高考数学专题讲义7 三角函数（一）

年 级： 辅导科目：数学 课时数： 课 题 教学目的 教学内容 三角函数（一） 一、 知识网络 二、 命题分析 1．从近几年高考来看，对于本单元的考查，一般是以1～3个客观题和1个解答题形式出现，以中、低档题为主．考查的内容主要有：三角函数的图像和性质、三角函数的基本公式、三角函数的恒等变形及解三角形等基本知识．解答题常与平面向量、不等式、函数的最值等进行简单的综合，但难度不大． 2．预计在今后的高考中，与三角函数有关的问题将继续作为高考的重点进行考查．其中，角的概念多结合三角函数的基础知识进行考查．三角函数的图像和性质主要考查三角函数的概念、周期性、单调性、有界性及图像的平移和伸缩等，多以小而活的选择题和填空题形式出现．形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数将依然作为必考内容出现在高考题中，并与三角恒等变形、平面向量、解三角形等知识结合，形成小型综合题．解三角形问题将会以选择题或填空题形式出现，主要考查正、余弦定理及利用三角函数公式进行恒等变形的技能及运算能力，以化简、求值或判断三角形形状为 主． 三、复习建议 1．复习中要注意几个知识点的综合应用，这就要求我们要从整体上掌握本单元的知识结构，注重知识点之间的联系和综合运用并加大练习力度，解决公式的综合运用问题，提高计算能力． 2．掌握正弦函数、余弦函数和y＝Asin(ωx＋φ)的图像和性质，这是历年高考的重点． 3．在训练中，强化“变换”意识，但训练难度不宜过大，立足课本，掌握常见问题的解法，熟记课本中出现的公式和常用到的重要的结论，并注意其变形应用． 4．从“整体处理”的思想高度去认识理解运用“五点法”，尤其是对y＝Asin(ωx＋φ)的图像和性质的理解、应用． 5．在复习过程中，要着重加强三角函数应用意识的训练． 四、知识讲解 第一节 任意角、弧度制及三角函数定义 （一）高考目标 考纲解读 1．了解任意角的概念． 2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化． 3．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 考向预测 1．三角函数的定义及应用是本节考查重点，注意三角函数值符号的确定． 2．主要以选择题、填空题的形式考查． （二）课前自主预习 知识梳理 1．角的有关概念 (1)角：角可以看成由 绕着端点从一个位置 到另一个位置所成的 .旋转开始时的射线叫做角α的 ，旋转终止时的射线叫做角α的 ，射线的端点叫做角α的 ． (2)角的分类：角分 (按角的旋转方向)． (3)在直角坐标系内讨论角 ①象限角：角的顶点在原点，始边在 上，角的终边在第几象限，就说这个角是 ． ②象限界角：若角的终边在 ，就说这个角不属于任何象限，它叫 ③与角α终边相同的角的集合：{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}． (4)弧度制 ①1弧度的角： 叫做1弧度的角． ②规定：正角的弧度数为 ，负角的弧度数为 ，零角的弧度数为 ，|α|＝，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径． ③以“弧度”作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．比值与所取的r的大小 ④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝ 弧度． ⑤弧长公式： 112，扇形面积公式：S扇形＝l·r＝|α|r. 22 ，仅与 有关． lr2．任意角的三角函数定义 设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r(r>0)，那么角α的正弦、余弦、 正切分别是：sinα＝，cosα＝，tanα＝，它们都是以角为 yrxryx ，以比值为 的函数． 3．设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，则点M是点P在x轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P的坐标为 ，即 ，其中cosα＝ ，sinα＝ ，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T(T′)，则tanα＝ .我们把有向线段OM、MP、AT(或AT′)叫做α的 ． （三）基础自测 1．与610°角终边相同的角可表示为( ) A．k·360°＋230°，k∈Z B．k·360°＋250°，k∈Z C．k·360°＋70°，k∈Z D．k·360°＋270°，k∈Z [答案] B [解析] 由于610°＝360°＋250°，所以610°与250°角的终边相同． 2．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是( ) A.2π 3 B.11π5π C. 66 D.3π 4[答案] B －11[解析] ∵sinα＝＝－，且α的终边在第四象限， 2211∴α＝π. 63π3．