初高中几何证明的一些技巧及经典试题含答案 初中学习方法

初高中几何证明技巧及经典试题与学习方法

证明两线段相等

1. 两全等三角形中对应边相等。

2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

*9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。

*10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。

11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。 *12.两圆的内（外）公切线的长相等。 13.等于同一线段的两条线段相等。 证明两个角相等

1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。

3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。

4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。 5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。

*6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

*7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 8.相似三角形的对应角相等。

*9.圆的内接四边形的外角等于内对角。 10.等于同一角的两个角相等。 证明两条直线互相垂直

1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。 3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。 4.邻补角的平分线互相垂直。

5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。 6.两条直线相交成直角则两直线垂直。

7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。 8.利用勾股定理的逆定理。 9.利用菱形的对角线互相垂直。

*10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。 *11.利用半圆上的圆周角是直角。 证明两直线平行

1.垂直于同一直线的各直线平行。

2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。

1

3.平行四边形的对边平行。

4.三角形的中位线平行于第三边。 5.梯形的中位线平行于两底。 6.平行于同一直线的两直线平行。 7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。 证明线段的和差倍分

1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。

2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。 3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。 4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。

5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）。 证明 角的和差倍分

1.与证明线段的和、差、倍、分思路相同。 2.利用角平分线的定义。

3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 证明线段不等

1.同一三角形中，大角对大边。 2.垂线段最短。

3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。 *5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。 6.全量大于它的任何一部分。 证明两角的不等

1.同一三角形中，大边对大角。

2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。

3.在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角也大。 *4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大。 5.全量大于它的任何一部分。 证明比例式或等积式

1.利用相似三角形对应线段成比例。 2.利用内外角平分线定理。 3.平行线截线段成比例。

4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。

*5.与圆有关的比例定理---相交弦定理、切割线定理及其推论。 6.利用比利式或等积式化得。 证明四点共圆

*1.对角互补的四边形的顶点共圆。 *2.外角等于内对角的四边形内接于圆。

*3.同底边等顶角的三角形的顶点共圆（顶角在底边的同侧）。 *4.同斜边的直角三角形的顶点共圆。 *5.到顶点距离相等的各点共圆

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知识归纳：

1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法：

（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；

（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；

（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。

3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。

一. 证明线段相等或角相等

两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。 例1. 已知：如图1所示，?ABC中，?C?90?，AC?BC，AD?DB，AE?CF。 求证：DE＝DF

3

AEDCF图1B 分析：由?ABC是等腰直角三角形可知，?A??B?45?，由D是AB中点，可考虑连结CD，易得CD?AD，?DCF?45?。从而不难发现?DCF??DAE 证明：连结CD

?AC?BC??A??B ??ACB?90?，AD?DB

?CD?BD?AD，?DCB??B??A?AE?CF，?A??DCB，AD?CD??ADE??CDF

?DE?DF 说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD，因为CD既是斜边上的中线，又是底边上的中线。本题亦可延长ED到G，使DG＝DE，连结BG，证?EFG是等腰直角三角形。 例2. 已知：如图2所示，AB＝CD，AD＝BC，AE＝CF。求证：∠E＝∠F EADBF图2C 证明：连结AC 在?ABC和?CDA中， ?AB?CD，BC?AD，AC?CA??ABC??CDA(SSS) ??B??D ?AB?CD，AE?CF?BE?DF 在?BCE和?DAF中，

4

?BE?DF????B??D?BC?DA? ??BCE??DAF(SAS)

??E??F 说明：利用三角形全等证明线段求角相等。常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意：

（1）制造的全等三角形应分别包括求证中一量； （2）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。

二. 证明直线平行或垂直 在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。 例3. 如图3所示，设BP、CQ是?ABC的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。求证：KH∥BC AQKBM图3HNPC 分析：由已知，BH平分∠ABC，又BH⊥AH，延长AH交BC于N，则BA＝BN，AH＝HN。同理，延长AK交BC于M，则CA＝CM，AK＝KM。从而由三角形的中位线定理，知KH∥BC。 证明：延长AH交BC于N，延长AK交BC于M ∵BH平分∠ABC ?∠ABH?∠NBH

