴时期的欧洲数学

近代始于对古典时代的复兴，但人们很快看到，它远不是一场复兴，而是一个崭新的时代。在数学的许多领域发生了变化，在此介绍代数学、三角学、射影几何、对数等的进步。

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2.1 代数学

欧洲人在数学上的推进是从代数学开始的，它是文艺复兴时期成果最突出、影响最深远的领域，拉开了近代数学的序幕，其中包括三、四次方程的求解与符号代数的引入。16世纪意大利数学最重要的成就。

符号代数。

认识到了数学符号的意义，符号系统的建立使代数成为一门科学，从常量数学到变量数学的标志，反映了数学高度抽象与简炼。

最早在印刷图书中用“＋”作加、用“－”作减的是维德曼（德，1460－约1499年），1489年出版的《各种贸易的最优速算法》（又译《简算与速算》）创用“＋”、“－”号用于表示剩余和不足，并未引起人们的注意。1544年施蒂费尔及其他一些数学家相继采用了这两个抽象数学语言符号才真正地、正式地登上了加减运算的舞台，渐渐地名扬四海，才得到了大家公认和使用。

2.2 三角学

欧洲文艺复兴始于意大利，之后是德国。德国在数学研究上独占魁首，遥遥领先除意大利以外的欧洲各国。

1450年以前，三角学主要是球面三角。15、16世纪德国人从意大利人获得了阿拉伯天文学著作中的三角学知识，如阿尔·巴塔尼（858－929年）的《历数书》、纳西尔丁·图西（1201－1274年）的《论完全四边形》。在16世纪，三角学已从天文学中分离出来，成为一个独立的数学分支。

2.3 射影几何

欧洲几何学创造性的复兴晚于代数学。文艺复兴时期给人印象最深的几何创造其动力却来自艺术，因为画家们在将三维世界绘制到二维画布上时，面临着一些投影的问题。正是由于绘画、制图中提出的问题的刺激导致了富有文艺复兴特色的学科，透视学的兴起，从而诞生了射影几何学。研究图形的射影性质，即它们经过射影变换不变的性质的几何学，一度也叫做投影几何学。

起源于绘画和建筑学中的透视法，也就是投影和截景。公元前200年左右，古希腊数学家阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中把二次曲线作为正圆锥面的截线来研究。文艺复兴时期，绘画艺术的盛行促进了理论的发展，透视法成为一门几何与绘画结合的热门学科。阿尔贝蒂（意，1404－1472年）于1435年发表《论

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绘画》一书，阐述了最早的数学透视法思想，他引入投影线和和截景概念，提出在同一投影线下和景物的情况下，任意两个截景间有何种数学关系或何种共同的数学性质等问题，这些问题是射影几何发展的起点。

随着解析几何和后来的微积分的迅猛发展，该书逐渐被遗忘了。直到1845年，法国几何学家、数学史家沙勒才在巴黎的一个旧书店里发现这本书的手抄本，此时射影几何正处于复兴时期，人们才认识到德沙格这本著作的价值。1950年前后，在巴黎国立图书馆又找到它的原版本，历经300余年的沧桑岁月，它终于在诸多数学名著中有了一个适当的位置。

帕斯卡（法，1623－1662年）1640年《圆锥曲线论》（1779年发现），帕斯卡定理：圆锥曲线的内接六边形对边交点共线。不同于物理学上的帕斯卡定律：加在密闭液体任一部分的压强，必然按其原来的大小，由液体向各个方向传递。

射影几何的综合方法，用代数方法处理问题更有效，射影几何产生后很快让位于代数、解析几何和微积分，他们的工作也渐被遗忘，迟至19世纪才又被人们重新发现。

2.4 对数

16世纪前半叶，欧洲人把实用的算术计算放在数学的首位。由于天文和航海计算的需要，计算技术最大的改进是对数的发明与应用。

3、15－17世纪的中国数学 两个特点：珠算发展，西学东渐。 3.1 珠算

珠算盘是算筹的发展。珠算盘的记载最早见于元末陶宗仪的《南村辍（chuò）耕录》（1366年）。明代算盘完全取代了算筹，珠算开始普及于中国，现存最早的珠算书是1573年（明万历元年）闽建（今福建建瓯）徐心鲁订正的《盘珠算法》。

3.2 西方数学的传入

西方数学在中国早期传播的第一次高潮是从17世纪初到18世纪初（明末清初），标志性事件是欧几里得《原本》的首次翻译。《原本》是世界上最早的数学公理化著作，影响最广泛的数学名著。罗素（英，1872－1970年）：“欧几里得的《原本》毫无疑义是古往今来最伟大的著作之一，是希腊理智最完美的纪

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念碑之一”。

在数学上，1606年，徐光启与利玛窦合作完成了欧几里得《原本》前6卷的中文翻译，并于1607年在上海刊刻出版，定名《几何原本》，中文数学名词“几何”由此而来。徐光启说，“此书为益，能令学理者祛其浮气，炼其精心，学事者资其定法，发其巧思，故举世无一人不当学。”，对未能完成全部的翻译而感遗憾，曾说：“续成大业，未知何日，未知何人，书以俟（sì）焉”。《几何原本》是中国近代翻译西方数学书籍的开始，从此打开了中西学术交流的大门，相继出现了许多欧洲数学著作。

