《导数及其应用》单元测试题（文科）

《导数及其应用》单元测试题（文科）

（满分：150分 时间：120分钟）

一、选择题（本大题共10小题，共50分，只有一个答案正确） 1．函数f(x)??2?x?的导数是（ ）

2(A) f?(x)?4?x (B) f?(x)?4?2x (C) f?(x)?8?2x (D) f?(x)?16?x 2．函数f(x)?x?e?x的一个单调递增区间是（ ）

(A)??1,0? (B) ?2,8? (C) ?1,2? (D) ?0,2?

g?(x)?3．已知对任意实数x，有f(?x)??f(，x)f?(x)?，0?g(?x)，则x?0时（ ）

，且gxx?0时，

A．f?(x)?0，g?(x)?0 C．f?(x)?0，g?(x)?0

3

B．f?(x)?0，g?(x)?0 D．f?(x)?0，g?(x)?0

4．若函数f(x)?x?3bx?3b在?0,1?内有极小值，则（ ）

12（A） 0?b?1 （B） b?1 （C） b?0 （D） b?4

5．若曲线y?x的一条切线l与直线x?4y?8?0垂直，则l的方程为（ ）

A．4x?y?3?0 B．x?4y?5?0 C．4x?y?3?0 D．x?4y?3?0 6．曲线y?e在点(2，e)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）

94x2Ａ．e

2 Ｂ．2e

2Ｃ．e

2Ｄ．

e22

7．设f?(x)是函数f(x)的导函数，将y?f(x)和y?f?(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）

8．已知二次函数f(x)?ax2?bx?c的导数为f'(x)，f'(0)?0，对于任意实数x都有

f(x)?0，则

f(1)f'(0)的最小值为（ ）

5232A．3 B． C．2 D．

9．设p:f(x)?ex?lnx?2x2?mx?1在(0，??)内单调递增，q:m≥?5，则p是q的（ ）

Ａ．充分不必要条件 Ｃ．充分必要条件

Ｂ．必要不充分条件 Ｄ．既不充分也不必要条件

10． 函数f(x)的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ） （A）0?f(2)?f(3)?f(3)?f(2) y （B） 0?f(3)?f(3)?f(2)?f(2) （C）0?f(3)?f(2)?f(3)?f(2) （D）0?f(3)?f(2)?f(2)?f(3) O 1 2 3 4 x 二．填空题（本大题共4小题，共20分）

11．函数f(x)?xlnx(x?0)的单调递增区间是＿＿＿＿．

12．已知函数f(x)?x?12x?8在区间[?3,3]上的最大值与最小值分别为M,m，则

M?m?＿＿．

3////////13．点P在曲线y?x?x?323上移动，设在点P处的切线的倾斜角为为?，则?的取值

范围是 14．已知函数y?13x?x?ax?5(1)若函数在???,???总是单调函数，则a的取值范围

32是 . (2)若函数在[1,??)上总是单调函数，则a的取值范围 .

（3）若函数在区间（-3，1）上单调递减，则实数a的取值范围是 .

三．解答题（本大题共4小题，共12+12+14+14+14+14=80分）

15．用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ 16．设函数f(x)?2x3?3ax2?3bx?8c在x?1及x?2时取得极值．

（1）求a、b的值；

2（2）若对于任意的x?[0，3]，都有f(x)?c成立，求c的取值范围．

17．设函数f(x)??x3?3x?2分别在x1、x2处取得极小值、极大值.xoy平面上点A、B的坐标分别为、，该平面上动点P满足PA?PB?4,点Q是点P关于直（x1,f(x1)）（x2,f(x2)）线y?2(x?4)的对称点，.求 (Ⅰ)求点A、B的坐标； (Ⅱ)求动点Q的轨迹方程.

3218. 已知函数f(x)?2x?3x?3. （1）求曲线y?f(x)在点x?2处的切线方程；

19．已知f(x)?ax33????????（2）若关于x的方程f?x??m?0有三个不同的实根，求实数m的取值范围.

?(a?1)x?4x?1?a?R?

