广东海洋大学高等数学往年试卷 - 图文

GDOU-B-11-302

广东海洋大学2006 ——2007学年第一学期

页班级加：白纸 《高等数学》课程试题

课程号： 1920008

□ 考试

□ 考查

□ A卷

□ B卷

□ 闭卷

□ 开卷

计科1141 密 姓 名 ： 阿 稻 封 学 号 ： 2014xx 线 试题共2题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 阅卷教师 各题分数 20 20 25 14 21 100 实得分数 一． 计算（20分，各4分）.

1.lim1?cos2xdxx?0xsinx. 2.?1?cos2x.

3.?11?sinx2x?3x?11?x2dx. 4.limx??(2x?1). ?5.?2?2cosxdx.

6二.计算（20分，各5分）. 1.求y?arcsin(tanx)的导数。

2.求由方程ey?xy?e?0所确定的隐函数y的二阶导数d2ydx2。

3.已知??x?etsintcost，求当t?dy?y?et?3时dx的值。 4.设z?x3y?y3x，求?z?2z?x,?y?x.

三.计算.（25分，各5分）.

1. ?x3x2?9dx

2.?exdx

第 1 页 共 50 页

张4 3.limx?0(?edt)2xt2?te00x2t2dt.

[4.求limx?0?11?]. ln(1?x)x5.?021?sin2xdx.

四.解答（14分，各7分）.

x?x?0?在何处取得最小值？最小值为多少？ 2x?1x2.证明?ln(1?x)?x.

1?x1.问y?五.解答（21分，各7分）.

1.求由y?x2与y?2x围成图形的面积。

2.求由y?sinx,(0?x??),x轴围成的图形绕x轴所产生的旋转体的体积。

3.计算??(x2?y2)d?，其中D是矩形闭区域：x?1,y?1.

D

第 2 页 共 50 页

《高等数学》课程试题A卷答案

一. 计算 （20分 各4分）

2sin2x11?2 2.原式＝?sec2xdx?tanx?c 1.原式＝limxsinx22x?01?2x1(1?)?e 3. 原式＝??1 4. 原式＝dx?2arctanx?lim2x?1021?x2x??15. 原式＝??21?cos2x?3 dx??2686?二、计算 （20分 各5分） 1.y'?11?tan2xsec2x

2.两边对x求导，得：eyy'?y?xy'?0 y'??y yx?ey'(x?ey)?y(1?eyy') y''?? y2(x?e)2xy?2yey?y2ey ? y3(x?e)dyetcost?etsintcost?sint?3.?t tdxesint?ecostcost?sint

dy1?3??3?2 ?dxt?1?33?2z?2z?z23??3x2?3y2 4.?3xy?y

?y?x?x?y?x第 3 页 共 50 页

三、计算 （20分 各5分）

x3?9x?9x129dx?x?ln(x2?9)?c 1.原式＝?222x?92. 原式＝?2tetdt?2(tet?et)?c?2(xex?ex)?c 3. 原式＝limx?02ex2?x0etdt2xe2x2?2

4. 原式＝limx?0x?ln(1?x)?limx2x?0?1?1x?1?1 2x2?5. 原式＝?02sinx?cosxdx??04(cosx?sinx)dx???2(sinx?cosx)dx?22?2

4?四、解答 （14分 各7分）

11?x21.解:y'? （舍）又 yx?1? yx?0?0 ?0x??1x??1222(1?x) 故：函数在x?1取到最大值，最大值为。

2.证明：令f(x)?lnx(x?0)，考虑区间[1,1?x]。显然，此函数在这个区间上满足（1）在闭区间上连续；（2）在开区间可导。由拉格朗日定理得：至少存在一点??(1,1?x)使得:道：

ln(1?x)?ln11?f'(?)?。由?的范围可以知

x?1?1?12111ln(1?x)??1。从而，我们可以得到??1。整理得：1?x?1?xxx?ln(1?x)?x。 1?x

五、解答 （21分 各7分）

1.解：y?x2与y?2x的交点为(0,0),(2,4)

第 4 页 共 50 页

利用元素法:取积分变量为x，积分区间为[1,2]。（1）面积元素为

dA?(2x?x2)dx（2）此面积为A??(2x?x2)dx?024。 3

y A 0 2 x

2.解：利用元素法：取积分变量为x，积分区间[0,?]。（1）体积元素为

dV??sinxdx （2）此旋转体的体积为V???sinxdx?220??22。

3.解：??(x?y)d??4??(x?y)d??4?0dx?0(x2?y2)dy?

