九年级下数学学案 - 图文

第二十六章 二次函数

26.1二次函数及其图象 26.1.1二次函数 温故互查【1】

1.若在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值， y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的 ，x叫做 。

（k?0)的函数是一次函数，当______?0时，它是 2. 形如y?___________（k?0)的函数是反比例函数。 函数；形如

3．用16m长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)

之间的函数关系式为 。 4.n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式_______________________．

5.用一根长为40cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积S与它的半径r之间的函数关系式是 。 6.观察上述函数函数关系有哪些共同之处？

。

设问导读【2】

阅读教材P2?3完成下列各题: 1. 完成例1.例2

归纳：一般地，形如 ，（ ）的函数为二次函数。其中x是自变量，a是__________，b是___________，c是_____________．

2（1）二次项系数a为什么不等于0？

答： 。 （2）一次项系数b和常数项c可以为0吗？

答： .

2233观察：①y?6x；②y??3x?5；③y＝200x2＋400x＋200；④y?x?2x；

a,b,c是常数，且a⑤

y?x2?12?3y?x?1?x??x；⑥

2．这六个式子中二次函数有 。（只

填序号）

1

自我检查【3】

2y??x?bx?3．当x＝2时，y＝3，则这个二次函数解析式1.二次函数

为 ．

2.若物体运动的路段s（米）与时间t（秒）之间的关系

2为s?5t?2t，则当t＝4秒时，该物体所经过的路程

为 。

巩固训练【4】

1.下列函数中：①y=－x2；②y=2x；③y=22+x2－x3；④m=3

2

－t－t是二次函数的是______(其中x、t为自变量). 2.下列各关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)

1A.y=8x2

2 B.y=x?1

12 C.y=x

D.y=a2x

3.函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数)是二次函数的条件是

A.a≠0，b≠0，c≠0 B.a<0，b≠0，c≠0 C.a>0，b≠0，c≠0 D.a≠0

拓展探究【5】

1.y?(m?1)xm2?m?3x?1 是二次函数，则m的值为______________．

2.已知函数y=(m2－m)x2+(m－1)x+m+1.

(1)若这个函数是一次函数，求m的值;

(2)若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？

2y?ax26.1.2.二次函数的图象

温故互查【1】

1.画一个函数图象的一般过程是① ；② ；③ 。

2.一次函数图象的形状是 ；反比例函数图象的形状是 3．当m 时，函数y?(m2?2m?3)x2?(m?2)x?m是二次函数；

2

34．函数y?(x2?1)的字变量x的取值范围是 ；

4设问导读【2】

1. 画二次函数y＝x2的图象．

列表： x ? －3 －2 －1 0 y＝? x2 在图（3）中描点，并连线 1 2 3 ? ? 10 987654321yx10987654321yy87654321O1234?4?3?2??11?2（3） xO1234?4?3?2??11 ?2xO1234?4?3?2??11?2（1） （2） 2.思考：图（1）和图（2）中的连线正确吗？为什么？连线中我们应该注意什么？

答： 2.归纳：

① 由图象可知二次函数y?x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，即抛出物体所经过的路线，所以这条曲线叫做 线； ②抛物线y?x2是轴对称图形，对称轴是 ； ③y?x2的图象开口_______；

④ 与 的交点叫做抛物线的顶点。抛物线y?x2的顶点坐标是 ；它是抛物线的最 点（填“高”或“低”），即当x=0时，y有最 值

等于0.

⑤在对称轴的左侧，图象从左往右呈 趋势，在对称轴的右侧，图象从左往右呈 趋势；即x<0时，y随x的增大而 ，x>0时，y随

x的增大而 。

自我检查【3】

3

1在图（4）中，画出函数y?x2，y?x2，y?2x2的图象．

解：列表：

x 1y?x2 2x ? ? －4 －3 －2 －1 -1.5 -0.5 0 1 2 3 4 ? ? 12? －2 －1 0 0.5 1 1.5 2 ? ?

y?2x2 ? y10987654321 12x，y?x2，y?2x2的图2象的形状都是 ；顶点都是__________；对称轴都是_________；二次项系数a_______0；开口都 ；顶点都是抛物线的最_________点（填“高”或“低”） ． 12 请在图（4）中画出函数y??x2，y??x2，

2归纳填空：抛物线y?xO12345?5?4?3?2??11?2?3?4?5?6?7?8?9?10（4） y??2x2的图象． 列表： x ? -4 -3 -2 -1 1y??x2 ? 2 x ? －3 －2 －1 0 0 1 1 2 3 4 … … 2 3 ? ? y??x2 x ? ? －2 -1.5 －1 -0.5 4

0 0.5 1 1.5 2 ? ? y??2x2 ?

