2013年高考数列练习题及答案（理科）

2013年全国各地高考试题汇编 (理科) 1.（本小题满分12分）(2013湖北.理) 已知等比数列?an?满足：a2?a3?10,a1a2a3?125. （I）求数列?an?的通项公式； （II）是否存在正整数m,使得存在，说明理由. 2．（本小题满分16分）(2013江苏卷)

设{an}是首项为a，公差为d的等差数列(d?0)，Sn是其前n项和．记

bn?nSn， n2?cn?N*，其中c为实数．

111??????????1?若存在,求m的最小值;若不a1a2an（1）若c?0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk?n2Sk（k,n?N*）； （2）若{bn}是等差数列，证明：c?0．

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3.(本题满分14分)(2013浙江.理)

在公差为d的等差数列{an}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列. （Ⅰ）求d，an；

（Ⅱ) 若d<0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an| .

4. (本小题满分12分) (2013陕西.理) 设{an}是公比为q的等比数列. (Ⅰ) 推导{an}的前n项和公式;

(Ⅱ) 设q?1, 证明数列{an?1}不是等比数列.

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6.（本小题满分13分）(2013安徽.理) x2x2xn设函数fn(x)??1?x?2?2???2(x?R,n?Nn)，证明： 23n2（Ⅰ）对每个n?N*，存在唯一的xn?[,1]，满足fn(xn)?0； 3（Ⅱ）对任意p?N*，由（Ⅰ）中xn构成的数列?xn?满足0?xn?xn?p?

8.（本小题满分14分）(2013广东.理) 设数列?an?的前n项和为Sn，已知a1?1，（1）求a2的值

（2）求数列?an?的通项公式an (3)证明：对一切正整数n，有

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1 n2Sn12?an?1?n2?n?,(n?N*). n331117?????. a1a2an411．（本小题满分12分）(2013江西.理)

正项数列?an?的前n项和Sn满足： （1） 求数列?an?的通项公式an； （2） 令bn?n?1?bT，数列的前项和为．证明：对于任意，n?Nn??nn22(n?2)an都有T5n?64.

23. (本小题满分14分) (2013天津.理)

已知首项为32的等比数列{an}不是递减数列, 其前n项和为Sn(n?N*), S3?a3,S5?a5,S4?a4成等差数列.

(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式; (Ⅱ) 设Tn?S1n?S(n?N*), 求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值 n

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且

13.（本小题共13分）(2013北京.理)

已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第

n项之后各项an?1,an?2,…的最小值记为Bn，dn?An?Bn．

（Ⅰ）若{an}为2,1,4,3,2,1,4,3,…，是一个周期为4的数列（即对任意n?N?，

an?4?an），写出d1,d2,d3,d4的值；

（Ⅱ）设d是非负整数，证明：dn??d(n?1,2,3,…)的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列；

（Ⅲ）证明：若a1?2，dn?1(n?1,2,3,…)，则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．

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15. (本小题满分12分) (2013全国卷.理) 设{an}是公比为q的等比数列. (Ⅰ) 推导{an}的前n项和公式;

(Ⅱ) 设q?1, 证明数列{an?1}不是等比数列.

20.（本小题满分12分）(2013四川.理)

在等差数列?an?中，a1?a3?8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列?an?的首项，公差及前n项和。

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1.（本小题满分12分）(2013湖北.理) 解(1) an?(2)若an?5n?1?3或an?(?5)?(?1)n?1 3?1?1315n?131?3,则??()n?1,故??是首项为,公比为的等比数列. an53533?an?31[1?()m]159193从而????[1?()m]??1 110310n?1an1?3m若an?(?5)?(?1)n?1,则?1?111???(?1)n?1,故??是首项为?,公比为?1的等比数列. an55?an??1?m11??(m?2k?1,k?N)?1 ??5从而?故?n?1ann?1an?0(m?2k,k?N?)?m综上,对任何正整数m,总有1?1 ?an?1nm故不存在正整数m,使得 111?????1成立. a1a2am2．（本小题满分16分）(2013江苏卷) 证：（1）若c?0，则an?a?(n?1)d，Sn?2n[(n?1)d?2a](n?1)d?2a，bn?．

22当b1，b2，b4成等比数列，b2?b1b4，

d?3d???2即：?a???a?a??，得：d?2ad，又d?0，故d?2a．

2?2???2由此：Sn?na，Snk?(nk)2a?n2k2a，n2Sk?n2k2a．

22故：Snk?nSk（k,n?N）．

*(n?1)d?2anS2（2）bn?2n?， 2n?cn?c(n?1)d?2a(n?1)d?2a(n?1)d?2an2?c?c222 ?2n?cn2

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(n?1)d?2a(n?1)d?2a2． (※) ??22n?cc若{bn}是等差数列，则bn?An?Bn型． 观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂，