2222DD11183y

第 5 页 共 50 页

实得分数 一、填空（21分，每小题3分）

??1．设f(x)??1?x?1,x?0,则常数a= 1/2 x

时, f(x) 在

??a,x?0(??,??)内连续.

2．若当x?0时,cosx?ex?a是无穷小量，则常数a= 2 . 3．曲线y?cosx的最大曲率是 .

4. 曲线y?tanx过点(?4

,1)的切线方程为 y-1=2(x-?4) 5．设?(x)??x20(sint?t)dt,则d?(x)?2x(sinx2?x2)dx. 6．???10(1?x)2dx= 1 . 7．?3x3?3(x4?cosx2?3)dx? 18 . 二、计算题（每小题5分，共25分）

21、lim22x?0(1?sinx)x 1解：原式=2lim(1?sin2x)sin2xsinx2x2x?0?e2

2 limx?ln(1?x)x?0xln(1?x)

1?1原式=limx?ln(1?x)洛1?xx?0xx?limx?02x?lim11x?02(1?x)?2

洛?lim1x?0ln(1?x)?1?1?12第 11 页 共 50 页

.

x?arctant?d2y?33. 求由参数方程?t所确定的函数的二阶导数2.

y??t?1dx?3?dydydtt?142???t?2t?1,2dxdxdt1(1?t)2dy?2dx2d(dy)dt4t3?4t22dx??4t(1?t) 2dxdt1(1?t)4．设方程 x?y?1?xey确定一个隐函数y?y(x),求 y?(x) 解：1?y???e?xey?yyey?1y???y

xe?1三. (11分) 设函数y?x(x?1)2=x3?2x2?x. 1.求函数的单调区间、极值；（6分） 2.凹凸区间和拐点. （5分）

y??3x?4x?1?(3x?1)(x?1)?0y???6x?4?0令2令得x1?1/3x2?1 (1,+?) 得x2?2/3 X (-?,) 1311222 (, ) (,11 33333) f?(x) + f??(x) - - - - + + + f(x) 增凸 极 减凸 大

拐 减凹 极 增凹 点 小 四．求下列积分（每小题5分，共20分） 1．?(esinx?3)cosxdx

第 12 页 共 50 页

?esinxcosxdx??3cosxdx??esinxdsinx?3sinx?esinx?3sinx?C

2.?2xln(1?x)dx

原式??ln(1?x)dx2?x2ln(1?x)??x2dln(1?x)x21?xln(1?x)??dx?x2ln(1?x)??x?1?dx

1?x1?xx22?xln(1?x)??x?ln1?x?C22

3．??14x2?x4dx ，

原式??x4?x2dx??(?x)4?x2dx??x?1?1020224?x2dx101221/2221/22(4?x)d(4?x)?(4?x)d(4?x)???1022112?(4?x2)3/20?(4?x2)3/20?......?133?

4.?04x?52x?1dx

t2?1解: 设2x?1?tx?2x?0时,t=1x?4时,t?3dx?tdt

?

40t2?1?533x?5t93dx??2tdt?(?t)1?......1t622x?1五. (8分) 设曲线y?x与y?x围成的图形记为E

1.求E的面积;

第 13 页 共 50 页

班级：姓名密 ： 2.图形E绕x轴旋转而成的旋转体的体积.

解：略

六 .证明：当x?0时，ln(1?x)?arctanx/(1?x).（7分）.

故当x>0时，f(x)>f(0)=0, 得证。

七.工厂要做一个高为a，容积为V的长方形密封食品盒，问怎样设计底面的长宽的长度，使所做盒子用料最省？（8分）

GDOU-B-11-301

广东海洋大学 2008—2009学年第 1 学期

《 高等数学1 》课程试题A

? A卷

? 闭卷

课程号： 1921006?1

? 考试

□ 考查

□ B卷

□ 开卷

题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 阅卷教师 第 14 页 共 50 页

各题分数 21 30 30 10 9 100 实得分数 一、填空题（每小题3分，共21分）

11. 已知函数y=???(1?x)x,x?0,在x=0处连续，则a=__e__. ??a,x?02. 当x?0时，

ln(1?2x)与ekx?1是等价无穷小，则k=__2_

.?2x)2x 因为limln(1x?0ekx?1?limx?0kx?1,故k?2

3. 曲线y?x3?1过点（0，1）处的切线方程为_y-1=0___ 4. 函数y?x4?8x?2(?1?x?3)的最大值是_59__，最小值是?632?2 (y??4x3?8?令0,得x?32,f(32)?232?832?2??632?2

f(?1)?11,f(3)?595. 设y?ln(1?x),则y????2/(1?x)3 6. 设F(x)??x2(x?1)

0t(t?1)dt,则F?(x)?2xx7. ?11?2x?/2

?11?x2dx?