1归纳填空：抛物线y??x2，y??x2，y??2x2的的图象的形状都是 ；2顶点都是__________；对称轴都是_________；二次项系数a_______0；开口都 ；顶点都是抛物线的最_________点（填“高”或“低”） ．

1．函数

y?32x7的图象顶点是__________，对称轴是________，开口向_______，

当x＝___________时，有最_________值是_________．

2y??6x2. 函数的图象顶点是__________，对称轴是________，开口向_______，

当x＝___________时，有最_________值是_________．

巩固训练【4】

1 .当a＞0时，在对称轴的左侧，即x 0时，y随x的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 0时y随x的增大而 。

2．在前面图（4）中，关于x轴对称的抛物线有 对，它们分别是哪些？

答： 。由此可知和抛物线y?ax2关于x轴对称的抛物线是 。

3．当a＞0时，a越大，抛物线的开口越___________；当a＜0时，a 越大，抛物线的开口越_________；因此，a越大，抛物线的开口越________。

拓展探究【5】

2??y?m?3x1. 二次函数的图象开口向下，则m___________．

2. 当m= 时，抛物线y?(m?1)xm2?m开口向下．

3.二次函数y?ax2与直线y?2x?3交于点P（1，b）． （1）求a、b的值；

（2）写出二次函数的关系式，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减

小．

5

226.1.3二次函数y?a?x?h??k的图象（一）

温故互查【1】

(二人小组完成) 1. 二次函数y＝mxm2?2有最高点，则m＝___________．

2. 二次函数y＝(k＋1)x2的图象如图所示，则k的取值范围为___________．

3．若二次函数y?ax2的图象过点（1，－2），则a的值是___________． 4．抛物线①y??5x2②y??2x2 ③y?5x2④y?7x2 开口从小到大排列是___________________________________；（只填序号）其中关于x轴对称的两条抛物线是 和 。 5．直线

y?2x?1可以看做是由直线y?2x 得到的。

设问导读【2】

阅读P6内容回答下列问题:

22y?xy?x?2的图象之间又有何关系吗？ 1.由此你能推测二次函数与

猜想: 。

2．从例2可以发现，把抛物线y?x2向______平移______个单位，就得到抛物线y?x2?1；把抛物线y?x2向_______平移______个单

3.抛物线y?2x2向上平移3个单位，就得到抛物线__________________； 4抛物线y?2x2向下平移4个单位，就得到抛物线__________________． 5．抛物线y??3x2?2向上平移3个单位后的解析式为 ，它们的形状__________，当x= 时，y有最 值是 。

6

6.填表： y?x2 开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点 增减性

y?x2?1 y?x2?1 自我检查【3】

222y?xy?x?1y?x?1的形状_____________．开口大小相同。1.抛物线，， 2y?ax?k特点： 2.抛物线

(1).当a?0时，开口向 ；当a?0时，开口 ； (2). 顶点坐标是 ； (3). 对称轴是 。

2222y?ax?ky?axy?ax?ky?ax3抛物线与形状相同，位置不同，是由

平移得到的。（填上下或左右）

巩固训练【4】

2y?5x?3平移，1．由抛物线且经过（1,7）点的抛物线的解析式是 ，

是把原抛物线向 平移 个单位得到的。

2y??x2. 写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线的方向相反，形

状相同的抛物线解析式____________________________．

2y?4x?1关于x轴对称的抛物线解析式为__________________ 3. 抛物线

拓展探究【5】

2y?ax?k?a?0?的经过点A（1，-1）.二次函数、B（2，5）.

⑴求该函数的表达式；

⑵若点C(-2，m),D（n，7）也在函数的上，求m、n的值。

7

26.1.3 二次函数y?a?x?h??k的图象（二） 温故互查【1】

1.将二次函数y?2x2的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 。

2.将抛物线y??4x2?1的图象向下平移3个单位后的抛物线的解析式为 。

2设问导读【2】

阅读P7探究内容回答下列问题:

11.抛物线y??(x?1)2的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐

2标是 。图象有最 点，即x= 时，y有最 值是 ； 在对称轴的左侧，即x 时，y随x的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 时y随x的增大而 。

212y?x2. 抛物线y??(x?1)可以看作由向 平移 个单位形成的。

213.抛物线y??(x?1)2的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐

2标是 ， 图象有最 点，即x= 时，y有最 值是 ； 在对称轴的左侧，即x 时，y随x的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 时y随x的增大而 。

212y?xy??(x?1)4.抛物线可以看作由向 平移 个单位形成的。

22y?a(x?h)5. 抛物线特点：

(1).当a?0时，开口向 ；当a?0时，开口 ； (2). 顶点坐标是 ；(3). 对称轴是直线 。

自我检查【3】

8

1．抛物线

y?2?x?3?2的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是直线

_______；当x 时，y随x的增大而减小；当x 时，y随x的增大而增大。

2y??2(x?1)2. 抛物线的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是直线

_______；当x 时，y随x的增大而减小；当x 时，y随x的增大而增大。

2y?2x?1的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是_______；3. 抛物线 2y?5x4.抛物线向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为