又BH⊥AH ?∠AHB?∠NHB?90? BH＝BH

??ABH??NBH(ASA)?BA?BN，AH?HN

同理，CA＝CM，AK＝KM ?KH是?AMN的中位线 ?KH//MN 即KH//BC

说明：当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时，则此三角形必为等腰三角形。我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折（轴对称）而成一个等腰三角形。 例4. 已知：如图4所示，AB＝AC，∠A?90?，AE?BF，BD?DC。 求证：FD⊥ED AF123EBD图4C 5

证明一：连结AD

?AB?AC，BD?DC?∠1?∠2?90?，∠DAE?∠DAB ?∠BAC?90?，BD?DC

?BD?AD?∠B?∠DAB?∠DAE 在?ADE和?BDF中，

?AE?BF，∠B?∠DAE，AD?BD??ADE??BDF ??3??1

??3??2?90??FD?ED 说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助线。

证明二：如图5所示，延长ED到M，使DM＝ED，连结FE，FM，BM AFEBMDC图5?BD?DC?BDM??CDE，DM?DE??BDM??CDE?CE?BM，?C??CBM ?BM//AC??A?90???ABM?90???A?AB?AC，BF?AE?AF?CE?BM??AEF??BFM?FE?FM

?DM?DE?FD?ED

说明：证明两直线垂直的方法如下：

（1）首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，见本题证二。

（2）找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余。 （3）证明二直线的夹角等于90°。

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三. 证明一线段和的问题

（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法）

例5. 已知：如图6所示在?ABC中，?B?60?，∠BAC、∠BCA的角平分线AD、CE相交于O。 求证：AC＝AE＋CD BE15423ODAF图66C 分析：在AC上截取AF＝AE。易知?AEO??AFO，??1??2。由?B?60?，知?5??6?60?，?1?60?，?2??3?120?。??1??2??3??4?60?，得：

?FOC??DOC，?FC?DC 证明：在AC上截取AF＝AE ??BAD??CAD，AO?AO ??AEO??AFO?SAS?

??4??2 又?B?60?

??5??6?60???1?60???2??3?120?

??1??2??3??4?60???FOC??DOC(AAS)?FC?DC即AC?AE?CD

（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。（补短法） 例6. 已知：如图7所示，正方形ABCD中，F在DC上，E在BC上，?EAF?45?。 求证：EF＝BE＋DF A312DFG 分析：此题若仿照例1，将会遇到困难，不易利用正方形这一条件。不妨延长CB至G，使BG＝DF。

证明：延长CB至G，使BG＝DF

7 BE图7C

在正方形ABCD中，?ABG??D?90?，AB?AD

??ABG??ADF(SAS)?AG?AF，?1??3 又?EAF?45?

??2??3?45?

??2??1?45? 即∠GAE＝∠FAE

?GE?EF

?EF?BE?DF中考题：

如图8所示，已知?ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连结CE、DE。 求证：EC＝ED EFAB 证明：作DF//AC交BE于F ??ABC是正三角形 ??BFD是正三角形 又AE＝BD

C图8D ?AE?FD?BF

?BA?AF?EF 即EF＝AC

?AC//FD??EAC??EFD

??EAC??DFE(SAS)?EC?ED题型展示：

证明几何不等式： 例题：已知：如图9所示，?1??2，AB?AC。 求证：BD?DC A12BD图9CE 证明一：延长AC到E，使AE＝AB，连结DE 8

在?ADE和?ADB中，

?AE?AB，?2??1，AD?AD??ADE??ADB

?BD?DE，?E??B??DCE??B??DCE??E?DE?DC，?BD?DC

证明二：如图10所示，在AB上截取AF＝AC，连结DF A12FB 则易证?ADF??ADC 34D图10C ??3??4，DF?DC?BFD??3，?4??B ??BFD??B ?BD?DF?BD?DC说明：在有角平分线条件时，常以角平分线为轴翻折构造全等三角形，这是常用辅助线。 实战模拟： 1. 已知：如图11所示，?ABC中，?C?90?，D是AB上一点，DE⊥CD于D，交BC于E，且有AC?AD?CE。求证：DE?1CD 2CEAD图11B 2. 已知：如图12所示，在?ABC中，?A?2?B，CD是∠C的平分线。 求证：BC＝AC＋AD ADB图12C 3. 已知：如图13所示，过?ABC的顶点A，在∠A内任引一射线，过B、C作此射线的垂线BP和CQ。设M为BC的中点。

