高数第九章习题课

习题练习

第九章习题课

一、判断题（每题3分）

2222

(x,y)|x (y 1) 1 (x,y)|x (y 2) 4 是闭集. 1．

（ ）

2．开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域.

3．平面点集 (x,y)|y x 是有界集.

2

（ ） （ ） （ ）

4．极限lim

sinxy

2.

x 2yy 0

f(x,y)存在，则二元函数f(x,y)在点(x0,y0)5.若极限(x,y)lim (x,y)

处连续.

z

6．

x

lim

x x0y y0

x 0

( )

f x0 x,y0 y f x0,y0

.

x

（ ） （ ）

z7．

y

x x0y y0

f x0,y0 y f x0,y0 lim. y 0 y

2z 2z

8．函数z f x,y 的两个二阶混合偏导数及在区域

y x x y

2z 2z

D内连续是的充分条件. x y y x

（ ）

9．如果二元函数z f x,y 在P x0,y0 点偏导数存在，则函数在P x0,y0 点可微. （ ） 10．对函数f(x,y)，若fx(x0,y0),fy(x0,y0)存在，则f(x,y)在点(x0,y0)连续. （ ）

11．函数f(x,y)在点(x0,y0)可微分，则f(x,y)在点(x0,y0)连

习题练习

续.

12.函数z f(x,y)在点(x,y)的偏导数

f(x,y)在该点可微分.（ )

（ ）

z z及存在 y x

z

e13.曲面 z xy 3在点 2,1,0 处的切平面方程为

x 2y 4 0. （ ）

14.如果f x,y 可微，则f(x,y)在某一点沿任何方向的方向导数均存在 .

( )

15.函数z 3x2 4y2在点 0,0 处有极小值z 0,0 0. （ ） 16.

函数z 6 在点 0,0 处有极小值z 0,0 6. （ ）

17．设 z f x,y 在点(x0,y0)的两个偏导数

fx(x0,y0) fy(x0,y0) 0,那么点(x0,y0)一定是函数z f x,y 的

驻点. ( ） 18．设 z f x,y 在点(x0,y0)的两个偏导数

fx(x0,y0) fx(x0,y0) 0,那么点(x0,y0)一定是函数z f x,y

的极值点. ( ）

19.可微二元函数z f x,y 在 x0,y0 点方向导数的最大值等于该点梯度向量的模. （ ）

二、选择题（每题3分）

习题练习

1．函数

z

的定义域是（ ）.

（A）x y 0; （B）ln x y 0; （C）x y 1; （D）x y 1.

2

2．函数z ln 2 x y 的定义域为（ ）.

（A）x y 2; （B）x y 2; （C）x y 2;

（D）x y 2.

x2 y2 1

3. 函数f(x,y) 的定义域是（ ）

ln(4 x2 y2)

22

（A）{(x,y)|1 x y 4} ;

2222

（B）{(x,y)|1 x y 4,x y 3};

（C）{(x,y)|1 x2 y2 4}; （D）{(x,y)|1 x2 y2 4,x2 y2 3}. 4

．函数z ）. （A） x,y |x 0,y 0,x y ; （B） x,y |x 0,y 0,x y ;

(C) x,y |x 0,y 0,x y ; （D） x,y |x 0,y 0,x y .

22

2

2

5.

函数z

的定义域是（ ）.

（A） x,y |x y 0,x y 0 ; （B） x,y |x y 0,x y 0 ; （C） x,y |x y 0,x y 0 ;

习题练习

（D） x,y |x y 0,x y 0 . 6.

函数z

的定义域是（ ）. x2y2x2y2

（A）2 2 1 ; （B） 2 2 1 ;

ababx2y2x2y2

（C） 2 2 1; （D）2 2 1.

abab

7.设二元函数f(x,y) xy

2y

f( 1,)=（ ）. ，则

3x

4

（A）;

3

8.