______________．

巩固训练【4】

1. 抛物线y??4x2向左平移3个单位后，得到的抛物线的表达式为______________．

122．将抛物线y???x?2?向右平移1个单位后，得到的抛物线解析式为

3__________．

拓展探究【5】

1．抛物线

y?4?x?2?2与y轴的交点坐标是_______，与x轴的交点坐标为

________．

2y??2x2. 写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线都相同的二次函

数解析式_______________．

26.1.3二次函数

y?a?x?h??k的图象（三）

2温故互查【1】

(二人小组完成)

2y?-5x1.将二次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式

为 。

9

2y??x2.将抛物线的图象向左平移3个单位后的抛物线的解析式

为 。

设问导读【2】

阅读P9例3内容回答下列问题: 1.在右图中做出y??x?1??2的图象： 观察：(1). 抛物线y??x?1??2开口向 ； 顶点坐标是 ；对称轴是直

线 。

2. 抛物线y??x?1??2和y?x2的形

222状 ，位置 。（填“相同”或

O12345?4?3?2??11“不同”） 3. 抛物线y??x?1??2是由y?x2如何平移得

到的？答：

。 4归纳：

（一）抛物线y?a(x?h)2+k的特点：

1.当a?0时，开口向 ；当a?0时，开口 ； 2. 顶点坐标是 ；3. 对称轴是直线 。 （二）抛物线

210987654321yy = x2x?2?3y?a(x?h)2+k与y?ax2形状 ，位置不同，2y?a(x?h)2+k是由y?ax 。

平移得到的。

自我检查【3】

1.二次函数

y?11(x?1)2?2y?x222的图象（ ） 的图象可由

A.向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到

B.向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到 C.向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到 D.向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到

2.抛物线y???x?6??5开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x＝ 时，y有最 值为

10

132

巩固训练【4】

1.填空: 开口方向 y?3x2 y??x2?3 y?2(x?3)2 y??4(x?5)2?3 顶点 对称轴 y?2x2 22.函数y?2?x?3??1的图象可由函数

2的图象沿x轴向 平移

个单位，再沿y轴向 平移 个单位得到。

3.若把函数y?5?x?2??3的图象分别向下、向左移动2个单位，则得到的函数解析式为 。

拓展探究【5】

1. 顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线y?（ ）

1122A． y??x?2??3 B．y??x?2??3

221122 C．y??x?2??3 D．y???x?2??3

222.一条抛物线的形状、开口方向与抛物线y?2x相同，对称轴和抛物线

y??x?2?相同，且顶点纵坐标为0，求此抛物线的解析式.

212x相22

11

26.1.3二次函数y?a?x?h?2?k的图象（四）

温故互查【1】

(二人小组完成)

21.抛物线y??2(x+1)?3开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x＝ 时，y有最 值为 。当x 时，

y随x的增大而增大.

2. 抛物线y??2(x+1)2?3是由y??2x2如何平移得到的？ 答：

设问导读【2】

仔细阅读课本第10页例4回答下列问题：

1. 分析：由题意可知：池中心是 ，水管是 ，点 是喷头，线

段 的长度是1米，线段 的长度是3米。 yB由已知条件可设抛物线的解析式3A为 。抛物线的解析式中有一2个待定系数，所以只需再确定 个点的坐标即

可，这个点是 。 1Cx求水管的长就是通过求点 的 坐标。 D

?1O123 ?1

2.如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米. AO= 3米，现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系.

y(1) 直接写出点A及抛物线顶点P的坐标；

P(2) 求出这条抛物线的函数解析式；

B A x

OM

12

自我检查【3】

某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑,大门的地面宽度为8米 ,两侧距地面3米高处各有一

个壁灯,两壁灯之间的水平距离为6米,如图所示,则厂门的高为(水泥建筑物的厚度忽略不计,精确到0.1米)( )A 6.9米 B 7.0米C 7.1米 D 6.8米

巩固训练【4】

某幢建筑物,从10米高的窗口A用水管向外喷水,喷出的水成抛物状(抛物线所在平面与地面垂直).如果抛物线的最高点M离墙1米,离地面

40米,则水流落地点离墙的距离OB是3( )A 2米 B 3米 C 4米 D 5米

拓展探究【5】

如图抛物线y??x?1??4与x轴交于A,B两点，交y轴于点D，抛物线的顶

2点为点C

（1） 求△ABD的面积。

y（2） 求△ABC的面积。

（3） 点P是抛物线上一动点，当△ABP的面积为4时，

求所有符合条件的点P的坐标。

（4） 点P是抛物线上一动点，当△ABP的面积为8时，xBAO求所有符合条件的点P的坐标。

（5） 点P是抛物线上一动点，当△ABP的面积为10时，

D求所有符合条件的点P的坐标。

C

13

2y?ax?bx?c的图象一 26.1.4二次函数

温故互查【1】

(二人小组完成)

1.抛物线y?2?x?3??1的顶点坐标是 ；对称轴是直线 ；当x=

2时y有最 值是 ；当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小。

2. 二次函数解析式y?a(x?h)2+k中，很容易确定抛物线的顶点坐标为 ，所以这种形式被称作二次函数的顶点式。

设问导读【2】

阅读P10?11内容回答下列问题: 1.写出抛物线y?解: y?12x?6x?21的配方过程: 212x?6x?21 21 =( ) 222 ?2??12????x?12x???????___?

