湖南省长沙市2017届高三上学期期末数学试卷（理科） Word版含解析

2016-2017学年湖南省长沙市高三（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1．在复平面内，复数A．第一象限

对应的点在（ ）

C．第三象限

D．第四象限

B．第二象限

2．2，3}，B={x|x2﹣3x+a=0，a∈A}，已知集合A={1，若A∩B≠?，则a的值为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．1或2 ）的图象向左平移

个单位，所得函数的解析式为（ ）

3．将函数y=sin（2x+A．

B．y=﹣cos2x C．y=cos2x D．

4．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为（ ） A．

升 B．

升 C．

升

D．

升

5．如图是某几何体的三视图，其正视图、俯视图均为直径为2的半圆，则该几何体的表面积为（ ）

A．3π B．4π C．5π D．12π 6．二项式A．不含x9项

的展开式中（ ）

B．含x4项 C．含x2项 D．不含x项

7．A是抛物线y2=2px（p＞0）上的一点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，当|AF|=4时，∠OFA=120°，则抛物线的准线方程是（ ）

- 1 -

A．x=﹣1 B．y=﹣1 C．x=﹣2 D．y=﹣2

8．某同学为实现“给定正整数N，求最小的正整数i，使得7i＞N，”设计程序框图如右，则判断框中可填入（ ）

A．x≤N B．x＜N C．x＞N D．x≥N

9．在△ABC中，C=A．

D．

，AB=3，则△ABC的周长为（ ）

C

B．．

10．函数y=ln|x|﹣x2的图象大致为（ ）

A． B． C． D．

11．P是双曲线C： =1右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，P

在l上的射影为Q，F1是双曲线C的左焦点，则|PF1|+|PQ|的最小值为（ ）

- 2 -

A．1 B． C． D．

12．对于满足0＜b＜3a的任意实数a，b，函数f（x）=ax2+bx+c总有两个不同的零点，则A．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．

（1+cosx）dx= ．

的取值范围是（ ）

B．（1，2] C．[1，+∞） D．（2，+∞）

14．空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．一环保人士当地某年的AQI记录数据中，随机抽取10个，用茎叶图记录如图．根据该统计数据，估计此地该年AQI大于100的天数约为为 ．（该年为365天）

15．化简： = ．

16．平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2，∠BAD=120°，P是平行四边形ABCD内一点，且AP=1，若

三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.

17．已知数列{an}为等差数列，其中a2+a3=8，a5=3a2． （1）求数列{an}的通项公式；

（2）数列{bn}中，b1=1，b2=2，从数列{an}中取出第bn项记为cn，若{cn}是等比数列，求{bn}的前n项和．

，则3x+2y的最大值为 ．

- 3 -

18．张老师 上班，有路线①与路线②两条路线可供选择．

路线①：沿途有A，B两处独立运行的交通信号灯，且两处遇到绿灯的概率依次为

，若A处遇到红灯或黄灯，则导致延误时间2分钟；若B处遇到红灯或黄灯，则导致延误时间3分钟；若两处都遇到绿灯，则全程所花时间为20分钟． 路线②：沿途有a，b两处独立运行的交通信号灯，且两处遇到绿灯的概率依次为

，若a处遇到红灯或黄灯，则导致延误时间8分钟；若b处遇到红灯或黄灯，则导致延误时间5分钟；若两处都遇绿灯，则全程所化时间为15分钟． （1）若张老师选择路线①，求他20分钟能到校的概率；

（2）为使张老师日常上班途中所花时间较少，你建议张老师选择哪条路线？说明理由．

19．如图，以A，B，C，D，E为顶点的六面体中，△ABC和△ABD均为正三角形，且平面ABC⊥平面ABD，EC⊥面ABC，EC=（1）求证：DE⊥AB；

（2）求二面角D﹣BE﹣A的余弦值．

，AB=2．

20．如图，P是直线x=4上一动点，以P为圆心的圆Γ经定点B（1，0），直线l

是圆Γ在点B处的切线，过A（﹣1，0）作圆Γ的两条切线分别与l交于E，F两点．

（1）求证：|EA|+|EB|为定值；

（2）设直线l交直线x=4于点Q，证明：|EB|?|FQ|=|BF?|EQ|．

- 4 -

21．已知函数f（x）=ex﹣，a，f（x）为实数． （1）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；

