（教案）高中数学抛物线 - 高考经典例题

1抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线． 2抛物线的图形和性质：

①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。

②焦准距：FK?p

③通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p。 ④顶点平分焦点到准线的垂线段：OF?OK?p。 2M2PC⑤焦半径为半径的圆：以P为圆心、FP为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点F、

N准线是公切线。

KoF⑥焦半径为直径的圆：以焦半径 FP为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样

M1Q的圆过定点F、过顶点垂直于轴的直线是公切线。

⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。

3抛物线标准方程的四种形式：

y2?2px，y2??2px，x2?2py，x2??2py。4抛物线y2?2px的图像和性质：

yM2?p?①焦点坐标是：?，0?，

?2?②准线方程是：x??Pp。 2KM1oFQx③焦半径公式：若点P(x0,y0)是抛物线y2?2px上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：PF?x0?p， 2pp?x2??x1?x2?p 222④焦点弦长公式：过焦点弦长PQ?x1?2y22⑤抛物线y?2px上的动点可设为P(?,y?)或P(2pt,2pt)或P(x?,y?)其中y??2px?

2p5一般情况归纳： 方程 图象 k>0时开口向右 焦点 准线 定义特征 到焦点(k/4,0)的距离等于到准线x= ─k/4的距离 y=kx k<0时开口向左 22(k/4,0) x= ─k/4 k>0时开口向上 (0,k/4) k<0时开口向下 y= ─k/4 x=ky 到焦点(0,k/4)的距离等于到准线y= ─k/4的距离 抛物线的定义：

例1：点M与点F (－4，0)的距离比它到直线l：x－6=0的距离4.2，求点M的轨迹方

分析：点M到点F的距离与到直线x=4的距离恰好相等，符合抛物线定义．

2

答案：y=－16x 2

例2：斜率为1的直线l经过抛物线y=4x的焦点，与抛物线相交于点A、B，求线段A、长．

程．

B的

分析：这是灵活运用抛物线定义的题目．基本思路是：把求弦长AB转化为求A、B两点到准线距离的和．

2

解：如图8－3－1，y=4x的焦点为F (1，0)，则l的方程为y=x－1．

?y2?4x2由?消去y得x－6x+1=0． ?y?x?1设A (x1，y1)，B (x2，y2) 则x1+x2=6． 又A、B两点到准线的距离为A?，B?，则

AA??BB???x1?1???x2?1???x1?x2??2?6?2?8

点评：抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质，在解题中起到至关重要的作用。

2

例3:(1) 已知抛物线的标准方程是y=10x，求它的焦点坐标和准线方程；

(2) 已知抛物线的焦点是F (0，3)求它的标准方程；

2

(3) 已知抛物线方程为y=－mx(m>0)求它的焦点坐标和准线方程； (4) 求经过P (－4，－2)点的抛物线的标准方程；

分析：这是为掌握抛物线四类标准方程而设计的基础题，解题时首先分清属哪类标准型，再录求P值(注意p>0)．特别

2是(3)题，要先化为标准形式：x??11y，则2p?．(4)题满足条件的抛物线有向左和向下开口的两条，因此有两解．

mm答案：(1) F?，0?，x???5?2??511??222

y?．(2) x=12y (3) F?0，?，；(4) y=－x或x=－8y． ?24m4m??例4 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：

（1）过点（－3，2）；

（2）焦点在直线x－2y－4=0上

分析：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p；从实际分析，一般需确定p和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论 解：（1）设所求的抛物线方程为y2=－2px或x2=2py（p＞0）， ∵过点（－3，2），

∴4=－2p（－3）或9=2p·2 ∴p=

29或p= 34∴所求的抛物线方程为y2=－

4919x或x2=y，前者的准线方程是x=，后者的准线方程是y=－ 3238（2）令x=0得y=－2，令y=0得x=4， ∴抛物线的焦点为（4，0）或（0，－2） 当焦点为（4，0）时，

p=4， 2p=2， 2∴p=8，此时抛物线方程y2=16x； 焦点为（0，－2）时，

∴p=4，此时抛物线方程为x2=－8y ∴所求的抛物线的方程为y2=16x或x2=－8y， 对应的准线方程分别是x=－4，y=2 常用结论

① 过抛物线y2＝2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p

② 设A(x1，y)， 1B(x2，y2)是抛物线y2＝2px上的两点， 则AB过F的充要条件是y1y2＝－p2 ③ 设A， B是抛物线y2＝2px上的两点，O为原点， 则OA⊥OB的充要条件是直线AB恒过定点(2p，0)