(x,y) (0,0)

lim

24

（B） ; （C）;

33

（ ）

（D）0.

（A）0 ; （B）2; （C） 1 ; （D）1.

xy

（ ）. 9. (x,ylim22) (0,0)x y

（A）0; （B）1 ; （C） 1; （D）不存在. x y

10. (x,y) (0,0)x y （ ）

lim

（A）0 ; （B）1; （C） 1; （D）不存在. 11

．极限(x,y) (0,0)1（A）;

2

lim

lim

的值为( ). 1

（B） ;

3

（C）1;

（D）2 .

tanxy

（ ）. 12.极限(x,y) (0,3)

x

习题练习

1

(A) 0 ; (B) 3; (C) 3; (D) .

13.设z e（A）e

y

xy2

z

，则 y （ ）.

xyx

2

2x

; （B）3e

y

x2y

; （C） e

xyx

（D） e

2y

xy2

.

14.设函数z e（A）e

x2y

z

，则 ( ).

x

x2y

;

（B）ye

;

（C）2xe

x2y

;（D）2xye.

x2y

15．已知f x y,x y x2 y2，则fx(x,y) fy(x,y) （ ）. （A）x y; （B）x y; （C）x 2y; （D）x 2y.

2 u4422

16．设u x y 4xy，则 x2

（ ）.

(0,0)

（A）0; （B）1; （C）2; （D） 1.

2 zsinx

17.设z ecosy,则 x y （ ）.

0,

2

（A）0; （B）1;

（C） 1;

（D）e.

xy22

,x y 0 22

18．函数f(x,y) x y在点(0,0)处有（ ）.

22 0,x y 0

（A）偏导数不存在且不连续 ; (B) 偏导数不存在但连续 ; （C）偏导数存在但不连续; （D）偏导数存在且连续.

习题练习

19．已知z xy

x

，则dz （ ）. y

1x

（A）dz (y )dx (x 2)dy;

yy

1x

dz (y )dx (x )dy; （B）2

yy

1x

（C）dz (y )dx (x 2)dy ;

yy1x

dz (y )dx (x )dy. （D）2

yy

x

20.设z ln 1 ，则dz 1,1 （ ）.

y 1111

dx dy; （A）; （B）x yyx yy

（C）0; 21. 设u e

x y z

1

（D） dx dy .

2

，则du （ ）.

x y z

dx dy dze dx dy dz ； （A） ； （B）

（C） e

x y z

d xyz ； （D） ex y zdxdydz.

yz x22.已知，则dz 2,1 ( ).

y 1yy 1y

yx xlnx ; yxdx xlnxdy （A） ; （B）

（C）dx 2ln2dy ; （D） 1 2ln2.

习题练习

23.设z e（A）e

1 xy

1

xy

，则dz 1,1 （ ）.

（B）e

1 xy

y x 2 y; ydx xdy 2

y ;

（C）e dx dy ;

2

（D）e dx dy .

dz

24.设z ulnv,u cosx,v e，则 ( ).

dx

x

（A)cosx xsinx;

x

x ecosx; （C)

（B)xsinx cosx; （D)xcosx.

25．二元函数f(x,y)在点 x0,y0 处的偏导数连续是f(x,y)在该点连续的（ ）.

（A）充分条件 ; （B）必要条件; （C）充分必要条件;

（D）既非充分也非必要条件.

26.函数f x,y 在 x0,y0 点的一阶偏导数存在是函数f x,y 在点 x0,y0 可微分的（ ）条件.

（A）充分 ;（B）必要;（C）充要;（D）既非充分也非必要. 27.下列关系正确的是（ ）.

① f x,y 在点P(x,y)处具有一阶连续偏导数； ②f x,y 在点P(x,y)处连续； ③f x,y 在点P(x,y)处可微； ④f x,y 在点P(x,y)处偏导数存在.