（2）若f（x）在（0，+∞）上存在极值点，且极值大于ln4+2，求a的取值范围．

选修4-4：坐标系与参数方程

22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为

，以坐标原点O

为极点，x轴的正半轴为极轴的坐标系中，曲线C2的方程为ρ（cosθ﹣msinθ）+1=0（m为常数）．

（1）求曲线C1，C2的直角坐标方程；

（2）设P点是C1上到x轴距离最小的点，当C2过点P时，求m的值．

选修4-5：不等式选讲

23．已知f（x）=|x﹣a|+|x﹣3|． （1）当a=1时，求f（x）的最小值；

（2）若不等式f（x）≤3的解集非空，求a的取值范围．

- 5 -

【解答】解：令y=f（x）=ln|x|﹣x2，其定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）， 因为f（﹣x）=ln|x|﹣x2=f（x），

所以函数y=ln|x|﹣x2为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除B，D， 当x＞0时，f（x）=lnx﹣x2， 所以f′（x）=﹣2x=当x∈（0，当x∈（故排除C，

方法二：当x→+∞时，函数y＜0，故排除C， 故选：A

11．P是双曲线C：

=1右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，P，

）时，f′（x）＞0，函数f（x）递增，

，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）递减，

在l上的射影为Q，F1是双曲线C的左焦点，则|PF1|+|PQ|的最小值为（ ） A．1

B．

C．

D．

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】依题意，当且仅当Q、P、F2三点共线，且P在F2，Q之间时，|PF2|+|PQ|最小，且最小值为F2到l的距离，从而可求得|PF1|+|PQ|的最小值． 【解答】解：设右焦点分别为F2， ∵∴|PF1|﹣|PF2|=2∴|PF1|=|PF2|+2

，

+|PQ|， ，

∴|PF1|+|PQ|=|PF2|+2

当且仅当Q、P、F2三点共线，且P在F2，Q之间时，|PF2|+|PQ|最小，且最小值为F2到l的距离， 可得l的方程为y=

x，F2（

+1．

），F2到l的距离d=1

∴|PQ|+|PF1|的最小值为2故选D．

- 11 -

12．对于满足0＜b＜3a的任意实数a，b，函数f（x）=ax2+bx+c总有两个不同的零点，则A．

的取值范围是（ ）

B．（1，2] C．[1，+∞） D．（2，+∞）

【考点】函数零点的判定定理．

【分析】由题意可得△=b2﹣4ac＞0，于是c＜

，从而

＞

=1+﹣

（）2，运用换元法和二次函数的最值的求法，结合恒成立问题的解法，即可得到所求范围．

【解答】解：由满足0＜b＜3a的任意实数a，b， 函数f（x）=ax2+bx+c总有两个不同的零点， 可得△=b2﹣4ac＞0， 于是c＜从而

， ＞

=1+﹣（）2，

对任意满足0＜b＜3a的任意实数a，b恒成立． 令t=，由0＜b＜3a，可得0＜t＜3， 则﹣t2+t+1=﹣（t﹣2）2+2， 当t=2时，取得最大值2， 则﹣t2+t+1∈（1，2]． 故

＞2．

故选：D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．

（1+cosx）dx= π ．

【考点】定积分．

【分析】首先求出被积函数的原函数，代入积分上限和下限计算即可．

- 12 -

【解答】解：原式=（x+sinx）|故答案为：π．

=π；

14．空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．一环保人士当地某年的AQI记录数据中，随机抽取10个，用茎叶图记录如图．根据该统计数据，估计此地该年AQI大于100的天数约为为 146 ．（该年为365天）