22

例5：过抛物线y=2px (p>0)的顶点O作弦OA⊥OB，与抛物线分别交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求证：y1y2=－4p．

分析：由OA⊥OB，得到OA、OB斜率之积等于－1，从而得到x1、x2，y1、y2之间的关系．又A、B是抛物线上的点，故(x1，y1)、(x2，y2)满足抛物线方程．从这几个关系式可以得到y1、y2的值．

证：由OA⊥OB，得KOA?KOB22y1y2y12y2y12y2，x2?，所以：x1x2?，即????1，即y1y2=－x1x2，又x1?x1x22p2p4p22y12y22

． 而yy1y2??1y2≠0．所以y1y2=－4p． 4p2弦的问题

例1 A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，满足OA?OB(O为坐标原点)求证：(1)A,B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值；

(2)直线AB经过一个定点 (3)作OM?AB于M，求点M的轨迹方程 解：(1)设A(x1,y1), B(x2,y2), 则y12=2px1, y22=2px2, ∴y12y22=4p2x1x2,

∵OA?OB, ∴x1x2+y1y2=0, 由此即可解得：x1x2=4p2, y1y2=─4p2 (定值) (2)直线AB的斜率k=

y2?y1y2?y12p=2=, 2x2?x1y2y1y1?y2?2p2py122p∴直线AB的方程为y─y1=(x─),

y1?y22p即y(y1+y2)─y1y2=2px, 由(1)可得 y=直线AB过定点C(2p,0)

2p(x─2p),

y1?y2(3)解法1:设M(x,y), 由(2)知y=

2p(x─2p) (i),

y1?y2y2p·= ─1 (ii) xy1?y2又AB?OM, 故两直线的斜率之积为─1, 即

由(i),(ii)得x2─2px+y2=0 (x?0)

解法2: 由OM?AB知点M的轨迹是以原点和点(2p,0)为直径的圆(除去原点) 立即可求出

例2 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标 解：如图，设A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 则x=

x1?x2y?y2, y=1,

22又设点A，B，M在准线l:x=─1/4上的射影分别为A/,B/,M/, MM/与y轴的交点为N， 则|AF|=|AA/|=x1+

11,|BF|=|BB/|=x2+, 44111115∴x=(x1+x2)=(|AF|+|BF|─)?(|AB|─)= 222224等号在直线AB过焦点时成立，此时直线AB的方程为y=k(x─) 141??y?k(x?)由?8(k2+2)x+k2=0 4得16k2x2─?y2?x??1?k2

依题意|AB|=1?k|x1─x2|=1?k×==3, 22k16k228(k2?2)51∴k=1/2, 此时x=(x1+x2)==

22?16k242

∴y= ±55222即M(,), N(,─) 42422例3设一动直线过定点A(2, 0)且与抛物线y?x2?2相交于B、C两点,点B、C在x轴上的射影分别为B1,C1, P是线段BC

上的点,且适合

BB1BP?,求?POA的重心Q的轨迹方程,并说明该轨迹是什么图形 PCCC1解析: 设B(x1,y1),C(x2,y2),P(x0,y0),Q(x,y)

?BB1yBP??1??, ?y0?PCCC1y2y1?y1?y2y22y1y2? y1y1?y21?y2?y?x2?2222由?得y?(k?4k)y?6k?0 ?y?k(x?2)2?6k212k?y0?2? ①

k?4kk?4又

y0?k代入①式得y0?4x0?4 ②

x0?2x0?2?x???x0?3x?2?3由?得? 代入②式得:12x?3y?4?0

y?3yy?0?y?0?3?由??0得k?4?26或k?4?26, 又由①式知y0关于k是减函数且y0?12

?12?46?y0?12?46,

4?4646?y?4?且y?4 33所以Q点轨迹为一线段(抠去一点): 12x?3y?4?0

(4?4646?y?4?且y?4) 332例4 已知抛物线y?2px,(p?0),焦点为F,一直线l与抛物线交于A、B两点,且AF?BF?8,且AB的垂直平分线恒过定点S(6, 0) ①求抛物线方程; ②求?ABS面积的最大值 解: ①设A(x1,y1),B(x2,y2), AB中点 M(x0,y0)

由AF?BF?8得x1?x2?p?8,?x0?4?p 22?p?y1?2px122 又? 得y1?y2?2p(x1?x2),?y0?

