2022年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理(精校解析)

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2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）

理科数学

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4 页.满分150 分.考试用时120

分钟.考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回.

注意事项：

1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类

填写在答题卡和试卷规定的位置上.

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相

应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不

能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.

4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

参考公式：

如果事件A,B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)；如果事件A,B 独立，那么

P(AB)=P(A)·P(B).

第Ⅰ卷（共50 分）

一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的

（1）若复数z 满足2z z 3 2i, 其中i 为虚数单位，则z=（）

（A）1+2i （B）1 2i （C）12i （D）12i

【答案】B

【解析】

试题分析：设z a bi，则2z z3a bi 3 2i，故a1,b 2 ，则z12i，选B.

考点：1.复数的运算；2.复数的概念.

【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时运算与概念、复数的几何意义综合考查，也是考生必定得分的题目之一.

（2）设集合A{y| y2x, x R},B{x| x2 10}, 则A B=（）

（A）(1,1) （B）(0,1) （C）(1,) （D）(0,) 【答案】C

考点：1.指数函数的性质；2.解不等式；3.及集合的运算.

【名师点睛】本题主要考查集合的并集、补集，是一道基础题目.从历年高考题目看，集合

的基本运算，是必考考点，也是考生必定得分的题目之一.本题与求函数值域、解不等式等

相结合，增大了考查的覆盖面.

（3）某高校调查了200 名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).根据直方图，这200 名学生中每周的自习时间不少于22.5 小时的人数是（）

（A）56 （B）60 （C）120 （D）140

【答案】D

【解析】

试题分析：由频率分布直方图知，自习时间不少于22.5 小时为后三组，有

200(0.16 0.080.04) 2.5 140 （人），选D.

考点：频率分布直方图

【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图，是一道基础题目.从历年高考题目看，图表题已是屡见不鲜，作为一道应用题，考查考生的视图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.

?x y2,

?

?

?-￡

（4）若变量x，y 满足í2x3y

9,

?

?

?x30,

??

则x2 +y2 的最大值是（）

（A）4 （B）9 （C）10 （D）12

【答案】C

【解析】

试题分析：不等式组表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域, x 2 y2 表

示点（x,y）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为OC 2 10,故选

C.

考点：简单线性规划

【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.

（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（）

（A ） 1 2

π

（B ） 3 3 1 2π

（C ） 1 2 π （D ）1 2 π 3 3 3 6 6

【答案】C

考点：1.三视图；2.几何体的体积.

【名师点睛】本题主要考查三视图及几何体的体积计算，本题涉及正四棱锥及球的体积计算， 综合性较强，较全面的考查考生的视图用图能力、空间想象能力、数学基本计算能力等.

（6）已知直线 a ，b 分别在两个不同的平面 α，β 内.则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 α 和平 面 β 相交”的（ ）

（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件

（C ）充要条件

（D ）既不充分也不必要条件 【答案】A

【解析】

试题分析：

“直线 a 和直线b 相交”

“平面

和平面 相交”，但“平面 和平面 相交”

“直线 a 和直线b 相交”，所以“直线 a 和直线b 相交”是“平面 和平面 相交”的充分

不必要条件，故选 A ．

考点：1.充要条件；2.直线与平面的位置关系.

【名师点睛】充要条件的判定问题，是高考常考题目之一，其综合性较强，易于和任何知识 点结合.本题涉及直线与平面的位置关系，突出体现了高考试题的基础性，能较好的考查考 生分析问题解决问题的能力、空间想象能力等.

（7）函数 f （x ）=（ 3 sin x+cos x ）（ 3 cos x –sin x ）的最小正周期是（

）

π

（A ）

2

（B ）π

（C ）

3π

2

（D ）2π

【答案】B 【解析】

f x x

x

x

试题分析：

2 sin

2 cos 2 sin 2 6

6

3

,故最小正周期

T

2

,故选

B.

2

考点：1.和差倍半的三角函数；2.三角函数的图象和性质.