【考点】茎叶图．

【分析】根据该样本中AQI大于100的频数求出频率，由此估计该地全年AQI大于100的频率与频数．

【解答】解：该样本中AQI大于100的频数是4，频率为， 由此估计该地全年AQI大于100的频率为，

估计此地该年AQI大于100的天数约为365×=146（天）． 故答案为：146．

15．化简：

【考点】三角函数的化简求值．

【分析】直接由三角函数的诱导公式化简计算得答案． 【

解

答

】

解

：

= 4sinθ ．

- 13 -

=

故答案为：4sinθ．

=4sinθ，

16．平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2，∠BAD=120°，P是平行四边形ABCD内一点，且AP=1，若

，则3x+2y的最大值为 2 ．

【考点】向量的线性运算性质及几何意义． 【分析】根据【解答】解：∵∴

=

，得出，

=9x2+4y2+2xy×3×2×（﹣）

=1，利用基本不等式得出3x+2y的最大值．

=（3x+2y）2﹣3?3x?2y≥（3x+2y）2﹣×（3x+2y）2 =×（3x+2y）2； 又

=1，

即×（3x+2y）2≤1，

所以3x+2y≤2，当且仅当3x=2y， 即x=，y=时， 3x+2y取得最大值2． 故答案为：2．

三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.

17．已知数列{an}为等差数列，其中a2+a3=8，a5=3a2． （1）求数列{an}的通项公式；

（2）数列{bn}中，b1=1，b2=2，从数列{an}中取出第bn项记为cn，若{cn}是等比数列，求{bn}的前n项和．

【考点】数列的求和；数列递推式．

【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由等差数列的通项公式，可得方程组，

- 14 -

解得首项和公差，即可得到所求通项公式；

（2）求得等比数列{cn}的公比，求得bn=（3n﹣1+1），运用数列求和方法：分组求和，化简整理，即可得到所求和．

【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d， 由a2+a3=8，a5=3a2，

可得2a1+3d=8，a1+4d=3（a1+d）， 解得a1=1，d=2，

则an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1； （2）c1=a

=a1=1，c2=a

=a2=3，

则等比数列{cn}的公比为3， 则cn=c1qn﹣1=3n﹣1， 又cn=a

=2bn﹣1，

则bn=（3n﹣1+1）， 设{bn}的前n项和为Sn， 则Sn=（1+3+…+3n﹣1+n） =（

+n）

=

．

18．张老师 上班，有路线①与路线②两条路线可供选择．

路线①：沿途有A，B两处独立运行的交通信号灯，且两处遇到绿灯的概率依次为

，若A处遇到红灯或黄灯，则导致延误时间2分钟；若B处遇到红灯或黄灯，则导致延误时间3分钟；若两处都遇到绿灯，则全程所花时间为20分钟． 路线②：沿途有a，b两处独立运行的交通信号灯，且两处遇到绿灯的概率依次为

，若a处遇到红灯或黄灯，则导致延误时间8分钟；若b处遇到红灯或黄灯，则导致延误时间5分钟；若两处都遇绿灯，则全程所化时间为15分钟．

- 15 -

（1）若张老师选择路线①，求他20分钟能到校的概率；

（2）为使张老师日常上班途中所花时间较少，你建议张老师选择哪条路线？说明理由．

【考点】离散型随机变量的期望与方差．

【分析】（1）走路线①20分钟到校，意味着张老师在A、B处均遇到绿灯，由此能求出张老师选择路线①，他20分钟能到校的概率．

（2）设选择khxg①延误时间为随机变量ξ，则ξ的所有可能取值为0，2，3，5，分别求出相应的概率，从而求出Eξ=2；设选择路线②延误时间为随机变量η，则η的可能取值为0，8，5，13，分别求出相应的概率，从而求出Eη=5．由此求出为使张老师日常上班途中所花时间较少，建议张老师选择路线②．