耶稣会士利公之墓 。 3.3 明末的中国科技

明朝（1368－1644年）、清朝（1616－1911年）。

李时珍（1518－1593年）《本草纲目》，徐光启（1562－1633年）《农政全书》，徐霞客（1586－1641年）《徐霞客游记》，宋应星（1587－ ？）《天工开物》。这为我们留下了一个很好的课题：近代科学、近代数学为什么没有在中国形成？

思考题

1、阐述天文学革命对近代数学兴起的影响。 2、简述符号“＋”、“－”的历史。

3、通过具体例子说明16世纪的意大利数学家是如何求解三、四方程的。 4、学习珠算有现实作用吗？

5、简述欧几里得《原本》在中国出版的历史意义。 6、试分析中国传统数学自元末以后逐渐衰微的原因。

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第六讲：牛顿时代：解析几何与微积分的创立

本讲内容有：近代科学的兴起、解析几何的诞生、微积分的创立。 1、近代科学的兴起

科学思想与方法论;天文学的革命;经典力学体系的诞生;化学确立为科学;生物学的孕育

近代科学的一般特征：研究的方法论化、实验哲学的兴起、自然的数学化。 2、解析几何的诞生

近代数学本质上可以说是变量数学。16世纪对运动与变化的研究已成为自然科学的中心问题，导致变量数学的亮相，变量数学的第一个里程碑是解析几何的发明。

解析几何的基本思想是在平面上引进坐标系，建立平面上点和有序实数对之间的一一对应关系，三步曲：发明坐标系、认识数形关系、作y=f（x）的图形。

这种思想古代曾经各自分别出现过，如阿波罗尼奥斯《圆锥曲线论》中引进了一种斜角坐标系，奥马·海雅姆通过圆锥曲线交点解三次方程的研究，斐波那契《实用几何》（1220）中用代数方法去解几何问题，奥雷斯姆《论形态幅度》（约1350－1360年间）讨论了物体运动中用曲线表示函数的图象。

3、微积分的创立 3.1 孕育（16－17世纪）

开普勒（德，1571－1630年），1609年、1619年公布了通过观测归纳出的行星运动三大定律，如何从数学上推证这定律成为当时自然科学的中心课题之一。事实上，自文艺复兴以来在资本主义生产力刺激下蓬勃发展的自然科学开始迈入综合与突破的阶段，所面临的数学困难，关注的焦点：瞬时速度问题、切线问题，极值问题，长度、面积、体积、重心和引力计算问题。在17世纪上半叶，几乎所有的科学大师都致力于寻求解决这些难题的新的数学工具，特别是描述运动与变化的无限小算法。

邮票：莱布尼茨和图解（德国，1996）；莱布尼茨在汉诺威（圣文森特，1991）。 3.4 微积分优先权之争

德丢勒（瑞士，1664－1753年）1699年说“牛顿是微积分的第一发明人”，而莱布尼茨作为“第二发明人”，“曾从牛顿那里有所借鉴”。莱布尼茨立即对此

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作了反驳。1712年，英国皇家学会成立了“牛顿和莱布尼茨发明微积分优先权争论委员会”，1713年，英国皇家学会裁定“确认牛顿为第一发明人”。1713年，莱布尼茨发表了《微积分的历史和起源》一文，总结了自己创立微积分学的思路，说明了自己成就的独立性。

英国与欧洲大陆数学家分道扬镳，科学史上最不幸的一章。

附：16－17世纪出生的数学家

意 卡尔丹(1501-1576) 邦贝利(1526-1573) 韦达(1540-1603) 法 梅森(1588-1648) 英 16世纪 塔塔利亚(1499-1557) 伽利略(1564-1642) 卡瓦列里 (1598-1647) 德沙格(1591-1661) 笛卡尔(1596-1650) 费尔马(1601-1665) 帕斯卡(1623-1662) 罗尔(1652-1719) 沃利斯(1616-1703) 巴罗(1630-1677) 胡克(1635-1703) 牛顿(1642-1727) 德 施蒂费尔（1487－1567）开普勒(1571-1630) 克拉维斯（1537－1612） 程大位(中, 1533-1606) 斯蒂文(荷, 1548-1620) 纳皮尔(苏格兰, 惠更斯(荷, 1629-1695) 1550-1617) 关孝和(日, 1642-1708) 雅格布·伯努利(瑞, 1654-1705) 约翰·伯努利(瑞, 1667-1748) 莱布尼茨(1646-1716) 哈雷(1656-1742) 泰勒(1685-1731) 斯特林(1692-1770) 麦克劳林(1698-1746) 哥德巴赫(德, 1690-1764) 洛比塔(1661-1704) 棣莫弗(法, 1667-1754) 托里切利(1608-1647) 17世纪 思考题

1、解析几何产生的时代背景是什么？ 2、平面解析几何的产生与形数结合的思想。 3、阐述天文学革命对近代数学兴起的影响。 4、17世纪对哪些问题的研究导致了微积分的诞生？ 5、关于牛顿“站在巨人们肩膀上”的启示。 6、简述莱布尼茨关于微积分的工作。

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第七讲：18世纪的数学：分析时代

主要内容：微积分的发展、数学新分支的形成、18世纪的中国数学、19世纪数学展望。

1、微积分的发展

（1）泰勒（英，1685－1731年），以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世。1714年获法学博士， 1712年进入牛顿和莱布尼茨发明微积分优先权争论委员会，1714－1718年英国皇家学会秘书，1715年出版《正和反的增量法》，陈述了他早在1712年给梅钦的信中就已获得的著名定理。