二 计算题 （每小题6分，共30分） 1. lim1?cosxx?0xsinx

lim1?cosxx?0xsinx?lim2sin2(x/2)x?0xsinx?limx2/2x?0xx?12 32. lim(1xx?0?2x) 第 15 页 共 50 页

.

原式?lim[1?(?2x)]x?013(?2x)?2xx?e?6

3. 设y?lncos,求dy

12222(?sin)(?2)?tan()(2),cos(2/x)xxxx

22dy?tan()(2)dxxxy??2x?x?arctantdy4. 求由参数方程?所表示的函数的导数。 2dxy?ln(1?t)?dydy/dt2t/(1?t2)???2t 2dxdx/dt1/(1?t)

5. 求曲线y?xe?2x的凹凸区间及拐点.

y??e?2x?2xe?2xy????2e ?2x?2(e?2x?2xe?2x)?4e?2x(x?1)?0,得x?1令

x (-?,1) 1 f??(x) - 凸 (1,+?) + f(x)

拐 凹 三、求下列积分（每小题6分，共30分） 1.

?x?2dx 2x?1第 16 页 共 50 页

解: 设2x?1?t,1?t2?21原式=?2tdt?t21?t2x= dx=tdt22t??3dt?

133t?t?c62 2.

3x?lnxdx

x4x4x4x4x3解: 原式=?lnxd?lnx??dlnx?lnx??dx44444 x4x4?lnx??c416 3.

?1?1(x?2)1?x2dx

11原式???21?x2dx??4??101?x2dx设x?sintx?0时,t?0上式??4??/20dx?costdtx?1时,t=?/2costcostdt??4??/20

1?cos2tdt?......2 4.

??2??2cosx?cos3xdx

π2?π2π?2cosx?cos3xdx?2?(cosx)sinxdx=?2?(cosx)d(cosx)??π2012π20124cosx3324? 305.

???0dx 22?x解:原式????0(dx2)2?x2P149,(20)?1arctan2x?c 2第 17 页 共 50 页

班级： 姓名密 ：

四.(10分)求由xy?4,y轴,y=1和y=2所围成的平面图形的面积及该图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积。 解：略

五.（9分）证明下列不等式 1．当x?1时,ex?ex

证明: 设f(x)=ex?exf?(x)=ex?e?0(y?ex为增函数?ex?e)故 f(x)为增函数,x>1时,有f(x)>f(1)=0,得证.

2. cosx?ycosx?cosy2?2,

x,y?(???2,2) 证明:设f(x)?cosx,f?(x)??sinxf??(x)??cosx?0(??/2?x??/2)

故f(x)为凸函数,由定义得,cosx?ycosx?cosy2?2

GDOU-B-11-301

广东海洋大学 2008—2009学年第 1 学期

《 高等数学1》课程试题B

课程号： 1921006?1

? 考试

□ A卷

? 闭卷

□ 考查

? B卷

□ 开卷

题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 阅卷教师 第 18 页 共 50 页

各题分数 21 30 30 10 9 实得分数 100 一、填空题（每小题3分，共21分）

?sinx,x?01. 已知函数y=?,在x=0处连续，则a=___1___. ?x?,x?0?a2. 当

x?0时，sin2x与ekx?1是等价无穷小，则k=___2__. 3. 曲线y?ex?1过点（0，e）处的切线方程为_y-e=ex_ 4. 函数f(x)?x3?3x2?9x?5在x? -1 处取得极大值，极大值为_10__ f?(x)?3x2?6x?9?0x?3,x??1f??(x)?6x?6f??(3)?0f??(?1)?0 故f最大(?1)?105. 设y?ln(1?x),则y????2/(1?x)3 6. 设F(x)??0t(t?1)dt,则F?(x)?4x(2x?1) 7.

