第6章刚体的平面运动习题解答080814 - 图文

第六章 刚体的平面运动

本章要点

一、刚体平面运动的描述

1 刚体的平面运动方程：xA?xA(t)，yA?yA(t)，???(t).

2 平面图形的运动可以看成是刚体平移和转动的合成运动：刚体的平面运动（绝对运动）便可分解为随动坐标系（基点）的平移（牵连运动）和相对动坐标系（基点）的转动（相对运动）。其平移部分与基点的选取有关，而转动部分与基点的选取无关。因此，以后凡涉及到平面图形相对转动的角速度和角加速度时，不必指明基点，而只说是平面图形的角速度和角加速度即可。 二、平面运动刚体上点的速度

1 基点法：平面图形内任一点B的速度，等于基点A的速度与B点绕基点转动速度的矢量和，即

vB?vA?vBA，

?，方向垂直于AB，指向与图形的转动方向相一致。 其中vBA的大小为vBA?AB2投影法

速度投影定理：在任一瞬时，平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等，即

[vB]AB?[vA]AB

3瞬心法

任意瞬时平面运动图形上都存在速度为零的点，称为该平面图形的瞬时速度中心，简称瞬心。

平面图形上各点速度在某瞬时绕瞬心的分布与绕定轴转动时的分布相同，但有本质区别。绕定轴转动时，转动中心是一个固定不动的点，而速度瞬心的位置是随时间而变化的。

面图形内任意一点的速度，其大小等于该点到速度瞬心的距离乘以图形的角速度，即

vM?CM?，

其方向与CM相垂直并指向图形转动的一方。若在某瞬时，??0，则称此时刚体作瞬时平移，瞬时平移刚体的角加速度不为零。 解题要领：

1 建立平面运动刚体的运动方程时要注意选取合适的点为基点，以使问题简单，。

2 由于在基点建立的是平移坐标系，因此，相对基点的角速度就是相对惯性坐标系的角速度。 3 平面运动刚体上点的速度计算的3种方法各有所长：基点法包含刚体运动的速度信息，但过程繁杂；速度投影法能快捷地求出一点的速度，但失去角速度信息；瞬心法简单明了和直观是

1

常用的方法。

4 当用基点法时，要注意基点的速度矢和相对基点的速度矢组成速度平行四边形的两边，对角向才是这一点的速度矢。速度基点法能且只能解2个未知量，因此，在涉及的3个速度中至少有一个速度的大小和方向都是已知的，在画速度平行四边形时先画这个速度。

5 应用速度投影法时，要注意投影是有正负的，两点的速度必须协调，符合刚体的定义。 6 在找速度瞬心时，作速度矢量时要注意各速度的协调，同一刚体上的两点速度方向可以确定速度瞬心的位置。

三、平面运动刚体上点的加速度

平面图形上任意一点的加速度，等于基点的加速度与该点绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和，即

tnaB?aA?aBA?aBA，

进一步，当基点A和所求点B都作曲线运动时，它们的加速度也应分解为切向加速度和法向加速度，上式写为

aB?aB?aA?aA?aBA?aBA， 其中 a?nB2vBtnnttn?B，a?nA2vA?An2t，aBA?AB?，aBA?AB?，?A,?B分别为A,B点的曲率半径。

特殊地，当刚体作瞬时平移时，aBA?0，有加速度投影定理 [aB]AB?[aA]AB. 解题要领

1 加速度基点法一般涉及6个加速度矢量，其中3个法向加速度是与速度或角速度有关，这可以通过速度分析求得，而aBA的方向与A,B垂直为已知，剩下5个因素中只可以存在2个未知量。

2 一般选加速度的大小和方向都已知的一点为基点。

3 加速度基点法最多涉及6个矢量，应通过列投影式解代数方程求解。投影式中等号一边是B点加速度的投影，另一边是基点A的加速度和相对于基点加速度投影的代数和，千万不能写成“平衡方程”的形式。