（2）麦克劳林（英，1698－1746年），英国皇家学会会员，1719年在访问伦敦时见到了牛顿，从此便成为了牛顿的门生，1724年由牛顿的大力推荐与资助，他获得了爱丁堡大学的职务，1742年撰写的《流数论》以泰勒级数作为基本工具，是对牛顿的流数法作出符合逻辑的、系统解释的第一本书。此书之意图是为牛顿流数法提供一个几何框架，以答复贝克莱大主教等人对牛顿的微积分学原理的攻击，该书写得相当审慎周到，以致在1821年柯西的著作问世之前，一直是比较严密的微积分标准教材。著名的麦克劳林级数就是在本书中提出的。麦克劳林终生不忘牛顿对他的栽培，并为继承、捍卫、发展牛顿的学说而奋斗。死后在他的墓碑上刻有“曾蒙牛顿的推荐”以表达他对牛顿的感激之情。

（3）斯特林（英，1692－1770年），英国皇家学会会员，特别值得指出的是，微积分中的麦克劳林定理早在麦克劳林发表之前，斯特林在1717年对代数的研究以及1730年在他的《微分法兼论无穷级数的求和与插值》中就得到了这个定理，另外，他还给出了所谓斯特林公式。

（4）棣莫弗（法，1667－1754年），法国加尔文派教徒，在新旧教派斗争中被监禁，释放后1686年移居英国，1697年被选入皇家学会会员，但他从未获得教授职位，不得不当家庭教师以维持穷苦的生活，进入牛顿和莱布尼茨发明微积分优先权争论委员会，1730年《分析杂论》中首先给出了所谓的斯特林公式，1707－1730年建立了棣莫弗定理的最初形式，完整的棣莫弗定理是欧拉于1748年给出的。关于棣莫弗的死有一个颇具数学色彩的神奇传说：在临终前若干天，棣莫弗发现，他每天需要比前一天多睡1/4小时，那么各天睡眠时间将构成一个算术级数，当此算术级数达到24小时时，棣莫弗就长眠不醒了。

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（6）雅格布?伯努利（瑞，1654－1705年），1676年取得了神学硕士学位，当他读了笛卡儿、沃利斯等人的著作后，对数学发生了强烈的兴趣，就毅然违背其父要他献身神学的意愿，转而投身数学。他在荷兰及英国旅行期间，结识了一些知名的数学家，并成了莱布尼茨的好友，从此便和莱布尼茨有频繁的书信往来，共同探讨微积分等问题。17世纪牛顿和莱布尼茨之后最先发展微积分的人，工作涉及解析几何、微积分、变分法、概率论，1694年《微分学方法》，1698年证明了调和级数的发散性。

（7）约翰?伯努利（瑞，1667－1748年），1694年医学博士，其论文是关于肌肉的收缩问题，但不久他迷上了微积分学，并且很快的掌握了它，数学工作涉及解析几何、微分方程、变分法，18世纪初分析学的重要奠基者之一，欧拉（瑞，1707－1783年）的老师，1700年左右发展了积分法，1712年被选为英国皇家学会会员，1742年他写的《积分学教程》（写于1691－1692年）是微积分发展中的重要著作，在这本书中汇集了他在微积分方面的研究成果，不仅给出了各种不同的积分法的例子，还给出了曲面的求积、曲线的求长和不同类型的微分方程的解法，使微积分更加系统化，这本著作使微积分的作用在欧洲大陆得到正确评价，而自己也因此成为数学界最有影响的人物之一。洛比达（法，1661－1704年）法则（1694年约翰?伯努利写信告诉洛必达的），1696年《无穷小分析》。“没有什么比提出困难而又有用的问题更能激发杰出的天才人物来为增长人类知识而工作了。”

（8）丹尼尔?伯努利（瑞，1700－1782年），著名的伯努利家族中最杰出的一位，他是约翰·伯努利的第二个儿子，医学博士（论文题目是“呼吸的作用”）、植物学教授、生理学教授、物理学教授、哲学教授，在彼得堡工作8年（1725—1733年），1727年他与欧拉在一起工作，起初欧拉作为丹尼尔的助手，后来接替了丹尼尔的数学院士职位，1733年他回到了巴塞尔，开始了与欧拉之间的最受人称颂的科学通信，在通信中，丹尼尔向欧拉提供最重要的科学信息，欧拉运用杰出的分析才能和丰富的工作经验，给以最迅速的帮助，他们先后通信40年，最重要的通信是在1734－1750年间，他们是最亲密的朋友，也是竞争的对手。1750年被选为英国皇家学会会员。

（9）欧拉（瑞士，1707－1783年），18世纪最伟大的数学家、分析的化身，

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“数学家之英雄”，13岁进入巴塞尔大学文科，约翰·伯努利任该校数学教授，他每天讲授基础数学课程，同时还给那些有兴趣的少数高材生开设更高深的数学、物理学讲座，欧拉是约翰·伯努利的最忠实的听众。工作于圣彼得堡科学院（1727－1741年，1766－1783年）和柏林科学院（1741－1766年），从那时起，欧拉的一生和他的科学工作都紧密地同圣彼得堡科学院和俄国联系在一起，他再也没有回过瑞士，但是，出于对祖国的深厚感情，欧拉始终保留了他的瑞士国籍。1748年《无穷小分析引论》，1755年《微分学原理》，1768－1770年《积分学原理》（3卷）成为分析的百年传世经典之作，最多产的数学家，生前发表的著作与论文有560余种，死后留下了大量的手稿。

