《概率论与数理统计》课后习题解答

《概率论与数理统计》课后习题解答

习题一

3．设A,B,C表示三个事件,用A,B,C的运算关系表示下列各事件：

（1）A发生,B与C不发生; （2）A与B都发生,而C不发生; （3）A,B,C都发生; （4）A,B,C都不发生;

（5）A,B,C中至少有一个发生; （6）A,B,C中恰有一个发生; （7）A,B,C中至少有两个发生; （8）A,B,C中最多有一个发生.

解：（1）ABC； （2）ABC； （3）ABC； （4）ABC；

（5）A?B?C； （6）ABC?ABC?ABC； （7）AB?AC?BC； （8）AB?AC?BC或AB?AC?BC．

5．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码．

（1）求最小的号码为5的概率; （2）求最大的号码为5的概率.

解：设事件A表示“最小的号码为5”，事件B表示“最大的号码为5”，由概率的古典定义得

（1）P(A)?C523C10C432?112120；

（2）P(B)?C10?．

6．一批产品共有200件，其中有6件废品，求：

（1）任取3件产品恰有1件是废品的概率; （2）任取3件产品没有废品的概率; （3）任取3件产品中废品不少于2件的概率.

解：设事件Ai表示“取出的3件产品中恰有i件废品”(i?0,1,2,3)，由概率的古典定义得

1

（1）P(A1)?C6C194C200C194C32003123?0.0855；

（2）P(A0)??0.9122；

3（3）P(A2?A3)?C6C194?C6C320021?0.0023．

8．从0,1,2,…,9这十个数字中任意取出三个不同的数字，求下列事件的概率：

AB表示“这三个数字中不含0和5”； 表示“这三个数字中包含0或5”；

． C表示“这三个数字中含0但不含5”解：由概率的古典定义得

P(A)?C8C3310?715；P(B)?1?P(A)?815；P(C)?C8C2310?730

9．已知P(A)?0.5,P(B)?0.6,P(BA)?0.8，求P(AB)和P(AB)．

解：P(AB)?P(A)P(B|A)?0.5?0.8?0.4

P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?[P(A)?P(B)?P(AB)]

?1?(0.5?0.6?0.4)?0.3

10．已知P(B)?0.4,P(A?B)?0.6,求P(AB)．

解：P(AB)?P(AB)P(B)?P(A?B)?P(B)1?P(B)?0.6?0.41?0.4?13

11．某种品牌电冰箱能正常使用10年的概率为0.9,能正常使用15年的概率为0.3,现某人购买的该品牌电冰箱已经正常使用了10年,问还能正常用到15年的概率是多少?

解：设事件A,B分别表示“该品牌电冰箱能正常使用10,15年”，依题可知

P(A)?0.9,P(AB)?P(B)?0.3，则所求的概率为

P(B|A)?P(AB)P(A)?0.30.9?13

12．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨最后一个号码．

（1）求他拨号不超过三次而接通的概率;

2

（2）若已知最后一个数字是奇数，那么他拨号不超过三次而接通的概率又是多少?

解：设事件A分别表示“他拨号不超过三次而接通”，事件B分别表示“最后一个数字是奇数”，则所求的概率为

（1）P(A)?110?15910??4519??14910?45??8934??1813??31035

（2）P(A|B)?13．一盒里有10个电子元件,其中有7个正品,3个次品.从中每次抽取一个,不放回地连续抽取四次,求第一、第二次取得次品且第三、第四次取得正品的概率．

解：设事件Ai表示“第i次取得次品”（i?1,2,3,4），则所求的概率为

P(A1A2A3A4)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)

?310?29?78?67?120

14．一仓库中有10箱同种规格的产品,其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱、

2箱,三厂产品的次品率依次为0.1,0.2,0.3,从这10箱中任取 一箱,再从这箱3箱、

中任取一件产品,求取得正品的概率．

解：设事件A1,A2,A3分别表示“产品是甲，乙，丙厂生产的”，事件B表示“产品是正品”，显然，事件A1,A2,A3构成一个完备事件组，且

P(A1)?510?0.5,P(A2)?310?0.3,P(A3)?210?0.2

P(B|A1)?1?0.1?0.9,P(B|A2)?1?0.2?0.8,P(B|A3)?1?0.3?0.7由全概率公式得

3P(B)??P(A)P(B|A)?0.5?0.9?0.3?0.8?0.2?0.7?0.83

iii?115．甲、乙、丙三门高炮同时独立地各向敌机发射一枚炮弹,它们命中敌机的概率都是0.2.飞机被击中1弹而坠毁的概率为0.1,被击中2弹而坠毁的概率为0.5,被击中3弹必定坠毁.