?2??????? 1?2= ?x?6??___???21=( )2+3 21=22. （1）你能直接说出函数y?x2?2x?2 的图像的对称轴和顶点坐标吗？ （2）你有办法解决问题（1）吗？ 解：

y?x2?2x?2的顶点坐标是 ，对称轴是 . 3.像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用 的方法转化 为 式从而直接得到它的图像性质.

14

4.用配方法把下列二次函数化成顶点式：

2y?x?2x?2 ②y?1x2?2x?5 ①

2

2y?ax?bx?c ③

5. 归纳：二次函数的一般形式y?ax2?bx?c可以用配方法转化成顶点式： ，因此抛物线y?ax2?bx?c的顶点坐标是 ；对称轴是 ，

自我检查【3】

1.用顶点坐标和对称轴公式也可以直接求出抛物线的顶点坐标和对称轴，这种方法叫做公式法。

用公式法写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。

222y?2x?3x?4y??2x?x?2y??x?4x ① ② ③

2．用配方法求二次函数y＝－2x2－4x＋1的顶点坐标．

3．用两种方法求二次函数y＝3x2＋2x的顶点坐标．

4．二次函数y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标是（1，－2），则b＝________，c＝_________．

5．已知二次函数y＝－2x2－8x－6，当___________时，y随x的增大而增大；当x＝________时，y有_________值是___________．

15

巩固训练【4】

12x?2x?1的图像. 2（1）顶点坐标为 ； （2）列表：顶点坐标填在 ；（列表时一般以对称轴为中心，对称取值．）

x ? ? 12y?x?2x?1 ? 2 （3）描点，并连线：

（4）观察：①图象有最 点，y用描点法画出y?654321即x= 时，y有最 值是 ；

②x 时，y随x的增大而增

x大；x 时y随x的增大而减小。

③该抛物线与y轴交于点 。

④该抛物线与x轴有 个交点.

O123?7?6?5?4?3?2??11?2?3?4拓展探究【5】

12x?2x?1顶点的横坐标x??2后，可以用哪些方法计算顶点的纵坐2标？计算并比较。

求出y?

16

2y?ax?bx?c的图象二 26.1.4二次函数

温故互查【1】

(二人小组完成)

1．对于二次函数y?2x2?2x?4来说，a?_______，b?_______，c?_______.

12．抛物线y??x2?2的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标

2是 ，其顶点坐标的意义为 .

3．将抛物线y??2x2沿y轴向下平移5个单位得到的抛物线的解析式为 ，再沿y轴向上平移2个单位得到的抛物线的解析式为 .

4．抛物线y???x?2?2的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，其顶点坐标的意义为 .

12设问导读【2】

你能由所学知识完成下列问题吗?试一试,你总行!

1

1.用顶点坐标公式和配方法求二次函数y＝2 x2－2－1的顶点坐标．

2．二次函数y＝x2＋3x－4与y轴的交点坐标为_______________，与x轴的交点坐标____________． 2．二次函数y＝x2＋3x－4的顶点坐标为__________，对称轴为___________． 3．一元二次方程x2＋3x－4＝0的根的判别式△＝______________． 4．二次函数y＝x2＋bx过点（1，4），则b＝________________．

2

5．一元二次方程ax＋bx＋c（a≠0），△＞0时，一元二次方程有_______________， △＝0时，一元二次方程有___________，△＜0时，一元二次方程_______________． 归纳:

6．求二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点（含y＝0时，则在函数值y＝0时，x的值是抛物线与x轴交点的横坐标）．

2

例1 求y＝x－2x－3与x轴交点坐标．

17

7．求二次函数y＝ax2＋bx＋c与y轴交点（含x＝0时，则y的值是抛物线与y轴交点的纵坐标）．

例2 求抛物线y＝x2－2x－3与y轴交点坐标．

自我检查【3】

1．求抛物线y＝2x2－7x－15与x轴交点坐标________，与y轴的交点坐标为____． 2．抛物线y＝4x2－2x＋m的顶点在x轴上，则m＝__________． 3．如图： 由图可得：

a_______0 b_______0 c_______0 △＝b2－4ac______0

巩固训练【4】

1．求抛物线y＝x2－2x＋1与y轴的交点坐标为_______________． 2．若抛物线y＝mx2－x＋1与x轴有两个交点，求m的范围

3．若（?5，0）是抛物线y?ax2?2ax?c与x轴的一个交点，则另一交点坐标为 .

拓展探究【5】

4．已知抛物线y?x2?2x?3

⑴求此抛物线与x轴的交点A、B两点的坐标，与y轴的交点C的坐标.

