特殊平行四边形动点及存在性问题压轴题

特殊平行四边形中的动点及存在性问题

【例1】正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为。

【练习1】如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y 轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.

（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；

（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标. 【例2】如图，在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4）,点D 是OA的中点,点P在BC上运动,当三角形△ODP是腰长为5的等腰三角形时，P的坐标为；

【练习2】如图，在平面直角坐标系中，AB∥OC，A（0，12），B（a，c），C（b，0），并且a，b满足

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b=．一动点P从点A出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P、Q分别从点A、O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（秒）

（1）求B、C两点的坐标；

（2）当t为何值时，四边形PQCB是平行四边形？并求出此时P、Q两点的坐标；

（3）当t为何值时，△PQC是以PQ为腰的等腰三角形？并求出P、Q两点的坐标．

【例3】（1）如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），则点M的坐标为；

（2）在直角坐标系中，有A（-1，2），B（3，1），C（1，4）三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．

【练习3】如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B点坐标是（3，4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD、AB上，且F 点的坐标是（2，4）．

（1）求G点坐标；

（2）求直线EF解析式；

（3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

【例4】在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（0<t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．

（1）求证：AE=DF；

（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；

（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

【练习4】如图，等腰三角形OAB的一边OB在x轴的正半轴上，点A的坐标为（6，8），OA=OB，动点P从原点O出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向点B匀速运动，动点Q从原点O出发，沿y轴的正半轴以每秒1个单位的速度向上匀速运动，过点Q作x轴的平行线分别交OA，AB于E，F，

t≥）

设动点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也停止运动，他们运动时间为t秒（0

（1）点E的坐标为，F的坐标为；

（2）当t为何值时，四边形POFE是平行四边形；

（3）是否存在某一时刻，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

【巩固练习】

1、菱形ABCD 中，AB =2， ∠BAD =60°，点E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE +PB 的最小值为 。

第1题图 第2题图 第3题图 第

4题图

2、如图,在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，AC =BC 的中点为D ,将△ABC 绕点C 顺时针旋转任意一个角度得到△FEC ，EF 的中点为G ，连接DG ，在旋转过程中，DG 的最大值是_________；最小值是__________．

3、已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC =90°，点D 是BC 的中点．作正方形DEFG ，连接AE ，BG ，若BC =DE =4，将正方形DEFG 绕点D 旋转，当AE 取最小值时，AF = ．

4、在三角形纸片ABC 中，已知∠ABC =90°，AB =6，BC =8。过点A 作直线l 平行于BC ，折叠三角形纸片ABC ，使直角顶点B 落在直线l 上的T 处，折痕为MN ．当点T 在直线l 上移动时，折痕的端点M 、N 也随之移动．若限定端点M 、N 分别在AB 、BC 边上移动，则线段AT 长度的最大值与最小值之和为____.

5、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°，AD =16cm ，AB =12cm ，BC =21cm ，动点P 从点B 出发，沿射线BC 的方向以每秒2cm 的速度运动到C 点返回，动点Q 从点A 出发，在线段AD 上以每秒1cm 的速度向点D 运动，点P ，Q 分别从点B ，A 同时出发，当点Q 运动到点D 时，点P 随之停止运动，设运动的时间为t （秒）．

（1）当t 为何值时，四边形PQDC 是平行四边形；

（2）当t 为何值时，以C ，D ，Q ，P 为顶点的梯形面积等于60cm ²？

（3）是否存在点P ，使△PQD 是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t 的值；若不存在，请说明理由．

6、如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 分别在x 轴、y 轴上，线段OA 、OB 的长(0A <OB )

是方程组???=-=632y x y x 的解，点C 是直线x y 2=与直线AB 的交点，点D 在线段OC 上，OD =52。

(1)求直线AB 的解析式及点C 的坐标；

(2)求直线AD 的解析式；

(3)P 是直线AD 上的点，在平面内是否存在点Q ，使以0、A 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

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