曲面论

给定正则曲面??=?? ??,?? =??(?? ??,?? ,?? ??,?? ,??(??,??))

如果????×????≠0,就称为正常点。那么该曲面的切平面由??,????,????来确定，法向量由??,????×????来确定。

线性微分方程?? ??,?? ????+?? ??,?? ????=0表示曲面上的一曲线族；二阶微分方程?? ??,?? ????2+2?? ??,?? ????????+?? ??,?? ????2=0表示曲面上的曲线网。

曲面第一基本形式

曲面??:??=?? ??,?? 上的曲线??:??=?? ??(??),??(??) 的弧长的微分形式是： ??=????2=??????2+2??????????+??????2称为曲面??的第一基本形式。 其系数??=?????????,??=?????????,??=?????????称为曲面??的第一基本量。

曲面上两方向的夹角

给出曲面上的两个方向(????:????)和(????:????),其夹角??满足： ????????=

??????????+?? ????????+???????? +??????????

??????2+2??????????+??????2 ??????2+2??????????+??????2 两个方向(????:????)和(????:????)垂直的条件是： ??????????+?? ????????+???????? +??????????=0 ????,????的夹角??为： ????????=

???????????= ???? ???? ????正交曲线族和正交轨线

曲面域的面积

2??2? ???? 2???????? ????= ????????×???????? = ????×???? ????????= ????×???? 2????????= ??????????

= (???????2)???????? 曲面第二基本形式

Ⅱ=??·??2??=??????2+2??????????+??????2 其中：

??=

????×????????×????= ????×???? ???????2??=?????·????=??????·??=

??????,????,???? ???????2 ??=?????·????=?????·????=??????·??=

??=?????·????=??????·??=

??????,????,???? ???????2 ??????,????,???? ???????2 曲面上曲线的曲率

曲面??:??=?? ??,?? 上的曲线??:??=?? ??(??),??(??) =??(??)；其中，??是自然参数。??表示曲线??的主法向量??和曲面??的法向量的夹角，那么

??????2+2??????????+??????2

??????????== 2+2??????????+??????2??????ⅠⅡ给出曲面??上的一点??和??点处一方向(??)=????:????，那么，曲面上??点的法方向与(??)所确定的平面，称为当地的法截面。法截面与曲面的交线称为当地的法截线。其曲率称为法曲率kn。

Dupin指标线

在过??点的切平面上建立坐标系，????和????为基向量。过??点沿方向(d)画线段：

1 ，则对于切平面上的所有方向，??的轨迹称为当地的Dupin指标线。在该????

坐标系下，其方程是：

????=

????2+2??????+????2=±1 椭圆点，双曲点，抛物点，平点

双曲点的渐近线的方向称为当地的渐近方向，方程为：

??0????2+2??0????????+??0????2=0 曲面上的曲线，若每一点的切方向都是渐近方向，称为渐近曲线。其微分方程为：

??????2+2??????????+??????2=0 如果曲面上的点都是双曲点，那么就存在两族渐近曲线，称为渐近网。 曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是：

??=??=0 设曲面上P点处的两个方向 ?? =????:????和 ?? =????:????所在的直线是P点的Dupin指标线的共轭直径，那么这两个方向称为当地的共轭方向。

方向 ?? 和 ?? 共轭的充要条件是：

??0????????+??0 ????????+???????? +??0????????=0 也可表示为：?????????=0或?????????=0

曲面上的两族曲线，过曲面上每一点的两条曲线的切方向都是共轭方向，就称为共轭网。

曲线族Adu+Bdv=0的共轭曲线族的方程是：

??????+??????

??

即:

????????? ????+ ????????? ????=0 曲面的曲纹坐标网是共轭网的充要条件是：??=0

曲面的主方向和曲率线

曲面上点P的两个方向是当地的主方向，如果它俩既正交又共轭。 设????:????是主方向，那么，它必然满足下面的二次方程：

????2 ????

其判别式为：

?= ????????? 2?4 ????????? ????????? 2??4 ???????2 ????????? + ????????? 2 = ????????? ?2????所以，?≥0.

当?=0时，这样的点称为脐点。有：

??????

== ????????=??=??=0的脐点称为平点，其余的称为圆点。脐点的每一个方向都是主方向。 当?>0时，恰有两个主方向，它们是当地的迪潘指标线的主轴方向。 主方向判定定理：

?? =(????:????)是主方向 ? ????=??????????，????是曲面沿方向(??)的法曲率。

2

??????+??????

=0 ??

?????????????

????2

?? =0 ??

曲面上某曲线上每一点的切方向都是主方向，称为曲率线，方程是：

????2 ????

这个方程确定了曲率线网。

定理：曲面上的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是 ??=??=0

主曲率、Gauss曲率、平均曲率

曲面上一点处的主方向上的法曲率称为当地的主曲率。主曲率是当地所有的法曲率的最大值和最小值。

在曲面??:??=??(??,??)上，把曲率线网视为曲纹坐标网，则??=??=0，此时对于曲面的任意方向(??)=????:????，法曲率公式可以简化为：

??????2+??????2

????== 2+??????2??????Ⅰ

Ⅱ

?????????

