2019版高考数学江苏（理）考前三个月考前抢分必做训练：高考大题纵横练(1)

高考大题纵横练 高考大题纵横练(一)

π

1．已知函数f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在[0，]上的最大值为2，当把f(x)的图象上的所有点向右

2π7π

平移φ(0<φ<)个单位后，得到图象对应函数g(x)的图象关于直线x＝对称．

26(1)求函数g(x)的解析式；

(2)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知g(x)在y轴右侧的第一个零点为C，若c＝4，求△ABC的面积S的最大值． π

解 (1)由题意知，函数f(x)在区间[0，]上单调递增，

2∴2sin ∴

ωπ

＝2， 2

ωππ

＝2kπ＋，k∈Z， 24

1

得ω＝4k＋，k∈Z.

2

1

经验证当k＝0时满足题意，故求得ω＝，

21φ

∴g(x)＝2sin(x－)，

2217π1π

故×－φ＝kπ＋，k∈Z， 2622ππ∴φ＝－2kπ＋，k∈Z，又0<φ<，

62πxπ

∴φ＝.故g(x)＝2sin(－)．

6212xπ

(2)根据题意，得－＝kπ，k∈Z，

212ππ

∴x＝2kπ＋，k∈Z，∴C＝.

66π

又c＝4，得16＝a2＋b2－2abcos ，

6∴a2＋b2＝16＋3ab≥2ab， ∴ab≤32＋163，

11

∴S＝absin C＝ab≤8＋43，

24∴S的最大值为8＋43.

2．四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝22，SB＝SC＝3.

(1)设平面SCD与平面SAB的交线为l，求证：l∥AB； (2)求证：SA⊥BC；

(3)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值． (1)证明 ∵底面ABCD为平行四边形，∴AB∥CD. ∵AB?平面SCD，CD?平面SCD， ∴AB∥平面SCD，

又∵平面SCD与平面SAB的交线为l， ∴l∥AB. (2)证明 连结AC.

∵∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝22， 由余弦定理得AC＝2， ∴AC＝AB.

取BC中点G，连结SG，AG，则AG⊥BC. ∵SB＝SC，∴SG⊥BC，

∵SG∩AG＝G，∴BC⊥平面SAG， ∴BC⊥SA.

(3)解 如图，以射线OA为x轴，以射线OB为y轴，以射线OS为z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系O－xyz，

则A(2，0,0)，B(0，2，0)，S(0,0,1)，D(2，－22，0)． →

∴SD＝(2，－22，0)－(0,0,1)＝(2，－22，－1)， →

SA＝(2，0,0)－(0,0,1)＝(2，0，－1)， →

BA＝(2，0,0)－(0，2，0)＝(2，－2，0)． 设平面SAB法向量为n＝(x，y，z)， →?SA＝2x－z＝0，?n·有?

→?BA＝2x－2y＝0，?n·

令x＝1，则y＝1，z＝2，n＝(1,1，2)， →2－22－2n·SD22→

cos〈n，SD〉＝ ＝＝－.

11→2·11|n|·|SD|∴直线SD与平面SAB所成角的正弦值为

22. 11

3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n(n∈N*)，数列{an}满足an＝4log2bn＋3(n∈N*)． (1)求an，bn；

(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn. 解 (1)由Sn＝2n2＋n，得a1＝S1＝3； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1. 又a1＝3也适合上式． 所以an＝4n－1，n∈N*，

由4n－1＝an＝4log2bn＋3，得bn＝2n－1，n∈N*. (2)由(1)知anbn＝(4n－1)2n－1，n∈N*.

所以Tn＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n－1)2n－1， 所以2Tn＝3×2＋7×22＋…＋(4n－5)2n－1＋(4n－1)2n，

所以2Tn－Tn＝(4n－1)2n－[3＋4(2＋22＋…＋2n－1)] ＝(4n－5)2n＋5.

故Tn＝(4n－5)2n＋5，n∈N*.

4．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐1

的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．

2(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的概率分布； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？

(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比．分数没有增加反而减少了．请运用概率与统计的相关知识分析分数减少的原因． 解 (1)X可能的取值为10,20,100，－200. 根据题意，有

11123

P(X＝10)＝C13×()×(1－)＝， 22812113P(X＝20)＝C23×()×(1－)＝， 22813101P(X＝100)＝C33×()×(1－)＝， 22810131P(X＝－200)＝C03×()×(1－)＝. 228所以X的概率分布为

X P

(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)1＝. 8

所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为 11511

1－P(A1A2A3)＝1－()3＝1－＝.

8512512(3)X的均值为

10 3 820 3 8100 1 8－200 1 833115

E(X)＝10×＋20×＋100×－200×＝－. 88884这表明获得分数X的均值为负，

因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．

x2y2

5．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B，C是椭圆2＋2＝1(a>b>0)上不同的三点，

ab32

A(32，)，B(－3，－3)，C在第三象限，线段BC的中点在直线OA上．

2

(1)求椭圆的标准方程； (2)求点C的坐标；

→→

(3)设动点P在椭圆上(异于点A，B，C)且直线PB，PC分别交直线OA于M，N两点，证明OM·ON为定值并求出该定值． 9

182

2＋2＝1，

解 (1)由已知，得ab

99

＋＝1，a2b2?????

2

?a?＝27，解得? 272

??b＝2.

x2y2

∴椭圆的标准方程为＋＝1.

2727

2

m－3n－3

(2)设点C(m，n)(m<0，n<0)，则BC中点为(，)．

22由已知，求得直线OA的方程为x－2y＝0， 从而m＝2n－3.①

又∵点C在椭圆上，∴m2＋2n2＝27.② 由①②，解得n＝3(舍)，n＝－1，从而m＝－5.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/xx1d.html