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求证：MP＝MQ AQBP图13 MC 4. ?ABC中，?BAC?90?，AD?BC于D，求证：AD?1?AB?AC?BC? 4【试题答案】 1. 证明：取CD的中点F，连结AF C41F3EBAD?AC?AD ?AF?CD ??AFC??CDE?90? 又?1??4?90?，?1??3?90? ??4??3 ?AC?CE ??ACF??CED(ASA)

?CF?ED1?DE?CD2 2. 分析：本题从已知和图形上看好象比较简单，但一时又不知如何下手，那么在证明一条线段等于两条线段之和时，我们经常采用“截长补短”的手法。“截长”即将长的线段截成两部分，证明这两部分分别和两条短线段相等；“补短”即将一条短线段延长出另一条短线段之长，证明其和等于长的线段。 EADB 证明：延长CA至E，使CE＝CB，连结ED 在?CBD和?CED中， C 10

?CB?CE????BCD??ECD?CD?CD???CBD??CED ??B??E

??BAC?2?B??BAC?2?E 又?BAC??ADE??E

??ADE??E，?AD?AE ?BC?CE?AC?AE?AC?AD 3. 证明：延长PM交CQ于R AQBPMRC ?CQ?AP，BP?AP ?BP//CQ ??PBM??RCM 又BM?CM，?BMP??CMR ??BPM??CRM ?PM?RM ?QM是Rt?QPR斜边上的中线 ?MP?MQ 4. 取BC中点E，连结AE AB DEC??BAC?90? ?2AE?BC?AD?BC，?AD?AE ?BC?2AE?2AD?AB?AC?BC ?2BC?AB?AC?BC?4AD?AB?AC?BC?AD?

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1?AB?AC?BC?4

初中生学习方法指导

第一讲 学习要有科学的方法

影响学生学习成绩好坏的因素很多，例如学习目的、学习态度、学习方法、先天遗传素质、后天身体状况、教师与家长教育水平高低以及教育方法是否得当，校园小环境与社会大气候的影响、原有知识基础好差以及智力、能力强弱等等。其中最重要的是两条：一是想学（目的态度）；二是会学（学习方法）。 可以说，所有学生在刚进校的时候，都是想学的。但是，一个班级几十个学生，同是那几个老师所教，使用统一课本，入学时基础差不多，过了一段时间，成绩就会出现差距。随着时间的推移，这种差距会越来越大，初二年级出现明显的两极分化就是典型的例证。什么原因呢？通过调查研究发现，虽然开始个个想学好，但是有的会学，有的不会学。会学的学生因学习得法而成绩好，成绩好又可以激发兴趣，增强信心，更加想学。越想学知识越增加，智力越发展，能力越提高，成绩越拔尖，形成良性循环。不会学习的学生，开始学习不得法而成绩暂时不好，如能及时总结教训，改进学法，变不会学习为会学习，经过一番努力是可以赶上去的。如果任其发展，不思改进，不作努力，成绩会越越来越差。当差距拉大到一定程度后，就不容易赶上了。那时就会对学习失去兴趣，不想学习。越不想学成绩越差，继而在思想上产生一种对自我能力的怀疑，认为自己不是学习的料子，对学习完全失去了信心，厌恶、害怕甚至拒绝学习。这种恶性循环一旦形成，必将成为学习上的失败者。分析这两种学生的发展过程，前者走的是：想学——会学——更想学的路线，后者走的是：想学——不会学——不想学的路线。两条路线起点相同，分歧点就在学习方法上。

由此可见，会不会学习，也就是学习方法是否科学，对广大青少年学生来说，确是至关重要的。

什么叫学习方法？就是学习时采用的手段、方式或途径。只要在学习，就必然采用某种方法：这种方法是科学的还是不科学的？是主动学习掌握的还是无意之中形成的？对促进学习成绩上升、学习能力提高，作用是大还是小？只是没有想过，或虽想过但没有认真注意和研究罢了。通过调查和观察，就会发现，中学生的学习过程和方式，是多种多样的。 上课前，有的学生对老师这堂课要讲的内容一无所知，坐等老师上课讲解，老师讲什么就听是什么，老师叫干什么就干什么，显得呆板被动，缺少学习的积极性和主动性。有的学生课前认真预习，听课时有的放矢，对预习发现的难点、重点和关键的地方细听详记、思考理解，当堂掌握，在学习中较好地发挥了主体作用。同是预习，方法也不一样。有的看起书来，象是看小说似的，不大容易发现问题，更难掌握教材的内在联系，即使发现什么问题，也不停下来问个为什么，不去追根求源搞清楚；有的看书时动手又动脑，把新课中的旧概念、旧知识查个水落石出，对新课中的问题能理解的就当时弄通，弄不通的就记下来，等上课时集中注意力听老师分析讲解。