“四杰”：阿基米德、牛顿、欧拉、高斯。

除了伯努利家族和欧拉外，18世纪推进微积分及其应用贡献卓著的欧陆数学家中，首先应该提到法国学派。

背景：法国启蒙运动。

启蒙运动就是启迪蒙昧，反对愚昧主义，提倡普及文化教育的运动。但就其精神实质上看，它是宣扬资产阶级政治思想体系的运动，并非单纯是文学运动。它是文艺复兴时期资产阶级反封建、反禁欲、反教会斗争的继续和发展，直接为1789年的法国大革命奠定了思想基础。

代表人物：代表大资产阶级利益的伏尔泰（1694－1778年）、代表中等资产阶级利益的孟德斯鸠（1689－1755年）、代表中、小资产阶级利益的卢梭（1712－1778年）和以狄德罗（1713－1784年）为代表的百科全书派。

（10）达朗贝尔（法，1717－1783年），多产的科学家，他对力学、数学和天文学的大量课题进行了研究，没有受过正规的大学教育，靠自学掌握了牛顿和当代著名数理科学家们的著作，算是自学成才，

（11）拉格朗日（法，1736－1813年），数学、力学和天文学三个学科中都有重大历史性贡献，但他主要是数学家，分析学中仅次于欧位的最大开拓者，研究力学和天文学的目的是表明数学分析的威力，全部著作、论文、学术报告记录、学术通讯超过500篇。

伯克莱主教（爱尔兰，1985）。伯克莱（爱尔兰，1685－1753年），1734年《分析学家，或致一位不信神的数学家》，“这些消失的增量究竟是什么呢？它

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们既不是有限量，也不是无限小，又不是零，难道我们不能称它们为消逝量的鬼魂吗？”

2、数学新分支的形成

扩展微积分的应用范围，尤其是与力学的有机结合，成为18世纪数学的鲜明特征之一，产生的新思想使数学本身大大受惠，一系列新的数学分支在18世纪成长起来。如，常微分方程、偏微分方程、变分法、微分几何、概率论等。

3、18世纪的中国数学

18世纪的中国经济，见荷兰格罗宁根大学经济学名誉教授安格斯·麦迪逊教授统计表。“康乾盛世”（1661－1795年）134年，其中康熙61年（1662－1722年），雍正13年（1723－1735年），乾隆60年（1736－1795年），占清朝立国（1644—1911年）268年之半。 注：《四库全书》中的科技文献

4、19世纪的数学展望

18世纪末数学家们对自己从事的这门科学却奇怪地存在着一种普遍的悲观情绪，数学家的主导意见：数学的资源已经枯竭。

思考题

1、谈谈您对于“读读欧拉，他是我们大家的老师”（拉普拉斯语）的看法。 2、牛顿和莱布尼茨有关微积分理论优先权的争论对18世纪英国与欧陆国家的数学发展产生了什么影响？

3、微积分的理论基础对于微积分的进一步发展有什么样的作用？试举例予以说明。

4、为何在“康乾盛世”中国数学明显落后于西方？

5、试分析18世纪末数学家的主导意见：数学的资源已经枯竭。

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第八讲：19世纪的代数

代数学的新生，突破传统，表现在方程与根、数系扩张、行列式与矩阵、布尔代数、代数数论等方面。介绍了数学家高斯（德， 1777－1855年）、阿贝尔（挪，1802－1829年）、伽罗瓦（法，1811－1832年）、费马（法，1601－1665年）和布尔（英，1815－1864年）的生平和数学贡献。

1、代数方程根式解

19世纪初代数学研究的注意力仍是解代数方程，关注于五次或高于五次的代数方程上。1799年高斯（德，1777－1855年）提交了他的博士论文，证明了代数基本定理：任一多项式都有根。

注：为适应法国数学研究的需要，刘维尔在1836年1月创办《纯粹与应用数学杂志》，并亲自主持了前39卷的编辑出版工作（1836－1874年）。该杂志刊登纯粹、应用数学领域所有分支的论文，记录了19世纪中期的40年里数学活动的一部分重要内容，被后人称为《刘维尔杂志》。

抽象化尝试。置换群，1849－1854年凯莱（英，1821－1895年）引入抽象群；伽罗瓦域，1893年韦伯（德，1842－1913年）抽象域。他们的工作酝酿着现代数学。

2、数系扩张

实数系。1737年欧拉（瑞，1701－1783年）证明了e是无理数，1761年兰伯特（法，1728－1777年）证明了π是无理数，1844年刘维尔（法，1809－1882年）第一次显示了超越数的存在，1873年和1882年埃尔米特（法，1822－1901年）和林德曼（德，1852－1939年）分别证明了e和π是超越数。由此解决了尺规作图中“化圆为方”问题的不可能。

3、行列式与矩阵

关于线性方程组解的发展，形成了行列式和矩阵的理论。在此简述一些历史时刻。

4、布尔代数

来源于对数学和逻辑基础的探讨。莱布尼茨（德，1646－1716年）想要发明一种通用的语言，以它的符号和专门的语法来指导推理，建立一种推理代数，提出思维演算和逻辑的数学化思想，一些工作的细节直到20世纪初才出版。

