《优化探究》2013届高三数学理科二轮复习专题演练阶段达标检测2

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专题演练阶段达标检测2

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四

个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．(2012年高考北京卷)已知集合A＝{x∈R|3x＋2>0}，B＝{x∈R|(x＋1)(x－3)>0}，则A∩B＝( )

2A．(－∞，－1) B．{－1，－3} 2

C．(－3，3)

D．(3，＋∞)

22

解析：∵3x＋2>0，∴x>－3.∴A＝{x|x>－3}． 又∵(x＋1)(x－3)>0，∴x>3或x<－1. ∴B＝{x|x<－1或x>3}．

2∴A∩B＝{x|x>－3}∩{x|x<－1或x>3} ＝{x|x>3}． 答案：D

2．(2012年武汉调研)已知a，b，a＋b，a－b均为非零向量，则(a＋b)·(a－b)＝0是|a|＝|b|的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件 解析：(a＋b)·(a－b)＝0答案：C

3．(2012年荆州模拟)曲线y＝x2与曲线y＝8x所围成的封闭图形的面积为( )

64A.3 C．16

128B.3 D．48 a2－b2＝0

|a|2＝|b|2

|a|＝|b|.

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解析：两曲线的交点坐标为(0，0)，(4，16)，两曲线所围成的封闭图形的面

3316x6464?162

积为?4(8x－x)dx＝(3x2－3)?＝3×8－3＝3. ?0?0

4

答案：A

4．函数y＝x·ex在点(1，e)处的切线方程为( ) A．y＝ex C．y＝－2ex＋3e

B．y＝x－1＋e D．y＝2ex－e

解析：因为y′＝ex＋xex，所以y′|x＝1＝e＋e＝2e，

所以函数y＝x·ex在点(1，e)处的切线方程为y－e＝2e(x－1)， 即y＝2ex－e. 答案：D

5．(2012年高考辽宁卷)执行如图所示的程序框图，则输出的S值是( )

A．4 2

C.3

3B.2 D．－1

解析：根据程序框图的要求一步一步地计算判断．

2

根据程序框图，程序执行的步骤为S＝4，i＝1<6；S＝－1，i＝2<6；S＝3，3

i＝3<6；S＝2，i＝4<6；S＝4，i＝5<6；S＝－1，i＝6<6不成立，输出S＝－1.

答案：D

6．(2012年高考江西卷)下列命题中，假命题为( ) A．存在四边相等的四边形不是正方形

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B．z1，z2∈C，z1＋z2为实数的充分必要条件是z1，z2互为共轭复数 C．若x，y∈R，且x＋y>2，则x，y至少有一个大于1

1nD．对于任意n∈N＋，C0n＋Cn＋…＋Cn都是偶数

解析：选项B中，若z1＋z2为实数，则保证z1，z2虚部互为相反数即可，并不需要z1，z2互为共轭复数，如z1＝1－i，z2＝2＋i.故B不对．

答案：B

7．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7＝( )

1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111

……

A．1 111 110 C．1 111 112

B．1 111 111 D．1 111 113

解析：对题中所给信息进行归纳推理可得答案为B.也可以由123 456×9＋7得到的数的个位数为1，排除选项A、C、D，故选B.

答案：B

8．(2012年高考天津卷)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1，2)内是增函数的为( )

A．y＝cos 2x，x∈R B．y＝log2|x|，x∈R且x≠0 ex－e－x

C．y＝2，x∈R D．y＝x3＋1，x∈R

解析：利用逐项排除法求解．

π

选项A中函数y＝cos 2x在区间(0，2)上单调递减，不满足题意；选项C中的函数为奇函数；选项D中的函数为非奇非偶函数，故选B.

答案：B

9．已知函数f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)，f(2 011)·g(－2 012)<0，

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则y＝f(x)，y＝g(x)在同一坐标系内的大致图象是( )

解析：由f(2 011)·g(－2 012)<0，知0

根据函数g(x)＝loga|x|(0

答案：B

10．(2012年高考天津卷)已知△ABC为等边三角形，AB＝2.设点P，Q满足→＝λAB→，AQ→＝(1－λ)AC→，λ∈→·→＝－3，则λ＝( ) APR.若BQCP

2

1A.2 C.

1±102

1±2B.2 D.