4 加速度投影定理只在刚体作瞬时平移时成立。

5 可以证明刚体作平面运动时也存在加速度瞬心，即加速度为零的点，但这必须在角速度和角加速度皆已知的情况下才能确定，因此无助于解题，所以没有“加速度瞬心法”。

tn 2

第七章 刚体的平面运动 习题解答

6-1 椭圆规尺AB由曲柄OC带动，曲柄以角速度?O绕O轴匀速转动，如图所示。如OC?BC?AC?r，并取C为基点，求椭圆规尺AB的平面运动方程。 解：AB杆作平面运动，设t?0时，??0，则???0t。选AB杆上的C点位基点，建立平移坐标系C?x?y?，在图示坐标系中，AB杆在固定坐标系O?xy的位置由坐标

题6-1图

(xC,yC,?)确定，所以AB杆的平面运动方程为：

xC?rcos?0t，

yC?rsin?0t，

?????0t.

6-2 杆AB的A端沿水平线以等速v运动，在运动时杆恒与一半圆周相切，半圆周半径为R，如图所示。如杆与水平线的夹角为?，试以角?表示杆的角速度。

解： 解法一：杆AB作平面运动。选取A为基点，由速度基点法

vC?vA?vCA，

作图示几何关系，图中vA?v，解得

题 6-2图

vCA?vAsin??vsin?，

vCAvsin2??AB杆的角速度为 ?? （逆时针）. ACRcos?解法二：在直角三角形△ACO中，sin??R，对时间求导，得 x?cos???Rx? ?2x??v,x?Rsin?，解得AB杆的角速度为 其中，xsin2?v? ???，

cos?R（负号表示角速度转向与?角增大的方向相反，即逆时针）

3

6-3 半径为r的齿轮由曲柄OA带动，沿半径为R的固定齿轮转动，如图所示。如曲柄OA以等角加速度?绕O轴转动，当运动开始时，角速度?O?0，转角??0。求动齿轮以中心A为基点的平面运动方程。

解：动齿轮作平面运动。建立与曲柄OA固结的转动坐标系

O???，和在动齿轮的A点建立平移坐标系A?x?y?，如图

所示，从图中可见，因动齿轮和固定齿轮间没有滑动，所以存在关系

R??r?

小轮半径AM相对平移坐标系A?x?y?，也即固定坐标系得转角为

题6-3图

?A??????(1?), 而 ???t2，

可得小轮平面运动方程为

xA?(R?r)cos(?t)， yA?(R?r)sin(?t). 6-4 图示机构中，已知OA?0.1m，

Rr12122122BD?0.1m，DE?0.1m，EF?0.13m；

?OA?4rad/s。在图示位置时，曲柄OA与水平线

OB垂直；且B、D和F在同一铅直线上，又

DE?EF。求EF的角速度和点F的速度。

解：如图所示，对各构件进行速度分析. 1）AB杆作平面运动. 因vA//vB ，所以AB杆为瞬时平移，得

题 6-4图

vB?vA?OA??OA?0.4m/s.

2）BC杆作平面运动. 由vC,vB找得BC杆的速度瞬心为D点，所以，BC杆上的速度分布好像与三角板DEC一起绕D作定轴转动一样，得

vE?DE?vCv?DE?B?vB?0.4m/s，方向如图示. DCBD3）EF杆作平面运动. 由vE,vF找得EF杆的速度瞬心为CEF，故有

4

?EF?vE?1.333rad/，s（顺时针）； ECEFvF?FCEF??EF?0.462m/s，（方向向上）。

6-5 图示四连杆机构中，连杆由一块三角板ABD构成。已知曲柄的角速度?O1A?2rad/s，

O1A?100mm，O1O2?50mm，AD?50mm。当O1Amm铅直时，AB平行于O1O2，且O1、

A、D在同一直线上，角??30。求三角板ABD的角速度和点D的速度。

解：AO1杆和BO2杆作定轴转动，三角板ABD做平面运动， 由vA,vB找得三角板ABD的速度瞬心为CABD点，如图所示. 故

vA?AO， 1??O1A?0.2m/s三角板ABD的角速度：

??ABD?D点的速度：

vACABDA?1.07rad/s，（逆时针）.