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5、数论

19世纪以前数论只有一些孤立的结果。自从高斯（德， 1777－1855年）在1801年发表了他的《算术研究》后，数论作为现代数学的一个重要分支得到了系统的发展，这一年高斯只有24岁。

思考题

1、谈谈数e的历史与作用。

2、虚数的历史地位是如何逐步确立的？ 3、简述高斯的数学贡献。 4、对素数判定意义的分析。

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第九讲：19世纪的几何与分析I

主要内容：几何学的变革、分析的严格化。介绍了蒙日（法，1746－1818年）、罗巴切夫斯基（俄，1792－1856年）、黎曼（德，1826－1866年）、克莱因（德，1849－1925年）、魏尔斯特拉斯（德，1815－1897年）和康托（德，1845－1918年）的生平和数学贡献。

1、几何学的变革

几何学的基础：现实空间与思维空间，内容涉及微分几何、非欧几何、射影几何、统一的几何、公理化方法。

1.1 微分几何

平面曲线理论17世纪基本完成。1673年惠更斯（荷，1629－1695年）的渐伸线、渐屈线，1671年和1686年牛顿和莱布尼茨的曲率、曲率半径，1691年和1692年约翰?伯努利（瑞，1667－1748的）的曲线的包络，1696年洛比塔（法，1661－1704年）的《无穷小分析》完成并传播了平面曲线理论。

18世纪的空间曲线、曲面理论。

1795年蒙日（法，1746－1818年）《关于分析的几何应用的活页论文》借助微分方程对曲面族、可展曲面、直纹面做深入研究。

1.2 非欧氏几何

非欧几何是人类认识史上一个富有创造性的伟大成果，它的创立，不仅带来了近百年来数学的巨大进步，而且对现代物理学、天文学以及人类时空观念的变革都产生了深远的影响。

直到18世纪末，几何领域仍然是欧几里得一统天下。它作为数学严格性的典范始终保持着神圣的地位，许多数学家都相信欧几里得几何是绝对真理。然而，欧几里得几何并非无懈可击。从公元前3世纪到18世纪末，数学家们虽然一直坚信欧氏几何的完美与正确，但有一件事却始终让他们耿耿于怀，这就是平行公设。

平行公设。若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长，它们都在同旁内角和小于两直角的一侧相交。

平行公理的研究（公元前3世纪至1800年）。从古希腊时代起，数学家就一直没有放弃消除对平行公设疑问的努力。一些更加自然的等价公设被提出。如普

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莱菲尔（苏格兰，1748－1819年）公设：过已知直线外一点能且只能作一条直线与已知直线平行。

用欧氏几何的眼光来看，罗巴切夫斯基几何有许多令人惊奇的结果： （1）三角形内角之和小于两直角，假如三角形变大，使它的所有三条高都无限增长，则它的三个内角全部趋向于零；

（2）不存在面积任意大的三角形；

（3）如果两个三角形的三个内角相等，它们就全等。

一些人说新几何是“荒唐的笑语”，是“对有学问数学家的嘲讽”。 1.3 射影几何

19世纪以前射影几何一直是在欧氏几何的框架下被研究的。早期开拓者：德沙格（法，1591－1661年），帕斯卡（法，1623－1662年），1799年蒙日（法，1746－1818年）的《画法几何学》（1920年蔡元培给的译名），1803年卡尔诺（法，1753－1823年）的《位置几何学》。将射影几何真正变革为具有自己独立的目标与方法的学科的数学家是曾受害教于蒙日的庞斯列。

1847年施陶特（德，1798－1867年）的《位置几何学》提出一套方案，不借助长度概念就得以建立射影几何，从而使射影几何摆脱了度量关系，成为与长度等度量概念无关的全新学科，且射影几何在逻辑上要先于欧氏几何概念，因而射影几何比欧氏几何更基本。

1.4 统一的几何学

非欧几何的出现引起了人们关于几何观念和空间观念的深刻革命。寻求不同几何学之间的内在联系，用统一的观点来解释它们，成为数学家们追求的一个目标。

克莱因使哥廷根这座具有高斯、黎曼传统的德国大学更富有科学魅力，吸引了一批有杰出才华的年青数学家，使之成为20世纪初世界数学的中心之一。

克莱因：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。”

1.5 几何学的公理化

克莱因引导许多年轻数学家到哥廷根工作，其中最重要的一位是希尔伯特。希尔伯特至哥廷根3年以后，提出了另一条对现代数学影响深远的统一几何学的

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途径：公理化方法。

公理化方法始于欧几里得，当19世纪的数学家重新审视《原本》时发现它有许多隐蔽的假设，模糊的定义及逻辑的缺陷，要重建欧氏几何及其他包含同样弱点的几何基础。

2、分析的严格化

经过近一个世纪的尝试与酝酿，数学家们在严格化基础上重建微积分的努力到19世纪初开始获得成效。分三个方面来论述：分析的算术化、实数理论、集合论。

2.1 分析的算术化

所谓分析是指关于函数的无穷小分析，来源于第二次数学危机所产生的问题，核心概念是函数、无穷小，主要贡献归功于柯西（法，1789－1857年）和魏尔斯特拉斯（德，1815－1897），前者著有《分析教程》（1821）、《无穷小分析教程概论》（1823）和《微分学教程》（1829），后者创造了ε－δ语言，是“现代分析之父”。