1?x??11?x2dx??/2

12x二、 计算题 （每小题6分，共30分） 1. limx?01?cosx x2x2/21解:原式?lim2?

x?0x2

2. lim(1?)3x

x??2?2x解:原式?lim(1?(?))x??x?2(3x)x2x?e?6

3. 设y?lnsin,求dy

1x第 19 页 共 50 页

111cos(1/x)(?2)?cot(1/x)(?2)sin(1/x)xx

1dy?cot(1/x)(?2)dxx解:y??

4. 求由方程ysinx?cos(x?y)?0所确定的函数的导数

解: y?sinx+ycosx-sin(x-y)(1-y?)=0dysin(x-y)?ycosx?dxsinx?sin(x?y)xdy。 dx

5. 求曲线y?xe的凹凸区间及拐点.

解:y??ex?xexy???e?e?xe?(2?x)e?0xxxx令

得x=-2 x (-?,-2) -2 f??(x) - f(x) 凸 (-2,+?) + 拐 凹 拐点（-2，-2e?2）

三、求下列积分（每小题6分，共30分） 1.

?x?2dx

2x?1解: 设2x?1?t,1?t2?212tdt?t21?t2x= dx=tdt22t??5dt?

原式=?135t?t?c62第 20 页 共 50 页

2.

2x?lnxdx

解;?x3x3xlnxdx??lnxd?lnx??3323233x3dlnx3

?lnx 3.

xxxx??dx?lnx??c3339?2?2(x?3)4?xdx 4.

222?22??0sinx?sin3xdx

2解:原式??x4?x?34?xdx??6?dx=2costdt,当x?2时,t=?/2?/2004?x2dx设x?2sint,当x?0时,t=0上式=-6? 5.

?/202cost2costdx??24?1?cos2tdt?......2

???0e?2xdx

??0?1???2x?1?2x解: 原式=?ed(?2x)?e202

?1/2

第 21 页 共 50 页

班级： 四、(10分)求由y?x2,x?1及x轴所围成的平面图形的面积及该图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积。

五.（9分）证明下列不等式

1． 当x?0时,1+12x?1?x

证明: 设f(x)=1+12x?1?xf?(x)=111?x?12?21?x?21?x?0 故f(x)单调增,故当x>0时,有f(x)>f(0)=0,得证

2.

ex?eyx?y2?e2 , (x?y)

证:设f(x)?exf?(x)?exf??(x)?ex?0,故由定义, 得证 、

GDOU-B-11-302

广东海洋大学 2010—2011学年第 一 学期

第 22 页 共 50 页

《 高 等 数 学 》课程试题

课程号： 19221101x1

√ □考试

□ 考查

√ □A卷

□ B卷

√ □闭卷

□ 开卷

题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 阅卷教师 各题分数 18 42 40 实得分数 100

一 . 填空（3×6=18分）

1. 函数 f(x)?xe的拐点是(2,2e?2)

2?f(lnx)?x (x?1)，则 f(x)=e2t/2?c. 2. 设

?x设lnx?t,则x?e,tf?(t)?e2te2tf(t)??c

2

?x?1?t23. 曲线?在t?2处的切线方程为 y-8=3(x-5) . 3?y?tdy3t2??3t/2dx2txk?3

4. 设?(x)??0sintdt，则?'()? 2/2. 4?5. 设 f(x)?(1?x)，则 f?(1)等于 1

[(1?x)]??[e1x1ln(1?x)x1x]??e1ln(1?x)xxx?ln(1?x)?ln(1?x)11?x ?(1?x)x1?x22xx二 .计算题（7×6=42分） 1. 求limx?0sin2x?2sinx. 3xsin2x?2sinx2sinxcosx?2sinx2sinx(cosx?1)lim?lim?limx?0x?0x?0x3x3x3

x22x(?)等价2??1?lim3x?0x第 23 页 共 50 页

2. 求不定积分?1dx.

sin3xcosx

3. 已知

f(x)?(sinx是f(x)的原函数，求?xf'(x)dx. xsinxxcosx?sinx)??xx2xcosx?sinxsinx?xf(x)dx?xdf(x)?xf(x)?f(x)dx???c???xx

4. 设方程ex?y?3x?2y2?5?0确定函数y?y(x)，求

方程两边对x求导:ex?y(1?y?)?3?4yy??03?ex?yy??x?ye?4ydy. dx

5. 求f(x)?excosx的三阶麦克劳林公式.

1214(?1)n2n2n cosx?1?2!x?4!x??(2n)!x?o(x) 121nxne?1?x?x??x?o(x) 2!n!x2x3x2x3(1?x???...)(1??...)?1?x??o(x3)

23266. 求由曲线y?Inx,y轴与直线y?Ina及y?Inb所围成图形的面积

b?a?0.

