高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析-4

[练习44]（2003年江苏，21）已知a?0，n为正整数。设y??x?a?n，证明

y??n?x?a?n?1；

（1） 设

fn?x??xn??x?a?n，对任意n?a，证明fn?1??n?1???n?1?fn??n?

解析：证明：（1）??x?a?n?knk??Cn??a?k?0nnn?kxk,

?y???kCk?1nkn??a?xk?1k?1??nCn?1??a?k?1n?kxk?1?n?x?a?n?1

（2）对函数

fn?x??xn??x?a?n求导数：

n?1fn??nxn?1?n?x?a?，

n?1?fn??n??n?nn?1??n?a??.当x?a?0时，fn??x??0

???当n?a时，fn?x??xn??x?a?n是关于x的增函数因此，当nn?a时，

?n?1?n??n?1?a??nn??n?a?n。

nnnn?1?fn?1??n?1???n?1???n?1???n?1?a????n?1??nn??n?a????n?1??nn?n?n?a??????????n?1?fn??n?即对任意n?a，fn?1??n?1???n?1?fn??n?.

【易错点45】求曲线的切线方程。 例45、（2005高考福建卷）已知函数f（－1））处的切线方程为6x?，且在点M（－1，f(x)?x3?bx2?ax?d的图象过点P（0，2）

y?7?0. （Ⅰ）求函数y?f(x)的解析式；

【思维分析】利用导数的几何意义解答。 解析：（Ⅰ）由

32，知d=2，所以f(x)?x?bx?cx?2, f(x)的图象经过P（0，2）

f?(x)?3x2?2bx?c.由在M(?1,f(?1))处的切线方程是6x?y?7?0，知

?6?f(?1)?7?0,即f(?1)?1,f?(?1)?6.?3?2b?c?6,?2b?c?3,32??即?解得b?c??3.故所求的解析式是f(x)?x?3x?3x?2. ??1?b?c?2?1.?b?c?0,【知识点归类点拔】导数的几何意义:函数y=f(x)在点x0处的导数，就是曲线y=(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率．由此，可以利用导数求曲线的切线方程．具体求法分两步： (1)求出函数y=f(x)在点x0处的导数，即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率；(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，

求得切线方程为

如果曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线平y?y0?f'(x0)(x?x0)特别地，

行于y轴，这时导数不存，根据切线定义，可得切线方程为x有可能出现在解析几何综合试题中，复习时要注意到这一点.

【练45】（1）（2005福建卷）已知函数

?x0。利用导数的几何意义作为解题工具，

f(x)?ax?6的图象在点M（－1，f(x)）处的切线方程为2x?bx+2y+5=0.

（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；答案：

f(x)?2x?6

x2?3（2）（2005高考湖南卷）设t?0，点P（t，0）是函数f(x)?x3?ax与g(x)?bx2?c的图象的

?ab??t3.故

一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.（Ⅰ）用t表示a，b，c；答案：ca??t2，b?t，c??t3.

【易错点46】利用导数求解函数的单调区间及值域。

例46、( 2005全国卷III)已知函数

4x2?7f?x??，x??01，?（Ⅰ）求f?x?的单调区间和值域；

2?x（Ⅱ）设a22?1，函数g?x??x?3ax?2a，x??01，，，?，若对于任意x1??01?，总存在x0??01?使得g?x0??f?x1?成立，求a的取值范围。

y?g?x?在区间?01，?上的

【易错点分析】利用导数求函数的单调区间仍然要树立起定义域优先的意识，同时要培养自已的求导及解

不等式的运算能力第（Ⅱ）问要注意将问题进行等价转化即转化为函数值域是函数

f?x?的值域的子集，从而转化为求解函数y?g?x?在区间?01，?上的值域。

?4x2?16x?7解析(Ⅰ)

f?(x)??2?x?22??(2x?1)(2x?7)?2?x?22，令

f?(x)?0解得x?12或

x?72,在

11x?(0,)，f?(x)?0,所以f(x)为单调递减函数；在x?(,1)，f?(x)?0,所以f(x)为单调

2271递增函数；又f(0)??,f(1)??3,f()??4，即f(x)的值域为[-4，-3]，所以f(x)的单调递

2211减区间为(0,)，f(x)的单调递增区间为(,1)，f(x)的值域为[-4，-3].( 单调区间为闭区间也可以).

