古诺均衡及其扩展

古诺均衡及其拓展

假设市场反需求函数为p(Q)?a?Q，

C(Q)?cQ，

求：（1）完全垄断市场结构下的均衡产量、价格和利润； （2）完全竞争结构下的均衡产量、价格和利润； （3）双寡头结构下的古诺均衡的产量、价格和利润；

（4）n家同质企业结构下的古诺竞争的产量、价格和利润，并证明这一结果包含了上述三种情形下的结果。

（5）双寡头勾结下的产量、价格和利润；

（6）如果双寡头中有一方遵守配额协议，另一方违反协议时，各自的产量、价格和利润；

（7）比较（3）（6）的结果证明古诺均衡是一个纳什均衡，而勾结的配额是不稳定的；

（8）求双寡头产量竞争在重复博弈结构下，选择合作的条件是什么？ （9）求n家企业产量竞争在重复博弈结构下，选择合作的条件是什么？比较结果（8）（9），你会得出什么结论。

（10）求双寡头在序贯行动情形下的stackelberg 均衡解。并与古诺竞争均衡解对比，说明first-mover advantages，并通过反应函数图来解释这两个均衡。

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（1）完全垄断结构下，只有一家企业，

Max??p(Q)?Q?C(Q)，

Q利润最大化的一阶条件为： a?2Q?c

QM?a?c 2a?c pM?22a?c??M??4

N（2）完全竞争结构下，有n家相同企业，总需求函数p(Q)?a?Q?a??qi，

i?1每一家的边际成本为c，而且完全竞争情形下价格是给定的（price-taker），对一家企业来说，边际收益就是p，根据利润最大化的条件MR=MC，这时最优的价格

p?c

带入总需求函数p(Q)?a?Q，可以得到 Q?a?c

根据对称性假设，每家企业的均衡产量为 qi?a?c n每一家的利润 ?i?0

（3）双寡头结构下，p(Q)?a?Q?a?(q1?q2)，边际成本都为c。 企业1的利润函数为

?1?p(Q)?q1?c?q1?(a?(q1?q2))?q1?c?q1

2

Max?1?p(Q)?q1?c?q1

q1利润最大化的条件为

q1?a?c?q2 2容易看出，这一结果表明，企业1的最优产量取决于企业2的产量， 这也正是博弈论中战略依存（strategic-interdependence）这一核心理念的反映。我们把这一结果称为企业1的反应函数。

同样道理，我们可以得出企业2的反应函数为

q2?a?c?q1 2c若存在一个战略组合（q1c，q2）同时满足这两个反应函数，则这个博弈存在

一个古诺-纳什均衡解(Cournot-Nash Equilibrium)，容易得出

a?c 3a?c pc?

3cq1c?q2?

?a?c??c??c?1229

N(4) n家企业结构下，总需求函数p(Q)?a?Q?a??qi，每一家的边际成

i?1本为c。企业1的利润函数为

?1?p?q1?c?q1?(a??qi)?q1?c?q1i?1N

利润最大化的一阶条件为

a?c??qii?2Nq1?2

这就是企业1的反应函数。根据对称性假设，每一家企业存在一个类似的反应函数。如果存在一个纳什均衡的战略组合，那么

qic?a?c,i?1,...,i,...,Nn?1 a?ncp?n?1

3

a?c2),i?1,...,i,...,Nn?1

当n分别等于1、2时，这一结果等同于垄断和双寡头的结果，当n??时，

?ic?(limqic?lima?c?0n??n??n?1

a?nclimp?lim?cn??n??n?1

a?c2lim?ic?lim()?0n??n??n?1

这一结果和完全竞争情形下结果相同。

由此可见，古诺竞争模型是刻画市场竞争模型的更加一般的方法。 （5）双寡头勾结情形下（串谋、卡特尔），相当于两家企业像一家独占企业一样行事，分配垄断产出配额和利润，维持垄断价格，所以

qcollusion1?qcollusion1QMa?c ??24pcollusion?pM?a?c 2??collusion1??collusion2?M2?a?c??82

（6）假设企业遵守卡特尔协议，则 qcollusion2QMa?c?? 24而企业1则把企业2这一产量看作给定，去生产自己利润最大化的产量，那么企业1在背叛情形下的利润最大化为

collusion?1betray?p?q1?c?q1?(a?q1?q2)?q1?c?q1

q1betray?3(a?c) 8可以看出，这一产量大于遵守勾结协议下的产量，而总产量的增加必然会导致均衡价格低于垄断价格，容易知道

pbetray?3a?5c 8c?a 8pbetray?pcollusion?因为市场存在的前提是保留价格大于边际成本，所以上式小于0。

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?betray19(a?c)2 ?64而此时企业2的利润会因为均衡价格的下降而减少，所以被欺骗的的企业2的产出和利润为

qfooled2?qcollusion2QMa?c ??24?fooled23(a?c)2 ?32比较得，

?

fooled23(a?c)2?M?a?c?9(a?c)2collusioncollusionbetray???2??1????1?

3228642（7）利用双寡头古诺竞争、勾结和背叛情形下的结构构造一个Normal Form的博弈框架如下 F2 Collusion F1 Betray Collusion collusion?1collusion ?2 Betray betray?1fooled ?2 ?a?c?82 ?a?c?82 3(a?c)29(a?c)2 3264cournot?1cournot ?2 ?1betray ?2fooled 9(a?c)23(a?c)2 6432?a?c?92 ?a?c?92 假如两家企业都假设对方遵守协议的情况下会背叛，而且这是一个common knowledge，那么双方的均衡就是古诺均衡。

可以看出，（Betray，Betray）的古诺竞争均衡是这个博弈的纳什均衡，而（Collusion，Collusion）不是纳什均衡的结果。这个均衡说明给定对方遵守协议的情形下，每个企业都有背叛的积极性。这也就是现实中卡特尔协议难以稳定

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Leader-Follower matrix F2 Leader F1 Leader Follower

限止定价（Limit Pricing）和掠夺定价（Predatory Pricing）和消耗战

假设在上述的Leader-Follower 的Stackelberg模型中，其他条件不变，但是成本函数是

C(q)?F?cq

0 0 Follower (a?c)2(a?c)2 816cournot?1cournot ?2 (a?c)2(a?c)2 168?a?c?92?a?c? 92 就是说，进入这一行业必须首先支付一个固定成本F,比如建造工厂，租赁店铺，或者前期的广告推广等等。所以这是一个更加接近现实的假定。

我们再来看这种情形下竞争均衡。由于利润最大化是边际条件的决策，所以不影响均衡产量

a?c 2a?c q2s?

4a?3c， ps?4q1s?但是成本的改变会改变利润量。所以

?a?c??s?128?F，

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a?c????s2216?F

可以看出，由于企业1是首先采取行动的，企业2的利润受到企业的产量的影响

sss?2?ps?q2?F?c?q2?(a?c?q12)?F 2a. 通过这个表达式可以看出，企业2的利润受到企业1产量的影响，所以企业1可以主动采取行动选择一个使得企业2利润为零的产量，从而掠夺企业2的市场份额或者把企业2 赶出市场。这就是限止定价或者掠夺性定价。

b.企业也可以通过增加行业的进入或运营成本而使得F增大来侵蚀企业2利润，直到企业2的利润为0，这就是消耗战。消耗战的典型形式的就是广告战。

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