四川省棠湖中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学试卷

四川省棠湖中学2017-2018学年度高一下期末教学质量检测

数学试题

第一部分（选择题共60分）

一.选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合A?{1,2,3}，集合B?{?2,2}，则A?B?

A．? B．{2} C．{?2,2} D．{?2,1,2,3} 2.cos7500?

A．1133 B． C．? D．?

22223.已知函数f(x)???lgx,x?0，则f(f(?2))?

x?12,x?0?A．-3 B．0 C．1 D．-1 4．设单位向量a?(?22,sin?)，则cos2?的值为 3A．

7173 B．? C． ? D． 92925．设??(0,A．

??11)，??(0,)，且tan??，tan??，则??2?? 2273???? B． C． D． 64326．设m、n是两条不同的直线，?、?是两个不同的平面，下列命题中正确的命题是 A．m??,n??,m?n???? B．???,?I??m,n?m?n?? C．???,m??,n//??m?n D．?//?,m??,n//??m?n

??????7.已知|a|?2，(2a?b)?a，则b在a方向上的投影为

A． -4 B． -2 C. 2 D．4

00008.设a?sin14?cos14，b?sin16?cos16，c?6，则a,b,c的大小关系是 2

A．a?b?c B．a?c?b C. b?c?a D．b?a?c 9. 已知正实数m,n满足m?n?m2?n2?2，则mn的最大值为 A．6?32 B．2 C.6?42 D．3 10.对于非零向量a,b,c，下列命题正确的是

A．若?1a??2b?0(?1,?2?R)，则?1??2?0 B．若a//b，则a在b上的投影为|a|

C. 若a?b，则a?b?(a?b)2 D．若a?c?b?c，则a?b 11．在△ABC中，

，P是BN上的一点，若

，则实数m的值为

A．3 B．1 C． D．

12.已知x?0,y?0.若

2y8x??m2?2m恒成立，则实数m的取值范围是 xyA.m?4或m??2 B.m?2或m??4 C.?2?m?4 D.?4?m?2

第二部分（非选择题 共90分）

二．填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.

13.(log29)?(log34)? ．

?x?y?0?14．若变量x,y满足约束条件?y?10?2x，则z?2x?y的最小值为 ．

?x?1?0?15.过长方体的一个顶点的三条棱长分别是1、2、5，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 ．

16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，BC边上的高与BC边长相等，则

bca2??的最大值是 ． cbbc

三．解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）已知??(?2,?)，且sin??4. 5sin2??cos2?（I）求tan(??)的值； （II）求的值.

41?cos2??

18. （本小题满分12分）

??413??已知向量a?(cos?,sin?)，b?(cos?,sin?)，|a?b|?. 13（I）求cos(???)的值； （II）若0???

19.（本小题满分12分）

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3?3,S7?28，在等比数列{bn}中，

?2，??4???0，且sin???，求sin?的值. 25b3?4,b4?8.

（I）求an及bn；

（II）设数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn.

20.（本小题满分12分）

已知函数f(x)?2sin(?x??)(??0,??距离为?，且图像关于x?

?2)的图像与直线y?2两相邻交点之间的

?3

对称.

（I）求y?f(x)的解析式； （II） 先将函数f(x)的图象向左平移

?个单位，再将图像上所有横坐标伸长到原来的2倍，6得到函数g(x)的图象.求g(x)的单调递增区间以及g(x)?3的x取值范围.

21.（本小题满分12分）

如图1所示，在等腰梯形ABCD中， BE?AD,BC?3,AD?15,BE?33.把?ABE沿

BE折起，使得AC?62，得到四棱锥A?BCDE.如图2所示.

（I）求证：面ACE?面ABD；

（II）求平面ABE与平面ACD所成锐二面角的余弦值.

22.（本小题满分12分） 已知函数f(x)?lg4?x，其中x?(?4,4). 4?x（I）判断并证明函数f(x)的奇偶性；

（II）判断并证明函数f(x)在(?4,4)上的单调性； （III）是否存在这样的负实数k，使f(k?cos?)?f(cos若存在，试求出k取值的集合；若不存在，说明理由.

2??k2)?0对一切??R恒成立，

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数学试题答案

一．选择题

1-5:BACAB 6-10:DDBCC 11-12:CD

二．填空题

13.4 14． ?6 15.10? 16.

17.解：（1）∵??(?2,?)，sin??45， ∴cos???345，则tan???3， ∴tan(???4)?tan??1?4?11?tan??3?71?4.

