抽象代数习题

1

1. 〈{1，2，3，4}，·5〉和〈{0，1，2，3}，+4〉是否同构？ 2. 代数结构〈I，+〉与〈N，·〉是否同构？

3. 设X为集合，证明〈P（X），∩〉与〈P（X），∪〉是同构的。 4. 求出〈N6，+6〉的所有自同态。

1. 给定代数结构〈I，+，·〉，定义I上的二元关系R为：

i R j 当且仅当 | i | = | j| ,

关于加法运算 +，R是否具有代换性质？对于乘法运算·呢？

2. 设R是N3上的等价关系。若R关于 +3具有代换性质，则R关于·3也一定具有代换性质。求出N3上的一个等价关系S，使其关于·3具有代换性质，但关于 +3不具有代换性质。

3. 试确定I上的下述关系R是否为〈I，＋〉上的同余关系： a) x R y 当且仅当 (x＜0∧y＜0＝∨(x≥0∧y≥0)； b) x R y当且仅当 | x·y |＜10；

c) x R y当且仅当 (x = 0∧y= 0)∨(x≠0∧y≠0)； d) x R y当且仅当 x ≥ y。

第二章

2. 在以下给出的N上的关系R中，哪些是么半群〈N，+〉上的同余关系？对于同余关系求出相应的商么半群。

a) aR b 当且仅当 a－b是偶数。 b) aR b 当且仅当 a＞b。

c) aR b 当且仅当 存在r∈I 使a= 2 r·b。 d) aR b 当且仅当 10整除a－b。

3. 设〈S，*〉是半群，a∈S，在S上定义二元运算·如下：

x·y = x * a* y， x，y∈S

证明〈S，·〉也是半群。

4. 设〈M，*〉是么半群且＃M≥2。证明M中不存在有左逆元的左零元。

??a0????a0??，5. 设·为矩阵的乘法运算。证明： S???|a,b?R,T?|a?R????????0b????00??1)〈S，·〉为么半群； 2)〈T，·〉为么半群； 3)〈T，·〉是〈S，·〉的子半群，但〈T，·〉不是〈S，·〉的子么半群。 9. 试证明每个有限半群至少有一个幂等元素。

定理2.2.5 设〈G，*〉为群。若k∈I且a∈G的阶为n，则a k = e 当且仅当 n｜k 。 定理2.2.6 设〈G，*〉为群且a∈G。若k∈I且a的阶为n，则a k 的阶为 n /（k，n）。

－1

推论 设〈G，*〉为群。若a∈G，则a与a的阶相同。

2

定理2.2.7 设〈G，*〉为交换群且a，b∈G。若a的阶为m，b的阶为n且（m，n）=1，则ab的阶为mn。

定理2.2.8 有限群〈G，*〉的每个元素的阶为有限的，并且不超过 ＃G 。

习题2.2

2. 设〈G，*〉是群，u∈G，定义G上的二元运算·如下：

－

a·b = a* u1 * b， a，b∈G

证明〈G，·〉也是群。

3. 设〈G，*〉为群，如果对任意a∈G均有a2 = e，则〈G，*〉为交换群。

4. 设〈G，*〉为群，证明〈G，*〉是交换群，当且仅当对任意a，b∈G，均有 (ab)2 = a2

b2。

5. 设〈G，*〉为群，且对任意a，b∈G均有 (ab)3 = a3b3且 (ab)5 = a5b5。证明〈G，*〉为交换群。

5. 设〈G，*〉是群，a，b∈G，a不是G的么元且a4b = ba5。证明ab≠ba。 6. 证明每个元素都可约的有限半群是群。 7. 证明有限多个群的积代数结构仍是群。 10. 设〈G，*〉是群，a，b，c∈G。证明

－

1) a和b1ab的阶相同； 2) ab和ba的阶相同；

3) abc，bca和cab的阶相同。

11. 有限群中阶大于2的元素个数必为偶数。 12. 证明〈Nn－{0}，·n〉是群，当且仅当 n为素数。

13. 设d，m∈I+ 。证明 d是m的因子 当且仅当 d是〈Nm，＋m〉中某元素的阶。 14. 求下列群中每个元素的阶： 1) 〈N5，＋5〉； 2) 〈N12，＋12〉； 3) 〈N7－{0}，·7〉； 4) 〈N13－{0}，·13〉。

－

定理2.3.2 若H为群G的非空子集，则H≤G，当且仅当对任意a, b∈H皆有a * b1∈H。 定理2.3.3 若群G的非空有穷子集H关于G的二元运算封闭，则H≤G。 定理2.3.5 设f是群G1到G2的群同态，ei 为Gi的幺元（i = 1, 2）。 i） f (e1) = e2 。