2k??y2?2px2pppk所以 M(4?,) 依题意?k??1, ?p?4

p2k4??62抛物线方程为 y2?8x ②由M(2,y0)及kl?令y?0得xK?2?44, lAB:y?y0?(x?2)

y0y012y0 4 又由y2?8x和lAB:y?y0?42(x?2)得: y2?2y0y?2y0?16?0 y0?S?ABS?111222?KS?y2?y1?(4?y0)4y0?4(2y0?16) 224?S?ABS?14222(16?y0)(32?2y0)?264364()?6 839例5 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M

的坐标 解：如图，设A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 则x=

x1?x2y?y2, y=1,

22又设点A，B，M在准线l:x=─1/4上的射影分别为A/,B/,M/, MM/与y轴的交点为N， 则|AF|=|AA/|=x1+

11,|BF|=|BB/|=x2+, 44111115∴x=(x1+x2)=(|AF|+|BF|─)?(|AB|─)= 222224等号在直线AB过焦点时成立，此时直线AB的方程为y=k(x─) 141?y?k(x?)?由?8(k2+2)x+k2=0 4得16k2x2─?y2?x??1?k2

依题意|AB|=1?k|x1─x2|=1?k×==3, 22k16k228(k2?2)51∴k=1/2, 此时x=(x1+x2)==

22?16k242

∴y= ±

55222即M(,), N(,─) 42422

综合类(几何)

例1 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，如何证明直线MQ平行于抛物线的对称轴？

2解：思路一：求出M、Q的纵坐标并进行比较，如果相等，则MQ//x轴，为此，将方程y?2px,y?k(x?p)联立，2解出

p(k2?1?1)2p(1?k2?1)p(k2?1?1)2p(1?k2?1)P(,),Q(,)

kk2k22k2直线OP的方程为y?2k(1?k2?1)(k2?1?1)2?2(1?k2?1)x,即y?x.

kp(1?k2?1)p令x??，得M点纵坐标yM??yQ得证．

2k由此可见，按这一思路去证，运算较为繁琐．

思路二：利用命题“如果过抛物线y2?2px的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两上交点的纵坐标为y1、y2，那么y1y2??p2”来证．

设P(x1,y1)、Q(x2,y2)、M(x3,y3)，并从y2?2px及y?k(x?p)中消去x，得到ky2?2py?kp2?0，则有结论2?p2． y1y2??p，即y2?y12又直线OP的方程为y??py1py1． x， x??，得y3?22x1x12y因为P(x1,y1)在抛物线上，所以2x1?1．

ppy1pp2从而y3??(?py1)?2???y2．

2x1y1y1这一证法运算较小．

2yp思路三：直线MQ的方程为y?yo的充要条件是M(?,y0),Q(0,y0)．

22p将直线MO的方程y??2py2y0p和直线QF的方程y?202(x?)联立，它的解（x ,y）就是点P的坐标，消去yo的p2yo?p充要条件是点P在抛物线上，得证．这一证法巧用了充要条件来进行逆向思维，运算量也较小．

说明：本题中过抛物线焦点的直线与x轴垂直时（即斜率不存在），容易证明成立．

例2 已知过抛物线y?2px(p?0)的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，点R是含抛物线顶点O的弧AB上一点，求△RAB的最大面积．

分析：求RAB的最大面积，因过焦点且斜率为1的弦长为定值，故可以AB为三角形的底，只要确定高的最大值即可． 解：设AB所在的直线方程为y?x?2p． 2将其代入抛物线方程y2?2px，消去x得y2?2py?p2?0

?AB?2y1?y2?2?(y1?y2)2?4y1y2?4p

当过R的直线l平行于AB且与抛物线相切时，△RAB的面积有最大值． 设直线l方程为y?x?b．代入抛物线方程得y2?2py?2pb?0 由??4p2?8pb?0,得b?∴△RAB的最大面积为

pp2，这时R(,p)．它到AB的距离为h?p 2221AB?h?2p2． 2例3 直线l1过点M(?1,0)，与抛物线y2?4x交于P1、P2两点，P是线段P1P2的中点，直线l2过P和抛物线的焦点F，设直线l1的斜率为k．