习题练习

（A）① ③ ④; （B）① ② ④; （C）① ④ ③; （D）① ② ③.

f

28.方向导数公式

l

x0,y0

fx x0,y0 cos fy x0,y0 cos 成立

的充分条件是f x,y 在 x0,y0 点（ ）.

（A）连续; （B）可微; （C）偏导数存在; （D）可积.

23

（1,1,1）29.曲线x t,y t,z t在点处的切线方程是（ ）.

(A) x

yz

; 23

x 1y 1z 1

(B) 123;

xyz

(C) ;

321

x 1y 1z 1

(D) 231.

z

z e 2xy 3在点(1,2,0)处的切平面方程为( ). 30.曲面

（A）2x y 4 0; （C）2x y 0;

（B）x 2y 4 0 （D）x 2y 0 .

222

31．球面x y z 14在点 1,2,3 处的切平面方程为

（ ）.

（A）x 2y 3z 1 0; （B）x 2y 3z 14 0; （C）x 2y 3z 14 0 ; （D）x 2y 3z 10 0. 32.球面x2 y2 z2 14在点(1,2,3)处的法线方程为（ ）

x 1y 2z 3

(A)； (B) 123

x 2y 3z 14 0；

习题练习

(C) x y 3z 12 0； (D)

x 1y 2z 3

113.

33.若曲面x2 2y2 3z2 21的切平面平行于平面

x 4y 6z 21 0且不重合，则切点坐标为（ ）

（A）(1, 2,2)； ( B）( 1,2, 2) ； （C）( 1, 2,2)； （D）(1,2, 2).

22

z x y 1上在点(2,1,4)处的切平面方程为34. 曲面

（ ）

x 2y 1z 4 (A)； (B)4x 2y z 6 0； 42 1

(C) 2x

x 2y 1z 4

y z 6 0； (D) ． 21 1

22

35． z x y 1在点 2,1,4 处的法线方程为（ ）.

x 2y 1z 4x 2y 1z 4

（A） ; （B）; 4 21421

x 2y 1z 4x 2y 1z 4 （C ; （D . 42 142 1

222

36．球面x y z 14在点 1,2,3 处的法线方程为（ ）.

x 1y 2z 3x 1y 2z 3

（A） ; （B）; 123231x 1y 2z 3x 2y 1z 3

（C） ; （D） . 132213

37．函数f(x,y) e2x(x y2 2y)的极小值为（ ）.

习题练习

ee

（A）0; （B） （C） ; （D）e.

2;2

22

38.函数 z x y在点 0,0 处( )

(A)不连续; (B)连续且偏导数存在; (C)取极小值; (D)无极值.

22

39．函数z x y 1在条件y 1 x下的极小值（ ）.

31

（A）0; （B）1; （C） ; （D）.

22

40.设f(x,y)

12

(x y2)，则f(x,y)在点(1,1)处的方向导数2

的最大值为( ).

（A）1;

（B

）;

2

122

（C

）;

（D）3.

41.二元函数z 3x 3y

9的极小值点是（ ）.

（A）(1,0); （B）(0,0); （C）(-1,0) ; （D）(1,1). 42.点( )

是二元函数z 9的极小值点.

（A） 0,0 ; （B） 1,0 ; （C） 0,1 ; （D） 1,1 . 43.以下各点是二元函数f(x,y) x3 y3 3x2 3y 9x的极值点的是（ ）

（A）( 1,1); （B）( 1, 1); （C）(3,1); （D）( 3, 1).

44. 二元函数 z x2 y2 4(x y)的极小值为 ( )

习题练习

（A）8; （B） 12; （C） 16; （D） 8.

45.假定可微函数f x,y 在点(x0,y0)处取得极大值，此时下 列结论正确的是( )

（A)f(x,y0)在x x0处导数等于零; （B)f(x,y0)在x x0处导数大于零; （C)f(x,y0)在x x0处导数小于零 ; （D)f(x,y0)在x x0处导数未必存在. 三、解答题（每题4分）

1．求极限sinxy

(x,ylim

) (0,2)x

;

2．求极限lnx ey x,ylim

1,0

3．求极限1 cos

x2 y2

x,ylim

0,0

x2 y2ex

2

y2

.