⑵求?ABC的面积.

⑶在直角坐标系中画出该函数的图象

18

⑷根据图象回答问题：①当y?0时，x的取值范围？

②当x?0时，y的取值范围？

③当x______时，y随x的增大而增大；当x______时，y随x的增大而减小；

26.1.5用待定系数法求二次函数的解析式

温故互查【1】

(二人小组完成)

1.一次函数y?kx?b经过点A(-1,2)和点B(2,5),求该一次函数的解析式。

2. 已知点A（2，5），B（4，5）是抛物线y＝4x2＋bx＋c上的两点，则这条抛物线的对称轴为_____________________．

设问导读【2】

阅读P12?13内容回答下列问题:

1.已知一个二次函数的图象过（1，5）、（?1,?1）、（2，11）三点，求这个二次函数的解析式。

分析：如何设函数解析式？顶点式还是一般式？

答： ；所设解析式中有 个待定系数，它们分 别是 ，所以一般需要 个点的坐标；请你写出完整的解题过程。 解：

19

2. 用待定系数法求二次函数的解析式通常用以下2种方法：设顶点式

y?a?x?h??k和一般式y?ax2?bx?c。

2(1)．已知抛物线过三点，通常设函数解析式为 ； (2)．已知抛物线顶点坐标及其余一点，通常设函数解析式为 。

3. 已知抛物线经过点A（－1，0），B（4，5），C（0，－3），求抛物线的解析式．

自我检查【3】

1．已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图像过点（－3，－1），求这个二次函数的解析式．

2y?x?x?m的图象过点（1，2）2.已知二次函数，则m的值为

________________．

3.一个二次函数的图象过（0，1）、（1,0）、（2，3）三点，求这个二次函数的解析式。

20

巩固训练【4】

y4321O123?4?3?2??11?2?3?4

已知双曲线y?k2与抛物线y?ax交于?bx?cxA(2,3)、B(m,2)、c(－3, n)三点. (1)求双曲线与抛物线的解析式;

x (2)在平面直角坐标系中描出点A、点B、点C,并求出△ABC的面积,

拓展探究【5】

5.如图，直线y?3x?3交x轴于点A，交y轴于点B，过A,B两点的抛物线交x轴于另一点C（3,0），

（1）求该抛物线的解析式；

⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.

yBAOCx

21

26.2用函数观点看一元二次方程（一）

温故互查【1】

1.直线y?2x?4与y轴交于点 ，与x轴交于点 。

22.一元二次方程ax?bx?c?0，当Δ 时，方程有两个不相

等的实数根；当Δ 时，方程有两个相等的实数根； 当Δ 时，方程没有实数根； 3.解下列方程

222（1）x?2x?3?0 （2）x?6x?9?0 （3）x?2x?3?0

设问导读【2】

阅读课本P16?17回答问题:

1. 二次函数y＝ax2＋bx＋c与x,y轴交点的坐标如何求? 2.观察二次函数的图象，写出它们与x轴的交点坐标： 函数 图 象 交点 -2y?x2?2x?3 y?x2?6x?9 y11y?x2?2x?3 yy=x2-2x-3y=x2-6x+9yy=x2-2x+3111010O-1-2x1012-2-3O-1x1012-4O-5x1012与x轴交点坐标是 与 x轴交点坐标是 与 x轴交点坐标是

3.对比温故互查中第3题各方程的解，你发现什么？

4知识梳理：

⑴一元二次方程ax2?bx?c?0的实数根就是对应的二次函数y?ax2?bx?c与x轴交点的 .（即把y?0代入y?ax2?bx?c）

⑵二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为

22

x1、x2） 二次函数y?ax2?bx?c ( , )O与 一元二次方程ax2?bx?c?0 y( , )x与x轴有 个交点 ? b2?4ac 0，方程有 的实数根 yO( , )x yO与x轴有 个交点；这个交点是 点 ? b2?4ac 0，方程有 实数根 b2?4ac 0，方程 实x与x轴有 个交点 ? 数根. ⑶二次函数y?ax2?bx?c与y轴交点坐标是 .

自我检查【3】

1. 二次函数y?x2?3x?2，当x＝1时，y＝______；当y＝0时，x＝______． 2．抛物线y?x2?4x?3与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 ； 3.二次函数y?x2?4x?6，当x＝________时，y＝3．

巩固训练【4】

（1）

（2）

21.如图，一元二次方程ax?bx?c?0的解为 。 2ax?bx?c?3的解为 。 2.如图，一元二次方程

3. 已知抛物线y?x2?2kx?9的顶点在x轴上，则k＝____________．

拓展探究【5】

2y?kx?2x?1与x轴有两个交点，则k的取值范围是_________． 1.已知抛物线

23

2．如图

3．如图

一元二次方程ax2＋bx＋c＝3 的解为_________________

填空：

（1）a________0 （2）b________0 （3）c________0

（4）b2－4ac________0

26.2用函数观点看一元二次方程（二）

温故互查【1】

1：根据y?ax2?bx?c的图象和性质填表：（ax2?bx?c?0的实数根记为

x1、x2）

2（1）抛物线y?ax2?bx?c与x轴有两个交点?b?4ac 0； 2（2）抛物线y?ax2?bx?c与x轴有一个交点?b?4ac 0； 2（3）抛物线y?ax2?bx?c与x轴没有交点?b?4ac 0.