22（Ⅱ）∵g?(x)?3(x2?a2),又a?1，当x?(0,1)时，g?(x)?3(1?a2)?0，

因此，当x?(0,1)时，g(x)为减函数，从而当x?[0,1]时，有g(x)?[g(1),g(0)].

又g(1)?1?2a?3a任给x1?[0,1]，有

2,g(0)??2a，即当x?[0,1]时，有g(x)?[1?2a?3a2,?2a]，

f(x1)?[?4,?3]，存在x0?[0,1]使得g(x0)?f(x1)，

a?2。 35?a?1,或a????则?1?2a?3a??43又a?1，所以a的取值范围是1????3?2a??3??a???22【知识点分类点拔】高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，侧重于考查导数在函数与解析几何中的应用，主要有以下几个方面：①运用导数的有关知识，研究函数最值问题，一直是高考长考不衰的热点内容．另一方面，从数学角度反映实际问题，建立数学模型，转化为函数的最大值与最小值问题，再利用函数的导数，顺利地解决函数的最大值与最小值问题，从而进一步地解决实际问题．用导数研究函数的性质比用初等方法研究要方便得多，因此，导数在函数中的应用作为2006年高考命题重点应引起高度注意．单调区间的求解过程，已知

y?f(x) （1）分析 y?f(x)的定义域； （2）求导数

y??f?(x)（3）解不等式f?(x)?0，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式f?(x)?0，解

集在定义域内的部分为减区间，对于函数单调区间的合并:函数单调区间的合并主要依据是函数

f(x)在

(a,b)单调递增，在(b,c)单调递增，又知函数在f(x)?b处连续，因此f(x)在(a,c)单调递增。同

理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为以个区间。

3

2

【练46】（1）（2005高考北京卷）已知函数f(x)=－x＋3x＋9x＋a, （I）求f(x)的单调递减区间；（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．答案：（1）（－∞，－1），（3，

＋∞）（2）－7

（2）(2005 全国卷III)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小

正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?

答案：当x=10时,V有最大值V(10)=1960

【易错点47】二项式

?a?b?nn展开式的通项中，因a与b的顺序颠倒而容易出错。

?2?例47、?x??32x??展开式中第三项的系数比第二项的系数大162，则x的一次项为 。

【易错点分析】本题中若x与23x2的顺序颠倒，项随之发生变化，导致出错。

解析：椐题意有：Cn21?22???Cn?2??162,即2n?n?1??2n?162,?n?9

则Tr?1?C9r?x?39?r9?r2r??2?9?r2rrr23??1,?r?3 由??32??C9???2??x23x??r3?T4???1??23?C9x??672x

【知识点归类点拨】二项式

?a?b?n与?b?a?n的展开式相同，但通项公式不同，对应项也不相同，在

遇到类似问题时，要注意区分。

?41?【练47】（潍坊高三质量检测）?x?11?x??数项为 。 解析：据题意有

n展开式中第5项与第12项系数的绝对值相等，则展开式的常

??1?4411Cn???1?Cn11，即

4n?411411,?n?4?11,?n?15 ?Cn?Cn?CnCn?Cnr?1?r60?15r令60?15r?0,得：r?4故展开式中常数项为：???11????1?C15x?x?rTr?1?Cr15?x?415?r??1?44C15?1365

【易错点48】二项式展开式中的项的系数与二项式系数的概念掌握不清，容易混淆，导致出错。

?32?例48、在?x?2?x??5的展开式中，x的系数为 ，二项式系数为 。

5【易错点分析】在通项公式Tr?1解析：令15?5rr?C5?2r?x15?5r中，C5r是二项式系数，C5r?2r是项的系数。

22?5，得r?2，则项x5的二项式系数为C5?10，项的系数为C5?22?40。

【知识点归类点拨】在二项展开式中，利用通项公式求展开式中具有某些特性的项是一类典型问题，其通常做法就是确定通项公式中r的取值或取值范围，须注意二项式系数与项的系数的区别与联系。

1?1?【练48】（2005高考山东卷）如果?3x?的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数?332xx??是（ ）（A）7 （B）?7 （C）21 （D）?21 答案：当xn?1时(3?1?1312r)n?2n?128,?n?7即(3x?23r57?r313x2)7,根据二项式通项公式得

Tr?1?C(3x)r77?r(?1)(x)?C3?r77?r(?1)xr?7?5r??3,r?6时对应31x3,即

67?6T6?1?C73(?1)611121故?7?3??.x3x3x3x3项系数为21.