魏尔斯特拉斯在数学分析领域中的最大贡献，是在柯西、阿贝尔等开创的数学分析严格化潮流中，以ε－δ语言，系统建立了实和复分析的严谨基础，基本上完成了分析的算术化。然而，由于他是通过课堂讲授完成这一任务的，没有发表有关论著，所以对研究他在这一领域的工作带来了困难。 2.2 实数理论

实数理论。魏尔斯特拉斯很早就认识到，为使分析具备牢靠的基础（例如无懈可击地证明连续函数的性质），必须建立严格的实数论。他于1857年开始讲授的解析函数论等课程，总要在第一阶段花很多时间阐明他关于实数的理论。

实数的定义及其完备性的确立，标志着由魏尔斯特拉斯倡导的分析算术化运动大致宣告完成。

2.3 集合论

在分析的严格化过程上，一些基本概念如极限、实数、级数等的研究都涉及到由无穷多个元素组成的集合，特别是在对那些不连续函数进行分析时，需要对使函数不连续或使收敛问题变得很困难的点集进行研究，这样就导致了集合论的建立。如康托是在研究函数的三角级数表达式的唯一性问题时开始接触无穷点集

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的。

思考题

1、从非欧几何学的建立谈谈您对几何真实性的认识。 2、非欧几何的诞生有何意义？

3、魏尔斯特拉斯对于分析的严格化有哪些重要贡献？ 4、试比较魏尔斯特拉斯、戴德金和康托尔的实数构造方法。

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第十讲：19世纪的几何与分析II

主要内容有分析的拓展、19世纪的中国数学。介绍了数学家柯西（法，1789－1857年）、拉普拉斯（法，1749－1827年）、傅里叶（法，1768－1830年）、格林（英，1793－1841年）、庞加莱（法，1854－1912）和李善兰（清，1811－1882年）的生平和数学贡献。

1、分析的拓展

复变函数论、解析数论、微分方程。 1.1 复变函数论

主要进步是复函数的偏导数与积分理论的建立。

1752年和1777年获得了达朗贝尔－欧拉条件（柯西－黎曼条件），1782－1812年拉普拉斯（法，1749－1827年），1815年泊松（法，1781－1840年）讨论了复函数的积分。

复分析真正作为现代分析的一个研究领域，是在19世纪建立起来的，主要奠基人：柯西（法，1789－1857年）、黎曼（德，1826－1866年）和魏尔斯特拉斯（德，1815－1897年）。

1.2 解析数论

1737年欧拉的恒等式在数论的研究中引进了分析方法：解析数论。解析数论作为有意识地使用分析方法研究数论问题的一门分支是从狄里克雷开始的。1837年狄里克雷（德，1805－1859年）用分析方法证明了欧拉－勒让德提出的素数问题，狄里克雷引入的L函数成为研究数论问题的重要工具。

1.3 偏微分方程

从牛顿时代起，物理问题就成为数学发展的一个重要源泉。18世纪数学和物理的结合点主要是常微分方程。随着物理科学所研究的现象从力学向电学以及电磁学扩展，到了19世纪，偏微分方程的求解成为数学家和物理学家关注的重心。

1.4 常微分方程

解的存在性：1820－1830年柯西获得第一个解的存在性定理，1869年李普希茨条件，1890年皮卡逐步逼近定理。关于偏微分方程解的存在唯一性定理：柯西－柯瓦列夫斯卡娅定理。

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2、19世纪的中国数学

2.1 李善兰（清，1811－1882年）

西方数学在中国早期传播的第二次高潮是从19世纪中叶开始。李善兰是这一时期最重要的中国算学家。李善兰，清浙江海宁人，自幼刻苦自习数学，9岁时，李善兰发现父亲的书架上有一本中国古代数学名著《九章算术》，感到十分新奇有趣，从此迷上了数学，14岁时，李善兰又靠自学读懂了欧几里得《几何原本》前六卷。李善兰在《九章算术》的基础上，又吸取了《几何原本》的新思想，这使他的数学造诣日趋精深。

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第十一讲：20世纪数学概观 I

主要内容：国际数学家大会、纯粹数学的发展、数学基础大论战。介绍希尔伯特（德，1862－1943年）、巴拿赫（波，1892－1945年）、诺特（德，1882－1935年）、柯尔莫哥洛夫（苏，1903－1987年）和哥德尔（奥－美，1906－1978年）的生平和数学贡献。

1、国际数学家大会

1893年为纪念哥伦布发现美洲大陆400周年，在芝加哥举办了“世界哥伦布博览会”，安排了一系列科学与哲学会议，数学家的“国际大会”即在其列。哥廷根大学的克莱因（德，1849－1925年）给大会带来了许多欧洲数学家的论文，并作了题为“数学的现状”的演讲，他强调“具有极高才智的人物在过去开始的事业，我们今天必须通过团结一致的努力和合作以求其实现”。这是数学史上第一次超越国界的数学家会议。但真正意义上的国际数学家大会是1897年在瑞士苏黎世工业大学召开的，庞加莱（法，1854－1912年）作了题为“关于纯分析和数学物理的报告”，后来被认定为“第一届国际数学家大会”。在这次会上通过的章程规定，两次大会之间可间隔3至5年，但从1900年第二届大会开始形成了每4年举行一次的惯例。在国际数学家大会的历史上特别重要的一次会议就是1900年在巴黎举行的会议，因为在这次会上希尔伯特（德，1862－1943年）作茧自缚了一个题为“未来的数学问题”的重要报告，他在报告中提出23个重大问题为20世纪数学的研究目标，这大大地推动了数学的发展。