2（1）当a??1时，求函数的单调区间。

（2）当a?R时，讨论函数的单调增区间。

（3）是否存在负实数a，使x???1,0?，函数有最小值－3？

20．已知函数f?x??x?a2x，g?x??x?lnx，其中a?0．

（1）若x?1是函数h?x??f?x??g?x?的极值点，求实数a的值；

（2）若对任意的x1,x2??1，e?（e为自然对数的底数）都有f?x1?≥g?x2?成立，求

实数a的取值范围．

【文科测试解答】 一、选择题

1．f(x)??2?x?2?4?2x2,?f?(x)?2?4?2x?2．f(x)?x?e3.(B)数形结合

4.A由f?(x)?3x2?3b?3?x2?b?,依题意，首先要求b>0, 所以f?(x)?3x?由单调性分析，x?b有极小值，由x?b??0,1?得.

?x2f?(x)?8?x;

?xex.?f?(x)?1?e?x?exx?e?x2?x?1?x??e，

?e?x2?0,?x?1选(A)

?bx???b

?5．解：与直线x?4y?8?0垂直的直线l为4x?y?m?0，即y?x4在某一点的导数为4，而y??4x3，所以y?x4在(1，1)处导数为4，此点的切线为4x?y?3?0，故选A 6．（D） 7．（D） 8．（C） 9．（B）

10．B设x=2,x=3时曲线上的点为AB,点A处的切线为AT 点B处的切线为BQ，

?f(3)?f(2)?f(3)?f(2)3?2?kAB y B T

?f?(3)?kBQ,f?(2)?kAT, A 如图所示，切线BQ的倾斜角小于

直线AB的倾斜角小于 Q 切线AT的倾斜角 ?kBQ?kAB?kAT O 1 2 3 4 x

所以选B 11．?,???

?e??1?12．32

?13．?0,????3??,?? ???2??4?14. (1)a?1;(2)a??3;(3)a??3.

三、解答题

15. 解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为

h?18?12x4?4.5?3x(m)3???0＜x＜?.

2??故长方体的体积为

V(x)?2x(4.5?3x)?9x22?6x(m)333(0＜x＜).

2从而V?(x)?18x?18x2(4.5?3x)?18x(1?x).

令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1. 当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜

23时，V′（x）＜0，

故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。

从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m. 答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。 16．解：（1）f?(x)?6x2?6ax?3b，

因为函数f(x)在x?1及x?2取得极值，则有f?(1)?0，f?(2)?0．

?6?6a?3b?0，即?

24?12a?3b?0．?解得a??3，b?4．

（2）由（Ⅰ）可知，f(x)?2x?9x?12x?8c，

2f?(x)?6x?18x?12?6(x?1)(x?2)．

32当x?(0，1)时，f?(x)?0； 当x?(1，2)时，f?(x)?0； 当x?(2，3)时，f?(x)?0．

所以，当x?1时，f(x)取得极大值f(1)?5?8c，又f(0)?8c，f(3)?9?8c．

3?时，f(x)的最大值为f(3)?9?8c． 则当x??0，

3?，有f(x)?c2恒成立， 因为对于任意的x??0，所以 9?8c?c2， 解得 c??1或c?9，

因此c的取值范围为(??，?1)?(9，??)．

17．解: (1)令f?(x)?(?x3?3x?2)???3x2?3?0解得x?1或x??1 当x??1时,f?(x)?0, 当?1?x?1时,f?(x)?0 ,当x?1时,f?(x)?0

所以,函数在x??1处取得极小值,在x?1取得极大值,故x1??1,x2?1,f(?1)?0,f(1)?4

所以, 点A、B的坐标为A(?1,0),B(1,4).

(2) 设p(m,n)，Q(x,y)，PA?PB???1?m,?n???1?m,4?n??m2?1?n2?4n?4

kPQ??12，所以

y?nx?m2??12，又PQ的中点在y?2(x?4)上，所以

y?n2?x?m??2??4? ?2?消去m,n得?x?8???y?2??9.

2另法：点P的轨迹方程为m2??n?2??9,其轨迹为以（0，2）为圆心，半径为3的圆；

2设点（0，2）关于y=2(x-4)的对称点为(a,b),则点Q的轨迹为以(a,b),为圆心，半径为3的圆，由

b?2a?0??12，

b?22?a?0??2??4?得a=8,b=-2 ?2?