【易错点49】二项式系数最大项与展开式系数最大项是两个不同的概念，在求法上也有很大的差别，在次往往因为概念不清导致出错。

2??例49、已知?x?2??n?N??的展开式中，第五项的系数与第三项的系数之比为10：1

x??求展开式中系数最大的项和二项式系数最大项。

【易错点分析】二项展开式的二项式系数可由其二项式系数的性质求得，即当n为偶数时，中间的一项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间两项的二项式系数相等，同时取得最大值，求系数的最大值项的位置不一定在中间，需要利用通项公式，根据系数值的增减性具体讨论而定。 解析：由题意知，第五项系数为Cn4n???2?4，第三项的系数为Cn2?(?2)2，则有

4Cn???2?2Cn???2?42?10，1r?1r?1rrr?1r?1?n?8设展开式中的第r项，第r+1项，第r+2项的系数绝对值分别为C8?2,C8?2,C8?2，r?1r?1rr??C8?2?C8?2若第r+1项的系数绝对值最大，则?，解得：5?r?6?

r?1r?1rr??C8?2?C8?2系数最大值为

T7?17921x11由n?8知第五项的二项式系数最大，此时T5?11201x6

【知识点归类点拨】在

?a?b?n的展开式中，系数最大的项是中间项，但当a，b的系数不为1时，最大

?Tr?1?Tr系数值的位置不一定在中间，可通过解不等式组?来确定之。

T?T?r?1r?2【练49】（2000年上海）在二项式果用数值表示）

解析：展开式中第r+1项为C11?x得rr11?r?x?1?11的展开式中，系数最小的项的系数为 。（结

???1?5r，要使项的系数最小，则r为奇数，且使C11为最大，由此

r5???1???462。 ?5，所以项的系数为C11【易错点50】对于排列组合问题，不能分清是否与顺序有关而导致方法出错。 例50、有六本不同的书按下列方式分配，问共有多少种不同的分配方式？ （1） 分成1本、2本、3本三组；

（2） 分给甲、乙、丙三人，其中1人1本，1 人两本，1人3本； （3） 平均分成三组，每组2本； （4） 分给甲、乙、丙三人，每人2本。

【易错点分析】分成三组是与顺序无关是组合问题，分给三人与顺序有关，是排列问题。

解析：(1)分三步：先选一本有C6种选法，再从余下的5本中选两本，有C5种选法，最后余下的三本全选有C3种选法，有分步计数原理知，分配方式有：C6?C53123?C3?60

12

（2）由于甲、乙、丙是不同的三个人，在（1）题的基础上，还考虑再分配问题，分配方式共有

1233C6?C5?C3?A3?360种。

（3）先分三步：则应是C6222种方法，但在这里容易出现重复。不妨记六本书为A,B,C,D,E,F?C4?C2222中还有?C4?C2若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为（AB，CD，EF）则C63（AB，EF，CD），（CD，EF，AB）（CD，AB，EF），（EF，CD，AB），（EF，AB，CD）共A3种情况，而且这些情

222C6?C4?C2况仅是AB，CD，EF顺序不同，依次只能作为一种分法，故分配方式有?15种 3A3222C6?C4?C23在问题（3）的基础上，再分配即可，共有分配方式种。 ?A33A3（5）

【知识点归类点拨】本题是有关分组与分配的问题，是一类极易出错的题型，对于词类问题的关键是搞清楚是否与顺序有关，分清先选后排，分类还是分步完成等，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计算重复或遗漏。

【练50】（2004年全国9）从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到三个班担任班主任（每班一位班主任），要求这三位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方法共有（ ） A、 210种 B、420种 C、630种 D、840种

解析：首先选择3位教师的方案有：①一男两女；计C5?C4其次派出

3

位教师的方案是

3A3121=40。 ?30；②两男一女：计C52?C4=6。故不同的选派方案共有

3121A3??C5?C4?C52?C4??6??30?40??420种。

【易错点51】不能正确分析几种常见的排列问题，不能恰当的选择排列的方法导致出错。 例51、四个男同学和三个女同学站成一排。

（1） 三个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？ （2） 任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？ （3） 其中甲、乙两同学之间必须恰有3人，有多少种不同的排法？ （4） 甲、乙两人相邻，但都与丙不相邻，有多少种不同的排法？