2.抛物线y?2x2?4x?2和抛物线y??x2?2x?3与y轴的交点坐标分别是 和 。

抛物线y?ax2?bx?c与y轴的交点坐标分别是 . 3.抛物线y?ax2?bx?c

① 开口向上，所以可以判断a 。

② 对称轴是直线x= ，由图象可知对称轴在y轴的右侧，则x>0，即 >0，已知a 0，所以可以判定b 0.

24

③ 因为抛物线与y轴交于正半轴，所以c 0.

2y?ax?bx?c与x轴有两个交点，所以b2?4ac 0； ④ 抛物线

设问导读【2】

知识梳理：

⑴a的符号由 决定：

①开口向 ? a 0；②开口向 ? a 0. ⑵b的符号由 决定： ① 在y轴的左侧 ?a、b ；

② 在y轴的右侧 ?a、b ； ③ 是y轴 ?b 0.

⑶c的符号由 决定： ①点（0，c）在y轴正半轴 ?c 0； ②点（0，c）在原点 ?c 0； ③点（0，c）在y轴负半轴 ?c 0.

2⑷b?4ac的符号由 决定：

2①抛物线与x轴有 交点? b?4ac 0 ?方程有 实数根； 2②抛物线与x轴有 交点?b?4ac 0 ?方程有 实数根； 2③抛物线与x轴有 交点?b?4ac 0 ?方程 实数根；

④特别的，当抛物线与x轴只有一个交点时，这个交点就是抛物线的 点.

自我检查【3】

1.利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式

2 （1）方程ax?bx?c?0的根为___________； 2（2）方程ax?bx?c??3的根为__________； 2（3）方程ax?bx?c??4的根为__________； 2ax?bx?c?0的解集为________； （4）不等式

25

2（5）不等式ax?bx?c?0的解集为_____ ___；

2.根据图象填空：（1）a_____0；（2）b 0；（3）c 0;

2（4）b?4ac 0 ;(5)2a?b______0；

（6）a?b?c????0；（7）a?b?c????0；

巩固训练【4】

1．特殊代数式求值：

①如图 看图填空：

（1）a＋b＋c_______0

（2）a－b＋c_______0 （3）2a－b _______0

2．利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式

（1）方程ax2＋bx＋c＝0的根为___________； （2）方程ax2＋bx＋c＝－3的根为__________；

2

（3）方程ax＋bx＋c＝－4的根为__________；

2

（4）不等式ax＋bx＋c＞0的解集为________； （5）不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为________； （6）不等式－4＜ax2＋bx＋c＜0的解集为________．

拓展探究【5】

根据图象填空： （1）a_____0；（2）b_____0；（3）c______0； （4）△＝b2－4ac_____0；（5）a＋b＋c_____0； （6）a－b＋c_____0；（7）2a＋b_____0；

2

（8）方程ax＋bx＋c＝0的根为__________； （9）当y＞0时，x的范围为___________； （10）当y＜0时，x的范围为___________；

26

实际问题与二次函数（1）

温故互查【1】

(二人小组完成) 1．抛物线y＝－(x＋1)2＋2中，当x＝_______时，y有_______值是__________． 12．抛物线y＝ x2－x＋1中，当x＝_________时，y有_______值是__________．

23．抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，当x＝______时，y有____值是_______．

设问导读【2】

阅读课本P22的内容完成下列问题: 1.二次函数

y?ax2?bx?c（a?0）； 通过什么方法可转化成:

2顶点式 ：y?a?x?h??k 你有几种方法?

b4ac?b22.顶点坐标：（?，）中,当x= 时，a?0，y有最 值

2a4a为 ；a?0，y有最 值为

顶点坐标 （h，k）中,当x= 时，a?0，y有最 值为 ；

a?0，y有最 值为

3.二次函数y=－x2+2x+3，当x=______时，y有最______值，为______.它的图

象与x轴______交点(填“有”或“没有”).

4函数y=ax2－2中，当x=1时，y=－4，则函数的最大值是

自我检查【3】

1.求下列函数的最值:

1515(1)y=x2＋3x＋ (2)=x2－x＋6，

2242

(3)y=－2x2＋6x－1 (4)y=－x2－4x－5

27

2．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t－5t2．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少?

巩固训练【4】

1．某商店经销一种销售成本为每千克40元的农产品，所市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减小10千克，设每千克农产品的销售价格为x（元），月销售总利润为y（元）.