第 24 页 共 50 页

解：选为y积分变量，如图，所求面积为承

A??lnblnabeydy?[ey]lnlna?b?a

三. 应用及证明题（10×4=40分） 1. 证明：当x?0时， 1?x?1?x. 证明:

设f(x)?1?1111?x?1x?1?xf?(x)???2221?x21?xX ??0f(x)为增函数21?x(1?x?1)得证.12故x?0时,f(x)>f(0)=0,

2. 若函数f(x)在(a,b)内具有二阶导函数，且f(x1)?f(x2)?f(x3)

(a?x1?x2?x3?b),证明：在(x1,x3)内至少有一点?，使得f''(?)?0.

证明：因为f(x)在(a,b)内具有二阶导数，所以由罗尔定理，得??1?(x1,x2)，??2?(x2,x3)，使得f?(?1)?f?(?2)?0，又

f?(x)在??1,?2?且满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理，得：

???(?1,?2)?(x1,x3)，使得f??(?)?0。

3. 当x为何值时，函数I(x)??0te?tdt有极值.

解: I?(x)?xe故当x?0时,?x2令x2?02x?0I??(0)?1?0

I??(x)?e?x?2x2e?x2y最小值?0?ex,x?04. 试确定a的值，使函数f(x)??在(??,??)内连续．

?a?x,x?0第 25 页 共 50 页

班级： 姓名密 ： 学 号 ：封 试 题 共线 6 页 加白纸 3 张 limx?0?ex?1xlim(?0?a?x)?af(0)?a故a?1

GDOU-B-11-302

广东海洋大学 2010—2011学年第 一 学期

《 高 等 数 学 》课程试题

□ A卷

□√ 闭卷

课程号： 19221101x1

□√ 考试

□ 考查

□√ B卷

□ 开卷

题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 阅卷教师 各题分数 18 42 40 100 实得分数

一 . 填空（3×6=18分）

6. 函数?x f(x)?xe的拐点是 . 7.

?(1?sin3x)dx? .

8. 设

f?(lnx)?x2 (x?1)，则 f(x)= . 9. 函数y?x?ex上点(0,1)处的切线方程是 . 10.设?(x)??x?0sintdt，则?'(4)? .

11.设f(x)?arctanx,则 f?(1)等于 . 二 .计算题（7×6=42分） x2cos17. limxx?0sinx.

第 26 页 共 50 页

8. 求定积分?311x21?x2dx.

9. 已知f(x)?exx，求?xf''(x)dx.

10.设参数方程??x?ln(1?t2)确定函数y?y(x)，求?y?arctant

第 27 页 共 50 页

dydx.

11.求f(x)?Inx按(x?2)的幂展开的四阶泰勒公式.

12.计算曲线y?

三. 应用及证明题（10×4=40分） 5. 证明：当x?4时， 2x?x2.

1x(3?x)上相应于1?x?3的一段弧的弧长. 3第 28 页 共 50 页

6. 设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(1)?0,求证：存在??(0,1)，使得f'(?)??

7. 求函数F(x)??0t(t?4)dt在[?1,5]上的最大值与最小值．

xf(?)?.

第 29 页 共 50 页

班级： 姓名密 ： 学 号 ：封 试 题 共线 6 页 加白纸 3 张 8. 试确定?x2?a,x?0a的值，使函数f(x)???xsin1,x?0在(??,??)内连续．

??x

GDOU-B-11-302

广东海洋大学 2011—2012学年第 一 学期

《 高 等 数 学 》课程试题

卷

□√ 闭卷

课程号： 19221101x1

□√ 考试

□√ A□ 考查

□ B卷

□ 开卷

题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 阅卷教师 各题分数 20 6 24 20 6 8 8 8 100 实得分数

一 . 求下列极限（5×4=20分）

2x?33x?212.lim?x?????2x?3??

62x?36原式=?(3x?2)

xlim?????1?62x?32x?3???e9 2.limx?arcsinxx?0sinx3

1?1原式=limx?arcsinx1?x2分子通分1?x2?1x?0x3?limx?03x2?limx?03x21?x2 分子有理化?lim?x21x?03x21?x2(1?x2?1)??61 3.2lim?x?sin2xx?0??1?2?