（5） 女同学从左往右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？（三个女生身高互不相等）

【易错点分析】排列问题常见题型有相邻问题及不相邻问题，顺序一定问题等，如果对题意理解不够充分，往往选择错误的方法。

解析：（1）3个女同学是特殊元素，我们先把她们排列好，共有

3种排法；由于3 个同学必须排在一起，A35种排法。由乘A5我们可视排好的女同学为一个整体，在与男同学排队，这时是五个元素的全排列，应有法原理，有

35A3?A5?720种不同排法。

（2）先将男生排好，共有

43种排法；再在这4个男生的中间及两头的5 个空中插入3个女生，有A5种A4方案。故符合条件的排法共有

43A4?A5?1440种。 23（3）甲、乙2人先排好，共有A2种排法；再从余下的5人中选三人排在甲、乙2人中间，有A5种排法，这时把已排好的5人看作一个整体，与剩下的2人再排，又有A3种排法；这样，总共有种不同的排法。

（4）先排甲、乙、丙3人以外的其他四人，有

42种排法，由于甲、乙要相邻，故把甲、乙排好，有A2种A423423A4?A2?A3?720排法；最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空当中，有A5种排法；这样，总共有

422A4?A2?A5?960种不同的排法。

（5）从七个位置中选出4个位置把男生排好，有生要按高矮排列。故仅有一种排法。这样总共有

A74种排法；然后再在余下得个空位置中排女生，由于女

A74种不同的排法。

【知识点归类点拨】解决有限制条件的排列问题方法是：①直接法：?位置分析法?②间接法：即排除不符合要求的情形③一般先从特殊元素和特殊用加法原理（分类）?元素分析法?用乘法原理（分步）?插入法（不相邻问题）?捆绑法（相邻问题）?位置入手。 【练52】（2004年辽宁）有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就坐，规定前排中间三个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数（ ） A、234 B、346 C、350 D、363

解析：把前后两排连在一起，去掉前排中间3个座位，共有

212A20?A19?A2?4?346种。

rn?rrTr?1?Cnab12种，再加上4种不能算相邻的，共有A19?A2【易错点53】二项式展开式的通项公式为

kkPn?k??CnP?1?P?n?k，事件A发生k次的概率：的

概

率

公

式

：

。二项分布列

kkn?kpk?Cnpq,k?0,1,2,3??,n且0?p?1,p?q?1，三者在形式上的相似，在应用容易混

淆而导致出错。

例53、（2004年全国理）某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得—100分。假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响。

（1） 求这名同学回答这三个问题的总得分?的概率分布和数学期望。 （2） 求这名同学总得分不为负分（即??0）的概率。

【易错点分析】对于满足二项分布的分布列的概率计算公式中对于随机变量?以及二项分布的条件的理解出错。

解析：（1）?的可能取值为—300，—100，100，300。

P????300??0.23?0.008P????100??3?0.22?0.8?0.096P???100??3?0.2?0.8?0.3842

P???300??0.83?0.512所以?的概率分布为

? P —300 0.008 —100 0.096 100 0.384 300 0.512 根据?的概率分布，可得?的期望

E????300??0.008???100??0.096?100?0.384?300?0.512?180

（2）这名同学总得分不为负分的概率为

P???0??0.384?0.512?0.896。

【知识点归类点拨】二项分布是一种常见的重要的离散型随机变量分布列，其概率

P???k??k?0,1,2,??就是独立重复实验n次其中发生k次的概率CnkPk?1?P?际问题时一定看清是否满足二项分布。

n?k。但在解决实

【练53】（2004年重庆理18）设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯（允许通行）的概率为

34，遇到红灯（禁止通行）的概率为

14。假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，?表

示停车时已经通过的路口数，求：

（1）?的概率分布列及期望E?；（2）停车时最多已通过3个路口的概率。 解析：（1）?的所有可能值为0，1，2，3，4。用

Ak表示“汽车通过第k个路口时不停”‘则

P?Ak??31?k?1,2,3,4?且A1,A2,A3,A4独立。故P???0??PA1? 44313319P???1??PA1?A2???,P???2??PA1?A2?A3?()2??,

44164464???????3?127P???3??PA1?A2?A3?A4?????,44256????381?3?P???4??P?A1?A2?A3?A4?????256?4?从而?的分布列为

4

?P 0 1 2 3 4 13927 416642561392781525E??0??1??2??3??4??