题 6-5图

vD?CABDD??ABD?0.254rad/s.

6-6 图示双曲柄连杆机构中，滑块B和E用杆BE连接，主动曲柄OA和从动曲柄OD都绕O轴转动。OA以匀角速度?0?12rad/s转动。已知OA?100mm，OD?120mm，

AB?260mm，BE?120mm，DE?1203mm。求当曲柄OA垂直于滑块的导轨方向时，

曲柄OD和连杆DE的角速度。

解：如图机构中，主动曲柄OA作定轴转动， vA?OA???1.2m/s，

在图示瞬时，由vA,vB知，ABAB杆作平面运动，杆作瞬时平移，有 vB?vA?1.2m/s.

BE作平移，vE?vB. 有vD,vE找得ED杆速度瞬

心为D点.在图示位置上可得 OE?题 6-6图

AB?OA?EB?OD，

22 5

由此可知 ?ODE??OED?30，ED杆角速度为 ?DE??vE10?3?5.77rad/s， 3CE3.6?2.08m/s， 3D点的速度为

vD?CD??DE?曲柄OD的角速度为

?DO?vD?103?17.32rad/s， （逆时针）. OD6-7 使砂轮高速转动的装置如图所示。杆O1O2绕O1轴转动，转速为n4?900r/min，O2处用铰链连接一半径为r2的动齿轮2，杆O1O2转动时，轮2在半径为r3的固定内齿轮3上滚动，并使半径r1?r2/11的轮1绕O1轴转动。轮1上装有砂轮，随同轮1高速转动。求砂轮的转速。 解：如图所示: 设轮1和杆O1O2的角速度分别为?1和?4，杆O1O2作定轴转动，故vO2?(r1?r2)?4

轮1和轮2啮合点M的速度 vM?2vO2，注意

r3?r1?2r2，可得轮1的角速度

?1?轮1的转速为

n1?12n4?10800vMr1?r2??4?12?4，（顺时针） r1r1题6-7图

r/min，（顺时针）.

6-8 图示瓦特行星传动机构中，平衡杆O1A绕O1轴转动，并借连杆AB带动曲柄OB；而曲柄OB活动地装在O轴上；在O轴上装有齿轮1，齿轮2的轴安装在连杆AB的另一端。已知：r1?r2?3003mm，O1A?750mm，

AB?1500mm；又平衡杆的角速度

?O?6rad/s。求当??60?和??90?时，曲

1柄OB和齿轮1的角速度。

解：由图所示可知：点C是AB杆和轮II的速度瞬心，故

?ABvAO1A??O11????O1，（逆时针）.

4CA2?AB

题 6-8图

6

vB?CB??AB?3753?O1，

杆OB的角速度为

?OB?vB?3.75rad/s，（逆时针）. r1?r2两齿轮啮合点M的速度为vM?CM??AB, 则轮1的角速度为

?I?vM?6rad/s，（逆时针）. r16-9 如图所示，轮O在水平面上匀速滚动而不滑动，轮缘上固连销钉连接滑块B，此滑块在摇杆O1A的槽内滑动，并带动摇杆绕O1轴转动。已知轮的半径R?0.5m，在图示位置时，