（1）将直线l2的斜率与直线l1的斜率之比表示为k的函数f(k)； （2）求出f(k)的定义域及单调区间．

分析：l2过点P及F，利用两点的斜率公式，可将l2的斜率用k表示出来，从而写出f(k)，由函数f(k)的特点求得其定义域及单调区间．

解：（1）设l1的方程为：y?k(x?1)，将它代入方程y2?4x，得

k2x2?(2k2?4)x?k2?0

4?2k22?k2,x?设P 1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P(x,y)，则x1?x2?22kk2?k22?k222,)． 将x?代入y?k(x?1)得：y?，即P点坐标为(kk2k2k2k2k由y?4x，知焦点F(1,0)，∴直线l2的斜率k2? ?222?k1?k?1k2∴函数f(k)?1． 21?k224（2）∵l2与抛物线有两上交点，∴k?0且??(2k?4)?4k?0

解得?1?k?0或0?k?1

∴函数f?(k)的定义域为k?1?k?0或0?k?1 当k?(?1,0)时，f(k)为增函数．

例4 如图所示：直线l过抛物线y?2px的焦点，并且与这抛物线相交于A、B两点，求证：对于这抛物线的任何给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线．

分析：本题所要证的命题结论是否定形式，一方面可根据垂直且平分列方程得矛盾结论；别一方面也可以根据l上任一点到C、D距离相等来得矛盾结论．

2??证法一：假设直线l是抛物线的弦CD的垂直平方线，因为直线l与抛物线交于A、B两点，所以直线l的斜率存在，且不为零；直线CD的斜率存在，且不为0．

2设C、D的坐标分别为(2pt12,2pt1)与(2pt2,2pt2)．则kCD?1 t1?t2∴l的方程为y??(t1?t2)?(x?∵直线l平分弦CD

p) 222∴CD的中点(p(t1?t2),p(t1?t2))在直线l上， 22即p(t1?t2)??(t1?t2)[p(t1?t2)?22由p(t1?t2)?0知t1?t2?p12]，化简得：p(t1?t2)(t12?t2?)?0 221?0得到矛盾，所以直线l不可能是抛物线的弦CD的垂直平分线． 2证法二：假设直线l是弦CD的垂直平分线 ∵焦点F在直线l上，∴CF?DF

由抛物线定义，C(x1,y1),D(x2,y2)到抛物线的准线x??∵x1?x2,y1??y2，

∴CD的垂直平分线l：y?0与直线l和抛物线有两上交点矛盾，下略．

例5 设过抛物线y2?2px(p?0)的顶点O的两弦OA、OB互相垂直，求抛物线顶点O在AB上射影N的轨迹方程． 分析：求与抛物线有关的轨迹方程，可先把N看成定点(x0,y0)；待求得x0、y0的关系后再用动点坐标(x，y)来表示，也可结合几何知识，通过巧妙替换，简化运算．

解法一：设A(x1,y1),B(x2,y2),N(x0,y0),

2y12?y2则：y?2px1,y?2px2，?x1x2? 24p2122p的距离相等． 2?OA?OB，?kOA?kOB??1即x1x2?y1y2?0

2y12y2??y1y2?0 4p2?y1y2?0，?y1y2??4p2 ①

把N点看作定点，则AB所在的直线方程为：y?y0??2x0(x?x0),显然x0?0 y0yy?(x?y0)222代入y?2px,化简整理得：x0y2?2py0y?2p(x0?y0)?0 ?x?0?x022?2p(x0?y0) ② ?x0?0，?y1y2?x022?2p(x0?y0)22由①、②得：?4p?，化简得x0?y0?2px0?0(x0?0)

x02用x、y分别表示x0、y0得：x2?y2?2px?0(x?0)

解法二：点N在以OA、OB为直径的两圆的交点（非原点）的轨迹上，设A(2pt2,2pt)，则以OA为直径的圆方程为：

(x?pt2)2?(y?pt)2?p2(t4?t2)

x2?y2?2pt2?2pty?0 ①

设B(2pt1,2pt1)，OA⊥OB，则t1t??1?t1?? 在求以OB为直径的圆方程时以?代t1，可得

21t1tt2(x2?y2)?2px?2pty?0 ②

由①＋②得：(1?t2)(x2?y2?2px)?0

?x2?y2?2px?0(x?0)

例6如图所示，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N?l1，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形，AM?7，AN?3，且BN?6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．

分析：因为曲线段C上的任一点是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，所以本题关键是建立适当坐标系，确定C所满足的抛物线方程．

解：以l1为x轴，MN的中点为坐标原点O，建立直角坐标

系．

由题意，曲线段C是N为焦点，以l2为准线的抛物线的一的两端点．

∴设曲线段

C

满足的抛物线方程为：

段，其中A、B分别为曲线段

y2?2px(p?0)(xA?x?xB,y?0),其中xA、xB为A、B的横坐标

令MN?p,则M(?pp,0),N(,0)，?AM?17,AN?3 22?(x???A∴由两点间的距离公式，得方程组：??(x?A???p?4?p?2解得?或?

x?1x?2?A?A∵△AMN为锐角三角形，∴

p2)?2pxA?172

p2)?2pxA?92p?xA，则p?4，xA?1 2又B在曲线段C上，?xB?BN?p?6?2?4 2则曲线段C的方程为y2?8x(1?x?4,y?0).

