机械工程测试原理与技术课后习题答案（第2版）

重大或者西华大学

《测试技术与信号分析》

习题与题解

适用专业: 机械类、自动化 课程代码: 学 时: 42-48 编写单位:机械工程与自动化学院 编 写 人: 余愚 审 核 人: 审 批 人:

第二章 习题解答

2-1．什么是信号？信号处理的目的是什么？

2-2．信号分类的方法有哪些？

22-3．求正弦信号x?t??Asin?t的均方值?x。 解：

1T21T22???x?t?dt??Asin?tdtT0T022T222T21?cos2?t2?A?sin?tdt?A?dt

00TT222?Tsin?T?A2?A????T?44??22xA2也可先求概率密度函数：p(t)?则：???xp(x)dx?。

22??2?A?x12x?2

2-4．求正弦信号x?t??Asin(?t??)的概率密度函数p(x)。

xdt1??,?Adx?1Ax1?()2A?1解： ?t?arcsin?A?x22

代入概率密度函数公式得：

?t?12dt1?2?p(x)?limlim??????x?0?x?x?0T???TA2?x2??dxT

21??2?22?A2?x2?A?x?

2-5．求如下图所示周期性方波的复指数形式的幅值谱和相位谱

x

-T

解 在x(t)的一个周期中可表示为

t

-T1

T1

T

?1x(t)???0t?T1T1?t?T2

该信号基本周期为T，基频?0=2?/T，对信号进行傅里叶复指数展开。由于x(t)关于t=0对称，我们可以方便地选取-T/2≤t≤T/2作为计算区间。计算各傅里叶序列系数cn 当n=0时，常值分量c0：

c0?a0?2T11T1dt? T??T1T当n?0时，

cn?最后可得

1T?T1?T1e?jn?0tdt??1jn?0Te?jn?0tT1?T1

?ejn?0t?e?jn?0t?cn???n?0T?2j?2cn?其幅值谱为：cn?

注意上式中的括号中的项即sin (n?0 T1)的欧拉公式展开，因此，傅里叶序列系数cn可表示为

2sin(n?0T1)2??sinc(n?0T1)，n?0

n?0TT2T1sinc(n?oT1)，相位谱为：?n?0,?,??。频谱图如下： T

Cn 2T1/T

?/T1 ??00

Cn

2T1/T

?/T1

? 0?0 ?n ? ? 0??

2-6．设cn为周期信号x(t)的傅里叶级数序列系数，证明傅里叶级数的时移特性。 即：若有

FSx?t????cn

FS

则 x?t?t0????e'cn??j?0t0cn

证明：若x(t)发生时移t0（周期T保持不变），即信号x(t- t0)，则其对应的傅立叶系数为

1?j?0t??xtedt ?TT令??t?t0，代入上式可得

'cn?1x???e?j?0(??t0)d??TT1?e?j?0t0?x???e?j?0?d?

TT?e?j?0t0cn因此有

FSx?t?t0????e?j?0t0cn?e?j(2?/T)t0cn

同理可证

FSx?t?t0????e?j?0t0cn?e?j(2?/T)t0cn

证毕！

2-7．求周期性方波的（题图2-5）的幅值谱密度

解：周期矩形脉冲信号的傅里叶系数

Cn?2T11T?jn?0tedt?sinc(n?0T1) ??T1TT2T1sinc(n?0T1)?(??n?0) ?n???T?则根据式，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换，有

X(?)?2?此式表明，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换是一个离散脉冲序列，集中于基频?0以及所有谐频处，其脉冲强度为4?T1/T0被sinc(t)的函数所加权。与傅里叶级数展开得到的幅值谱之区别在于，各谐频点不是有限值，而是无穷大的脉冲，这正表明了傅里叶变换所得到的是幅值谱密度。

2-8．求符号函数的频谱。

?1?解：符号函数为 x(t)???1?0?t?0t?0 t?0可将符号函数看为下列指数函数当a?0时的极限情况

??eatt?0解 x(t)?sgn(t)??at

t?0?e???0?j2?ft?at?j2?ft?X?f???x?t?edt?lim?e.edt??eat.e?j2?ftdt??????a?0??0???11?lim?? ?a?0a?j2?fa?j2?f????j?f?1j?f2-9．求单位阶跃函数的频谱：

解：单位阶跃函数可分解为常数1与符号函数的叠加，即

t?0?1?(t)??1/2t?0

?0t?0?1?(t)??1?sgn(t)?

2所以：

1?1??(f)???(f)?2?j?f??

2-10．求指数衰减振荡信号x?t??e?atsin?0t的频谱。

1??at?j?tesin?t?edt0?02?1??(a?j?)t?esin?0td 解： ?02?jsin?0t?(e?j?0t?ej?0t)2X(?)?1j??(a?j??j?0)t()?e?e?(a?j??j?0)tdt2?20?1j?11?()??? 2?2?(a?j?)?j?0(a?j?)?j?0?X(?)????

?0122?(a?j?)2??0FTx?t????X?f? FTx?t?e?j2?f0t???X?f?f0?

2-11．设X(f)为周期信号x(t)的频谱，证明傅里叶变换的频移特性 即：若 则

证明：因为 又因为

F[e?i2?f0t]??(f?f0)

FTx?t?e?j2?f0t???X?f0?*F[e?i2?f0t]

FTx?t?e?j2?f0t???X?f0?*?(f?f0)?X?f?f0?

证毕！

2-12．设X(f)为周期信号x(t)的频谱，证明傅里叶变换的共轭和共轭对称特性

FT即：若 x?t????X?f? 则

式中x*(t)为x(t)的共轭。

FTx*?t????X*??f?

证明： x?t??*?????X(f)ej2?ftdf

*???X?f???x(t)e?j2?ftdt??????? 由于

??上式两端用 -f 替代 f 得

????x*(t)ej2?ftdtX*??f???????x*(t)e?j2?ftdt

上式右端即为x*(t)的傅里叶变换，证毕！

特别地，当x(t)为实信号时，代入x*(t)= x(t)，可得X(f)共轭对称，即

X??f??X*?f?

2-13．设X(f)为周期信号x(t)的频谱，证明傅里叶变换的互易性 即：若 x?t????X?f?

FT则 X?t????x??f? 证明：

FT由于 x(t)?

以 -t 替换 t 得

?????X(f)ej2?ftdf X(f)e?j2?ftdf

x??t???????

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