（1）求飞机坠毁的概率;

（2）已知飞机已经坠毁,试求它在坠毁前只被命中1弹的概率.

解：设事件Ai表示“飞机被击中i弹而坠毁”(i?1,2,3)，事件B表示“飞机坠毁”，显然，事件A1,A2,A3构成一个完备事件组，由二项概率公式计算得

3

P(A1)?C3(0.2)(0.8)112?0.384,P(A2)?C3(0.2)(0.8)?0.096,P(A3)?C3(0.2)?0.00822133 P(B|A1)?0.1,P(B|A2)?0.5,P(B|A3)?1

（1）由全概率公式得

P(B)??P(A)P(B|A)?0.384?0.1?0.096?0.5?0.008?1?0.0944

iii?13（2）由贝叶斯公式得

P(A1|B)?P(A1)P(B|A1)3?0.384?0.10.0944?0.407

?P(A)P(B|A)iii?116．设甲袋中装有5个红球,4个白球;乙袋中装有4个红球,5个白球.先从甲袋中任取2个球放入乙袋中,然后从乙袋中任取一个球,求取到是白球的概率.

解：设事件Ai表示“从甲袋取出的2个球中有i个白球”(i?0,1,2)，事件B表示“从乙袋中取出的一个球是白球”，显然，事件A1,A2,A3构成一个完备事件组，且P(Ai)?C4C5C229i2?i，P(B|Ai)?5?i112，(i?0,1,2)，由全概率公式得

i2?iP(B)??P(Ai?0)P(B|Ai)?i?i?0C4C5C29?5?i11?5399?0.5354

17．已知男子有5%是色盲患者,女子有0.25%是色盲患者.现在从男女人数相等的人群中随机地挑选一人,恰好是色盲患者,问此人是男性的概率是多少?

解：设事件A表示“此人是男性”，事件B表示“此人是色盲患者”，显然，事件A,A构成一个完备事件组，且

P(A)?P(A)?0.5，P(B|A)?5%,P(B|A)?0.25%

由贝叶斯公式得

P(A|B)?P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)?0.5?5%0.5?5%?0.5?0.25%?2021?0.9524

18．设机器正常时生产合格品的概率为98%,当机器发生故障时生产合格品的概率为30%,而机器正常（即不发生故障）的概率为95%.某天,工人使用该机器生产的第一件产品是合格品,求机器是正常的概率.

解：设事件A表示“该机器正常”，事件B表示“产品是合格品”，显然，事件A,A构成一个完备事件组，且

4

P(A)?95%,P(A)?1?P(A)?5%,P(B|A)?98%,P(B|A)?30%

由贝叶斯公式得

P(A|B)?P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)?95%?98?%?98%?5%?30%?0.984

19．三人独立地去破译一个密码,他们能够译出的概率分别是,,译出的概率是多少?

111534,问能将密码

解：设事件A,B,C分别表示“第一人，第二人，第三人破译出密码”，显然事件A,B,C相互独立，且P(A)?15,P(B)?13,P(C)?1514，则所求的概率为

13)(1?14)?35P(A?B?C)?1?P(A)P(B)P(C)?1?(1?)(1?

20．加工某一零件共需经过四道工序,设第一、二、三、四道工序的次品率分别是0.02,0.03,0.05和0.03.假设各道工序是互不影响的,求加工出来的零件的次品率.

解：设事件Ai表示“第i道工序加工出次品”(i?1,2,3,4)，显然事件

A1,A2,A3,A4相互独立，且P(A1)?0.02,P(A2)?0.03,P(A3)?0.05,P(A4)?0.03，

则所求的概率为

P(A1?A2?A3?A4)?1?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)

?1?(1?0.02)(1?0.03)(1?0.05)(1?0.03)?0.124

21．设第一个盒子里装有3个蓝球,2个绿球,2个白球;第二个盒子里装有2个蓝球,3个绿球,4个白球.现在独立地分别从两个盒子里各取一个球.

（1）求至少有一个蓝球的概率; （2）求有一个蓝球一个白球的概率;

（3）已知至少有一个蓝球,求有一个蓝球一个白球的概率.

解：设事件A1,A2表示“从第一个盒子里取出的球是篮球，白球”，事件B1,B2表示“从第二个盒子里取出的球是篮球，白球”，显然事件Ai与Bj相互独立

(i?1,2;j?1,2)，且P(A1)?37,P(A2)?27,P(B1)?29,P(B2)?49，则所求的概率为

5

（1）P(A1?B1)?1?P(A1)P(B1)?1?(1?)(1?)?793259?；

49?27?29?1663（2）P(A1B2?A2B1)?P(A1)P(B2)?P(A2)P(B1)?（3）P[(A1B2?A2B1)|(A1?B1)]?37；

P[(A1B2?A2B1)(A1?B1)]P(A1?B1)P(A1B2?A2B1)P(A1?B1)16?5639

1635??