2、纯粹数学的发展

20世纪数学的特点：结构数学与统一的数学。

更高度的抽象化是20世纪纯粹数学的主要趋势，最初受到两大因素的推动：集合论观点的参透、公理化方法运用。集合概念及研究的对象被抽象，公理化方法不仅仅用来阐明建立一个理论的基础，已成为推动数学研究的具体工具。这此在20世纪逐渐成为数学抽象的范式，导致20世纪上半叶，实变函数、泛函分析、抽象代数、拓扑学等具有标志性分支的崛兴，所创造的抽象语言、结构及方法，又渗透到一些经典学科，我们以概率论的发展来说明。

2.1 实变函数论

集合论的观点在20世纪初首先引起积分学的变革，从而导致了实变函数论

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的建立。

2.2 泛函分析

变分法已接触到泛函，“函数的函数”也就是所谓的泛函。19世纪末、20世纪初首先由伏尔泰拉（意，1860－1940年）和阿达马（法，1865－1963年）在变分法的研究中开创。

2.3 抽象代数

经典代数学：求解代数方程和代数方程组，抽象代数学：公理化方法研究具有代数结构的集合。

2.4 拓扑学

形成：1736年欧拉（瑞，1707－1783年）解决哥尼斯堡七桥问题，1752年欧拉示性数V－E+F=2，1847年李斯廷（德，1808－1882年）《拓扑学引论》，1858年默比乌斯（德，1790－1868年）带，1874年克莱因（德，1849－1925年）瓶。

2.5 概率论

研究随机现象数量规律的数学分支。

来源：赌博问题－－1654年帕斯卡（法，1623－1662年）与费马（法，1601－1665年）通信讨论合理分配赌金的“点问题”并用组合方法给出正确的解答。1657年惠更斯（荷，1629－1695年）在《论赌博中的计算》是最早的概率论著作，提出数学期望。

作为一门独立的数学分支，真正的奠基人是雅格布?伯努利（瑞，1654－1705年），1713年出版《猜度术》，伯努利大数定律，棣莫弗（法，1667－1754年）1738年出版《机会的学说》，发现二项分布的极限形式为正态分布。

拉普拉斯（法，1749－1827年）1774年提出古典概率的定义，1812年出版《分析概率论》，严格证明了棣莫弗－拉普拉斯积分极限定理（中心极限定理），研究了统计问题。1866年切比雪夫（俄，1821－1894年）建立了关于独立随机变量序列的大数定律，得到了切比雪夫中心极限定理。

19世纪末，科学家们发现了一些概率论悖论揭示出古典概率论中基本概念存在的一些矛盾与含糊不清之处。拉普拉斯的古典概率定义受到猛烈的批评。要求对概率论的逻辑基础作出更加严格的真空。真正严格的公理化概论论只有在测

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度论与实变函数论的基础上可能建立。

20世纪40年代后：法国学派、苏联学派、日本学派、美国学派。 3、数学基础大论战

数学的严格基础，自古古希腊以来就是数学家们追求的目标。经过第一、二次数学危机后，似乎给数学家们带来了一劳永逸的摆脱基础危机的希望。1900年庞加莱（法，1854－1912年）在ICM上宣称：“现在我们可以说，完全的严格性已经达到。”1903年罗素（英，1872－1970年）提出一个简明的集合论悖论，打破了人们的上述希望，引起了关于数学基础新的争论。

解决集合论悖论的尝试是从逻辑上去寻找问题的症结。数学家们对数学运用的逻辑提出了一些观点，形成了关于数学基础的三大学派。

3.1 逻辑主义

罗素（英，1872－1970年），受弗雷格（德，1848－1925年）和皮亚诺（意，1858－1932年）的影响，1903年《数学的原理》，1910－1913年《数学原理》（与怀特黑德（英，1861－1947年）合著）是逻辑广义的权威性论述，“数学就是逻辑”，全部数学可以由逻辑推导出来，通过符号演算的形式来建立逻辑体系，实现了逻辑彻底的公理化，对现代数理逻辑有重大贡献，但按类型论建立数学的体系一直未完成。1921年在中国讲学一年，1950年获得诺贝尔文学奖。

3.2 直觉主义

布劳威尔（荷，1881－1966年），受庞加莱（法，1854－1912年）的影响， 1907年博士论文《论数学基础》搭建了直觉主义的框架，数学独立于逻辑，数学的基础是一种能使人认识“知觉单位”1以及自然数列的原始知觉，坚持数学对象的“构造性”定义。不承认仅使用反证法的存在性证明，在集合论中也只承认可构造的无穷集合（如自然数列）。导致了对“排中律”的否定。

3.3 形式主义纲领

1900年希尔伯特问题：连续统假设；算术公理的相容性，表明希尔伯特对于数学基础的重视与兴趣。早年关于几何基础公理化方法的发展与深化。

1922年提出希尔伯特纲领：将数学彻底形式化为一个系统，必须通过逻辑的方法来进行数学语句的公式表达，并用形式的程序表示推理，通过有限的证明方法，借助超限公理，导出无矛盾的数学系统。形式主义与逻辑主义的重要区别

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在于语句只有逻辑结构而无实际内容，从公式至公式的演绎过程不涉及至公式的任何意义。