4166425625625681175?（2）P???3??1?P???4??1?。 256256【易错点54】正态总体N81 256??,?2?的概率密度函数为f?x??1e2??x221e2????x???22?2,x?R，当

??0,??1时，f?x??使用范围上是不同的。

,x?R，叫作标准正态总体N?0,1?的概率密度函数，两者在

例54、灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为?（单位：小时），已知??N?1000,302?，要使灯泡的平均寿

命为1000小时的概率为99.700，问灯泡的最低使用寿命应控制在910小时以上。 【易错点分析】由于?服从正态分布，故应利用正态分布的性质解题。 解析：因为灯泡的使用寿命??N?1000,302?，故?在

?1000?3?30,1000?3?30?的概率为

99.700，即?在?910,1090?内取值的概率为99.700，故灯泡的最低使用寿命应控制在910小时以上。

【知识点归类点拨】在正态分布N布N2??,??中，?为总体的平均数，?为总体的标准差，另外，正态分2??,??在????,????的概率为68.3200，在???3?,??3??内取值的概率为99.700。解题时，应当注意正态分布N【练54】一总体符合N解析：由题意可得P??,??在各个区间的取值概率，不可混淆，否则，将出现计算失误。 ?0,1?，若??1??a,??2??b，则该总体在（1，2）内的概率为 。

?1???2???(2)??(1)?b?a。

【易错点55】对于数列的两个基本极限①limqn??n?0；②limSn?n??a11?q，两个极限成立的条件不同，

前者为

q?1；而后者为0?q?1。

Sn??an?中，a1?1，且n项和Sn，满足limn??2例55、在等比数列

1,那么a1的取值范围是（ ） a1A、

?1,??? B、?1,? C、?1,2? D、?1,4?

?a1，求a1的范围时，容易忽视q?0这个条1?q【易错点分析】利用无穷递缩等比数列的各项和公式s件。

解析：设公比为q，由limSnn???1知a11?a1??1?qa?a21?1?q122?????a1?1?1??0?a1?2??q?1????2又a1?1所以1?a1?2。 ?q?12??q?0?q?0??a1?1?a1?1?0?????存在?q?1或q?1???n【知识点归类点拨】对于limq??0?q?1?，公比的绝对值小于1的无穷等比数列n?????不存在?q?1或q??1?前n项和在n无限增大时的极限，叫做这个无穷数列各项的和。 【练55】lim3n3n?1??a?1?nn???1，求a的取值范围。 3?lim解析：

3n3n?1??a?1?nn??1?a?1??lim??lim???0nn??n??33???a?1?3??? ?3?1n?a?1?1,??4?a?23【易错点56】立体图形的截面问题。

例56、（2005哈师大附中、东北师大附中高三第二次联考）正方体

ABCD--A1B1C1D1，E、F分别是AA1、

，过E、D、P作正方体的截面，若截面为四边形，则P的轨CC1的中点，p是CC1上的动点（包括端点）迹是（）

A、 线段C1FB、线段CFC、线段CF和一点C1D、线段C1F和一点C。

【易错点分析】学生的空间想象能力不足，不能依据平面的基本定理和线面平行定理作两平面的交线。 解析：如图当点P在线段CF上移动时，易由线面平行的性质定理知：直线DE平行于平面BB1CC1，则过DE的截面DEP与平面BB1CC1的交线必平行，因此两平面的交线为过点P与DE平行的直线，由于点P在线段CF上故此时过P与DE平行的直线与直线BB1的交点在线段BB1上，故此时截面为四边形（实质上是平行四边形），特别的当P点恰为点F时，此时截面为DEFB1也为平行四边形，当点P在线段C1F上时如图分别延长DE、DP交A1D1、D1C1于点H、G则据平面基本定理知点H、G既在平

截面DEP内也在平面A1B1C1D1内，故GH为两平面的交线，连结GH分别交A1B1、B1C1于点K、N（注也有可能交在两直线的延长线上），再分别连结EK、KN、PN即得截面为DEKNP此时为五边形。故选C