22．设一系统由三个元件联结而成（如图1?5）,各个元件独立地工作,且每个元件能正常工作的概率均为p(0?p?1).求系统能正常工作的概率.

1

2 3 图1?5 解：设事件Ai表示“第i个元件正常工作”(i?1,2,3)，事件B表示“该系统正常工作”，显然，事件A1,A2,A3相互独立，且P(Ai)?p，则所求的概率为

P(B)?P[(A1?A2)A3]?P(A1A3?A2A3)?P(A1A3)?P(A2A3)?P(A1A2A3)

?P(A1)P(A3)?P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?2p?p23

24．一批产品中有20%的次品,进行放回抽样检查,共取5件样品.计算：

（1）这5件样品中恰有2件次品的概率; （2）这5件样品中最多有2件次品的概率.

解：设事件A表示“该样品是次品”，显然，这是一个伯努利概型，其中

n?5,P(A)?20%,P(A)?80%，由二项概率公式有

（1）P5(2)?C52(20%)2(80%)3?0.2048

22（2）?P5(k)?k?0?Ck?0k5(20%)(80%)k5?k?0.942

6

习题二

2.离散型随机变量X的概率函数为： （1）P(X?i)?a2i,i?1,2,?,100; （2）P(X?i)?2ai,i?1,2,?, 分别求（1）、（2）中a的值。

100100解：（1）?P(X?i)?i?1100??i?1ia2?i2a(1?21?2100)?1，解得a?12(2100?1)；

（2）?P(X?i)?i?1?i?12a?2a1?a?1，解得a?13．

p3.对某一目标进行射击，直到击中为止，若每次射击命中率为概率分布。

，求射击次数的

解：设随机变量X表示“直接击中目标时的射击次数”，显然，X可取1,2,?，故X的概率分布为：P(X?k)?p(1?p)k?1,k?1,2,?

4.一大楼装有5个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻t，每个设备被使用的概率为0.1，且各个设备的使用是相互独立的。求在同一时刻被使用的设备数的概率分布，并求在同一时刻： （1）恰有2个设备被使用的概率； （2）至少有3个设备被使用的概率； （3）最多有3个设备被使用的概率； （4）至少有1个设备被使用的概率。

解：设随机变量X表示“在同一时刻被使用的设备数”，显然，X~B(n,p)，其中n?5,p?0.1，故X的概率分布为

P5(k)?P(X?k)?C5(0.1)(0.9)kk5?k,k?0,1,2,?,5

（1）恰有2个设备被使用的概率为

P5(2)?C5(0.1)(0.9)?0.0729223

（2）至少有3个设备被使用的概率为

7

555?Pk?3(k)??Ck?3k5(0.1)(0.9)k5?k?0.0086

（3）最多有3个设备被使用的概率为

335?Pk?0(k)??Ck?0k5(0.1)(0.9)k5?k?0.9995

（4）至少有1个设备被使用的概率为

5?Pk?1(k)?1?P5(0)?1?(0.9)?0.409555

7. 设随机变量X~B(n,p)，当x为何值时，概率P(X?x)取得最大值？

解：因概率P(X?x)取得最大值，则

?Cnxpx(1?p)n?x?Cnx?1px?1(1?p)n?x?1?P(X?x)?P(X?x?1)，即?xx?n?xx?1x?1n?x?1?Cnp(1?p)?P(X?x)?P(X?x?1)?Cnp(1?p)

即np?p?1?x?np?p，故x????np?p?1及np?p，当np?p是整数[np?p];，当np?p不是整数.

8.设随机变量X的分布函数为

?0?1??5??3F(x)???10?1?2???1x??5?5?x??2?2?x?0 0?x?2x?2求：（1）X的概率分布。

（2）概率P(X??3), P(|X|?3)。

解：（1）依题可知，随机变量X可取?5,?2,0,2，则X的概率分布为

X ?5 15?2 0 152 4545PX(xi) 110 12（2）P(X??3)?P(X??2)?P(X?0)?P(X?2)?P(X?3)?P(X??2)?P(X?0)?P(X?2)?