1928年提出4个实施步骤：分析的无矛盾性，选择公理的无矛盾性，算术及分析形式的完全性，一阶谓词逻辑的完全性。

1928年《数理逻辑基础》，1934、1939年《数学基础》（2卷本）中对形式主义纲领作出了系统的总结和全面的论述。

上述三大学派，在20世纪前30年间非常活跃，相对争论非常激烈。现在看来，他们都未能对数学基础问题作出令人满意的解答。但它们的研究却将人们对数学基础的认识引向了空前的深度。1930年代，哥德尔的定理引起的震动之后，关于数学基础的争论渐趋淡化。数学家们更多地专注于数理逻辑的具体研究。

题。

思考题

1、以抽象代数为例谈谈数学的抽象性。

2、代数学的发展经历了哪几个不同的阶段？在这些不同的阶段中，代数学的中心问题是什么？

3、在数学国际化中看“孤独的数学家”。

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第十二讲：20世纪数学概观 II

介绍20世纪的一些数学研究成果及数学奖 1、数学研究成果五例

四色问题、动力系统、鲁金猜想、庞加莱猜想、数论。 1.1 四色问题

图论：以图为研究对象的数学分支。图是若干给定点及连接两点的线所构成的图形。

四色问题有一个令人迷惑的地方：在更复杂的曲面上，问题的解决反倒容易。如希伍德曾证明了环面的七色定理。到1968年，数学家们已解决了除平面和球面以外所有曲面上的地图四色问题，恰恰是平面和球面这种最简单的情形，却呈现出奇特的困难。

2、动力系统

描述决定性系统的数学模型都可称为动力系统，通常所说的动力系统多指由映射迭代生成的系统或常微分系统，其核心问题是结构的稳定性。

动力系统的研究由于拓扑方法和分析方法的有力结合而取得了重大进步，借助于计算机模拟又引发具有异常复杂性的混沌、分岔、分形理论，这方面的研究涉及众多的数学分支。20世纪30年代后的发展：结构稳定性、拓扑学方法、代数几何方法。

3、鲁金猜想

傅里叶（法，1768－1830年）《热的解析理论》（1822），19世纪狄里克雷（德，1805－1859年）、黎曼（德，1826－1866）、康托（德，1845－1918年）等数学家研究了傅里叶级数的收敛性等问题。

4、庞加莱猜想

数学家们已经知道：任意一个二维单连通闭曲面都与S^2同胚。1904年的庞加莱（法，1854－1912年）猜想：单连通的三维闭流形同胚于S^3。以后人们又将庞加莱的猜想推广到n维情形：广义庞加莱猜想。

2002年佩雷尔曼（俄，1966－ ）对猜想的证明做了奠基工作，并获得2006年的菲尔茨奖（拒绝出席颁奖）。2006年6月3日丘成桐在中科院晨兴数学中心宣布，6月4日央视新闻联播报道“中国数学家朱熹平、曹怀东完全破解庞加莱

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猜想”。

5、数论

各个时期一些代表人物。

古希腊：毕达哥拉斯（公元前560－前480年）、欧几里得（公元前325－前265年）、丢番图（公元200－284年）；

17世纪：费马（法，1601－1665年）；

18世纪：欧拉（瑞，1701－1783年）、拉格朗日（法，1736－1813年）； 19世纪代数数论：高斯（德， 1777－1855年）、库默尔（德，1810－1893年）、戴德金（德，1831－1916年）；19世纪解析数论：狄里克雷（德，1805－1859年）、黎曼（德，1826－1866年）、阿达玛（法，1865－1963年）。

留给20世纪的数论问题：素数判定、哥德巴赫猜想（1742）、费马大定理（1670）、黎曼假设（1859）。

哥德巴赫猜想。

偶数哥德巴赫猜想的进展主要是依靠改进筛法取得的。1919年布龙（挪，1885－1978年）利用他的新筛法证明了9+9，以后大约半个世纪的时间内，数学家们利用各种改进的筛法对于较少的k、l，k+l，步步为营地向最终目标逼近。如，1940年布赫塔布（苏）证明了4+4，1948年瑞尼（匈，1921－1970年）证明了1＋c，1957年王元（中，1930－ ）证明了2＋3，1962年王元和潘承洞（中，1934－1997年）证明了1＋4，1965年罗斯（英，1925－ ，F）、邦别里（意，1940－，F）证明了1＋3，1966年陈景润（中，1933－1996年）宣布了1＋2，并于1973年发表了全部证明。

2、数学奖

阿贝尔奖、菲尔兹奖、沃尔夫奖、邵逸夫奖。

沃尔夫奖（1978－ ）：沃尔夫基金会设有：数学、物理、化学、医学、农业五个奖（1981年又增设艺术奖）。

1978年盖尔范德（苏联，1913－ ）关于泛函分析、群表示论获奖，1978年西格尔（德，1896－1981年）关于数论、多复变函数获奖，1984年陈省身（中－美，1911－2004）关于微分几何获奖。

邵逸夫奖（2004－ ）：2002年11月在香港设立，旨在表彰在学术研究或

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应用领域取得突破性成果，并对人类生活产生深远影响的科学家，设天文学、生命科学与医学、数学科学三个奖项（“诺贝尔奖”所没有的），每年颁奖一次，每项奖金100万美元。评审委员会主任扬振宁（1922－ ），1957年获得诺贝尔物理学奖。

思考题

1、再谈您的理解：数学是什么?

2、“数学问题是推动数学发展的动力”，谈谈您的理解。 3、试论数学问题及其解决对数学发展的作用。

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