????

????2

?? =0 ??

??

沿??—曲线 ????=0 的方向上的主曲率是 ??1=

??沿??—曲线 ????=0 的方向上的主曲率是 ??2=

设??为方向????:????和??—曲线 ????=0 的夹角，那么 ????????=

??????????+?? ????????+???????? +??????????

??????2+2??????????+??????2? ??????2+2??????????+??????2=

??????????

??????2+??????2? ??????2?? ?? 那么，

??????2

????????= ??????2+??????22

??????2

????????=1?????????= ??????2+??????22

2

于是，

??????2+??????2????????2????????2

????===+= ??1??????2??+??2??????2?? 222222????????+??????????????+??????Ⅰ??????+??????Ⅱ

这个公式称为 ?????????? 公式 。

在其它曲纹坐标网下面，主曲率的计算公式是：

?????????

?????????

?????????

=0，即 ?????????

2 ???????2 ????? ?????2????+???? ????+ ???????2 =0

??????????曲率

???????2

??=??1??2= ???????2平均曲率

??=

??1+??2?????2????+????

= 22 ???????2 高斯曲率的几何意义

曲面的球面表示：

当地的单位法向量平移到单位球面的球心，?????′，这种对应又称为高斯映射。如右图： 曲面的球面表示的第一基本形式叫做原曲面的的第三基本形式。

Ⅲ=????2=??????2+2??????????+??????2= ????????+???????? 2，所以第三类基本量是：

??=????·????，??=????????，??=???????? 第三基本形式可以由第一、第二基本形式来表示：Ⅲ?2??Ⅱ+??Ⅰ=0 设曲面上P点的邻域 σ 在单位球面对应于 σ′ ，那么，当地的高斯曲率KP满足：

???? =??????

??′的面积 ??的面积

??→??

一套新的符号

??=??1，??=??2，????=??1，????=??2， ??????=??11，??????=??12，??????=??21，??????=??22， ??=??11=??1???1，??=??12=??21=??1???2，??=??22=??2???2，

??11

???????2= ??

21??12

??22 =??， ??=??11=??11???，??=??12=??21=??12???，??=??22=??22???， 2

2

2

= ， = ， ??=1

??

??,??

??=1??=1

曲面的基本方程

??

??????= ??????????+ ?????????， ?? ??，??，??=1，2 ??= ??????，

???? ??

??

第一类Christoffel符号：

????????????????????????

??+?????????????????=???????????= ???? ????，?? =?????????????? . 2??

第二类Christoffel符号：

??????

????????????????????????

+?

?????????????????? 2????

????????= ?? ????，?? =

??

??

于是：

??111=

????????? 2????????? ?? 2????????? ???????

2，??=， 11

2 ???????2 2 ???????2 ??112=

??????????????????????????

2，??=， 12

2 ???????2 2 ???????2 ??122=

?? 2????????? ???????????????? 2????????? 2

，??=. 22

2 ???????2 2 ???????2 其它系数：

????=? ???????????? ??

1??1=

??

?????+?????????????2

，??=， 1

???????2???????2??????????????+????2

，??=. 2

???????2???????2??12=

所以，曲面的基本方程是：

??

??????= ??????????+ ?????????， ?? ??，??，??=1，2 ??= ??????????，

?????? ??

??,??

第一式称为高斯方程，第二式称为Weingarten方程。

曲面的Riemann曲率张量

??

????????

????????????????????????????=?+ ????????????????????????? ，??,??,??.??.??=1,2 ??????????????

另一种是：

??

??????????= ?????????????? ,??,??,??,??=1,2 ??

有恒等式：

????????????

????????=????????? ,????????=0 ,????????+????????+????????=0 ,

??????????=??????????? ,??????????=0 ??????????=??????????? ,??????????=0 ??????????=?????????? ,??????????+??????????+??????????=0 16个黎曼曲率张量里，只有一个是独立的，即R1212 . 黎曼曲率张量只与第一基本形式有关，它经过等距变换后保持不变。 对曲面的基本方程求微商，有： 高斯公式：??????????=????????????????????????? 科达奇—迈因纳尔迪公式：

????????????????

??

?= ??????????????????????????? ??????????????

??1212=??12??12???11??22=? ???????2 =??? ???????2 ，所以有

??=?

下面给出高斯曲率的内蕴表达式：

??1212

????????? ??=

?????????????22?????????2????2????2????

?????????

????2 ???????2 20????? 2????2????2????

????2????

曲面论基本定理

给定两个二次形式：

2

Ⅰ=??????2+2??????????+??????2= ??????????????????

??,??=12

Ⅱ=??????2+2??????????+??????2= ??????????????????