8

9.设随机变量X的概率密度为

?1xx?0?2e??10?x? 2 f(x)???4?0x?2??求X的分布函数。

解：随机变量X的分布函数为

????0f(t)dt??????0??????12t?1212x??edttF(x)??x??edt?edt?t?x02?0?1x?2e，x?0;，x?0;?1x?1dt，0?x?2;??，0?x?2; 4?24，2?x.，2?x.1?1dt?4?10.设X的分布函数为

?0x?0?2F(x)??Ax0?x?1

?1x?1?求：（1）系数A；（2）X的概率密度；（3）概率P(0.5?X?0.8)。

解：（1）由于F(x)是连续函数，有limF(x)?F(1)?1，而

x?1F(1?0)?lim?Axx?12?A，F(1?0)?lim?1?1，故A?1；

x?10?x?1;?2x，?（2）X~f(x)?F(x)??

0，其它.?（3）P(0.5?X?0.8)?P(0.5?X?0.8)?F(0.8)?F(0.5)?0.39． 11.随机变量X的概率密度为f(x)?解：由于???A1?xA22，求系数A及X的分布函数。

dx?Aarctanx|????A?1，解得A?????f(x)dx?1，有???1??1?x?；

随机变量X的分布函数为

F(x)??x??f(t)dt??x1???(1?t)2dt?1?arctant|???x1?arctanx?12

?c?e??x12.已知X的概率密度为f(x)???0x?ax?a，??0，求常数c及

9

P(a?1?X?a?1)．

解：由于?????f(x)dx?1，有???ac?e??xdx??ce??x|a?ce????a?1，解得c?e???a；

P(a?1?X?a?1)??a?1a?1f(x)dx??a?1a?e?(a?x)dx??e?(a?x)|a?1?ea?1．

?0?2?x13.随机变量X的分布函数为F(x)???25?1?x?00?x?5 求P(3?X?6)。 x?5 解：P(3?X?6)?P(3?X?6)?F(6)?F(3)?1?3225?1625

14.某种电子元件的使用寿命X（单位：h）的概率密度为

?100?f(x)??x2?0?x?100x?100

求在150h内：

（1）3个电子元件中没有1个损坏的概率； （2）3个电子元件中只有1个损坏的概率； （3）3个电子元件全损坏的概率。

解：设随机变量Y表示“在150h内，3个电子元件中损坏的元件数”，显然，

Y~B(n,p)，其中n?3,p?P(X?150)?x3128个损坏的概率为：P3(0)?C30()0()3?；

3327??100150150?f(x)dx??100x2dx??100|100?1501，

（1）3个电子元件中没有1

113?1()()?（2）3个电子元件中只有1个损坏的概率为：P3(1)?C3123493；

（3）3个电子元件全损坏的概率为：P3(3)?C33()3()0?3312127．

15.一个袋内装有5个白球，3个红球。第一次从袋内任意取一个球，不放回，第二次又从袋内任意取两个球，Xi表示第i次取到的白球数（i?1,2）。求（1）

(X1,X2)的联合概率分布及边缘概率分布；（2）P(X1?0,X2?0)，P(X1?X2)。

解：（1）依题可知，随机变量X1可取0,1，随机变量X2可取0,1,2，而

p(x,y)?C5C38x1?x?C5?xC2?xC72y2?y （x?0,1;y?0,1,2）

10

则(X1,X2)的联合概率分布，X1与X2的边缘概率分布分别为

X 2X1 0 1565561 52851415282 528528514514PX1(xi) 0 3858 1 PX2(yj) 3281 （2）P(X1?0,X2?0)?p(0,1)?p(0,2)?P(X1?X2)?p(0,0)?p(1,1)?38

16.设

X与Y相互独立，证明：对任意实数x1,x2,y1,y2(x1?x2;y1?y2)，事件

相互独立。

(x1?X?x2)与事件(y1?Y?y2)解：因X与Y相互独立，则F(x,y)?FX(x)FY(y)，(x,y?R)，而

P(x1?X?x2,y1?Y?y2)?F(x2,y2)?F(x1,y2)?F(x2,y1)?F(x1,y1) ?FX(x2)FY(y2)?FX(x1)FY(y2)?FX(x2)FY(y1)?FX(x1)FY(y1) ?[FX(x2)?FX(x1)][FY(y2)?FY(y1)]?P(x1?X?x2)P(y1?Y?y2)

故事件(x1?X?x2)与事件(y1?Y?y2)相互独立。 17.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为

?x?y)0?x?2,?2y??2k(6f(x,y)? ?0其它?求：（1）常数k；（2）P(X?1,Y?3)；（3）P(X?1.5)；（4）P(X?Y?4)。

解：（1）由于??????2?4????f(x,y)dxdy?1，有?2kdx?(6?x?y)dy

0224?202k[6y?xy?12y]2dx??2014k(3?x)dx?4k(3x?312x)|0?16k?1，解得k?322116；

（2）P(X?1,Y?3)???????f(x,y)dxdy?18?10dx?(6?x?y)dy2

11

?1?8110[6y?xy?12y]2dx???231?8110(72?x)dx?18171213(x?x)|0?822842；

（3）P(X?1.5)??????1.5??2f(x,y)dxdy?4?1.50dx?(6?x?y)dy14(3x?2

1.5?81161.50[6y?xy?121y]2dx?2?411.50(3?x)dx?112x)|0?122227324?x；

（4）P(X?Y?4)???80dx?4?x2(6?x?y)dy?(32?80[6y?xy?2y]2dx?20(x?8x?12)dx?21163x?4x?12x)|0?23．

