完美六边形研究综述

2011年9月22日

完美六边形研究综述

赵 勇

（安徽省六安市金安区东桥镇东桥希望小学，237162）

摘要： 完美六边形是由我国著名的平面几何专家叶中豪先生定义的一种特殊六边形，具有十分丰富的性质.本文系统地总结了20余年来，我国多位几何爱好者在完美六边形研究中所取得的成果.这些成果除了极少数曾在刊物公开发表外，大多散见于“东方论坛——数学版块”的一些讨论帖中，内容十分零乱.本文将这些内容系统化，形成一个体系，并在文中介绍了完美六边形研究的新进展以及一些未解决的难题.

关键词：完美六边形 基本三角形 拿破仑定理 破镜重圆 对称三角形 垂足六边形 密克点 黄利兵点 内点 不动点 对合 反演 对合不动点 完美八点组 完美十六点组 猜想

1990年左右，我国著名的平面几何专家叶中豪先生在与南京师范大学单墫教授的通信中引入了完美六边形的概念.从此欧氏几何的大花园里又多了一朵美丽的小花，而且这朵小花是在中国这片神奇的土地上生根、发芽，并茁壮成长起来的.20余年来，在广大几何爱好者的精心培育下，这朵小花终于长成奇葩，并结出颗颗硕果.本文将和读者朋友们一起走近这朵奇葩，去欣赏美丽的花朵，去品尝美味的果实.同时期待着您也来为它装扮，让它变得更加绚丽多姿.

本文是集体智慧的结晶，是二十年磨一剑.

§1 基本性质

定义1 平面六边形ABCDEF的顶点在复平面上对应的复数分别是a、b、c、d、e、f，如果有

a?bc?de?f????1. （1） b?cd?ef?a成立.则称六边形ABCDEF是完美六边形.

本文以下用相应的小写粗体字母表示复平面上的点以及该点所对应的复数. 完美六边形可以是凸六边形（如图1），也可以是凹六边形（如图2）或折六边形（如图3 ），还可以有部分顶点共线的退化情形（如图41）.

根据复数的意义，（1）式可以分解为以下两式：

? arg?

?a?bc?de?f?????180?. （2） ??b?cd?ef?a?a?bc?de?f???1. （3） b?cd?ef?a其中条件（2）式是与完美六边形的角有关的，而条件（3）式则反映了完美六边形边长之间的关系.我们可以根据复数运算的意义，把（2）、（3）两个复数式用纯几何的形式表示出来.

周界不自交的多边形叫做简单多边形，简单多边形分为凸多边形与凹多边形两种（参见（[1]：P26）.关于简单多边形为完美六边形的条件，有如下定理：

1 / 41

2011年9月22日

ABFFBAEDECCD

图1 图2

定理1简单六边形ABCDEF是完美六边形的充要条件是：

?A??C??E?360?； （4）

ABCDEF???1BCDEFA. （5）

两式同时成立.

证 只证ABCDEF是凸六边形的情形，凹六边形情形证明方法类似. 1、必要性.假设凸六边形ABCDEF是完美六边形. 由于arg? arg??a?b??表示向量CB沿逆时针方向转到向量BA方向所转过的角度，如图1，显然有 b?c???a?b??=180???B.

?b?c?同理，有 arg??e?f??c?d???arg ， ?180???D?180???F. ????d?e??f?a?∴540???B??D??F

?e?f??a?bc?de?f??a?b??c?d??????=?arg?arg?+arg??+arg??????k?360? f?ab?cd?ef?ab?cd?e?????????180??k?360?(k?Z)， （6）

∵ABCDEF是凸六边形， ∴0???B??D??F?540?，

∴（6）式中的k?2，得?B??D??F?360?，

∴?A??C??E?360?，即（4）式成立.

a?bc?de?fABCDEF???1，即（5）式成立. ???BCDEFAb?cd?ef?a2、充分性.与必要性类似，略.

2 / 41

2011年9月22日

AEFABFEBCDCD

图3 图4

要注意的是：定理1中的角是指多边形的内角，在图2所示的凹完美六边形中，?A指的是优角的度数，而不是劣角的度数.

定理1中的条件（5）对于折完美六边形也是成立的.但由于在折多边形中不太方便定义内角，所以条件（4）叙述起来较为麻烦.而我们根据复数运算的意义，由（2）式不难找到相应的角，这里就不再单独列出了.仅举一例，如图3所示的折完美六边形中，记?A、?C为相应的劣角的度数，?E为相应的优角的度数，则有条件（2）式即等价于?A??C??E?360?.在后面一些定理的证明中，我们也往往只证明完美六边形是凸六边形时的情形，其它情形的证明在本质上并无差别.但要是都分类予以详细讨论的话，将会显得非常繁琐.

