初中数学竞赛专题讲义 第五讲 方程组的解法

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初中数学竞赛专题讲义 第五讲 方程组的解法

二元及多元(二元以上)一次方程组的求解,主要是通过同解变形进行消元,最终转化为一元一次方程来解决.所以,解方程组的基本思想是消元,主要的消元方法有代入消元和加减消元两种,下面结合例题予以介绍.

例1 解方程组

解 将原方程组改写为

由方程②得x=6+4y,代入①化简得

11y-4z=-19. ④

由③得

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2y+3z=4. ⑤

④×3+⑤×4得

33y+8y=-57+16,

所以 y=-1.

将y=-1代入⑤,得z=2.将y=-1代入②,得x=2.所以

为原方程组的解.

说明 本题解法中,由①,②消x时,采用了代入消元法;解④,⑤组成的方程组时,若用代入法消元,无论消y,还是消z,都会出现分数系数,计算较繁,而利用两个方程中z的系数是一正一负,且系数的绝对值较小,采用加减消元法较简单.

解方程组消元时,是使用代入消元,还是使用加减消元,要根据方程的具体特点而定,灵活地采用各种方法与技巧,使解法简捷明快.

例2 解方程组

解法1 由①,④消x得

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由⑥,⑦消元,得

解之得

将y=2代入①得x=1.将z=3代入③得u=4.所以

解法2 由原方程组得

所以

x=5-2y=5-2(8-2z) =-11+4z=-11+4(11-2u) =33-8u=33-8(6-2x)

=-15+16x,

即x=-15+16x,解之得x=1.将x=1代入⑧得u=4.将u=4代入⑦得z=3.将z=3

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代入⑥得y=2.所以

为原方程组的解.

解法3 ①+②+③+④得

x+y+z+u=10, ⑤

由⑤-(①+③)得

y+u=6, ⑥

由①×2-④得

4y-u=4, ⑦

⑥+⑦得y=2.以下略.

说明 解法2很好地利用了本题方程组的特点,解法简捷、流畅.

例3 解方程组

分析与解 注意到各方程中同一未知数系数的关系,可以先得到下面四个二元方程:

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①+②得

x+u=3, ⑥

②+③得

y+v=5, ⑦

③+④得

z+x=7, ⑧

④+⑤得

u+y=9. ⑨

又①+②+③+④+⑤得

x+y+z+u+v=15.⑩

⑩-⑥-⑦得z=7,把z=7代入⑧得x=0,把x=0代入⑥得u=3,把u=3代入⑨得y=6,把y=6代入⑦得v=-1.所以

为原方程组的解.

例4 解方程组

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解法1 ①×2+②得

由③得

代入④得

为原方程组的解.

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为原方程组的解.

说明 解法1称为整体处理法,即从整体上进行加减消元或代入消

为换

元法,也就是干脆引入一个新的辅助元来代替原方程组中的“整体元”,从而简化方程组的求解过程.

例5 已知

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分析与解 一般想法是利用方程组求出x,y,z的值之后,代入所求的代数式计算.但本题中方程组是由三个未知数两个方程组成的,因此无法求出x,y,z的确定有限解,但我们可以利用加减消元法将原方程组变形.

①-②消去x得

①×3+②消去y得

①×5+②×3消去z得

例6 已知关于x,y的方程组

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分别求出当a为何值时,方程组(1)有唯一一组解;(2)无解;(3)有无穷多组解.

分析 与一元一次方程一样,含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论,一般是通过消元,归结为一元一次方程ax=b的形式进行讨论.但必须特别注意,消元时,若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时,这个式子的值不能等于零.

解 由①得

2y=(1+a)-ax, ③

将③代入②得

(a-2)(a+1)x=(a-2)(a+2). ④

(1)当(a-2)(a+1)≠0,即a≠2且a≠-1时,方程④有

因而原方程组有唯一一组解.

(2)当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)≠0时,即a=-1时,方程④无解,因此原方程组无解.

(3)当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)=0时,即a=2时,方程④有无穷多个解,因此原方程组有无穷多组解.

例7 已知关于x,y的二元一次方程

(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0,

当a每取一个值时,就有一个方程,而这些方程有一个公共解,试求出这个

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公共解.

解法1 根据题意,可分别令a=1,a=-2代入原方程得到一个方程组

将x=3,y=-1代入原方程得

(a-1)·3+(a+2)·(-1)+5-2a=0.

所以对任何a值

都是原方程的解.

说明 取a=1为的是使方程中(a-1)x=0,方程无x项,可直接求出y值;取a=-2的道理类似.

解法2 可将原方程变形为

a(x+y-2)-(x-2y-5)=0.

由于公共解与a无关,故有

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例8 甲、乙两人解方程组

原方程的解.

分析与解 因为甲只看错了方程①中的a,所以甲所得到的解

4×(-3)-b×(-1)=-2. ③

a×5+5×4=13. ④

解由③,④联立的方程组得

所以原方程组应为

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练习五

1.解方程组

2.若x1,x2,x3,x4,x5满足方程组

试确定3x4+2x5的值.

3.将式子3x2+2x-5写成a(x+1)2+b(x+1)+c

的形式,试求

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4.k为何值时,方程组

有唯一一组解;无解;无穷多解?

5.若方程组

的解满足x+y=0,试求m的值.

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/xvej.html

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