18.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为

?1?2f(x,y)???R?0?x?y?x?y?2222

RR2

2则称(X,Y)在圆域{(x,y)|x2?y2?R2}上服从均匀分布。试判断X与Y是否相互独立。

解：X~fX(x)????????f(x,y)dy??????R?x22212R?x?R2?R?x?R,dy，，其它.

0?2????R2???2?同理，Y~fY(y)???R2??22?R?x?R,R?x，0，其它.

22?R?y?R,R?y，0，其它.

显然，f(x,y)?fX(x)fY(y)，故X与Y不独立。

12

习题三

1．甲乙两台机器一天中出现次品的概率函数分别为

X 0 0.4 1 0.3 2 0.2 3 0.1 pX(xi)

Y 0 0.3 1 0.5 2 0.2 3 0 pY(yi) 若两台机器的日产量相同，问哪台机器较好？

解：依题有，E(X)?0?0.4?1?0.3?2?0.2?3?0.1?1

E(Y)?0?0.3?1?0.5?2?0.2?3?0?0.9

显然，E(X)?E(Y)，即甲机器的平均次品数比乙机器的平均次品数大，故乙机器较好。

2．某种电子元件的寿命X（单位：h）的概率密度为

?a2xe?ax, f(x)???0,?x?0;x?0;

其中a?0为常数.求这种电子元件的平均寿命.

解：E(X)??????xf(x)dx?2?ax???0??x?axe(?2axe?ax2?axdx??2a??0axd(?e2xd(?e|0???2?ax) )

??axe??2xe|0|??????0?ax0)dx?????ax0?ax??0??(?2e)dx??e?ax2a

3. 设随机变量X的概率密度为

?kxa, f(x)???0,0?x?1;其它;

已知E(X)?0.75，求k及a的值.

解：依题可知，

k?ka?11?1kxadx?1???f(x)dx?1x|??10?a?1?k?3??????0a?1???????1??akka?21?a?2??xf(x)dx?0.75??x?kxdx?0.75?x|??0.750????0a?2?a?2

13

4. 设10只同种电器元件中有两只废品，装配仪器时，从这批元件中任取一只，若是废品，则扔掉重新任取一只，若仍是废品，则再扔掉重新任取一只.试求在取到正品之前已取出的废品数X的概率分布与数学期望.

解：依题可知，随机变量X可取0,1,2，而

P(X?0)?p(0)?P(X?2)?p(2)?810210??4519,P(X?1)?p(1)??1?145210?89?845,

故随机变量X的概率分布为

X 0 451 8452 145p(xi) 且

E(X)?0?45?1?845?2?145?29

5．设随机变量X~e(1)，试求E(X?e?2X).

x?0;?e?x，1解：依题可知，X~f(x)??，且E(X)?|??1?1，而

?x?0.?0，E(e?2X)??????e?2xf(x)dx????0e?2x?e?xdx????0e?3xdx??13e?3x|0???13

故

E(X?e?2X)?E(X)?E(e?2X)?1?13?43.

6．设随机变量X~P(?)，且有E[(X?1)(X?2)]?1，求?.

解：依题可知，E(X)??,D(X)??，则E(X2)?D(X)?[E(X)]2????2. 而

E[(X?1)(X?2)]?E(X2?3X?2)?E(X)?3E(X)?2?????3??2?1

22即?2?2??1?(??1)2?0，解得??1. 7. 掷n颗骰子，求点数之和的数学期望.

解：设随机变量

X表示“n颗骰子的点数之和”，Xi表示“第i颗骰子的点

14

数”(i?1,2,?,n)，显然，X1,X2,?,Xn相互独立，且X?分布为

1 166n?i?1Xi，而Xi的概率

X2 1616723 164 16nn5 16726 16p(xk) 显然，E(Xi)??k?1k??，故E(X)?E(?Xi)?i?1?i?1E(Xi)?n.

8．设随机变量X的概率密度为

?1?x,? f(x)??1?x,?0,??1?x?0;0?x?1; 其它;求D(X).