南开大学的黄利兵老师将定义1中的（1）式写成行列式的形式：

adbecfa?db?ec?f11?0. 1 显然互换上面这个行列式的任意两行，行列式的值都不变.所以得到如下的

定理2 只要保证完美六边形的三对对顶点不变，而只改变点对的连接方式，则得到的六边形仍是完美六边形.

叶中豪将定理2称为完美六边形的基本定理.

1991年湖南岳阳的萧振纲先生在文[2]中用纯几何方法证明了如一个定理： 定理3 （如图4）在任意△ACE的三边上作△CDE、△EFA、△ABC.若 （i） （ii）则

ABCDEF???1； BCDEFA+=

+

+，

=360?

=

+

，

=

+EAF，且

FDFEACBFBACEDBDCEA，，， ??????DBEACBFDACEDBFCEAF关于这个定理的证明除了可以查阅上面的文[2]，还可以查阅[3]：P378~380.

定理3中是有向角的符号（参见[4]的P9~12），本文中将多次用到这一符号，而仍以?表示通常

其中三角形可以是退化的.

角的符号.

不难知道这里的六边形ABCDEF就是一个完美六边形，定理3其实给出了定理2的一个纯几何的

3 / 41

2011年9月22日

证明，并且指明了完美六边形中角之间的关系.

在图4中我们共可以找到4个完美六边形：ABCDEF、ABFDEC、ACBDFE、AECDBF.所以完美六边形的主体是三对对顶点.

定义2 有共同对顶点的四个完美六边形，我们称为相伴随的完美六边形. 为了使大家看得更清楚，在图5中我们把这四个完美六边形分开来画.

(1)BECCA(2)FBAFEDD(3)B(4)AFBEECDAFCD

图5

角形.没有公共顶点的两个基本三角形称为是相对的基本三角形.

定义3 从完美六边形的三组对顶点中各取一个为顶点构成的三角形，称为该完美六边形的基本三 显然，任一完美六边形有8个基本三角形，分为4对.由于基本三角形这一概念只与完美六边形的顶点有关，所以对于相伴随的4个完美六边形而言，它们的基本三角形是相同的.如图4，4对基本三角形分别是：?ABF和?DEC，?ABC和?DEF，?AEF和?DBC， ?DFB和?ACE.对两个相对的基本三角形而言，对应的两个顶点是指这两个顶点恰是完美六边形的一对对顶点.对应顶点所对的边称为对应边.

§2 从拿破仑定理说起

任何有价值的概念或理论的形成，都不会是某个天才凭空想象的产物，一定有其产生的背景.本节拟对完美六边形相关概念的形成做些介绍，就从著名的拿破仑定理说起.

AEBDCFAD'BF'E'C

图6 图7

4 / 41

2011年9月22日

拿破仑定理 如图6，以任一?ABC的三边为底向外作等边三角形，这三个等边三角形的中心D、

E、F构成一个新的等边三角形，?DEF称为外拿破仑三角形.

如图7，如果等边三角形向形内作，则三个等边三角形的中心D'、E'、F'也构成一个等边三角形，

?D'E'F'称为内拿破仑三角形.

内、外拿破仑三角形的基本性质：

性质1 内、外拿破仑三角形的面积差等于原三角形的面积. 性质2 内、外拿破仑三角形的中心重合，且恰是原三角形的重心. 拿破仑定理以及性质1、2的证明可参阅[5]：P71~74.

从后面我们将看到，许多进一步的研究（包括完美六边形中的一些概念和性质），都是对这两个性质的类比、推广或延伸.

AFED'F'BE'FP3MP2EACBDCP1D

图8 图9 拿破仑定理的一种等价叙述是：

如图 8，以?ABC的各边为底边向形外（内）作底角为30°的等腰三角形，则它们的顶点构成一个等边三角形，构成的等边三角形称为外（内）拿破仑三角形.

图8中的六边形AFBDCE和AF?BD?CE?其实就是两个特殊的完美六边形.

如果将图8中的等腰三角形替换为一般的三个顺相似的三角形，即以?ABC的各边为底边向形外（或内）作三个顺相似的三角形（如图9），这一构形称为三相似形.著作[4]的第18章专门讨论这一构形的性质.这章中的一个重要结果是：“ 任意三个对应点的重心为M（其中M为原来三角形重心）.”（参见[4]：P270.）

即在这一构形下，以任意三个对应点为顶点的三角形的重心是定点.显然这一定理是对上面性质2的一种推广.