【解答】解：（1）走路线①20分钟到校，意味着张老师在A、B处均遇到绿灯， ∴张老师选择路线①，他20分钟能到校的概率p=

=．

（2）设选择khxg①延误时间为随机变量ξ，则ξ的所有可能取值为0，2，3，5， 则P（ξ=0）=P（ξ=2）=P（ξ=3）=P（ξ=4）=Eξ=

， ， ，

．

，

设选择路线②延误时间为随机变量η，则η的可能取值为0，8，5，13， P（η=0）=P（η=8）=P（η=5）=P（η=13）=Eη=

=

， ， ， ，

=5．

∴选择路线①平均所花时间为20+2=22分钟；选择路线②平均所花时间为15+5=20分钟．

- 16 -

∴为使张老师日常上班途中所花时间较少，建议张老师选择路线②．

19．如图，以A，B，C，D，E为顶点的六面体中，△ABC和△ABD均为正三角形，且平面ABC⊥平面ABD，EC⊥面ABC，EC=（1）求证：DE⊥AB；

（2）求二面角D﹣BE﹣A的余弦值．

，AB=2．

【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．

【分析】（1）设AB的中点为F，连结DF，CF，则DF⊥AB，CF⊥AB，从而AB⊥平面CFD，推导出DF⊥AB，从而DF⊥平面ABC，由DF∥CE，能证明DE⊥AB． （2）以F为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣BE﹣A的余弦值．

【解答】证明：（1）设AB的中点为F，连结DF，CF， ∵△ABC，△ABD均为等边三角形，∴DF⊥AB，CF⊥AB， ∵DF∩CF=F，∴AB⊥平面CFD，

∵平面ABC⊥平面ABD，DF⊥AB，∴DF⊥平面ABC， ∵EC⊥平面ABC，∴DF∥CE， ∴E∈平面DFC，∴DE?平面DFC， ∴DE⊥AB．

解：（2）如图，以F为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则B（1，0，0），E（0，∴

=（2，0，0），

，

），D（0，0，，

），

），A（﹣1，0，0），

），

=（﹣1，=（﹣1，0，

设平面ABE的法向量=（x，y，z），平面DBE的法向量=（a，b，c），

则，取y=1，得=（0，1，﹣2），

- 17 -

，取a=，得=（），

设二面角D﹣BE﹣A的平面角为θ， 则cosθ=

=

，

．

∴二面角D﹣BE﹣A的余弦值为

20．如图，P是直线x=4上一动点，以P为圆心的圆Γ经定点B（1，0），直线l

是圆Γ在点B处的切线，过A（﹣1，0）作圆Γ的两条切线分别与l交于E，F两点．

（1）求证：|EA|+|EB|为定值；

（2）设直线l交直线x=4于点Q，证明：|EB|?|FQ|=|BF?|EQ|．

【考点】直线与圆的位置关系．

【分析】（1）设AE切圆于M，直线x=4与x轴的交点为N，则EM=EB，可得|EA|+|EB|=|AM|=

=

=

=4；

- 18 -

（2）确定E，F均在椭圆=1上，设直线EF的方程为x=my+1（m≠0），联

立，E，B，F，Q在同一条直线上，|EB|?|FQ|=|BF?|EQ|等价于﹣y1?+y1y2=y2?﹣y1y2，利用韦达定理，即可证明结论．

【解答】证明：（1）设AE切圆于M，直线x=4与x轴的交点为N，则EM=EB， ∴|EA|+|EB|=|AM|=（2）同理|FA|+|FB|=4， ∴E，F均在椭圆

=1上，

=

=

=4为定值；

设直线EF的方程为x=my+1（m≠0），令x=4，yQ=， 直线与椭圆方程联立得（3m2+4）y2+6my﹣9=0， 设E（x1，y1），F（x2，y2），则y1+y2=﹣∵E，B，F，Q在同一条直线上，