解：因E(X)??????xf(x)dx?x?22?00?1x(1?x)dx?122?310x(1?x)dx

1?(12????13x)|?1?(3x?213x)|0?0

E(X)?2?xf(x)dx?x?3?0?1x(1?x)dx?13x?3?110x(1?x)dx

162?(1314x)|?1?(164014x)|0?4

故D(X)?E(X2)?[E(X)]2?.

9.设随机变量X的概率密度函数为

f(x)????2(1?x),0,0?x?1;其它;

求E(X),D(X) 解：E(X)?E(X)?2?1022x(1?x)dx?1613

?102x(1?x)dx?22??6分，

1121?()?6318D(X)?E(X)?[E(X)]?

15

11．设随机变量X的分布函数为

0,??, F(x)??a?barcsixn?1,?x??1;?1?x?1; x?1;试确定常数a,b，并求E(X)及D(X).

解：因F(x)为连续函数，则limF(x)?F(?1)?0，limF(x)?F(1)?1，即

x??1x?11?a???a?barcsin(?1)?02 ???1?a?barcsin(1)?1?b????0，x??1;1?，?1?x?1;?11?则F(x)???arcsinx， ?1?x?1;，X~f(x)?F?(x)???1?x2，其它.??2?0，x?1.?1?E(X)??????xf(x)dx??1x?1?1?x2dx?0

E(X)?2?????xf(x)dx?2?1x22?1dx?2?1?x2??21x220dx

1?x2??2?2??1(1?x)?11?x220dx???1?101?xdx?12??111?x20dx

??14???1?22?arcsinx|0?12

所以，D(X)?E(X2)?[E(X)]2?.

习题四

1.设X~N(5,22)，求下列概率

（1）P(2?X?5);(2)P(X?2);(3)P(X?3);(4)P(?3?X?9).

解：（1）P(2?X?5)?P(2?52?X?52?5?52)?P(?1.5?X?52?0)

??(0)??(?1.5)??(0)??(1.5)?1?0.5?0.9332?1?0.4332（2）P(X?2)?P(?2?X?2)?P(?P(?3.5?X?52?2?52?X?52?2?52)

??1.5)??(?1.5)??(?3.5)

16

??(3.5)??(1.5)?0.99977?0.9332?0.0666

（3）P(X?3)?P(X?52（4）P(?3?X?9)?P(2?3?52?3?5)?P(X?52???1)?1??(?1)??(1)?0.8413)?P(?4?X?52?2)

?X?529?52??(2)??(?4)??(2)??(4)?1?0.9772?0.999968?1?0.9772

2．已知某次测试的成绩X~N(73,?2)，95分以上的同学占2.28%.求 （1）介于80分与90分之间的同学的比例； （2）小于60分的同学的比例.

解：因P(X?95)?P(即?(22X?73?)?0.9772，查表得

?22?95?73?)?1??(95?73?)?2.28%?0.0228

?2?2，则??11，故X~N(73,11).

（1）P(80?X?90)?P(80?7311?X?7311?90?7311)?P(711?X?7311?1711)

??(1.55)??(0.64)?0.9394?0.7389?0.2005

（2）P(X?60)?P(X?7311?60?7311)?P(X?7311??1311)??(?1.18) ?1??(1.18)?1?0.881?0.119

3．已知随机变量X~N(2,?2)，且P(X?3?1)?0.44，求P(X?2?2).

解：因P(X?3?1)?P(2?X?4)?P(??(222?2??X?2??4?2?)

?)??(0)?0.44

即?()?0.44??(0)?0.94，则

?P(X?2?2)?P(X?2?2)?2?2?(2)?2?2?0.94?0.12???

4. 已知随机变量X~N(?,?2)，且

P(X??1)?P(X?3)??(?1) 求?,?.

解：依题有

P(X??1)?P(

X?????1???)??(?1???)??(?1)

17

P(X?3)?P(X????3???)?1??(3???)??(?3???)??(?1)

?1?????1由此可得，?，解得??1,??2.

3????1??6.设随机变量X~N(0,1)，求E(X2).

解：因E(X)?0,D(X)?1，则E(X2)?D(X)?[E(X)]2?1.

11．一加法器同时收到48个噪声电压Xi(i?1,2,?,48)，设它们是相互独立的随

48机变量，且都在区间[0,10]上服从均匀分布，记X?0?102?i?1Xi，求P(X?180).

2解：依题可知，??E(Xi)?同分布中心极限定理得

?5,?2?D(Xi)?(10?0)12?253，由独立

4848P(X?180)?P(?Xi?180)?P(i?1?i?1Xi?n?n??180?n?n?)

?1??(180?48?548?253)?1??(?3)??(3)?0.99865

12. 一部件包括100个部分，每部分的长度是一个随机变量，它们相互独立，且服从同一分布，其数学期望为2mm，均方差为0.05mm.规定总长度200mm误差在1mm内算合格品，试求产品合格的概率.