－－

ii） 若a∈G1，则f (a1 ) = ( f (a ) )1 。 iii） 若H≤G1，则 f [H]≤G2 。

iv） 若f为群单同态且a∈G1，则a的阶与 f (a ) 的阶相同。

习题2.3

1. 找出下列各群的所有子群。 a) 〈N12，+12〉； b) 〈N5，+5〉； c) 〈N7－{0}，·7〉；

3

d) 〈N11－{0}，·11〉。

2. 求下列各群上的自同态。 1) 〈N8，+8〉； 2) 〈N6，+ 6〉； 3) 〈N5－{0}，·5〉； 4) 〈N7－{0}，·7〉。

3. 设f是群〈G1，*〉到〈G2，·〉的群同态，a∈G1 。a与f (a) 的阶一定相同吗？证明你的断言。

4. 设H1和H2是群G的子群，证明H1∩H2 也是G的子群。H1∪H2是G的子群吗？证明你的断言。

5. 设H是群G的非空子集，并且H中每个元素的阶都有限，则H为G的子群的充分必要条件是H关于G的乘法封闭。

6. 设f 和g均为群G1到G2的群同态，令

H = { a∈G1 | f (a) = g (a) }

证明H是G1的子群。

7. 设G是群，H和K是G的子群。

a) HK和KH必为G的子群吗？试证明或给出反例； b) HK是G的子群，当且仅当HK＝KH。 8. 设〈G，*〉是群，令

C (G) = { x∈G | 若y∈G，则x * y = y * x }

证明C (G) 是G的子群。C (G) 称为 群G的中心。

9. 设H为群G的子群，a∈G，令

－－

aHa1 = { aha1 | h∈H }

－－

证明aHa1 是G的子群。aHa1 称为H的共轭子群。

10. 设H为群G的子群，令

－

N (H) = {a∈G | aHa1 = H}

证明N (H) 是G的子群。N (H) 称为H的正规化子。

11. 群G的自同构是从G到G的同构。证明G的所有自同构的集合关于函数的合成运算构成群。

12. 设G是有限群，H是G的子群，a∈G。证明存在最小正整数m使am∈H，且m是a的阶n的因子。

13. 设a是群G的阶为n的元素，H是G的子群。证明：如果am∈H且 (m，n) =1，则a∈H。

2. 求下列置换：

?1a) ??2??1b) ??4?234??1234????? ??431??4321??323456??

52631??c) (1 2 3 4 5) ? (2 3 4) d) (3 6 2)?(1 5) ? (4 2)

?1123456??e) ? ??216534???4

f) (1 2 4 6 5 7)2

3. 将下列置换表示为无公共元素的循环的乘积：

－

?1a) ??6??1b) ??2??1c) ??8?2124293236344341425455576?? 5??67?? ?73?6789??

3516??4. 除么元外，每个元素的阶都是2的四阶群称为克莱因（Klein）四元群。

a) 列出克莱因四元群的运算表； b) 找出克莱因四元群的所有子群； c) 找出与克莱因四元群同构的置换群。

5. 指出下列群是否为循环群？若是循环群，则给出其一个生成元： 1) 有理数加群〈Q，+〉；

2) 正有理数乘法群〈Q+ ，·〉； 3) 〈Gn，·〉，其中Gn = {x | x∈C且xn =1}，n为正整数，·为复数的乘法。 4) 〈I，*〉，其中a* b = a + b－2，a，b∈I 。

6. 设G为群，a，b∈G，a的阶为素数p且a?(b)。证明 (a)∩(b) = {e}。 8. 设H = (am)，K = (an) 是循环群G = (a) 的两个子群，且d = [m，n]。证明H∩K ＝ (ad )。 9. 任一无限群必有无穷多个子群。 10. 证明循环群的子群必为循环群。 11. 证明无限循环群恰有两个生成元。

12. 无限循环群的子群除{e}外均为无限循环群。 13. 设存在代数结构〈G，·〉到〈G′，*〉的满同态，如果〈G，·〉是循环群，则〈G′，*〉也是循环群。

14. 设G是无限循环群，G′是任意循环群。证明存在G到G′的满同态。

定理2.5.4（拉格朗日定理） 如果H是有限群G的子群，则＃H整除 ＃G，并且＃G = ＃H·［G∶H

推论1 有限群G的每个元素的阶整除G 推论2

例4 若将同构的群视为一个群，则只存在两个4阶群，并且都是交换群。 例5 若H和K是群G的子群且K△G，则H∩K△H

定理2.5.6 设H△G，则G关于H的陪集关系R是G 定理2.5.7 设H为群〈G，·〉的不变子群，则〈G，·〉关于H的陪集关系的商代数结构 〈G / H，⊙〉是群，并称为G关于H的商群。其中对任意a·H，b·H∈G / H， (a·H) ⊙ (b·H) = (a·b)·H。