∴|EB|?|FQ|=|BF?|EQ|等价于﹣y1?+y1y2=y2?﹣y1y2， ∴2y1y2=（y1+y2）?， 代入y1+y2=﹣

，y1y2=﹣

成立，

，y1y2=﹣

∴|EB|?|FQ|=|BF?|EQ|．

21．已知函数f（x）=ex﹣，a，f（x）为实数． （1）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；

（2）若f（x）在（0，+∞）上存在极值点，且极值大于ln4+2，求a的取值范围．

【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）先求导，再根据导数和函数单调性的关系即可求出答案， （2）设极值点为x0，则极值为f（x0）=数的最值得关系即可求出a的取值范围．

【解答】解：（1）f（x）=ex﹣的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），

﹣

，多次构造函数，利用导数和函

- 19 -

∴f′（x）=ex+∵a＞0， ∴f′（x）=ex+

，

＞0恒成立，

∴f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递增，

（2）由（1）可知，当a≥0时，f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递增，函数无极值点， 当a＜0时，

∵f（x）在（0，+∞）上存在极值点， ∴f′（x）=ex+

=

设g（x）=x2ex+a，

则g′（x）=xex（2+x）＞0在（0，+∞）上恒成立， ∴g（x）在（0，+∞）上单调递增， ∴g（x）＞g（0）=a＜0， 设极值点为x0，则极值为f（x0）=由g（x0）=0，得a=﹣x02e∴f（x0）=

﹣

．

．

﹣

，

=（x0+1）e

令h（x）=（x+1）ex， ∴h′（x）=（x+2）ex，

∴h（x）在（0，+∞）上单调递增， 而f（x0）=∴x0＞ln2， 令φ（x）=﹣x2ex，

∴x0＞ln2时吗，φ（x）=﹣xex（2+x）＜0， ∴φ（x）单调递减，

∴a＜﹣（ln2）2eln2=﹣2ln22， ∴a的取值范围为（﹣∞，﹣2ln22）．

- 20 -

﹣

=（x0+1）e

＞ln4+2=2（ln2+1）=（ln2+1）eln2，

选修4-4：坐标系与参数方程

22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为

，以坐标原点O

为极点，x轴的正半轴为极轴的坐标系中，曲线C2的方程为ρ（cosθ﹣msinθ）+1=0（m为常数）．

（1）求曲线C1，C2的直角坐标方程；

（2）设P点是C1上到x轴距离最小的点，当C2过点P时，求m的值． 【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．

【分析】（1）利用参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化方法求曲线C1，C2的直角坐标方程；

（2）设P点是C1上到x轴距离最小的点，可得P（2，3），当C2过点P时，代入求m的值．

【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为﹣2）2+（y﹣4）2=1；

曲线C2的方程为ρ（cosθ﹣msinθ）+1=0，直角坐标方程为x﹣my+1=0； （2）P点是C1上到x轴距离最小的点，可得P（2，3）， 当C2过点P时，代入求得m=1．

选修4-5：不等式选讲

23．已知f（x）=|x﹣a|+|x﹣3|． （1）当a=1时，求f（x）的最小值；

（2）若不等式f（x）≤3的解集非空，求a的取值范围． 【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．

【分析】（1）当a=1时，f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|≥|x﹣1﹣x+3|=2，即可求f（x）的最小值；

（2）x∈R时，恒有|x﹣a|+|x﹣3|≥|（x﹣a）﹣（x﹣3）|=|3﹣a|，不等式f（x）≤3的解集非空，|3﹣a|≤3，即可求a的取值范围．

【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|≥|x﹣1﹣x+3|=2， ∴f（x）的最小值为2，当且仅当1≤x≤3时取得最小值．

（2）∵x∈R时，恒有|x﹣a|+|x﹣3|≥|（x﹣a）﹣（x﹣3）|=|3﹣a|，

- 21 -

，消去参数，得普通方程（x

∴不等式f（x）≤3的解集非空，|3﹣a|≤3，∴0≤a≤6．

- 22 -

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/xv82.html