??,??=1

其中Ⅰ是正定的。若??????和??????对称，且满足高斯—科达奇—迈因纳尔迪公式，则存在唯一的曲面，使得Ⅰ和Ⅱ分别为此曲面的第一和第二基本形式。

测地曲率

定义：曲面??:??=?? ??1,??2 上的一条曲线??:????=???? ?? ,??=1,2.其中??是C的自然参数。 ??是??上一点，??、??、??分别是??在当地的单位切向量、主法向量、副法向量，??是??在当地的单位法向量，??是??和??的夹角，那么??在当地的??方向上的法曲率是

????=??????????=???????=????? 令??=??×??，则??,??,??是互相正交的单位向量，构成右手系。那么，曲线C在P点的曲率向量??=????在??上的投影????=?????=???????=?? ??,??,?? =?? ??×?? ???=???????称为当地的测地曲率。

曲面??上曲线??在??点的测地曲率的绝对值等于曲线??在P点关于曲面S的切平面上的正投影曲线???的曲率。 下面给出测地曲率的公式：

????????

????1??2??2????2??2??12????????1????????????= ?? + ?????? ? + ?????? ????????2????????????????2??????????,??

??,??

=

?????????????????????+???????? ????2?? ??2?? ??=

????1????????1?????????????????+???????? ????2 ??????????2 ??=

????

???????????????+?????????????? ????其中，??????和??????分别表示当地的??—曲线和??—曲线的测地曲率。

测地线

曲面上的曲线，若测地曲率处处为零，则称为测地线。

曲面上非直线的曲线是测地线，充要条件是，除了曲率为零的点以外，曲线的主法线重合于曲面的法线。

两曲面切于一曲线，此曲线是其中一个曲面的测地线，那么，它也是另一个曲面的测地线。

曲面上的测地线方程：

????

??2??????????????+ ??????=0,??=1,2. ????2????????

??,??

给出初始条件：（也就是给出曲面上一点和一个切方向）

??=??0 时 ??=

??

??

??0,

????????????

= ， ????????0

根据常微分方程理论，存在唯一一条曲线??：????=???? ?? 过已知点?? ??1 ??0 ,??2 ??0 ，并且切于给定的方向

????1????

,

0

????2????

0

半测地坐标网

一族是测地线，另一族是它的正交轨线。

曲面上的任意曲线，必定位于某个半测地坐标网内。 当在曲面上取半测地坐标网时，曲面的第一基本形式怎样！

取曲面上一条测地线??为??—曲线：??=??0，再取与??正交的测地线族为??—曲线，另取这测地线族的正交轨线为??—曲线，就得到一个半测地坐标网。曲面的第一基本形式可以化简为

????2=????2+??????2 其中??(??,??)满足条件

?? ??0,?? =1，???? ??0,?? =0 参数u和v的几何意义是：在测地线族上，介于v—曲线u=c1和u=c2之间的弧长为 c2?c1 ；在测地线C上介于u—曲线v=d1和v=d2之间的弧长为 d2?d1

曲面上测地线的短程性

1+

u1u2

Gv2du

≥ du=u2?u1

u1

u2

需要说明的是，要限定在充分小的曲面片上。

??????????—????????????公式

在曲面S上给出一个由k条光滑曲线段所围成的曲线多边形，它围成了一个单连通曲面域G。多边形是G的边缘，记为?G。曲面S的高斯曲率和测地曲率分别为K和kg，曲面的面积元素和弧长元素分别为dσ和ds,则有：

k

Kdσ+ kgds+ π?αi =2π，

G

?G

i=1

其中αi是?G的第i个内角的角度，π?αi是外角的角度。 如果?G是一条光滑曲线，则有

Kdσ+ kgds=2π

G

?G

如果?G由测地线组成，则有

k

Kdσ+ π?αi =2π

G

i=1

曲面上向量的平行移动

曲面上向量的平行移动

Levi—Civita平行移动：??变成??+????

向量沿一条曲线C平行移动的充要条件是：沿C所作的切平面的包络面所得可展曲面展开在平面上时，所得到的向量在平面上为平行移动。

诸切向量沿着曲面曲线C平行移动时，这些向量的长度及夹角保持不变。

曲线C为测地线的充要条件是：它的切向量在Levi—Civita平行移动的意义下沿着C是互相平行。

极小曲面

极小曲面的平均曲率为0.

常高斯曲率的曲面

对于半测地坐标网，曲面的高斯曲率是

1??2 ????=? 2???? ??因为K是常数，则得微分方程

??2 ??+?? ??=0 ????2根据初始条件：

?? ??0,?? =1，???? ??0,?? =0 正常数高斯曲率曲面的第一基本形式与球面相同。0高斯曲率曲面的第一基本形式与平面相同。负常数高斯曲率曲面的第一基本形式与伪球面相同。

伪球面

??

??????????????????,??????????????????,±?? ??????????+???????? 2

1??2 ??1

??=?=? 22?????? ??

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