AO1是轮的切线，轮心的速度vO?0.2m/s，摇杆与水平面的夹角为60?。求摇杆的角速度和

角加速度。

题 6-9 图

题 6-9 速度和加速度分析图

解：轮O作匀速纯滚动， ?O?vO?O?0，点B作合成运动。 ，且?O??r 选销钉B为动点，摇杆为动系。 1） 速度分析：

va?CB??O?3vO

根据速度合成定理 va?ve?vr作速度平行四边形，如图 (a)所示，求得

33vO. vr?vacos30??vO, ve?vasin30??22摇杆的角速度为 ?O1?ve?0.2rad/s，（逆时针）. O1B 7

2) 加速度分析：

ⅰ）选轮心O为基点，则销子B的加速度如图（b）所示，有

ntnaB?aO?aBO?aBO?aBO （d）

再选定销钉B为动点，摇杆为动系，如图（c），有

aB?aen?aet?ar?ac (e)

nnt由式（d）,(e)得 aBO = ae + ae + ar + ac

22 大小： R?O O1B??O1 O1B??O1 ？ 2?O1vr

方向： 如图（b），（c）所示

向BO轴上投影

naBO?aet?ac，

τn解出 ae?aBO?ac，于是摇杆的角加速度为

?OA1aet（逆时针）. ???0.0462rad/s2，

O1B

6-10 在图示机构中，已知：滑块A的速度

vA?200mm/s，AB?400mm。求当AC?CB，

??30?时杆CD的速度。

解：选套筒上的销钉C为动点，AB杆为动系，动系作平面运动.

1）速度分析. 由vA,vB找得AB杆的速度瞬心CAB，故AB杆的角速度为 ?AB?连速度为

题6-10图

vA?1rad/s，而C点的牵CABAve?CABC??AB?200mm/s，

由速度合成定理 va?ve?vr ，解得 vCD?va?vr?

2）加速度分析. AB杆作平面运动，以A为基点，有

题6-10速度分析图

8

ve200?3mm/s?0.115m/s ?2cos303 aB = aA + aBA + aBA

2大小： ？ 0 AB??AB AB??AB

tn方向: √ √ √ √ 向水平轴投影，列出

aBAsin30?aBAcos30?0，

tn?解得 aBA?aBAcot30?23AB??AB，

t?n?于是求得AB杆的角加速度为

?ABtaBA??3rad/s，（顺时针）. AB

题6-10加速度分析图

再对套筒上的销钉C作加速度分析，仍以此销钉C为动点，AB杆为动系，加速度合成定理为

aa?ae?ar?ac，

tn其中 ae?aC??aA?ac?A?ac?A，这里C?是AB杆上与C重合的点，所以

tn aa = aA + ac?A + ac?A + ar + ac 2 大小: ？ 0 AC??AB AC??AB ？ 2?ABvr

方向: √ √ √ √ √ √

向?轴投影，列出

?t aacos30?ae?ac，

解出 aa?2?AC?103?AC3?23??AC?0.667m/s. ??3?3?3即 aCD?aa?0.667m/s，（向下）.

6-11 直径为d的圆轮沿直线轨道滚动而不滑动，长为l的杆AB在A端与轮缘铰接，在B端与沿倾角为60的滑道而运动的滑块铰接。已知轮心O点以速度v0匀速运动。当??30时，杆AB处于水平。求此时滑块B的速度和加速度。 解：1）速度分析.

圆轮作纯滚动，与地面接触点C0位速度瞬心， 圆轮的角速度为 ?O?从而有

??2vO d 9

vA?dcos???O?3vO.

AB杆作平面运动，vA,vB找得AB杆的速度瞬心

CAB，于是AB杆的角速度为

?AB?vA， CABA

题6-11 图

滑块B的速度为 vB?CABB??AB?2） 加速度分析.

圆轮作匀角速纯滚动，轮心O的加速度为零，以此为基点，容易求得轮缘上A点的加速度为

2d22vOaA??O?，指向轮心.

2dCABBvA?3vO，方向如图示. CABA

题6-11 AB杆的加速度分析图

AB杆作平面运动，以A为基点，计算B点的加速度，有

tnaB?aA?aBA?aBA，

n2其中aBA?AB??AB，向x轴投影，列出

aBcos60?aAcos30?aBA， 解得：

??n?312?2?aB?2??d?l?vO，方向如图示.