(n?1)d?2a(n?1)d?2a(n?1)d?2a2故有：，即，而c?0?0， ?0222n?c故c?0．

c经检验，当c?0时{bn}是等差数列．

3.(本题满分14分)(2013浙江.理)

解.本题主要考查等差数列、等比数列的概念，等差数列通项公式、求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。

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（I）由题意得 a1·5a3＝(2a2+2)

2

即d－3d－4=0 故d=－1或d=4

所以an＝－n+11,n∈N*或an＝4n+6,n∈N*

（II）设数列{an}的前n项和为Sn.因为d<0，由(I)得d=－1, an＝－n+11。则 当n≤11时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|＝Sn＝?1n2?21n

22当n≥12时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|＝－Sn +2S11＝1n2?21n+110

22??1n2?21n,n?11?2综上所述，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|＝?2 1n2?21n?110,n?12??22

4. (本小题满分12分) (2013陕西.理)

【解析】(Ⅰ) 分两种情况讨论。

{an}是首项为a1的常数数列，所以Sn?a1?a1???a1?na1. ①当q?1时，数列②当q?1时，Sn?a1?a2???an?1?an?qSn?qa1?qa2???qan?1?qan. 上面两式错位相减:

（1-q)Sn?a1?(a2?qa1)?(a3?qa2)??(an?qan?1)?qan?a1?qan.

a1?qana1(1?qn)?Sn??.。

1-q1-q 8

?na1,?③综上，Sn??a1(1?qn)?1?q,?(Ⅱ) (用反证法)

(q?1)(q?1)

设{an}是公比q?1的等比数列, 假设数列{an?1}是等比数列.则 ①当?n?N，使得an?1?0成立，则{an?1}不是等比数列。

*an?1?1a1qn?1??恒为常数 ②当?n?N，使得an?1?0成立，则n?1an?1a1q?1*?a1qn?1?a1qn?1?1?当a1?0时,q?1。这与题目条件q≠1矛盾。

③综上两种情况，假设数列{an?1}是等比数列均不成立，所以当q?1时, 数列{an?1}不是等比数列。（证毕）

6.（本小题满分13分）(2013安徽.理)

xxn?1证明(1) 对每个n?N，当x?0时,fn?(x)?1?????0,

2n*故fn(x)在(0,??)上单调递增. 由于f1(1)?0,当n?2时,fn(1)?111?????0故fn(1)?0 22223n2()k2211n2k3又fn()??1???2????() 33k?2k34k?23n22()2[1?()n?1]11123????3???()n?1?0

234331?32所以存在唯一的xn?[,1],满足fn(xn)?0

3xn?1?fn(x), (2)当x?0时,fn?1(x)?fn(x)?2(n?1)故fn?1(xn)?fn(xn)?fn?1(xn?1)?0

由fn?1(x)在(0,??)上单调递增知,xn?1?xn,故?xn?为单调递减数列.

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*从而对任意p?N,xn?p?xn.

*对任意p?N,由于

2nxnxnfn(xn)??1?xn?2???2?0 …………①

2n2xn?pn?pxn?pfn?p(xn?p)??1?xn?p?22???(n?p)2?0……②

①-②并移项,利用0?xn?p?xn?1得

xn?xn?p??k?2nkkxn?p?xnk2?k?n?1?n?pkxn?pk2?k?n?1?n?pkxn?pk2

n?p11111??2?????

nn?pnk?n?1kk?n?1k(k?1)n?p因此对任意的p?N,都有0?xn?xn?p?8.（本小题满分14分）(2013广东.理)

解(Ⅰ) 依题意,2S1?a2?*1 n12?1?,又S1?a1?1,所以a2?4； 33 (Ⅱ) 当n?2时,2Sn?nan?1?132n?n2?n, 331232?n?1???n?1???n?1? 332Sn?1??n?1?an?122 两式相减得2an?nan?1??n?1?an??3n?3n?1???2n?1??

33 整理得

?n?1?an?nan?1?n?n?1?,即a?n?an?1,又a2?a1?1

n?1n21n?1?an? 故数列???是首项为

a1?1,公差为1的等差数列, 1an?1??n?1??1?n,所以an?n2. n1115717?1???； (Ⅲ) 当n?1时,?1?；当n?2时,?a1a2444a14所以 当n?3时,

11111?2???,此时 ann?n?1?nn?1n11111111?11??11?1??1?????1??2?2???2?1???????????????a1a2an434n4?23??34??n?1n?

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