218．解（1）f?(x)?6x?6x,f?(2)?12,f(2)?7, ?????????2分

∴曲线y?f(x)在x?2处的切线方程为y?7?12(x?2)，即12x?y?17?0；??4分 （2）记g(x)?2x?3x?m?3,g?(x)?6x?6x?6x(x?1)

令g?(x)?0,x?0或1. ??????????????????????6分 则x,g?(x),g(x)的变化情况如下表 x g?(x) g(x) (??,0) 0 (0,1) ? 1 322(1,??) ? ? 0 0 ? ? 极大 ? ?g(0)?0?g(1)?0极小 当x?0,g(x)有极大值m?3;x?1,g(x)有极小值m?2. ?????????10分 由g(x)的简图知，当且仅当?,

即??m?3?0?m?2?0函数g(x)有三个不同零点，过点A可作三条不同切线.

,?3?m??2时，

所以若过点A可作曲线y?f(x)的三条不同切线，m的范围是(?3,?2).????14分

19．（1）x????,?2?,或x??2,???,f(x)递减; x???2,2?,f(x)递增; （2）1、当a?0,

x????,?2?,2?f(x)递增;2、当a?0,x???,2?,f(x)递增;3、当0?a?1,x????,2?,或

?a??2?x??,???,f(x)递增; ?a?当a?1,x????,???,2?f(x)递增;当a?1,x?????,?,或x??2,???,f(x)?a?递增;（3）因a?0,由②分两类（依据：单调性，极小值点是否在区间[-1,0]上是分类“契机”： 1、当2?2???1,?a??2, x???1,0???,2?,a?a?f(x)递增，f(x)min?f(?1)??3，解得a??34??2,

2、当2a?3?6??1,?a?2f(x)?f()??3，化简得：3a2?3a?1?0，解得 由单调性知：?2,mina34a?21??2,不合要求；综上，a??为所求。

20．（1）解法1：∵h?x??2x?∴h??x??2?ax22a2x ???， ?lnx，其定义域为?0，?1x．

2∵x?1是函数h?x?的极值点，∴h??1??0，即3?a?0．

∵a?0，∴a?经检验当a?∴a?3．

3时，x?1是函数h?x?的极值点，

3．

解法2：∵h?x??2x?∴h??x??2?ax22a2x???， ?lnx，其定义域为?0，?1x． ax22令h??x??0，即2?2?1x?0，整理，得2x?x?a?0．

22∵??1?8a?0， ∴h??x??0的两个实根x1??1?1?8a42（舍去），x2??1?1?8a42，

当x变化时，h?x?，h??x?的变化情况如下表：

x ?0,x2? — ? x2 ?x2,??? ＋ ? h??x? h?x? 0 极小值 依题意，

?1?1?8a42?1，即a2?3，

∵a?0，∴a?3．

（2）解：对任意的x1,x2??1，e?都有f?x1?≥g?x2?成立等价于对任意的x1,x2??1，e?都有??f?x???min≥??g?x???max．

当x?［1，e］时，g??x??1?1x?0．

∴函数g?x??x?lnx在?1，e?上是增函数． ∴??g?x???max?g?e??e?1．

∵f??x??1?ax22??x?a??x?a?x2，且x??1,e?，a?0．

①当0?a?1且x?［1，e］时，f??x??∴函数f?x??x?a2?x?a??x?a?x2?0，

x在［1，e］上是增函数，

2∴??f?x???min?f?1??1?a.

由1?a2≥e?1，得a≥e，

又0?a?1，∴a不合题意．

②当1≤a≤e时， 若1≤x＜a，则f??x??若a＜x≤e，则f??x??∴函数f?x??x?a2?x?a??x?a?x?x?a??x?a?x22?0， ?0．

x在?1,a?上是减函数，在?a，e?上是增函数．

∴??f?x???min?f?a??2a. 由2a≥e?1，得a≥又1≤a≤e，∴

e?12e?12，

≤a≤e．

③当a?e且x?［1，e］时，f??x??∴函数f?x??x?a2?x?a??x?a?x2?0，

x在?1，e?上是减函数．

∴??f?x???min?f?e??e?由e?

a

2

a2e.

≥e?1，得a≥e，

e

又a?e，∴a?e． 综上所述，a的取值范围为

育星教育网 www.ht88.com

?e?1?,???． ?2??

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/xw73.html