【名师点睛】本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质.此类题目是三角 函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进 一步讨论函数的性质，本题较易，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形 能力等.

（8）已知非零向量 m ，n 满足 4│m│=3│n│，cos= 1 3

.若 n ⊥（tm+n ），则实数 t 的值

为（

）

（A ）4 （B ）–4

（C ）

9 4

（D ）– 9

4

【答案】B 【解析】 试题分析：由 4 m

，可设 m

3k , n 4k (k 0) ，又 n (t

3 n m n)

，所以

n

tm n n

tm n n t

m n m n

n t

k k

k tk

k

( ) cos , 3 4 (4 ) 4 16 0

1

2

2 2 2

3

所以t

4 ，故选B.

考点：平面向量的数量积

【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算.解答本题，关键在于

能从n (

tm n)

出发，转化成为平面向量的数量积的计算.本题能较好的考查考生转化与化归思想、基本运算能力等.

（9）已知函数f(x)的定义域为R.当x<0 时，f(x ) x 1 ；当1x

1 时，

3

f (x ) f (x) ；当x 时，( 1) ( 1)

1

f x f x .则f(6)=

（）

2 2 2

（A）?2（B）?1（C）0 （D）2 【答案】D

【解析】

试题分析：当x 时，f(x 1) f(x 1) ,所以当 1

1

x 时，函数f(x) 是周期为1

的

2 2 2 2

周期函数，所以f (6) f(1) ，又函数f(x) 是奇函数，所以

f

f

(1) ( 1) 1 1 2

3

，故选D.

考点：1.函数的奇偶性与周期性；2.分段函数.

【名师点睛】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容. 本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等. （10）若函数y f(x) 的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y f(x) 具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（）

（A）y sin x（B）y ln x（C）y e x（D）y x3【答案】A

考点：1.导数的计算；2.导数的几何意义.

【名师点睛】本题主要考查导数的计算、导数的几何意义及两直线的位置关系，本题给出常见的三角函数、指数函数、对数函数、幂函数，突出了高考命题注重基础的原则.解答本题，关键在于将直线的位置关系与直线的斜率、切点处的导数值相联系，使问题加以转化，利用特殊化思想解题，降低难度.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力及转化与化归思想的应用等.

第Ⅱ卷（共100 分）

二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分.

（11）执行右边的程序框图，若输入的a,b 的值分别为0 和9，则输出的i 的值为________.

【答案】3

【解析】

试题分析：第一次循环：a 1,b 8；第二次循环：a 3,b 6 ；第三次循环：

a 6,

b 3；满足条件，结束循环，此时，i 3.

考点：循环结构的程序框图

【名师点睛】自新课标学习算法以来，程序框图成为常见考点，一般说来难度不大，易于得 分.题目以程序运行结果为填空内容，考查考生对各种分支及算法语言的理解和掌握，本题 能较好的考查考生应用知识分析问题解决问题的能力等. （12）若（ax 2+

1 x ）5

的展开式中 x 5 的系数是—80，则实数 a=_______.

【答案】-2 【解析】

1

5

5 10 r

T

C (ax 2 )5 (

)

C a 5 x

2

，所以由

r

r

r

r

r

，因此 试题分析：因为

10 r 5 r 2

r 1

5

5

x

2

C 2a 5

2

a

5

80

2.

考点：二项式定理

【名师点睛】本题是二项式定理问题中的常见题型，二项展开式的通项公式，往往是考试的 重点.本题难度不大，易于得分.能较好的考查考生的基本运算能力等. （13）已知双曲线 E ： x

y

2

2

2

2

1 （a ＞0，b ＞0），若矩形 ABCD 的四个顶点在 E

上，

a b

AB ，CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|=3|BC|，则 E 的离心率是_______. 【答案】2 【解析】

试题分析：假设点 A 在第一象限，点 B 在第二象限，则

b 2 A(c, ) a ， b

2

B(c, ) ，所

以

a

2b

2

| AB|

（舍

，| BC |

2c ，由 2 AB

3 BC ， c 2

a 2

b 2 得离心率 e 2 或 e

1

a

2

去），所以 E 的离心率为 2. 考点：双曲线的几何性质

【名师点睛】本题主要考查双曲线的几何性质.本题解答，利用特殊化思想，通过对特殊情况的讨论，转化得到一般结论，降低了解题的难度.本题能较好的考查考生转化与化归思想、一般与特殊思想及基本运算能力等.