A1O31P1C1A3A2P2C2P3C3P1P3B1B2OO12P2O23B3

图10 图11

5 / 41

2011年9月22日

证 如图27，在平面上取点P，使得?PCE∽?ABF，则

?=.由定理3，得

（19）

?=CDB.

由?PCE∽?ABF，得

PECE . （20） ?AFBF由AFBDCE是完美六边形，得

AFBDCE ???1，

FBDCEAAFFB?EA∴ . （21） ?DCBD?CE

将（20）、（21）两式两边分别相乘，得

PEEA . （22） ?DCBD由（19）、（22），知?PEA∽?CDB.同理可证?PAC∽?EFD.

定义8 定理14中的P点称为?ACE对应的内点，内点以后一般用字母P表示.

内点这一概念是叶中豪定义的.它将完美六边形分成三对顺相似的三角形，这是完美六边形的一个重要性质.根据这一性质，我们可以在几何画板中作出一个一般的完美六边形：先任意取定五个顶点A、B、

????C、D、E，假设A和D，B和E是两对对顶点.先作△PAE∽△CBD，再作△FAB∽△EPC，

则点F就是点C的对顶点.

由于每个完美六边形有8个基本三角形，所以一个完美六边形共有8个内点，其中相对的两个基本三角形对应的两个内点称为是一对的，这样每个完美六边形有4对内点.相伴随完美六边形的4对内点也是一样的.

图12中，控制点P0在?DEF中的对应点就是?DEF的内点. 下面两个定理就是与完美六边形的密克点和内点有关的：

D0P0E0F0EAPOFMBDC

图28

16 / 41

2011年9月22日

定理15（黄利兵，2009.09.12） 在“破镜重圆”题中，固定?ABC和?D0E0F0，设完美六边形，则无论P0如何AFBDCE的密克点是M，?DEF的内点是P（即控制点P0在?DEF中的对应点）变化，总有

(1) 密克点M是定点；

(2) ?DEF外接圆半径的平方与PM的比值是定值（图28）. 受此启发，赵勇发现了一个类似的结论：

定理16 （赵勇，2011.08.12）在“破镜重圆”题中，固定?ABC和?D0E0F0，设完美六边形AFBDCE的密克点是M，△ABC的内点是P1，则无论P0如何变化，总有?DEF外接圆半径长与P1M的积是定值.

这两个定理在这里还无法证明，它们的证明将放在§5中介绍. 4、不动点

在§2中我们介绍过内、外拿破仑三角形的中心是重合的.那么在完美六边形中，一个基本三角形与它的对称三角形有没有重合的对应点呢？ 如果有，这一点又有哪些特点呢？

定理17（赵勇，2011.05.01） 在完美六边形中，任意基本三角形与它的对称三角形有一个重合的对应点，且这个点就是该基本三角形对应内点的等角共轭点.

为了证明定理17，笔者提出了如下引理：

引理12 A、B、C、D、E五点共圆，直线AD、CE交于点Q，作点A关于直线BE的对称点A?，点C关于直线BD的对称点C?.求证：△QA?C?∽△QAC.

关于这一引理，四川李雨明（2011.08.23）给出的证明比笔者的简洁，所以这里选用他的证明.

AFBE'QA'GAC'BA'QC'EPECDCDH

图29 图30 证 如图29，连接EA、EA'、DC、DC'. ∵

DC?DCDQ， （23） ??EA?EAEQ ?QDC???BDC???BDA??BDC??BDA??BEC??BEA

??BEC??BEA???EQA?. （24）

17 / 41

2011年9月22日

∴△DQC?∽△EQA?.

∴?A?QC???A?QE??EQC???C?QD??EQC???DQE??AQC. （25）

QAQEQA?而. （26） ??QCQDQC?由（25）、（26）即得△QA?C?∽△QAC. 引理13 四点A、B、C、D当且仅当 引理13见[4]：P10.

引理14 P、Q是△ABC的一对等角共轭点，则

=

时共圆.

=

，

=

，

= .

引理14见[4]：P132.引理14其实就是三角形等角共轭点的定义.

引理15 相似系数不等于1的相似（顺相似或逆相似）变换必有唯一的一个不动点.这个不动点称为两相似图形的相似中心或相似不动点.

引理15见[3]：P76的定理2.4.9.当两个相似图形的相似系数等于1时，相似中心退化为无穷远点.此时，我们可以把这个无穷远点看作这两个图形的不动点.