课堂上，有的学生全神贯注，专心听讲；有的分心走神，瞌睡打盹。同是听课，有的象架录音机，全听全录；有的象个速记员，边听边记，记了一大本，问题一大堆；有的以听为主，边听边思考，有了问题记下来；有的干脆不记，只顾听讲；也有的边听讲边划书边思考。同样是思考，有的思考当堂内容，有的思考与本课相关的知识体系，有的思考教师的思路，有的拿自己的思路与教师的思路相比较。

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下课后，有的学生抢做作业，作业一完，万事大吉；有的先回忆复习课上讲的内容，然后看书整理笔记，把教材充分理解掌握了，才开始做作业。有的课上未听懂，下课也不问，随它去了，玩得天晕地黑。

同样，在看参考书、做习题、阶段总结、考前复习以及考后分析等其它环节上，也都存在着种种不同的做法。

以上是从每个具体学习环节上看的。如果从学习整体过程上看，也是形式多样，方法各异。有的先预习后上课；有的不预习就上课；有的只重视上课，课后抄抄作业就算；有的课上未听好，课后一头钻进作业堆里面；有的上课记笔记，下课对笔记，考试背笔记；也有的课前认真预习，课上专心听讲，课后及时整理，独立完成作业，按期做好阶段复习总结；还有的定有周密的学习计划，合理地安排时间，科学地进行预习、听课、作业、复习、总结，考试时胸有成竹，每考必胜……

以上方法是怎样来的呢？通过调查可知，来源与五个方面：（1）向别人学的；（2）自己摸索“悟”出来的；（3）同学之间研究切磋得来的；（4）老师断断续续指点的；（5）从某些书中受到启发的。不管从哪个方面得来的，难免是片面体会或“一孔之见”，往往属于经验型，带有片面性，缺乏系统性、科学性和适用性。需要教者帮助找到一种便于学生掌握和运用的学习方法。 科学的学习方法在哪儿呢？近几年，笔者共问卷调查了一万多名（8000名初中生，2000名高中生，540名中师生）成绩较好的学生，并分别邀请其中成绩拔尖、学习有法的同学开了几十次座谈会，让他们介绍学法，总结经验，探求规律。大家倾向一致的意见是：每天六节课中的新授课，都要按照 ：预习——上课——整理——作业这四个步骤组成的环节滚动一次。一个章节结束，都要进行系统复习总结这一步骤，使每课时的小环环环相扣，形成整体，不仅如此，他们在每个步骤上都有许多具体做法和严格要求，对可能出现的不同情况，也都有得力的措施。把这些做法、要求和措施集中起来，把前四个步骤称为环节，构成完成每一课时的学习不可缺少的四环，加上最后一个步骤，合称“四环一步”。按照这一过程去学习，并在学习过程中，按每一环节和步骤上的科学方法去做，就称为“四环一步”学习法。

如果从一个阶段或一个章节来看，教师在教几个课时之后，一般要按章节，按单元把所学内容联系起来复习总结一次，学生也往往要根据所学内容的知识结

构进行复习总结，使自己的知识前后衔接，融汇贯通，达到系统掌握之目的。

综上所述，学生学习过程应由每一课时的四大环节加上阶段系统复习总结这一必要步骤组成，“四环节”以上课为中心，每天必做；“一步”按章节，分单元进行。四环节一步骤节节相连，步步相通，构成了学习过程的有机整体。预习是起始环节。为上课扫清障碍，开辟道路，做好知识上的准备；上课是中心环节，既是预习的目的，又是对预习的检验，同时对下面几个环节起到关键作用；课后整理消化是中继环节，是上课的延续和加强，又为顺利做作业创造条件；独立完成作业是深化环节，既巩固前面的成果，又为阶段复习提供了典型材料；系统复习总结是贯通步骤，是对本阶段诸课时学习的回顾与总结、提高与升华，又为转入下一阶段学习奠定了基础。“四环一步”缺一不可，否则，就使学习过程中断，破坏学习的连贯性和方法的整体性。运用这一方法进行学习，符合中学生掌握知识的心理过程，又与教师教的过程相配合，相辅相成，浑为一体，符合教学活动的客观规律。

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