（14）在[-1,1] 上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx 与圆(x-5)2 +y2 =9 相交”发生

的概率为.

【答案】 3

4

考点：1.直线与圆的位置关系；2. 几何概型.

【名师点睛】本题是高考常考知识内容.本题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点， 几何概型概率的计算问题，涉及圆心距的计算，与弦长相关的问题，往往要关注“圆的特征 直角三角形”，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.

（15）已知函数 f (x ) | x |, x m

x 2mx 4m , x

m

2

其中 m 0 ，若存在实数 b ，使得关于 x 的方

程 f （x ）=b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是________________. 【答案】

3,

【解析】

试题分析：

画出函数图象如下图所示：

由图所示，要 f x b 有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即 m m 2 2m m 4m ,m 2 3m 0 ，解得 m 3

考点：1.函数的图象与性质；2.函数与方程；3.分段函数

【名师点睛】本题主要考查二次函数函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能较好的考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.

三、解答题：本答题共6 小题，共75 分.

（16）（本小题满分12 分）

在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知

tan A tan B 2(tan A tan B )

.

cos B cos A

（Ⅰ）证明：a+b=2c; （Ⅱ）求cosC 的最小值.

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）1 2

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理即可证明；（Ⅱ）根据余弦定理公式表示出cosC，由基本不等式求cosC 的最小值. 试题解析：由题意知2sin A sin B sin A

sin B

cos A cos B cos A cos B cos

A cos B

，

化简得2sin A cos B sin B cos A sin A sin B，

即2sin A B sin A sin B.

因为A B C

,

所以sin A B

sin C sin C.

从而sin A sin B=2sin C. 由正弦定理得a b 2c.

() 由() 知c a b

, 2

故cos C的最小值为1 2

.

考点：1.和差倍半的三角函数；2. 正弦定理、余弦定理；3. 基本不等式.

【名师点睛】此类题目是解三角形问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简三角恒等式，利用正弦定理实现边角转化，达到证明目的；三角形中的求角问题，往往要利用余弦定理用边表示角的函数.本题覆盖面较广，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.

（17）（本小题满分12 分）

在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O'的直径，FB 是圆台的一条母线.

（I）已知G,H 分别为EC，FB 的中点，求证：GH∥平面ABC；

（II）已知EF=FB= 1

2

AC= 2 3 ，AB=BC.求二面角F BC A的余弦值.

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

7 7

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据线线、面面平行可得与直线GH 与平面ABC 平行；（Ⅱ）立体几何

中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，其中解法一建立空间直角坐标系求解；解法二则是找到FNM为二面角F BC A的平面角直接求解. 试题解析：

（I）证明：设FC的中点为I,连接GI, HI,

在△CEF,因为G是CE的中点，所以GI//E F,

又E F//O B,所以GI//O B,

在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI/ /BC，

又HI GI I,所以平面GHI/ / 平面ABC，

因为GH平面GHI，所以GH/ / 平面ABC.

（II）解法一：

连接OO',则OO' 平面ABC，

又AB BC, 且AC是圆O的直径，所以BO AC.

以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz，

由题意得B(0, 2 3, 0) ，C( 2 3, 0, 0) ，过点F作FM垂直OB于点M，

所以FM FB2 BM2 3,

可得F(0, 3, 3)

故B C( 2 3, 2 3,0),B F(0,3, 3)

.

