层次分析法

层次分析法

（analytic hierarchy process,AHP）

一、概述

将决策问题的有关元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础上对人的主观判断做定量描述的一种分析方法。它并不是一种数学模型，而是定量分析与定性分析相结合的典范。

基本步骤：

1、将问题概念化，找出研究对象所涉及的主要因素。

2、分析各因素的关联、隶属关系，构造系统的递阶层次结构。

3、对同一层次的各因素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，构造判断矩阵。 4、由判断矩阵计算被比较因素对上一层次该准则的相对权重，并进行一致性检验。

5、计算各层次因素相对于最高层次，即系统目标的合成权重，进行层次总排序，并进行一致性检验。

二、基本原理与计算方法 （一）递阶层次结构

目标层：最高层，只有一个元素

准则层：中间层，可以分为若干个层次 方案层：最底层，也就是措施层

完全层次关系：如果某个元素与下一层次中的所有元素都有关系 不完全层次关系：如果某个元素只与下一层次中的部分元素有关系 完全层次结构：如果一个递阶层次结构的所有层次都是完全层次关系 不完全层次结构：反之

主要特征:

1.从上到下顺序地存在支配关系

2.整个结构中层次数不受限制，最高层次的元素即系统总目标只能有一个，每个元素所支配的下一层次的元素一般不超过9个，同一层次元素的位置可以变动。 3.层次之间元素的联系比同一层次各元素间的联系要强的多，同一层次的各元素视为是相互独立的。

（二）判断矩阵的建立

在构建出递阶层次结构后，再按照某一准则，对同一层次的元素相对于上一层次的某个元素进行一对一的比较，按标度构造出判断矩阵。

标度形式：

绝对标度：常用的重量、体积、长度、温度等剂量单位 相对标度：大多数社会经济现象，运用两两比较的方法b

1~9的比例标度

标度 bij 含义 1 表示两个因素相比，具有相同的重要性 3 5 7 9 2,4,6,8 倒数 表示两个因素相比，i因素比j因素稍微重要 表示两个因素相比，i因素比j因素明显重要 表示两个因素相比，i因素比j因素强烈重要 表示两个因素相比，i因素比j因素极端重要 上述两相邻判断的中值 Bij 表示j元素与i元素的比较判断，有 bij=1/ bij

Ak B1 B2 ... Bi ... Bn

B1 a11 a21 ... ai1 ... an1 B2 a12 a22 ... ai2 ... an2 ... ... ... ... ... ... ... Bj a1j a2j ... aij ... anj ... ... ... ... ... ... ... Bn a1n a2n ... ain ... ann aij>0 aji=1/aij aii=1

当元素间的两两比较判断具有传递性时，有

aik.akj=aij

当对i,j,k=1,2...，n时，上式成立则称该判断矩阵为一致性矩阵；否则判断矩阵为不一致矩阵。在AHP中，判断矩阵通常为不一致性矩阵。

（三）单一准则下的排序

1.特征根和特征向量

2.最大特征根计算方法

（1）方根法

?

计算判断矩阵A的每一行元素的乘积Mi 计算Mi的n次方根Wi

?

Wi?nMi

T （W1，W2，...,Wn）? 对向量W? 归一化，即

Wi?Wi?Wkk?1n

则w?(w1,w2,...,wn)T 即为所求的特征向量。 ? 计算判断矩阵的最大特征根

(AW)i?max??ii?1nW

式中：（AW）i -----向量（AW）的第i个分量

n(四)一致性检查

当n阶判断矩阵A具有完全一致性时，其最大特征根?max=n，其余的特征根均为零。 我们可以用特征根λ1，λ2，...λn的负平均值偏零的大小来衡量判断矩阵元素受扰动的程度，即作为判断矩阵不一致程度的衡量，记为μ

???max?nn?1

我们把μ定义为判断矩阵的一致性指标C.I.，即

C.I.????max?nn?1

显然，C.I.值越小，矩阵的一致性程度越好。对于不同阶数的判断矩阵，为达到满意一致性的C.I.临界值应该不同。这就需要对C.I.临界值根据判断矩阵的不同阶数进行修正。 平均随机一致性指标 n R.I. 1 0 2 0 3 0.58 4 0.90 5 1.12 6 1.24 7 1.32 8 1.41 9 1.45 10 1.49 11 1.51

判断矩阵的一致性指标C.I.与同阶平均随即一致性指标R.I.之比，称为随即一致性比率，记为C.R.，即

C.R.?C.I.R.I.

有些学者研究用统计检验的方法，直接求得各阶矩阵的临界C.I.值，作为一致性检验的指标。

当置信水平为90%时，判断矩阵的一致性指标C.I.临界值如下表： 矩阵阶数 C.I.临界值 3 4 5 6 0.142 7 0.161 8 0.169 9 0.178 10 0.185 11 0.194 0.049 0.092 0.122 检验时只要将计算得出的C.I.值与表中的C.I.临界值做比较，当C.I.值小于同阶C.I.临界值时，该判断矩阵即通过一致性检验。

（五）层次总排序

在单一准则下排序的基础下，还需要进行层次总排序。即根据递阶层次结构从最高层次（目标层）开始自上而下逐层进行合成排序，直至最低层次（方案层）。 递阶层次结构的权重合成 层次C 层次B C1 B1 B2 ...Bm b1 b2 ...bm C11 C12 ...C1m C层次的合成权重 m?bcj?1mj1j C2 ... Cn C21 C22...C2m ... ... ... ... ?bcj?1j2j ... Cn1 Cn2 ... Cnm ?bcj?1mjnj 其中，素

bjcij就是元素ci通过B层次元素Bj对于总目标的权重贡献，j?1相对于总目标的合成权重。

?bjcij就是元

mci

对于层次总排序也需要进行一致性检验。

?b*C.I.jmjC.R.??b*R.I.jj?1j?1mj

类似地，当C.R.?0.1时，认为递阶层次结构在C层次水平上的所有判断具有整体满意一致

性。

三、层次分析法的应用

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