??6-12 图示配汽机构中，曲柄OA长为r，绕O轴以等角速度?0转动，AB?6r，

BC?33r。求机构在图示位置时，滑块C的速度和加速度。

解：1）速度分析.

曲柄OA作定轴转动，vA?r?0.

AB杆作平面运动，由vA,vB找得AB杆的速度瞬心CAB，由此得AB杆的角速度 ?AB?B点速度为

vB?CABB??BA?3r?0.

vA?0. ?3r3题6-12图

10

BC杆作平面运动，由vB,vC找得BC杆的速度瞬心

CBC，由此得BC杆的角速度

?BC?vB??0. 6CBCC滑块C的速度为 vC?CBCC??BC?3r?0，向下. 2题6-12速度分析图

注意到，如果题目只要求B和C点的速度，而不需要求杆的角速度，则用速度投影法求解更方便简捷。

2）加速度分析.

对AB杆，选A为基点，则B点加速度为

aB = aA + aBA + aBA

22 大小： ？ r?O AB??AB？ AB??AB

ntn 方向： 方向都已知，如图所示.

向AB轴投影，得

aBsin30?aAsin30?aBA 解得 aB??r?O.

对BC杆，选B为基点，C点加速度为

tn

aC = aB + aCB + aCB

n?n?题6-12加速度分析图

132 大小： ？ ?1322r?O ？ BC??BC

方向： 方向都已知，如图所示

向BC轴投影，得 aC??aBcos30?aCB?上.

6-13 图示轻型杆式推钢机中，曲柄OA借连杆AB带动摇杆O1B绕O1轴摆动，杆EC以铰链与滑块C相连，滑块C可

题 6-13图

?n32r?O，方向向12

11

沿杆O1B滑动。摇杆摆动时带动杆EC推动钢材。已知

OA?r，AB?3r，O1B?2b/3，在图示位置时，BC?4b/3，?OA?0.5rad/s，r?0.2m，

b?1m. 求滑块C的绝对速度和绝对加速度，滑块C相对于摇杆O1B的速度和加速度。

解： 1）速度分析 该机构速度分析如图（a）.

AB杆作平面运动，以A为基点，vA?r?OA，有

vB?vA?vBA

解出

vB?vA?0.115m/s， ?cos30vBA?vAtan30??0.0577m/s，

于是，杆O1B的角速度为

(a) 题6-13速度分析图

?1?vB?0.1732rad/s，（逆时针）； O1B杆AB的角速度为

?BA?vBA（顺时针）. ?0.1667rad/s，

AB选取滑块上的销钉C为动点，摇杆O1B为动系，则 ve?O1C??1?0.346m/s. 由速度合成定理 va?ve?vr， 解出滑块C相对于摇杆O1B的速度：

vr?vetan30??0.2m/s,

滑块C的绝对速度：

(b)

题6-13加速度分析图

vCE?va?ve?0.4m/s，（向左）.

cos30?（2）加速度分析.

该机构加速度分析如图（b），对AB杆，以A为基点，有 aB + aB = aA + aBA + aBA

222 大小： ？ O1B??1 r?O ？ AB??BA

tntn 方向： 方向都已知 ，如图（2）所示

12

向水平轴投影，列出

aBcos30?aBsin30??aBA， 解出 aB???t?n?n1nnaB?2aBA??0.0227m/s2，于是，杆O1B的角加速度为 3??taB ?1?（逆时针）. ??0.0340rad/s2，

O1B仍取滑块上的销钉C为动点，摇杆O1B为动系，则由

tn aa = ae + ae + ar +ac

2大小： ？ O1C??1 O1C??1 ？ 2?1vr

方向： 方向都已知，如图（b）所示

向?轴和O1C轴投影

?t?n aacos30?ae?ac， aasin30?ae?ar，

解出滑块C的绝对加速度和相对于摇杆的加速度为

aa?1t2， a?a?0.158m/sec?cos30??n?2 ar?ae?aasin30?0.139m/s.