3（2）由sin2??cos2?1?cos2??2sin?cos??cos2?2cos2??1?1?2sin??cos?2cos?，?2tan??12??116. 18.解：（1）由已知得a?b?1,a?b?cos?????

又a?b?413213?a?2a?b?b2?1613 ?cos??????513 （2）由0????2,??2???0?0??????

又cos??????513,sin???45?sin??????12313,cos??5 ?sin??sin??????????1235?413?5?13??????5??16??65

22

19解：（1）设{an}的公差为d，则由题有??a1?2d?3?a1?d?1，∴an?n.

?7a1?21d?28b4∴bn?b3qn?3?2n?1，?2，

b3∵在等比数列{bn}中， b3?4,b4?8，∴{bn}的公比为q?即bn?2n?1.

（2）由（1）知an?n，bn?2n?1，∴anbn?n?2n?1. ∴Tn?1?2?2?3?22?4?23???n?2n?1，

2Tn?1?2?2?22?3?23???(n?1)?2n?1?n?2n，

∴

Tn?n?2?(1?2?2???2n2n?12n?1)?n?2??(n?1)?2n?12?1n，即

Tn?(n?1)?2n?1

20.解：解析（1）由已知可得T??,又f(x)的图象关于x?∴2?∵?2????，∴??2

?3

对称，

?3???k??????2，∴??k???6，k?Z

?2?2，∴????6.

所以，f(x)?2sin(2x??6)

（2）由（1）可得f(x)?2sin(2x?)，∴g(x)?2sin(x?)， 66???2???x?2k??， 由2k???x??2k??得，2k??262332??,2k??]，k?Z. g(x)的单调递增区间为[2k??33∵2sin(x????6)?3，∴sin(x??6)???2?3，∴2k???x??2k??，

3632∴?x2k?????6?x?2k????,k?Z?，. 2?

21解：（1）证明：在等腰梯形ABCD中BC?3,AD?15,BE?AD，可知AE?6,DE?9.

因为BC?3,BE?33,BE?AD，可得CE?6.

又因为AE?6,AC?62，即AC2?CE2?AE2，则AE?EC. 又BE?AE,BE?EC?E，可得AE?面BCDE，故AE?BD. 又因为tan?DBE?DE9??3，则?DBE?600， BE33tan?BEC?BC33，则?BEC?300， ??BE333所以CE?BD，

又AE?EC?E，所以BD?面ACE， 又BD?面ABD，所以面ABD?面ACE；

（2）设EC?BD?O，过点O作OF//AE交AC于点F，

以点O为原点，以OB,OC,OF所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系

O?BCF.

0在?BCE中，∵?BEO?30， BO?EO，

∴EO??23??3??9?9333,0,0,C0,,0,E0,?,0?， ，则B?,CO?,BO???????2?222?2??2??1AE,AE?6， 2∵FO//AE,FO?∴FO?3，则F?0,0,3?,A?0,?∵DE//BC,DE?9，

??9?,6?， 2?

?????????93?∴ED?3BC， ∴D??， ,0,0???2???????339??????????????933?∴BE???2,2,0??,AE??0,0,6?,CA??0,?6,6?,CD????2,?2,0??，

??????????6z1?0??n1·AE?0设平面ABE的法向量为n1??x1,y1,z1?，由{?????，得{33， ?9x1?y1?0n1·BE?022取x??1?3，可得平面ABE的法向量为n1??3,?1,0?，

设平面ACD的一个法向量为??n?2??x2,y2,z2?，

????????6y1?6z1?0由{??n2·CA?0n?????，得{2·CD?0?93， 2x?312y1?0取x??n?1?1，可得平面ABE的一个法向量为2??1,?33,?33?.

设平面ABE与平面ACD所成锐二面角为?，

??则cos????n·??n?12432n?????165， 1n225555所以平面ABE与平面ACD所成锐二面角的余弦值为216555. 22.解：（1）∵f(?x)?lg4?x4?x??lg4?x4?x??f(x)， ∴f(x)是奇函数.

（2）f(x)在(?4,4)上为减函数. 证明：任取x1,x2?(?4,4)且x1?x2， 则f(x1)?f(x2)?lg4?x14?x24?x?lg4?x 12?lg4?x14?x216?4(x2?x14?x??lg)?x1x2x， 14?x216?4(1?x2)?x1x2∵16?4(x2?x1)?x1x2?16?4(x2?x1)?x1x2?0，

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