例7如图所示，设抛物线y2?2px(0?p?1)与圆(x?5)2?y2?9在x轴上方的交点为A、B，与圆(x?6)2?y2?27在x由上方的交点为C、D，P为AB中点，Q为CD的中点．（1）求PQ．（2）求△ABQ面积的最大值．

分析：由于P、Q均为弦AB、CD的中点，故可用韦达定理表示出P、Q两点坐标，由两点距离公式即可求出PQ．

解：（1）设A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),D(xD,yD),P(x1,y1),Q(x2,y2)

22??(x?5)?y?9由?2得：x2?2(5?p)x?16?0， ??y?2px?x1?xA?xB?5?P 22pyA?yBy1??(xA?xB)222p?xA?xB?2xAxB 22p?2(5?p)?82?9p?p222??(x?6)?y?272由?2得x?2(6?p)x?9?0， ??y?2px?x2?xC?xD?6?p 2y2?2pyC?yD?(xC?xD) 222同y1类似，y2?9p?p

则x1?x2?1,y1?y2?0，?PQ?1

（2）S?ABQ?S?APQ?S?BPQ?1PQ?yA?yB?22P2xA?xB

同样有

112?=(e为双曲线的离心率). mnep13.如右图，M是抛物线y2=x上的一点，动弦 ME、MF分别交x轴于A、B两点，且|MA|=|MB|.

（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；

（2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹方程. （1）证明：设M（y02,y0），直线ME的斜率为k(k>0),则直线MF的斜率为-k， 直线ME的方程为y-y0=k(x-y02).

2??y?y0?k(x?y0),由?得

2??y?x.ky2-y+y0(1-ky0)=0. 解得y0·yE=

y0(1?ky0),

k1?ky0(1?ky0)2∴yE=,∴xE=. 2kk1?ky0(1?ky0)2同理可得yF=,∴xF=.

kk2∴kEF=

yE?yF1??（定值）.

xE?xF2y0（2）解析：当∠EMF=90°时，∠MAB=45°，所以k=1，由（1）得E（（1-y0）2,（1-y0)）F（（1+y0）2,-(1+y0)）.

设重心G（x,y），则有

2?xM?xE?xF2?3y0x??,??33 ??y?yM?yE?yF??y0.?33?消去参数y0,得y2=

12x? (x>0). 92714.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点M（1,-3）、N（5，1），若点C满足OC=tOM+(1-t)ON(t∈R),点C的轨迹与抛物线y2=4x交于A、B两点. （1）求证：OA⊥OB;

(2)在x轴上是否存在一点P（m,0），使得过点P任作抛物线的一条弦，并以该弦为直径的圆都过原点.若存在，请求出m的

值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由.

（1）证明：由OC=tOM+(1-t)ON(t∈R)知点C的轨迹是M、N两点所在的直线，故点C的轨迹方程是：y+3=即y=x-4. 由?1?(?3)·(x-1),4?y?x?4,?y?4x,2?(x-4)2=4x?x2-12x+16=0.

∴x1x2=16，x1+x2=12，

∴y1y2=(x1-4)(x2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16=-16. ∴x1x2+y1y2=0.故OA⊥OB.

（2)解析：存在点P（4，0），使得过点P任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点. 由题意知：弦所在的直线的斜率不为零，

故设弦所在的直线方程为：x=ky+4，代入y2=x，得y2-4ky-16=0, ∴y1+y2=4k,y1y2=-16. kOA·kOB=

y1y2yy1616??12?22??=-1. x1x2y1y2?16y1y244∴OA⊥OB,故以AB为直径的圆都过原点.

设弦AB的中点为M(x,y)， 则x=

11(x1+x2),y=(y1+y2). 22x1+x2=ky1+4+ky2+4=k(y1+y2)+8=k·(4k）+8=4k2+8.

?x?2k2?4,∴弦AB的中点M的轨迹方程为：?消去k，得y2=2x-8.

?y?2k,

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