厦门理工学院 大一上 高等数学 期中试卷 评分标准

标准答案及评分标准

课程名称 教研室 命题负责人

高等数学(I)期中 高等数学教研室 欧启通

考试时间 适用专业班级 教研室主任

120分钟 2012全院 翟绍辉

一、填空题（每题3分，共24分），请把答案写在下面表格中对应的位置。

1．

y?lgxx?arcsin的定义域为[-3,0)?(2,3]． x?232．limn(n??11?......?)? 1 ．

n2??n2?n?3.根据函数在一点连续和可导的关系，可知函数

??x2?2x,x?0?f(x)??2x,0?x?1 的不可导点是x?1．

?1?,x?1?x4.已知lim?x?0f(x0?3?x)?f(x0)=18，则f?(x0)?-6．

?x5. 曲线y?cosx在x??3处的法线方程为2x?3y?3?2??0．

236. 设y?xsinx?(x?0)，则y?()? 1 ．

2?dy1?x?ln1?t27. 设函数?，则一阶导数=

dxt??y?arctant8. 设y?xe，则yx(n)?ex(x?n)．

二、选择题：（每题2分，共20分），请把答案写在下面表格中对应的位置。

1．函数y?ln(x?x2?1)是 [ ]

（A）偶函数 B）奇函数 （C）非奇非偶函数 （D）既是奇函数又是偶函数

x?x02．若f(x)在点x0的某个邻域中有定义，并且limf(x)存在，则下列结论中正确的是[ ] (Ａ) 若f(x)?0, 则

x?x0limf(x)?0 (Ｂ) 若f(x)?0, 则limf(x)?0；

x?x0 1

(Ｃ) 若f(x0)?0, 则limf(x)?0 (Ｄ) 若f(x)?0, 则limf(x)?0

x?x0x?x03.设数列{xn}，{yn}满足limxnyn=0，则下列断言正确的是 [ ]

n??1?（A）若xn发散，则yn发散 （B）若???为无穷小，则yn必为无穷小

?xn?（C）若xn有界，则yn必为无穷小 （D）若xn无界，则yn必有界

4.点x?0是f(x)?sinx?sin1的x[]

（A）可去间断点 （B）无穷间断点 （C）振荡间断点 （D）跳跃间断点 5．若y?f(x)有反函数x?g(y)，并且f(2)?3，f?(2)?5，则 [ ] （A）g?(3)?5 （B）g?(2)?5 （C）g?(2)?6. 利用微分近似公式计算，可得e?0.111 （D）g?(3)? 55? [ ]

（A）?1 （B）0.1 （C）0.9 （D）1.1 7．当x?1时，与无穷小量(1?x)等价的是 （A）1?x （B）（1?31212x） （C）（1?x） （D）1?x

28．在区间??1,1?上，下列函数满足罗尔中值定理的是 [ ] (A)f?x??（C）f?x??32x2?13 （B）f?x??1 21?xx2 （D）f?x??1?3x2?2x

三、基本计算题（每题6分，共18分），请把答案写在问题的下面。

1.求极限limx?01?cos?2x2?x2sin2x22

122(2x)1?cos?2x?解：lim2----------------------------------------------------3分 =lim222x?0xsin2xx?0x?2x21?4x4=lim24?1--------------------------------------------------------------------------6分 x?02x2、求极限lim{n[ln(n?2)?lnn]}

n??解：lim{n[ln(n?2)?lnn]}

n?? 2

=limln(n??n?2n)---------------------------------------------------------------------2分 n2n?limln[(1?)2]2------------------------------------------------------------------4分 n??n?lne2?2---------------------------------------------------------------------------6分

3. 求lim?x?0解：lim?x?0１??1?x?. ?xe?1?１??1?x? ?xe?1?ex?1?x--------------------------------------------------------------------------2分 =limx?0x(ex?1)ex?1?x?lim------------------------------------------------------------------------4分 x?0x?xex?1ex1?lim?lim?-------------------------------------------------------------6分 x?02xx?022四、解答题（每题8分，共32分）， 请把答案写在问题的下面。