若－π>θ>－，则点(tanθ，sinθ)在( ) 2A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [答案] B [解析] 易知θ在第二象限，则tanθ<0，sinθ>0. 4．若α的终边过点P(2sin30°，－2cos30°)，则sinα的值为( ) 1A. 2[答案] C 13B．－ C．－ 22D．－3 33，故选C. 2[解析] P(2sin30°，－2cos30°)即P(1，－3)，∴r＝2，故sinα＝－35．已知角α的终边在直线y＝－3x上，则10sinα＋＝________. cosα[答案] 0 [解析] 设α终边上任一点P(k，－3k)， 则r＝x＋y＝k＋－3k当k>0时，r＝10k， ∴sinα＝－3k10k＝－310，cosα＝2222＝10|k|. k10k＝110， 3∴10sinα＋＝－310＋310＝0. cosα当k<0时，r＝－10k，∴sinα＝313，cosα＝－，∴10sinα＋＝0. cosα1010 ππ6．若<θ<，则sinθ、cosθ、tanθ的大小关系为__________． 42[答案] cosθ0)，且sinθ＝[解析] ∵m>0，则P(－3，m)在第二象限， 2m，求 tanθ，cosθ的值． 4x＝－3，y＝m，r＝3＋m2， ∴sinθ＝m3＋m2， 又∵sinθ＝2mmmm＝，∴＝. 2483＋m815－36＝－，cosθ＝＝－. 34－38可知m＝5，tanθ＝ m（四）典型例题 1.命题方向：判断角所在象限 [例1] (1)若sinθ·cosθ>0，试确定θ所在象限． α(2)已知α为第二象限角，则为第几象限角？ 2[分析] (1)先确定sinθ与cosθ的符号，再判断θ所在象限；(2)用不等式表示出α的范围，讨论可得所2在象限． ??sinθ>0，[解析] (1)由sinθ·cosθ>0，得??cosθ>0，?α ??sinθ<0，① 或??cosθ<0，? ② 由①知θ在第一象限，由②知θ在第三象限， ∴θ在第一或第三象限． (2)∵α为第二象限角， π∴2kπ＋<α<π＋2kπ，k∈Z. 2παπ∴kπ＋<<＋kπ，k∈Z. 422k为偶数时k＝2n(n∈Z)，2nπ＋<<2kπ＋为第一象限角； k为奇数时k＝2n＋1(n∈Z)，2nπ＋α∴为第一或第三象限角． 2[点评] 问题(1)主要是利用三角函数值在各象限的符号来判断，注意θ是满足两个条件的公共解． 5πα3π<<2nπ＋为第三象限角． 422πα42π2 αα问题(2)主要是利用不等式表示出的范围，对k进行讨论，然后利用终边相同角的特点，即可确定所在象限． nn跟踪练习1： θsin2设θ为第三象限角，试判断的符号 θcos2[解析] ∵θ为第三象限角，∴2kπ＋π<θ<2kπ＋3π(k∈Z)， 2kπ＋<0，∴<0.综上可知：<0. 22θθcoscos222.命题方向：弧长公式及扇形面积公式的应用 [例2] 已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积； (2)若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ [分析] (1)直接套用公式l＝αR可求弧长，利用S弓＝S扇－S△可求弓形面积． (2)将S扇表示为α的函数，转化为函数求最大值问题． [解析] (1)设弧长为l，弓形面积为S弓， π10π∵α＝60°＝，R＝10，l＝， 33S弓＝S扇－S△＝×110π1π32×10－×10sin60°＝50(－)． 23232(2)解法1：扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR. 112∴R＝，∴S扇＝α·R＝α·2＋α22C1C＝·2＝×α·2(2＋α)2α＋4α＋42C2C221C≤， 416α＋＋42α4∴当α＝即α＝2(α＝－2舍去)时， α扇形面积有最大值. 16解法2：由已知2R＋l＝C，∴R＝C2C－l2(l

11C－l11?C?2C2∴S＝Rl＝··l＝(Cl－l)＝－?l－?＋， 22244?2?162C2l∴当l＝时，Smax＝，此时α＝＝＝2， 216RCC－CC222∴当扇形圆心角为2弧度时，扇形面积有最大值. 16[点评] 此类问题是将三角函数问题与不等式问题进行综合考查的，扇形的面积与弧长的计算在几何中应用较多，都可以用角度制与弧度制两种方式给出，在应用时应注意，不要把角度制与弧度制混用，造成度量单位不一致． 跟踪练习2 (1)一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少？ (2)一扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？ [解析] (1)设扇形的圆心角是θrad，因为扇形的弧长是rθ，所以扇形的周长是（2r＋r）θ.