4．设z xysin x2 y2

,求

z x

； 5． 设yz arctan(xz)确定函数z z x,y ，求 z

x

6．设u f xy

y,x ,求 u x.

7．z xcosy ycosx，求 z y

;

8．z 1 xy y

，求z x 1,1 ；

；

习题练习

9．方程x2 y2 z2 xyz 1确定z z x,y ，求 z;

x

10．设u e

x y z

u

，而z xsiny，求;

x

2

z

11．设 z esin x y ，求；

x

xy

2

2

12.求函数u f(x2 y2,exy)的偏导数

x

13．设z ln 3x 2y ,

y

u x u和 y

；

z求； x

z

14．已知z f(x y,xy),求；

x

15．设z arctan

x

y

，求z xy; x

2

dy

16．设siny e xy 0,求；

dx

x

17．设z arctan(xy)，而y e，求

dz

; dx

18．设x y z e

z

y

(x y z)

z z

，求， y.

x

z

19．方程xe ecosx z确定z z x,y ，求;

x

2

zxz

20．求由方程 ln所确定的函数z z(x,y)的偏导数；

xzy

21．设z x,求z xy；

y

z

22．已知z f(x y,xy),其中f具有二阶连续偏导数，求;

x

2

z lnx y,求z 23．已知xy；

习题练习

z x

24．设z f x, ，求；

x y z

25．已知e xyz 0,求；

x

z

z

26．已知z esin x y ，求;

x

x

2

2

27

．求z

y

eyz的全微分; 2

28．求函数u x sin

29．计算函数z x2y y2的全微分； 30.

求z

的全微分;

31.求函数f(x,y) 4(x y) x2 y2的极值;

z

32.求曲面e z xy 3在点(2,1,0)处的切平面方程及法线

方程.

四、证明题（每题6分）

y

1.z xy xF(u),而u ，F(u)为可导函数，

x

z z

证明：x y z xy.

x y

2．设z 验证：

y

,其中f(u)为可导函数， 22

f(x y)

1 z1 zz

2. x xy yy

2z 2z

3.

验证函数z ln满足方程2 2 0.

x y

习题练习

4．已知xy xf(z) yg(z)，xf (z) yg (z) 0，其中z z(x,y)是x和y的函数，求证：[x g(z)]

z z

[y f(z)]. x y

x z zu v

z arctan x u v,y u v,5.设,而验证:

y u vu2 v2

6.设u x

x yy z

,证明:

u u u

1. x y z

z z

7.设2sin(x 2y 3z) x 2y 3z，证明: 1.

x y

8.设 (u,v)具有连续偏导数，证明:由方程 (cx az,cy bz) 0所确定的函数z f(x,y)满足a9.设z e

11 ( )2

，求证:x

z z

b c. x y

z z y2 2z. x y

x z1 z

2z . y xlnx y

10.设z xy(x 0,x 1)，求证：

11．函数z z(x,y)由方程F x ,y 0所确定，

yx

zz

证明：x

z z

y z xy. x y

12．函数f(x,y)由方程x2 y2 z2 yf 所确定，

y

z

证明：(x2 y2 z2)

z z

2xy 2xz. x y

y2

13.证明：设z xy ，其中 u 具有连续偏导，则下列

3x

等式成立：

习题练习

x2

z z

xy y2 0. x y

14.设x x y,z ,y y z,x ,z z x,y 都是由方程F x,y,z 0所确定的具有连续偏导数的函数，证明：

x y z

1. y z x

2y

15.证明：函数z xe在点P 1,0 处沿从点P 1.0 到点

Q 2,

1 的方向的方向导数为 .

2

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