?第 30 页 共 50 页

第 41 页 共 50 页

第 42 页 共 50 页

广东海洋大学 2009 — 2010 学年第 二 学期

《 高 等 数 学 》课程试题答案

课程号： 19221101x2

√ □考试

□ 考查

√ □A卷

□ B卷

√ □闭卷

□ 开卷

一、 填空（3×8=24分）

?????1. 设a??3,?1,?2?，b??1,2,?1?，则cos(a,b)?3221

??2. 同时垂直于向量a??2,2,1?，b??4,5,3?的单位向量为?1?1,?2,2?

33. 曲线y?2mx，z?m?x（m为常数）在点(x0,y0,z0)处的切线方程为

x?x0y?y0z?z0??12m?1

4.

exy?1lim?0(x,y)?(0,1)2x?y

5. 函数u?xy2z在点(1,?1,2)处的梯度为?2,?4,1? 6. L为圆周x2?y2?a2（a?0），则?ex^2?y^2ds?ea^22?a

Lxn7. 幂级数(?1)nn?1??n的收敛半径为1

?C1x?C2

8. 微分方程y???ex的通解为y?ex二、 计算下列函数的导数或微分（2×6=12分） 1. 设z?arctanu, u?x?y,v?x?y，求dz。

v解：

?z??x11?u2v21?v11?uv2??uu2v2?v?uu2?v2??yx2?y2（3分）

?z??y11?u21?v11?u2v?uu?v22v2?xx?y22（2分）

v2v2第 43 页 共 50 页

dz??yx2?y2dx?xx2?y2dy（1分）

2. 设x?lnz，求?z和?z。

zy?x?y解：

F(x.y.z)?xz?ln?0（1zy分） 则 Fx?1，Fyz?yzzy2=1，Fzy??xz2?1 z （3

F分）?z??x?z?xFzx?zFy?zz2 ???（2

?yFzy(x?z)分）

三、 计算下列函数的积分（4×7=28分） 1.

??xyd?，其中D:xD2?y2?a2(a?0)第一象限部分。

4分4a解：原式?02d?0rsin?cos?dr?8???a3(3分)

2.

????x2?y2?z2dV，其中?是由球面x2?y2?z2?z所围的闭区域。

4分解：原式??03.

2??d??20d??0cos?rsin?dr?3?10（3分）

?Ley^2dx?xdy，其中L为x??1,y??1所围成的矩形域边界线的正向。

y^2解：原式???(1?2yeD)dxdy?3分??1dxdy?4（4分）

D（由对称性得???2yey^2dxdy?0）

D4.

其中?为平面x?0,y?0,z?0,x?y?z?1所围成??xydydz?yzdzdx?xzdxdy，

?的空间闭区域的整个边界曲面的外侧。 解：原式????(x?y?z)dV?3分1??0dx?01?xdy?01?x?y(x?y?z)dz?3分1?0dx?01?x1分11(x?y)2(?)dy? 228四、 解下列微分方程（2×7=14分） 1. 求微分方程(y?3)dx?cotxdy?0的通解。

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解：dy?dxy?3，1dy?tanxdx，（3y?3cotx分）lny?3??lncosx?C，（3分）

y?Ccosx?3（C为任意常数）（1分）

2. 求微分方程y???y?4ex的通解。

解：y???y?0，r2?1?0，r??1，Y(x)?C1ex?C2e?x（3分） 设y*(x)?axex，a?2，y*(x)?2xex（3分） y(x)?Y(x)?y*(x)?C1ex?C2e?x?2xex（1分） 五、 级数的应用（2×8=16分）

1. 将f(x)?ln(4?x)展开成x的幂级数，并指出收敛域。 解：1?14?x41?(?1)nn?xx4n?04n1?41? x?(?4,4)（3分）

?(?1)n1n?1ln(4?x)?ln4?dx?xn?104?xn?0(n?1)4?x?

ln(4?x)?ln4?n?0?(n?1)4n?1xn?1（4分）x?(?4,4]（1分）

?(?1)n2. 将函数f(x)?1(0?x??)展开成正弦级数。

解：f(x)作奇延拓展成正弦级数，an?0,n?(0,1,2,3,?)，（2分）

?4,n?1,3,5,?22?bn?sinnxdx?(1?cosn?)?[1?(?1)n]??n?（4

?0n?n???0,n?2,4,6,?2??分）

f(x)?sin(2n?1)x x?(0,?)（2分） ??2n?1n?1n4?1六、 证明：limn??(b?n)n?limbn???n?b?，（4分）得当b??时收敛；当b??时发

散。（2分）

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