依题意， 得（2r＋r）θ＝πr， 180°∴θ＝π－2＝(π－2)×()≈1.142×57.30°≈65.44°≈65°26′， π1212∴扇形的面积为S＝rθ＝(π－2)r. 22(2)设扇形的半径为r，弧长为l，则l＋2r＝20， 即l＝20－2r(00，r＝5a，α角在第二象限，sinα＝＝y3a3＝， r5a5x－4a4y3a3cosα＝＝＝－，tanα＝＝＝－； r5a5x－4a4若a<0，r＝－5a，a角在第四象限， 343sinα＝－，cosα＝，tanα＝－. 554跟踪练习3： ππ已知角α的终边上一点的坐标为(sin，cos)，则角α在[0,2π)内的值为( ) 33A.5ππ2π5π或 B.或π C. 66333D.π 6[答案] D ππ[解析] ∴sin>0，cos<0， 33ππ∴点(sin，cos)落在第一象限， 33πcos33π又∵tanα＝＝，∴α＝，故选D. π36sin34.命题方向：单位圆的应用 ?π?已知：α∈?0，?，求证：sinα<αcosx成立的x的取值范围是______． ?π5π?[答案] ?，? 4??4?π5π?[解析] 由三角函数定义结合三角函数线知，在(0,2π)内，使sinx>cosx成立的x的取值范围为?，?. 4??4 （五）思想方法点拨： π1．弧度制与角度制不能混用，如α＝2kπ＋30°(k∈Z)，β＝k·360°＋(k∈Z)都是不正确的． 22．在学习中要正确区分象限角和象限界角(角的终边落在坐标轴上的角)及它们的表示方法，特别是第一象限的角 {α|k·360°<α0，sinα<0，即该点位于第四象限． 22．如果点P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限，那么角θ所在的象限是( ) A．第一象限 [答案] B ?sinθ>0[解析] 因为点P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限，所以sinθcosθ<0,2cosθ<0，即?，θ为第二象限角． ?cosθ<0 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 1－cos2αsinα3．若角α的终边落在直线y＝－x上，则＋的值等于( ) cosα1－sin2αA．0 [答案] A [解析] ∵角α的终边在直线y＝－x上， 3π∴α＝kπ＋ (k∈Z)，∴sinα与cosα符号相反， 41－cos2αsinα|sinα|sinα∴＋＝＋＝0. cosα|cosα|cosα1－sin2αB．2 C．－2 D．2tanα 4．已知扇形的周长为6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A．1 [答案] C [解析] 设扇形圆心角为αrad，半径为r，弧长为l. l＋2r＝6，?????r＝1，?r＝2，则?1∴?或? ??l＝4l＝2.l·r＝2，????2 B．4 C．1或4 D．2或4 l∴α＝＝4或α＝1.∴选C. r5．已知锐角α终边上一点P的坐标是(2sin2，－2cos2)，则α等于( ) A．2 [答案] C [解析] 点P位于第一象限，且 π?π－2＝tan?2－?， tanα＝－cot2＝－tan??2??2?πππ0，?，∴α＝2－. ∵2－∈?2?2?2πC≠?，则下列结论中正确的是( ) 6．若A、B、C为△ABC的三个内角，且A

13．已知角α终边经过点P(x，－2)(x≠0)，且cosα＝[解析] ∵P(x，－2)(x≠0)， ∴点P到原点的距离r＝x2＋2. 又cosα＝3x3x，∴cosα＝2＝x. 6x＋2631x，求sinα＋的值． 6tanα∵x≠0，∴x＝±10，∴r＝23. 当x＝10时，P点坐标为(10，－2)， 由三角函数的定义，有sinα＝－61，＝－5， 6tanα65＋616∴sinα＋＝－－5＝－； tanα6665－61当x＝－10时，同样可求得sinα＋＝. tanα6cosx14．设f(x)＝，求f(1°)＋f(2°)＋…＋f(59°)的值． cos?30°－x?[解析] f(x)＋f(60°－x) ＝cos?60°－x?cosx＋cos?60°－x?3cos?x－30°?cosx＋＝＝＝3. cos?30°－x?cos?x－30°?cos?30°－x?cos?30°－x?3593＝. 22∴f(1°)＋f(2°)＋…＋f(59°)＝(f(1°)＋f(59°))＋(f(2°)＋f(58°))＋…＋(f(29°)＋f(31°))＋f(30°)＝293＋π2α－?的15．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x轴的正半轴上，终边经过点P(1，－2)．求cos?3??值． [解析] ∵P(1，－2)是角α终边上一点，由此求得 r＝|OP|＝5， 255∴sinα＝－，cosα＝. 554∵sin2α＝2sinαcosα＝－， 53cos2α＝cos2α－sin2α＝－. 531?4?3π3＋43ππ2α－?＝cos2αcos＋sin2αsin＝?－?－?·＝－∴cos?·＋. ???3??33?5?2?5?210 第二节 同角的三角函数基本关系式与诱导公式 （一）高考目标 考纲解读

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