解：设随机变量Xi表示“第i个部分的长度”，i?1,2,?,100.

100则X1,X2,?,X100相互独立，??E(Xi)?2,??D(Xi)?0.05且X??i?1Xi表示“该部件的总长度”， 由独立同分布中心极限定理得

P(X?n??0.1)?P(X?n?n??1n?)?2?(1100?0.05)?1

?2?(2)?1?2?0.9772?1?0.9554

13. 掷硬币900次，试求：

18

（1）至少出现正面480次的概率；

（2）出现正面在420次到480次之间的概率.

解：设随机变量

X~B(900,12),np?450,X表示“掷900次硬币中出现正面的次数”，则

np(1?p)?15?，由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理得

)?1??(2)?1?0.9772?0.0228（1）P(X?480)?P(X?45015480?45015

（2）P(420?X?480)?P(X?45015?3015)?2?(2)?1?2?0.9772?1?0.954414. 一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于3?的概率

p?13，若船舶遭受了90000次波浪冲击，问其中有29500~30500次纵摇角度大

于3?的概率是多少？

解：设随机变量X表示“在90000次波浪冲击中纵摇角大于3?的次数”，则X~B(90000,),np?30000,np(1?p)?1002，由棣莫弗—拉普拉斯中心极

31限定理得

P(29500?X?30500)?P(X?300001002?5001002)?2?(3.54)?1

?2?0.9998?1?0.9996

16.设有30个电子器件D1,D2,?,D30，它们的使用情况如下：D1损坏，D2接着使用；D2损坏，D3接着使用等等.设器件Di的使用寿命服从参数??0.1（单位：

h?1）的指数分布.令T为30个器件使用的总时数，问T超过350h的概率是多少？ 解：设随机变量Ti表示“第i个电子器件的使用寿命”，i?1,2,?,30.依题可

知，T1,T2,?,T30相互独立，Ti~e(0.1),??E(Ti)?301??10,?2?D(Ti)?1?2?100，

且T??T，由独立同分布中心极限定理得

ii?13030?Ti?1i?n??P(T?350)?P(?Ti?350)?P(i?1350?n?n?n?)?1??(350?30?101030)

19

?1??(0.91)?1?0.8186?0.1814

习题六

?(??1)x?1．设总体X的概率密度为f(x;?)??0?X1,X2, ?,Xn为来自总体X0?x?1其它，其中???1，

的样本，求参数?的矩估计量。

解：总体的一阶原点矩为v1?E(X)?而样本的一阶原点矩为A1???1??21n?????xf(x;?)dx??10(??1)x??1dx???1??2，

?ni?1Xi?X，用样本的一阶原点矩估计总体的一阶

原点矩，即有

?X，由此得?的矩估计量为???2X?11?X.

3．设总体X~U(0,?)，现从该总体中抽取容量为10的样本，样本观测值为：

0.5，1.3，0.6，1.7，2.2，1.2，0.8，1.5，2.0，1.6

试求参数?的矩估计值。

解：总体的一阶原点矩为v1?E(X)?A1?1n?2，而样本的一阶原点矩为

?2?X，

?ni?1Xi?X，用样本的一阶原点矩估计总体的一阶原点矩，即有

由此得?的矩估计量为???2X，其矩估计值为

???2x?2?110(0.5?1.3?0.6?1.7?2.2?1.2?0.8?1.5?2.0?1.6)?2.68

6．设x1,x2,?,xn为来自总体X的一组样本观测值，求下列总体概率密度中?的最大似然估计值。

??x??1（1）f(x;?)???00?x?1其它?（??0）；

（2）

??1??x????xef(x;?)??0??x?0其它（?已知）；

（3）

?x?x22??ef(x;?)??2??0?2x?0x?0

20

解：（1）似然函数为

nL(?)??i?1?n??10?xi?1(i?1,2,?,n)???xi， f(xi;?)??i?1，其它?0?n因为0不是L(?)的最大值，考虑L(?)???xi??1,0?xi?1(i?1,2,?,n)

i?1n两边取对数，得 lnL?dlnLd?n?[ln?i?1?(??1)lnxi]

解方程

??(?i?11??lnxi)?0，即

nn???lnxi?1i?0

解得????nn，即为?的最大似然估计值。

i?lnxi?1（2）似然函数为

nL(?)??i?1??n??1??xxi?0(i?1,2,?,n)????xiei，f(xi;?)??i?1

，其它?0?n因为0不是L(?)的最大值，考虑L(?)????xi??1e??x,xi?0(i?1,2,?,n)

i?i?1n两边取对数，得 lnL?dlnLd?n?[ln?i?1?ln??(??1)lnxi??xi]