DAEA1D1C1B1BCPF

HA1AEDBD1KNCFPC1GB1【知识点归类点拔】高考对用一平面去截一立体图形所得平面图形的考查实质上对学生空间想象能力及对平面基本定理及线面平行与面面平行的性质定理的考查。考生往往对这一类型的题感到吃力，实质上高中阶段对作截面的方法无非有如下两种：一种是利有平面的基本定理：一个就是一条直线上有两点在一平面内则这条直线上所在的点都在这平面内和两平面相交有且仅有一条通过该公共点的直线（即交线）（注意该定理地应用如证明诸线共点的方法：先证明其中两线相交，再证明此交点在第三条直线上即转化为此点为两平面的公共点而第三条直线是两平的交线则依据定理知交点在第三条直线；诸点共线：即证明此诸点都是某两平面的共公点即这此点转化为在两平的交线上）据这两种定理要做两平面的交线可在两平面内通过空间想象分别取两组直线分别相交，则其交点必为两平面的公共点，并且两交点的连线即为两平的交线。另一种方法就是依据线面平行及面面平行的性质定理，去寻找线面平行及面面平行关系，然后根据性质作出交线。一般情况下这两种方法要结合应用。

【练56】（1）（2005高考全国卷二）正方体ABCD—A1 B1 C1 D1中，P、Q、R、分别是AB、AD、B1 C1的中点。那么正方体的过P、Q、R的截面图形是（）

（A）三角形 （B）四边形 （C）五边形 （D）六边形 答案：D （2）在正三棱柱

ABC-A1B1C1中，P、Q、R分别是BC、CC1、A1C1的中点，作出过三点P、Q、R

截正三棱柱的截面并说出该截面的形状。答案：五边形。

【易错点57】判断过空间一点与两异面直线成相等的角的直线的条数

例57、（93全国考试）如果异面直线a、b所在的角为50,P为空间一定点，则过点P与a、b所成的角都

?是30的直线有几条？

A、一条 B二条 C三条 D四条

【易错点分析】对过点P与两异面直线成相同的角的直线的位置关系空间想象不足，不明确与两直线所的角与两异面直线所成的角的内在约束关系。

解析：如图，过点P分别作a、b的平行线a?、b?，则a?、b?所成的角也为50，即过点P与a?、b?成相等的角的直线必与异面直线a、b成相等的角，由于过点P的直线L与a?、b?成相等的角故这样的直线L在a?、b?确定的平面的射影在其角平分线上，则此时必有

p??Ala'B0Cb'co?sAPB?co?sAP?Ocos30?c?os当OPB?APO?coscos25??cos30??0,1?BPC?130时，有cos?APO?，此时这样的直线存在且有两条当时，有???cos25?cos30cos?APO??1这样的直线不存在。故选B ?cos65【知识点分类点拔】解决异面直线所成角的问题关键是定义，基本思想是平移，同时对本题来说是解决与两异面直线所成的等角的直线条数，将两异面直线平移到空间一点时，一方面考虑在平面内和两相交直线成等角的直线即角平分线是否满足题意，另一方面要思考在空间中与一平面内两相交直线成等角的直线的条数，此时关键是搞清平面外的直线与平面内的直线所成的角?与平面内的直线与平面外的直线在平面内的射影所成的角?的关系，由公式cos??cos?cos?（其中?是直线与平面所成的角）易知cos??cos?????，cos??cos?????（最小角定理）故一般地，若异面直线a、b所成的角为?，L与a、b所成的角均为?，据上式有如下结论：当0????2时，这样的直线不存在；当???2时，这样的直线只有一条；当?2??????2时，这样的直线有两条；当?????2时这样的直线有3条；当???2????2时，这样的直线有四条。 ??【练57】如果异面直线a、b所在的角为100,P为空间一定点，则过点P与a、b所成的角都是50的直线有几条？

A、一条 B二条 C三条 D四条 答案：C

\a??,a//b,b??\三【易错点58】有关线面平行的证明问题中，对定理的理解不够准确，往往忽视 个条件中的某一个。 例58、如图，PA[易错点分析]：在描述条件中，容易忽视AE?面PAD,MN?面PAD。 解析：取PD中点E，连结AE，EN，则有EN//CD//AB//AM，

P P E ?矩形ABCD所在的平面，M，N分别为AB，PC的中点。求证：MNE PAD//平面N N D D A A M M

B B C C

EN? ?11CD?AB?AM? 22AMEN为平行四边形，?MN//AE

AE?面PAD,MN?面PAD?MN//面PAD

[知识点归类点拨]判定直线与平面平行的主要依据是判定定理，它是通过线线平行来判定线面平行，这是所指的直线是指平面外的一条直线与平行于平面内的一条直线，在应用该定理证线面平行时，这三个条件缺一不可。

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