设m(x, y, z)

是平面BCF的一个法向量.

m BC0

由

,

m BF

解法二：

连接OO '，过点 F 作 FM OB 于点 M ， 则有 FM / /OO ' ,

又OO ' 平面 ABC ， 所以 FM ⊥平面 ABC, 可得 FM FB 2 BM 2 3,

过点 M 作 MN 垂直BC 于点 N ，连接 FN ，

考点：1.平行关系；2. 异面直线所成角的计算.

【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，给出规范的证明.立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好的考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力\转化与化归思想及基本运算能力等.

（18）（本小题满分12 分）

已知数列

a 的前n 项和S n=3n2+8n ，

b是等差数列，且n n a b b

1.

n n n

（Ⅰ）求数列

b的通项公式；

n

(a1)

n

n

1 （Ⅱ）令c

n

n n

(b2)

n . 求数列

c的前n 项和T n.

n

【答案】（Ⅰ）b 3n 1 3

n

n；（Ⅱ）n n

T 2 .

2 【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据

a n S S及等差数列的通项公式求解；（Ⅱ）根据（Ⅰ）知数

n n 1

列

c的通项公式，再用错位相减法求其前n 项和.

n

试题解析：（Ⅰ）由题意知当n2时，a S 1 6n 5

S

n，

n n

当n1时， 1 S11

a，

1

所以a6n 5

n.

设数列

b 的公差为 d ，

n

a 1 由 a 2

b

b

1 2 b b 2 3

11

，即

17

2b d

1

，可解得

4, 3

b

，

1

d

2b 3d

1

所以b

3n

1

n

.

(6n 6)

n

1

n 1

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

c 3(n

1)

2

n

n

(3n 3)

，

又

1

，

T n

c c

c

c 2

3

n

得T

3[22 2 32 3 42

4 (n 1)2n 1] ， n

2T

3

[2

2

3

2

4

2

(n

1)

2n ]，

3

4

5

2 n

两式作差，得

T

3[2

2

2

2

2

n

(n 1)2n ]

2

3

4

1

2 n

4(2

1)

n

3[4

(n

1)

2 ]

n

2

2

1 3n 2

n

2

所以 3

2n 2

T

n

n

考点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列、等比数列的求和；3.“错位相减法”.

【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式、等比数列的求和、数列求和的 “错位相减法”.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较

高.解答本题，布列方程组，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.

（19）（本小题满分12 分）

甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3 分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1 分；如果两人

都没猜对，则“星队”得0 分.已知甲每轮猜对的概率是3

4

，乙每轮猜对的概率是

2

3

；每轮

活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：（I）“星队”至少猜对3 个成语的概率；

（Ⅱ）“星队”两轮得分之和为 X 的分布列和数学期望 EX.

【答案】（Ⅰ）

2 3 （Ⅱ）分布列见解析， EX 23 6 【解析】

试题分析：（Ⅰ）找出“星队”至少猜对 3 个成语所包含的基本事件，由独立事件的概率公 式和互斥事件的概率加法公式求解；（Ⅱ）由题意，随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3,4,6.由 事件的独立性与互斥性，得到 X 的分布列，根据期望公式求解.

试题解析：

(Ⅰ)记事件 A:“甲第一轮猜对”，记事件 B ：“乙第一轮猜对”，

记事件 C ：“甲第二轮猜对”，记事件 D ：“乙第二轮猜对”，

记事件 E ：“‘星队’至少猜对 3 个成语”.

由题意， E ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD .

由事件的独立性与互斥性，

P E P ABCD P ABCD P ABCD P ABCD P ABCD

P A P B P C P D P A P B P C P D P A P B P C P D

P A P B P C P D P A P B P C P D 3 2 3 2 1 2 3 2 3 1 3 2

= 2

4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3

2 3

.

,

所以“星队”至少猜对 3 个成语的概率为 2 3

. (Ⅱ)由题意，随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3,4,6.

由事件的独立性与互斥性，得

1 1 1 1 1 P X

,

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/xv1q.html