?x2x?11． 设函数f(x)??为了使函数f(x)在x?1处连续且可导，a，b应取什么

?ax?bx?1值。

f(x)?lim(ax?b)?a?b------------------------------------------------------1分 解：lim++x?1x?1x?12limf(x)?limx?1----------------------------------------------------------------2分 ??x?1且f(1)?1，因为f(x)在点x?1处连续，所以，

x?1+limf(x)?limf(x)?f(1)，故a?b?1。----------------------------------------4分 ?x?1f(x)?f(1)x2?1f(1)?lim?lim?2------------------------------------------------5分 ?x?1?x?1x?1x?1'?f?'(1)?lim?x?1f(x)?f(1)(ax?b)?1(ax?b)?(a?b)?lim?lim?a----------------7分 x?1?x?1?x?1x?1x?1''又因为f(x)在x?1处可导，f?(1)?f?(1)， 所以，a?2，b??1--------------------8分

说明：左右导数没有按定义求，不能得分。

x)2．求极限lim(cot?x?01lnx

3

1lnxx)解：lim(cot?x?0

ln(cotx)?lime?x?01ln(cotx)lnx?ex?0?limlnx----------------------------------------------------------------3分

?etanx?(?csc2x)1x?0?xlim?e2x?0??sinlimxtanxx---------------------------------------------------------------6分

?ex?0??x?e?1-----------------------------------------------------------------------------8分

3. 设函数y?y(x)由方程ey?xy?e所确定，求y''(0)

解：两边求导数得 eyy'?y?xy'?0------------------------------------------------------2分

limx22(x?ey)y'??y----------------------------------------------------------------------------3分

y???y-------------------------------------------------------------------------------4分 yx?ey'(x?ey)?y(1?eyy')------------------------------------------------------------6分 y''??(x?ey)2x?0时，ey?0?e, ?y?1,y'(0)??11??, 0?ee1?(0?e)?(1?e?(?e?1))?1?2y''(0)??e???e---------------------------------------8分

(0?e)2e2五、设y?ln(x?x2?a2)，求dy

解：y'?1x?x2?a2122(x?x2?a2)'---------------------------------------------------2分

12x?a)?2 ?x?x?a1((1?2?2x)--------------------------------------------------5分

1x?a22?x2?a2?xx?a22x?x?a22---------------------------------------------7分

dy?1x?a22dx-------------------------------------------------------------------------8分

五、综合题（每题5分，共10分）， 请把答案写在问题的下面。

1. 当0?a?b，试证：

b?abb?a?ln?. baa证明：令f(x)?lnx， 可知 f(x)在[a,b]连续，在(a,b)上可导，由拉格朗日定理可知，

4

存在 ??(a,b)，使得 f(?)(b?a)?'b(b?a)?lnb?lna?ln -----------------3分 ?a1又0?a???b， 所以

111??， 且 (b?a)?0， b?a即

b?abb?a?ln?。 得证------------------------------------------------------------------5分 baaf(0)?f(1)?f(2)?1，f(3)?1.

32. 设函数f(x)在[0,3]上连续，在(0,3)内可导，且证明：必存在??(0,3)，使得f?(?)?0.

证明：由于f(x)在[0,3]上连续，所以必在[0,2]上连续，由连续函数的最值性定理，f(x)在[0,2]上有最大值M和最小值m，故有

m?f(0)?f(1)?f(2)?M--------------------------------------------------------------------------2分

3f(0)?f(1)?f(2)?1-----------3分

3又由介值性定理，至少存在一点c?[0,2],使得f(c)?又因为f(c)?1?f(3)，且f(x)在[c,3]上连续，在上可导，故由罗尔定理，必存在一点

??(c,3)?(0,3)，使得f?(?)?0---------------------------------------------------------------------5分

5

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