－3±22

2

→，AB→表示出向量BQ→，CP→，再根据向量的运算列方程求

解析：先用向量CA解．

→·→＝(BA→＋AQ→)·→＋AP→)＝[BA→＋(1－λ)AC→]·→＋λAB→)＝－3，所以4λ2BQCP(CA(CA

21

－4λ＋1＝0.所以λ＝2. 答案：A

11．(2012年高考浙江卷)若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )

A．60种 C．65种

B．63种 D．66种

解析：先找出和为偶数的各种情况，再利用分类加法计数原理求解．满足题设的取法可分为三类：一是四个奇数相加，其和为偶数，在5个奇数1，3，5，7，9中，任意取4个，有C45＝5(种)；二是两个奇数加两个偶数其和为偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2，4，6，8中任取2个，有C2C25·4＝60(种)；三是四个偶数相加，其和为偶数，4个偶数的取法有1种，所以满足条件的取法

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共有5＋60＋1＝66(种)．

答案：D

1

12．(2012年高考山东卷)设函数f(x)＝x，g(x)＝－x2＋bx，若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是( )

A．x1＋x2>0，y1＋y2>0 B．x1＋x2>0，y1＋y2<0 C．x1＋x2<0，y1＋y2>0 D．x1＋x2<0，y1＋y2<0

解析：利用函数与方程的转化思想求解． 设F(x)＝x3－bx2＋1，

则方程F(x)＝0与f(x)＝g(x)同解， 故其有且仅有两个不同零点x1，x2. 2

由F′(x)＝0得x＝0或x＝3b.

2

这样，必须且只需F(0)＝0或F(b)＝0.

32

因为F(0)＝1，故必有F(3b)＝0， 33

由此得b＝22.

23不妨设x1

3

所以F(x)＝(x－x1)(x－2)2，比较系数得 13133－x14＝1，故x1＝－22.x1＋x2＝22>0， 11x1＋x2

由此知y1＋y2＝x＋x＝xx<0. 1

2

12

答案：B

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)

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16

13．(2012年高考湖南卷)(2x－)的二项展开式中的常数项为

x________．(用数字作答)

解析：根据二项式定理的通项公式求解．

6

162x－16（2x－1）

∵(2x－)＝()＝，

x3xx

又∵(2x－1)6的展开式的通项公式为

6－r

Tr＋1＝Cr(－1)r，令6－r＝3，得r＝3. 6(2x)3∴T3＋1＝－C323·x3＝－160x3. 6(2x)＝－20×

∴(2x－

16

)的二项展开式中的常数项为－160. x

答案：－160

14．(2012年高考湖北卷)若＋b＝________．

解析：利用复数相等的条件求出a，b的值． 3＋bi（3＋bi）（1＋i）1

＝＝2[(3－b)＋(3＋b)i]

21－i

3－b3＋b

＝2＋2i.

3－b?a＝?2，?a＝0，∴解得? ∴a＋b＝3. ?3＋b

?b＝3.

??2＝b，答案：3

15．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是________．

解析：七月份的销售额为500(1＋x%)，八月份的销售额为500(1＋x%)2，则一月份到十月份的销售总额是3 860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]，根据题意有3 860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7 000，即25(1＋x%)＋25(1＋

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3＋bi

＝a＋bi(a，b为实数，i为虚数单位)，则a1－i

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611

x%)≥66，令t＝1＋x%，则25t＋25t－66≥0，解得t≥5或者t≤－5(舍去)，故1

2

2

6

＋x%≥5，解得x≥20.

答案：20

?log2（x＋1），x>0

16．已知函数f(x)＝?2若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，

－x－2x，x≤0，?则实数m的取值范围是________．

解析：函数f(x)的图象如图所示，函数f(x)＝－x2－2x(x≤0)的最大值是1，故只要0

答案：(0，1)

三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

3

17．(12分)设命题p：函数f(x)＝(a－2)x是R上的减函数，命题q：函数f(x)＝x2－4x＋3在[0，a]上的值域为[－1，3]，若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求a的取值范围．

3

解析：∵f(x)＝(a－2)x是R上的减函数， 335∴0

22.

∵f(x)＝(x－2)2－1在[0，a]上的值域为[－1，3]， 则2≤a≤4.

∵“p且q”为假，“p或q”为真，∴p、q为一真一假． 3

若p真q假，得2

若p假q真，得2≤a≤4，

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35

综上可知：a的取值范围是(2，2)∪[2，4]． 18．(12分)已知函数f(x)＝(x＋2)|x－2|.

(1)若不等式f(x)≤a在[－3，1]上恒成立，求实数a的取值范围； (2)解不等式f(x)>3x. 解析：(1)当x∈[－3，1]时，

f(x)＝(x＋2)|x－2|＝(x＋2)(2－x)＝－x2＋4. ∵－3≤x≤1，∴0≤x2≤9. 于是－5≤－x2＋4≤4.

即函数f(x)在[－3，1]上的最大值等于4.

∴要使不等式f(x)≤a在[－3，1]上恒成立，实数a的取值范围是[4，＋∞)． (2)不等式f(x)>3x，即(x＋2)|x－2|－3x>0. 当x≥2时，原不等式等价于x2－4－3x>0， 解得x>4或x<－1. 又∵x≥2，∴x>4.

当x<2时，原不等式等价于4－x2－3x>0， 即x2＋3x－4<0，解得－4

综上可知，原不等式的解集为{x|x>4或－4

19．(12分)已知函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，对定义域内的任意x1、x2，都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>1时f(x)>0，f(2)＝1.