?解方程

??(?i?11?xi)?0?，即

nn???xi?1?i?0

解得???nn，即为?的最大似然估计值。

?i?xi?1（3）似然函数为

nL(?)??i?1?nx?xi2ixi?0(i?1,2,?,n)2?，?ef(xi;?)????2 i?1，其它?0?2 21

n因为0不是L(?)的最大值，考虑L(?)?n??i?1xi2e?xi2?22,xi?0(i?1,2,?,n)

两边取对数，得 lnL?dlnLd?nn?(lni?1xi?2ln??xi2?22)

解方程

??(??i?12?xi23?)?0，即?2n??1n?3?i?1xi?0

2解得????xi?12i2n，即为?的最大似然估计值。

8．若总体X服从参数为?的泊松分布，即

P(X?x)??xx!e??，x?1,2,?；??0

x1,x2,?,xn为样本观测值，求参数?的矩估计值和最大似然估计值。

解：（1）总体的一阶原点矩为v1?E(X)?? 而样本的一阶原点矩为A1?1nn?i?1Xi?X，用样本的一阶原点矩估计总体的

一阶原点矩，即有??1?X，由此得?的矩估计量为???X?1.

n（2）似然函数为L????n?i?1?exi??xi!

取对数lnL????解方程

?(xi?1iln????lnxi!)

dlnL(?)d?n??(?i?1xi?1)?0 得??1nix?ni?1?x

??X 所以，参数?的最大似然估计量为?15．设某种电子元件的使用寿命服从正态分布，任抽9个测得其寿命（单位：h）如下：

3540，4130，3210，3700，3650，2950，3670，3830，3810

试在以下两种条件下，求该批电子元件的平均寿命置信水平为99%的置信区间。

22

（1）已知总体的标准差??400小时；（2）总体的标准差未知。 解：（1）依题可知，n?9,1???99%,??0.01,??400，

x?1n?ni?1xi?19(3540?4130???3810)?3610

查标准正态分布表得u??u0.005?2.58，则

2?nu??24009?2.58?344

故该批电子元件的平均寿命置信水平为99%的置信区间为

(3610?344,3610?344)，即(3266,3954).

（2）依题可知，n?9,1???99%,??0.01，而

x?1n?ni?1xi?19(3540?4130???3810)?3610

s2?(x?n?1i?11ni?x)?121.5752

查t分布表得，t?(n?1)?t0.005(8)?3.36，则

2snt?(n?1)?2121.5759?3.36?390

故该批电子元件的平均寿命置信水平为99%的置信区间为

(3610?390,3610?390)，即(3220,4000).

18．某批牛奶中被混入了一种有害物质三聚氰胺。现从中随机抽取10盒进行检测，得到每公斤牛奶中三聚氰胺的含量如下（单位：毫克/公斤）：

0.86，1.53，1.57，1.81，0.99，1.09，1.29，1.78，1.29，1.58

假设这批牛奶中三聚氰胺的含量（单位：毫克/公斤）服从正态分布N(?,?2)，试求：

（1） 含量均值?的置信水平为90%的置信区间； （2）含量方差?2的置信水平为90%的置信区间。 解：（1）依题可知，n?10,1???90%,??0.1，而

23

x?1n?ni?1xi?110(0.86?1.53???1.58)?1.379

s2??(xn?1i?11ni?x)?0.10742

查t分布表得，t?(n?1)?t0.05(9)?1.833，则

2snt?(n?1)?20.107410?1.833?0.19

故该批电子元件的平均寿命置信水平为99%的置信区间为

(1.379?0.19,1.379?0.19)，即(1.189,1.569).

n（2）?(xi?x)2?(n?1)s2?9?0.1074?0.9666

i?12222(n?1)??0.05(9)?16.9,??(n?1)??0.95(9)?3.33，则该批电查?2分布表得，??21?2子元件的方差?2的置信水平为90%的置信区间为((0.057,0.291).

0.966616.9,0.96663.33)，即

19．在一批铜丝中，抽取9根，测得其抗拉强度为

578 582 574 568 596 572 570 784 578

设抗拉强度服从正态分布N(?,?2)，求?2的置信水平为95%的置信区间。

解：依题可知，n?9,1???95%,??0.05，而

x?1nix?ni?1?19(578?582???578)?578

n?(xi?1i?x)?(578?578)?(582?578)???(578?578)?5922222

2222查?2分布表得，??(n?1)??0.025(8)?17.5,??(n?1)??0.975(8)?2.18，则该批

21?2钢丝的方差?2的置信水平为95%的置信区间为(

59217.52.18,592)，即(33.83,271.56).

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