⑴求y与x的函数关系式；⑶当销售价定为多少元时，月获利最大，最大利润是多少？

2. 某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100

－x）件，应如何定价才能使利润最大？

拓展探究【5】

如图，四边形的两条对角线AC、BD互相垂直，AC＋BD＝10，当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？

ADC

B28

第二十七章相似 27.1图形的相似

情境引入【1】

1. .观察图中三组图形的形状和大小有什么关系？

你从上述几组图片发现了什么？

它们的大小 ，形状 。

2. 其中形状相同的图形有___________和________，

________和________，________和________，________和________，________和________,________和________.

设问导读【2】

阅读课本P34的内容回答下列问题:

29

1.填空:我们把 的图形叫做相似图形

2.两个图形相似,其中一个图形可以看作由另一个图形 或 得到的

3.阅读课本P36的内容回答问题;

(1)对于四条线段a,b,c,d如果 与 我们就说这四条线段是成比例线段. 简称比例线段

(2)正多边形的特征是: (3)如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的是（ ）

(4)一张桌面的长a=1.25m，宽b=0.75m，那么长与宽的比是多少？

（5）如果a=125cm，b=75cm，那么长与宽的比是多少？

（6）如果a=1250mm，b=750mm，那么长与宽的比是多少？

自我检查【3】

1.完成课本35页练习题.

2. 已知：一张地图的比例尺是1:32000000，量得北京到上海的图上距离大约为3.5cm，求北京到上海的实际距离大约是多少km？

3．观察下列图形，指出哪些是相似图形：

相似图形：_____和______；_____和______；_____和______。

4．下列说法正确的是（ ）

A．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似. B．商店新买来的一副三角板是相似的.

30

C．所有的课本都是相似的. D．国旗的五角星都是相似的. 5．如图，请测量出右图中两个形似的长方形的长和宽， （1）（小）长是_______cm，宽是_______cm； （大）长是_______cm，宽是_______cm； （2）（小）

宽宽? ；? ． （大）长长（3）你由上述的计算，能得到什么结论吗？

巩固训练【4】

1．在比例尺是1:8000000的“中国政区”地图上，量得福州与上海之间的距离时7.5cm，那么福州与上海之间的实际距离是多少？

2．AB两地的实际距离为2500m，在一张平面图上的距离是5cm，那么这张平面地图的比例尺是多少？

拓展探究【5】

1.两个多边形大小不等，但各角 ，各边 这样的两个相似多边形叫做相似多边形。

2. 已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且A1B1:B1C1:C1D1:D1A1=7:8:11:14，若四边形ABCD的周长为40，求四边形ABCD的各边的长．

31

27.1.2 图形的相似

温故互查【1】

(二人小组完成)

1．下列四条线段中，不能成比例的是（ ） （A）a＝2，b＝4，c＝3，d＝6 （B）a＝

，b＝

，c＝1，d＝

（C）a＝6，b＝4，c＝10，d＝5 （D）a＝

，b＝2

，c＝

，d＝2

2．已知线段a、b、c、d满足ab＝cd，把它改写成比例式，其中错误的是???（ ）

（A）b︰c＝d︰a （B）a︰b＝c︰d （C）c︰b＝a︰d （D）a︰c＝d︰b

3．在比例尺为1︰1 000 000的地图上，相距3 cm的两地，它们的实际距离为?（ ）

（A）3 km（B）30 km（C）300 km （D）3 000 km

4．两地实际距离为1 500 m，图上距离为5 cm，这张图的比例尺为_______．

设问导读【2】

1. 相似多边形的特征： 相等， 相等. 反之 相等 相等的多边形叫相似多边形.

如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。 2.相似比：我们把相似多边形 的比称为相似比。 3.阅读课本37页例题后完成:

(1)在下面的图形中，形状相似的一组是( )

(2)下列说法正确的是（ ） A．所有的平行四边形都相似 B．所有的矩形都相似C．所有的菱形都相似 D．所有的正方形都相似 4．如图，AB∥EF∥CD，CD=4，AB=9，若梯形CDEF与梯形EFAB相似，求EF的长．

32

自我检查【3】

1已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且A1B1:B1C1:C1D1:D1A1=7:8:11:14，若四边形ABCD的周长为40，求四边形ABCD的各边的长．

2．在比例尺为1﹕10 000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30 cm，求两地的实际距离．

3．如图所示的两个直角三角形相似吗？为什么？

巩固训练【4】

1．如图所示的两个五边形相似，求未知边a、b、c、d的长度．

22．△ABC与△DEF相似，且相似比是3，则△DEF 与△ABC与的相似比是

3．下列所给的条件中，能确定相似的有（ ） （1）两个半径不相等的圆；（2）所有的正方形；（3）所有的等腰三角形；（4）所有的等边三角形；（5）所有的等腰梯形；（6）所有的正六边形． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