6-14 图示行星齿轮传动机构中，曲柄OA以角速度?0绕O轴转动，使与齿轮A固结在一起的杆BD运动，并借铰链B带动BE杆运动。如定齿轮的半径为2r，动齿轮半径为r，且

AB?5r，图示瞬时，OA在铅直位置，BD在水平位置，杆BE与水平线间成?角。求杆BE

上的点C的速度和加速度。 解：1）速度分析.

动齿轮A在定齿轮O上作纯滚动，所以，动齿轮A上与定齿轮O接触的这点CAB就是动齿轮的A的速度瞬心，于是有 vA?3r?0，?AB?vA?3?0，（逆时针）. r 题 6-14图

vB?CABB??AB?36r?0.

vB?va?ve?vr，

得

选BE杆上的B点为动点，套筒C为动系，如图（a）。由速度合成定理

13

vr?vacos90??????6.865r?0 ， ve?a0??vsin?90???????2.622r?.

式中??arctan1速度为

?5?24.1?. 从而杆BE的角

?ve（顺时针）. ?0.618?0，

BC当选BE杆上的C?为动点时，牵连速度为零，

?e?又因为杆相对于套筒是作平移，从而杆BE上的

题6-14速度分析图

C?点的速度为

r?0. vC??vr?6.8653） 加速度分析，如图（b），小齿轮作平面运动，

选A为基点，则B点加速度为

ntaB?aA?aBA?aBA,

式中因?AB?0得 aBA?0.另一方面，选杆上的B点为动点，套筒为动系，则有

题6-14加速度分析图

t

aB?a?a?ar?ac ，

由此两式得

τenetnn aA + aBA = ae + ae + ar + ac， 2大小： 3r?0

225r?AB ？ ?e?BC ？ 2?evr

方向： 如图（b）所示

向CB轴投影，

?n?n aAcos45?aBAcos45??ar?ae 2解出 ar?13.73r?0.

再选杆上C?为动点，套筒为动系，有

aC?a = aC?e + aC?r + aC?c

大小: ？ 0 ar 2?evr 方向: 见图（2）C处 得杆上C?点加速度为 aC??2. ar2?a2C?c?16.14r?0 14

6-15 曲柄OA以恒定的角速度??2rad/s绕轴O转动，并借助连杆AB驱动半径为r的轮子在半径为R的圆弧槽中作无滑动的滚动。设OA?AB?R?2r?1m，求图示瞬时点B和点C的速度和加速度。

解：1） 速度分析. 如图（a），点P为轮子速度瞬心，AB杆

s/, ?AB?0.轮B的角速作瞬时平移，有vB?vA?R??2m度为

题 6-15图

?B?vB?2??4rad/s, rvC?PC??B?22r??2.828m/s.

2）加速度分析.

AB杆作平面运动，取A为基点，对B作加速度分析，如图（a），有

aB + aB = aA + aBA + aBA

2vB22大小: ？ R? ？ ?BAR?0

rtntn

题 6-15（a）图

方向: 如图（a）所示

分别向AB轴和BP轴投影，得

aB??aBA?0, aB??aBA?0

2vBtn??aB?8m/s. AB杆的角加速度为 ?8m/s，aBA故B点加速度为aB?a?rnBtaBA??8m/s2. ABtnnt ?AB轮B的角加速度为

taB?0m/s2. ?B?AB轮作纯滚动，取B为基点，作 C点的加速度分析，如图（b）所示，即

nt

aC = aB + aCB + aCB

题 6-15（b）图

2 大小： ？ aB ?Br ?Br?0

n 方向： 如图（b）所示

15

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