(1)求证：f(x)是偶函数；

(2)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数； (3)解不等式f(2x2－1)<2.

解析：(1)证明：因对定义域内的任意x1，x2都有 f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，

令x1＝x，x2＝－1，则有f(－x)＝f(x)＋f(－1)． 又令x1＝x2＝－1，得2f(－1)＝f(1)． 再令x1＝x2＝1，得f(1)＝0，从而f(－1)＝0， 于是有f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数． (2)证明：设0

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x2

则f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f(x1·x1) x2x2＝f(x1)－[f(x1)＋f(x)]＝－f(x)，

1

1

x2

由于01，

1

x2从而f(x)>0，故f(x1)－f(x2)<0，

1

即f(x1)

所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数． (3)由于f(2)＝1，

所以2＝1＋1＝f(2)＋f(2)＝f(4)， 不等式可化为f(2x2－1)

结合(1)(2)已证结论，可得上式等价于|2x2－1|<4且2x2－1≠0. 10102

解得{x|－2< x <2，且x≠±2}．

20．(12分)某玩具厂生产一种儿童智力玩具，每个玩具的材料成本为20元，加工费为t元(t为常数，且2≤t≤5)，出厂价为x元(25≤x≤40)．根据市场调查知，日销售量q(单位：个)与ex成反比，且当每个玩具的出厂价为30元时，日销售量为100个．

(1)求该玩具厂的日利润y元与每个玩具的出厂价x元之间的函数关系式； (2)若t＝5，则每个玩具的出厂价x为多少元时，该工厂的日利润y最大？并求最大值．

k

解析：(1)设日销量q＝ex(k≠0) k

则e30＝100，∴k＝100e30 100e30∴日销量q＝ex. 100e30（x－20－t）∴y＝(25≤x≤40)．

ex100e30（x－25）

(2)当t＝5时，y＝(25≤x≤40)

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100e30（26－x）∴y′＝(25≤x≤40)

ex由y′>0得x∈[25，26)，由y′<0得(26，40]， ∴函数在[25，26]上递增，在[26，40]上递减， ∴当x＝26时，ymax＝100e4.

即当每个玩具的出厂价为26元时，工厂的日利润最大，最大值为100e4元． 21．(13分)(2012年大同模拟)已知函数f(x)＝ln(x＋a)－x2－x在x＝0处取得极值．

(1)求实数a的值；

5

(2)若关于x的方程f(x)＝－2x＋b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围．

解析：(1)∵f′(x)＝

1

－2x－1， x＋a

又函数f(x)在x＝0处取得极值， 1

∴f′(0)＝a－1＝0，得a＝1. (2)由(1)知，f(x)＝ln(x＋1)－x2－x.

53

令g(x)＝f(x)＋2x－b＝ln(x＋1)－x2＋2x－b，x∈(－1，＋∞)， 则g′(x)＝

13－（4x＋5）（x－1）

－2x＋2＝. x＋12（x＋1）

令g′(x)＝0得x＝1.

此时g′(x)，g(x)随x的变化情况如下表：

∴当x＝1时，g(x)取得极大值也是最大值．

由题设可知函数g(x)在区间[0，2]上有两个不同的零点，

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?∴ ?g（0）≤0，即?－b≤0?g（2）≤0??ln 3－1－b≤0

1解得ln 3－1≤ b

1

∴b的取值范围是[ln 3－1，ln 2＋2)．

22．(13分)(2012年朝阳模拟)已知函数f(x)＝ln(ax＋1)＋数)．

(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)求函数f(x)的单调区间；

(3)若函数f(x)的最小值为1，求a的取值范围． 解析：(1)当a＝1时，f(x)＝ln(x＋1)＋则f′(x)＝

－21

＋. x＋1（1＋x）21－x

， 1＋x

1－x

(x≥0，a为正实1＋x

g（1）>0

1

??ln 2＋2－b>0

所以f′(1)＝0.又f(1)＝ln 2，因此所求的切线方程为y＝ln 2. －2ax2＋a－2a

(2)f′(x)＝＋＝. ax＋1（1＋x）2（ax＋1）（1＋x）2①当a－2≥0，即a≥2时，因为x≥0，

所以f′(x)≥0，所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增． ②当a－2<0，即0

2

2－a

a.

2－a

a)时，f′(x)<0，

2－a

a，＋∞)时，f′(x)>0.

2－a

a，＋∞)，函数f(x)的单调递减区间

所以函数f(x)的单调递增区间为(

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为[0,

2－aa)．

(3)当a≥2时，函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则f(x)的最小值为f(0)＝1，满足题意．

当0

所以a的取值范围是[2，＋∞)．

2－a

a，＋∞)，函数f(x)2－a

a)，而f(0)＝1，不

2－a

a)，则f(x)的最小值为f(

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