拓展探究【5】

如图，一个矩形ABCD的长AD= a cm，宽AB= b cm，E、F分别是AD、BC的中点，连接E、F，所得新矩形ABFE与原矩形ABCD相似，求a:b的值．

33

27.2相似三角形

27.2.1相似三角形的判定(1) 温故互查【1】

1.如图的左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形． 2. 议一议

（1）两个全等三角形一定相似吗？ 为什么？

（2）两个直角三角形一定相似吗？两个等腰直角三角形呢？为什么？

（3）两个等腰三角形一定相似吗？两个等边三角形呢？为什么？ 3.等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形A′B′C′相似，相似比为3∶1，已知斜边AB＝5cm，求△A′B′C′斜边A′B′上的高

设问导读【2】

阅读课本P4.?41的内容回答下列问题:

1. （1）相似多边形的主要特征是 相等 相等. （2）在相似多边形中，最简单的就是相似 ． 在△ABC与△A′B′C′中，

如果∠A= , ∠B= ∠C= , 且

ABBC??????CA??? ．

就说△ABC与△A′B′C′ ，记作△ABC △A′B′C′，k就是它们的 ．

反之如果△ABC △A′B′C′，则有∠A= , ∠B= ∠C= , 且

AB???BC???CA??? ．

（3）问题：如果k=1，这两个三角形 2. 归纳总结：

(1)平行线分线段成比例定理 三条_________截两条直线，所得的________线段的比________。

(2)平行线分线段成比例定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或

34

两边延长线），所得的_______线段的比_________.

3.如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4 ，AB=3，EC=1.求AD和BD.

自我检查【3】

1．如图，DE∥BC，找出对应角并写出对应边的比例式．

2．如图，△ABC∽△AED，其中∠ADE=∠B，找出对应角并写出对应边的比例式．

巩固训练【4】

1．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，DF=4，求BD的长．

35

2．如图，DE∥BC，（1）如果AD=2，DB=3，求AE:AC的值； （2）如果AD=8，DB=12，AC=15，求AE和EC的长．

拓展探究【5】

如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h．(设网球是直线运动)

27.2.2相似三角形的判定(2) 温故互查【1】

(二人小组完成)

1．问题：如果△ABC∽△ADE,那么你能找出哪些角的关系？边呢？ 2．思考

如图,在△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB，AC于点D，E。

（1） △ADE与△ABC满足“对应角相等”吗？为什么？

（2） △ADE与△ABC满足对应边成比例吗？由“DE∥

BC”的条件可得到哪些线段的比相等？

36

3.如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF∶FD=1∶3，则BE∶EC=（ ）

11A、 B、

2321C、 D、

34设问导读【2】

1.在△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB，AC于点D，E。

根据以前学习的知识如何把DE移到BC上去？（作辅助线EF∥AB） (1)你能证明AE:AC=DE:BC吗？

(2)相信你也能写出△ABC∽△ADE的证明过程如下: 证明:

2.归纳总结：判定三角形相似的定理1（平行相似）： 平行于 ，所成的三角形与 三角形 。

37

自我检查【3】

1．如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有（ ）对 2、如图，AB∥EF∥CD，图中共有 对相似三角形，写出来

并说明理由；

3.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=EC，DB=1cm，AE=4cm，BC=5cm，求DE的长．

巩固训练【4】

如图，DE∥BC，

（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值；

（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长．

拓展探究【5】

如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．

38

：

27.2.3 相似三角形的判定(3) 温故互查【1】

1．(二人小组完成)

(1) 两个三角形全等有哪些判定方法？

(2) 我们学习过哪些判定三角形相似的方法？

(3) 全等三角形与相似三角形有怎样的关系？

(4) 如图，如果要判定△ABC与△A’B’C’相AA'似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？

BCB'C'

2.如图△ABC∽△DCA，AD∥BC，∠B=∠DCA． （1）写出对应边的比例式； （2）写出所有相等的角；

（3）若AB=10,BC=12,CA=6．求AD、DC的长．

设问导读【2】

阅读课本P42?43探究回答下列问题:

1. 由三角形全等的SSS判定方法，想一想:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？ 阅读课本P42?43探究回答下列问题:

1. 由三角形全等的SSS判定方法，想一想:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？

2.由教材中的的方法:要证明两个三角形相似,先在其中一个三角形 构造了一个与另一个三角形 的三角形,再证明这个三角形与它相似. 构造全等再证相似.

3.教材中证明线段相等的方法:即比例的 项相等得到比例的 项相等.: 4. 三角形相似的判定方法1 如果两个三角形的 相等， 那么这两个三角形

相似．

39

5. 如图，已知

ADDEAE??， ABBCAC求证：∠1=∠2

自我检查【3】

1.如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点， 求证：△ABC∽△DEF．

2.如图矩形ABCD是由三个正方形组成的找出图中相似而不全等的三角形并证明。 EDFA CBHG

巩固训练【4】

1.如图判断4×4方格中的两个三角形是否相似,并说明理由.

DABECF

40

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