定理17的证明 如图30，在完美六边形ABCDEF中，△ACE的对称三角形是△A?C?E?.设△

ACE的内点是P，点P在△ACE中的等角共轭点是Q.

根据内点的性质（定理14），有

=

，

= .

设直线CQ与BF交于点G.

∵P、Q是△ACE的一对等角共轭点， ∴

= = ，

∴A、B、C、G四点共圆. 另设直线BD、AQ交于点H. ∵

= = ，

∴A、B、C、H四点共圆. ∴A、B、C、H、G五点共圆.

根据引理12，△QA?C?∽△QAC.即Q点是△QA?C?与△QAC重合的对应点.由引理15，这个重合的对应点也是唯一的.证毕.

定义9 在完美六边形中，一个基本三角形与它的对称三角形重合的对应点（其实就是这两个三角形的相似中心）称为该基本三角形的不动点，以后一般用字母Q表示.

同一基本三角形的不动点与内点互为等角共轭点.根据这一性质，我们往往可以把与不动点有关的问题转化为内点的相关问题来解决.与内点类似，一个完美六边形共有8个不动点，其中相对的两个基本三角形对应的两个不动点称为是一对的，这样每个完美六边形有4对不动点.相伴随完美六边形的4对不动点是一样的.

18 / 41

2011年9月22日

完美六边形的不动点这一概念是由赵勇引进并加以研究的，以下我们将看到，完美六边形的不动点具有十分丰富的性质.

定理18 （赵勇，2011.05.07）完美六边形ABCDEF中两个相对的?ACE和?BDF对应的不动点分别是Q1、Q2，则Q1A∥Q2D，Q1C∥Q2F，Q1E∥Q2B.

证 如图31，设?ACE对应的内点是P1，B、C在AC、BD上的射影分别是B1、C1.

??Q1AC??P1AE??C1BC，?Q1A由B、B1、C1、C四点共圆，得?C1B1C??C1BC，

∥B1C1.同理Q2D∥B1C1，故Q1A∥Q2D.

AFBB1Q2C1CDP1Q1E

图31

如果我们设E、F在DF、EA上的射影分别是E1、F1，则由同样的道理有Q1A∥E1F1.∴B1C1∥E1F1.这样，我们就得到了定理6的又一种证法.并且由定理7和定理18的证明，我们能得到如下的推论：

推论 定理7中三对平行线中的每一对恰好与定理18中三对平行线中的一对互相垂直. 交换一下定理18中点的连接，则有：

猜想3 （赵勇，2011.05.08）在定理18的记号下，设Q1B、Q2E交于点L，Q1D、Q2A交于点

M，Q1F、Q2C交于点N.则L、M、N三点共线（如图32）.

NMABLQ2CQ1EFD

图32 笔者还发现了不动点与黄氏点之间的一个联系：

19 / 41

2011年9月22日

定理19 （赵勇，2011.05.03）完美六边形ABCDEF中两个相对的?ACE和?BDF对应的黄氏点、不动点分别是H1、H2，Q1、Q2.则H1Q2∥H2Q1.

定理19曾经不知如何证明，后来有了“完美八点组”（见§6）的概念后，才发现原来定理18、定理19其实是一回事. 从后面§6中我们将看到，这节关于不动点的许多定理都是§6节完美八点组中相应性质的一部分.而这里仍然将这些定理单独列出，一方面是遵循当初发现的轨迹，另一方面也使读者体会完美六边形和完美八点组的联系和区别.

定理19对于其余三对不动点当然也成立.在完美六边形ABCDEF中，四对基本三角形?ACE、

?DFB；?AEF、?DBC；?ABF、?DEC；?DEF、?ABC，对应的不动点分别记为Q1~Q8.

则定理19可完整表述为：H1Q2∥H2Q1，H1Q3∥H2Q4，H1Q6∥H2Q5，H1Q8∥H2Q7（如图33）.

Q7Q6Q4H1Q1H2Q3Q5Q2Q8

图33 在图33中，笔者（2011.05.08）还发现：

猜想4 H1、H2、Q1、Q4、Q5、Q7六点共一条二次曲线，H1、H2、Q2、Q3、Q6、Q8六点共一条二次曲线.

Q7Q1Q6Q4Q2Q8Q3Q5

图34 8个不动点之间有奇妙的共圆现象： 定理20 （赵勇，2011.05.06）

① Q1、Q4、Q6、Q7四点共圆， ② Q2、Q3、Q5、Q8四点共圆，

③ Q1、Q3、Q5、Q7四点共圆， ④ Q2、Q4、Q6、Q8四点共圆，

20 / 41

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/xtd7.html