立体几何中的向量方法之方向向量与法向量

3.2立体几何中的向 量方法---------方向向量与法向量

一、方向向量与法向量 1.直线的方向向量如图, l 为经过已知点 A 且平行于非零向量 a 的直线,那么非零向量 a 叫做直线 l 的方向向量。

换句话说,直线上的非零向量叫做直线的 方向向量

A

l

a

P

直线的方向 向量不唯一

直线l的向量式方程

AP ta

练习 (, 1 2, 3 ),( B 2, 1, 2 ),(, P 1 1, 2 ) 2.已知两点 A , 点 Q 在 OP 上运动,求当 QA QB 取得最小值时,点 Q 的坐标.解:设 OQ OP ( ) ∴ QA QB 6 16 , ∴当 时, QA QB 取得最小值, 4 4 8 此时 Q( , , ) 3 3 3

2、平面的法向量

换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面 的法向量 平面 α的向量式方程 注：平面 α的法向量 不唯一 l

a AP 0

几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互 相平行; 3.向量n 是平面的法向量，向 量m是与平面平行或在平面内， 则有

aAP

n m 0

巩固性训练11.设

a, b 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下平行 垂直

列条件,判断l1,l2的位置关系.

(1)a (2, 1, 2), b (6, 3, 6) (2)a (1,2, 2), b ( 2,3,2) (3)a (0,0,1), b (0,0, 3)

平行

巩固性训练21.设

u, v

分别是平面α,β的法向量,根据 垂直 平行

下列条件,判断α,β的位置关系.

(1)u ( 2,2,5), v (6, 4,4) (2)u (1,2, 2), v ( 2, 4,4) (3)u (2, 3,5), v ( 3,1, 4)

相交

例1.

如图所示, 正方体的棱长为1

(1,0,0) (1)直线OA的一个方向向量坐标为___________

(0,0,1) (2)平面OABC 的一个法向量坐标为___________ (-1,-1,1) (3)平面AB C 的一个法向量坐标为___________1

zO1 A1 B1 C1

oA B

C

y

x

例 2.在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) , C (0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量. n (4, 3, 6)解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z )

则 n AB , n AC .∵ AB ( 3,4,0) , AC ( 3,0, 2)3 y x ( x, y, z ) ( 3,4,0) 0 3 x 4 y 0 ∴ 即 4 ( x, y, z ) ( 3,0, 2) 0 3 x 2z 0 ∴ z 3 x 2 取 x 4 ,则 n (4, 3,6)∴ n (4, 3,6) 是平面 ABC 的一个法向量.

总结:如何求平面的法向量⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z )⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 坐标 a (a1 , b1 , c1 ), b (a2 , b2 , c2 )

⑶根据法向量的定义建立关于 x , y , z 的方程 n a 0 组 n b 0

⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.

令x、y、z中某个为定值

练习 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是 正方形，侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1 ,E是PC 的中点， 求平面EDB的一个

法向量.解：如图所示建立空间直角坐标系. Z

依题意得D(0, 0, 0), P (0, 0,1), 1 1 B(1, 1,0) E (0, , ) 2 2 1 1 DE (0, , ) DB =(1, 1,0) 2 2

P

ED

设平面EDB的法向量为 n ( x, y,1)

则n DE, n DB1 1 y 0 于是 2 n 1, 1, 1 2 x y 0

A

C B

Y

X

例2:已知AB (2, 2,1), AC (4,5,3), 求平面ABC的 单位法向量。解：设平面的法向量为n (x,y,z),则n AB, n AC (x,y,z) (2, 2,1) 0,(x,y,z) (4,5,3) 0,

1 2 x 2 y z 0 x 即 , 取z 1,得 2 4 x 5 y 3 z 0 y 1

1 2 2 求平面ABC的单位法向量为 ( , - ,) 3 3 3

1 n ( , 1,1), 2

3 | n | 2

用向量方法解决立体问题

因为方向向量与法向量可以确定 直线和平面的位置，所以我们可以利 用直线的方向向量与平面的法向量表 示空间直线、平面间的平行、垂直、 夹角、距离等位置关系.

二、

立体几何中的向量方法——平行关系

设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , 平面 , 的法向量分别为 u, v ,则

一. 平行关系：(1)l // m a // b a balm

b

设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , 平面 , 的法向量分别为 u, v ,则

(2) l / / ① a u a u 0 ;

uα

a

② a∥AC

③ a xAB y AD

设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , 平面 , 的法向量分别为 u, v ,则(3) / / ① u / / v u v.uα

vβ

例1.用向量方法证明 定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行, 则这两个平面平行 已知 :直线l与m相交,

um l

aα

l , m , l∥ , m∥ 求证 ∥ .证明 取l,m的方向向量a, b

b

vβ

取 , 的法向量u, v.l∥ , m∥ a v, b v

又a, b不共线, 所以v是 的一个法向量 于是 v 同时是 、 的一个法向量

∥ .

例2 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方 形, PD⊥底面ABCD,PD=DC=6, E是PB的

中点，DF:FB=CG:GP=1:2 . 求证：AE//FG. 证 ：如图所示, 建立 Z E(3,3,3), 空间直角坐标系. A(6,0,0), P

F(2,2,0),

G(0,4,2),

几何法呢？

AE =(-3, 3, 3), FG =(-2, 2, 2)3 AE = FG AE // FG 2 AE与FG不共线

ED

GC Y

AE//FG

A X

F

B

例3 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正 方形，PD⊥底面ABCD,PD=DC, E是PC的 中点， (1)求证：PA//平面EDB. P解法1 立体几何法

E

D AG

C B

解法2:如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1(1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG

依题意得A(1, 0, 0), P(0, 0,1), 1 1 1 1 E (0, , ) G( , , 0) 2 2 2 2 1 1 PA (1, 0, 1), EG ( , 0, ) 2 2

Z

P E

所以PA 2EG ,即PA// EG

而EG 平面EDB, 且PA 平面EDB所以，PA // 平面EDBA X DG

C

B

Y

解法3:如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1

1 1 1,0) 依题意得A(1, 0, 0), P (0, 0,1), E (0, , ), B(1, (1)证明： 2 2 1 1 PA (1,0, 1), DE (0, , ) Z DB =(1, 1,0) 2 2设平面EDB的法向量为 n ( x, y,1)

P E

则n DE, n DB1 1 y 0 于是 2 n 1, 1, 1 2 x y 0

PA n 0 PA n

而PA 平面EDB所以，PA // 平面EDB

D A X B

C

Y

练

如图，已知矩形 ABCD和矩形 ADEF 所在平面相交于AD,点 1 1 M , N 分别在对角线 BD , AE 上，且 BM BD , AN AE, 3 3 求证： MN // 平面CDEFN A M C E

证明 MN MD DE EN2 2 DB DE EA 3 32 2 ( DA DC ) DE ( DA DE ) B 3 3

D

2 1 DC DE 3 3

几何法呢？

所以MN、DC、DE共面

但MN 平面CDE

故MN // 平面CDE

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