定理2.5.8 设R是群〈G，·〉上的同余关系，则［e］R △G，并且R是G关于［e］R 的陪

定义2.5.3 设f是群G1到G2的群同态，集合 {g ∈G1｜f (g) = eG2} 称为f的同态核，记为Ker f，其中eG2为G2的幺元。

5

定理 2.5.9 设f：G1 →G2i) Ker f △G１

ii) f是内射 当且仅当 Ker f = {eG1}

定理2.5.10 （群第一同构定理） 设f是群〈G1 ，·〉到〈G2 ，*〉的群同态，则商群〈G1 / Ker f，⊙〉同构于〈 f［G１］，*

这只是定理1.5.2

定理2.5.12 若H，K是群G的有限子群，则｜H K｜=｜H｜·｜K｜/｜H∩K｜。 定理2.5.13 设G为群。若K≤G且H△G，则 i) H∩K△K； ii) H△〈H∪K〉； iii) HK =〈H∪K〉；

iv) 如果K△G且H∩K = {e}，则对任意h∈H，k∈K，均有hk = kh。

定理2.5.14（群第二同构定理） 设G为群且K≤G。若H△G，则K/H∩K ? HK/H。

定理2.5.15 （群第三同构定理） 设G为群，H△G且K△G。若K≤H，则H/K△G/K且(G/K)/(H/K) ? G/H。

1. 设n∈I + ，p为素数，证明pn阶群必有p阶子群。 2. 证明6阶群恰有一个3阶子群。

3. 设G为群，C (G) 为G的中心，证明C (G) △G。 4. H△G且K△G，证明 1) H∩K△G； 2) HK△G。

5. 证明指数为2的子群必为不变子群。

6. 求〈N24，+24〉的6阶子群H及N24关于H的商群。

7. 设K△H，H△G，问K是否必为G的不变子群？证明或举出反例。 7. 设p，q是两个不同的素数，G为pq阶交换群。证明G是循环群。

9. 证明存在从m阶循环群G1到n阶循环群G2的满同态，当且仅当 n | m。 10. 设H是循环群G的子群，证明G/H也是循环群。

11. 设H为群G的不变子群，且＃H =2。证明H?C (G)。

12. 设H是群G的阶为n的子群，且G只有一个阶为n的子群。证明H是G的不变子群。 13. 设H是群G的子群，如果H的任意两个左陪集的乘积仍是一个左陪集，则H是G的不变子群。

14. 设H，K是群G的有限子群，且＃H与＃K互素。证明H∩K ＝{e}。

15. 设p和q为素数，p

16. 设H是群G的子群且H?C (G)，则H是G的不变子群。并且若G/H是循环群，则G是交换群。

17. 设H是群G的子群，N (H) 为H的正规化子。证明：H△G当且仅当G = N (H)。 20. 证明阶数为p2的群必为交换群，其中p为素数。 21. 设G是交换群，H = {x∈G | x的阶是有限的}。证明

习题2.5

11

a) a = b ? (a*b′) ? (a′*b) = 0 b) a = 0 ? (a*b′) ? (a′*b) = b

c) (a?b′)* (b?c′)* (c?a′) = (a′?b)* (b′?c)* (c′?a) d) (a?b)* (a′?c) = (a*c)? (a′*b) = (a*c)? (a′*b)? (b*c) e) a≤b ? a? (b*c) = b*(a?c) 2. 化简下列布尔表达式： a) (a*b′)′?(a?b) ′

b) (a′*b′*c′) ? (a*b′*c) ? (a*b′*c′) c) (a*c) ? c ? ((b?b′)*c) d) (1*a) ? (0*a′) 3. 设S = {a，b，c}，〈P（S），∩，∪，~， ?，S 〉是集合代数，〈B，*，?，′，0，1〉是电路代数，定义g：P（S）→B如下：

如果b?x ?1 g(x)??如果b?x?0 证明g是布尔同态。

4. 设〈B，*，?，′，0，1〉和〈P，∩，∪，~， ?，?〉是布尔代数，g是从〈B，*，?〉到〈P，∩，∪〉的格同态，并且g(0) = ?，g (0) = ?。证明g是布尔同态。

5. 设〈A，*，?，′，0，1〉是布尔代数。证明〈A，+，*〉是布尔环，其中 + 定义为： a +b = (a*b′) ? (a′*b) 。

6. 设〈B，+，*〉是有幺元1的布尔环。证明〈B，*，?，′，0，1〉是布尔代数，其中

a ? b = a + b + (a*b)， a′= 1 + a

8. 设f是布尔代数S到S′的同态映射，R是S上对应于f的同余关系。证明商代数S/R是布尔代数。

9. 设f是布尔代数〈S，*，?，′，0，1〉到〈S′，∩，∪，~，?，?〉的同态映射，令－1

J = f[{?}]。证明J具有以下性质：

① 0∈J；

② 若a∈J，则对一切x≤a，均有x∈J； ③ 若a，b∈J，则a?b∈J。

具有以上性质的S的子集称为S的理想。

10. 证明J是布尔代数〈S，*，?，′，0，1〉的理想 当且仅当 J是布尔环〈S，+，*〉的理想，其中 + 的定义如第6题。

11. 证明二阶布尔代数是域。

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