《概率论与数理统计》课程练习计算题

三、解答题

1．设对于事件A、B、C有P(A)?P(B)?P(C)?1/4，P(AB)?P(BC)?0，

P(AC)?1/8，求A、B、C至少出现一个的概率。

解：由于ABC?AB，从而由性质4知，P(ABC)?P(AB)?0，又由概率定义知

P(ABC)?0，所以P(ABC)?0 ，从而由概率的加法公式得

P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)

?115?3?? 4882．设有10件产品，其中有3件次品,从中任意抽取5件，问其中恰有2件次品的概率是多少？

5 解：设A表示：“任意抽取的5件中恰有2件次品”。则n(?)?C10。5件产品中恰有2件2323C7种，即n(A)?C3C7。于是所求概率为 次品的取法共有C3235C7 /C10P(A)?n(A)/n(?)?C3?35/84

3．一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（有放回）。求： （1）第二次取出的是次品的概率； （2）两次都取到正品的概率；

（3）第一次取到正品，第二次取到次品的概率。 解：设Ai表示：“第i次取出的是正品”（i=1，2），则 （1）第二次取到次品的概率为 P(A1A2?A1A2)?102221???? 121212126101025?? 121236 （2）两次都取到正品的概率为

P(A1A2)?P(A1)P(A2|A1)? （3）第一次取到正品，第二次取到次品的概率为 P(A1A2)?1025?? 1212364．一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。求：

（1）至少取到一个正品的概率； （2）第二次取到次品的概率； （3）恰有一次取到次品的概率。

解：设Ai表示：“第i次取出的是正品”（i=1，2），则 （1）至少取到一个正品的概率

1?P(A1A2)?1?P(A1)P(A2|A1)?1? （2）第二次取到次品的概率为

2165?? 121166 P(A1A2?A1A2)?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1) ?102211???? 121112116 （3）恰有一次取到次品的概率为

P(A1A2?A1A2)?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1) ?10221010???? 1211121133 5．一批产品共有10件正品2件次品，从中任取两件，求：

（1）两件都是正品的概率； （2）恰有一件次品的概率；

（3）至少取到一件次品的概率。

解：设A表示：“取出的两件都是正品是正品”；B表示：“取出的两件恰有一件次品”；

C表示：“取出的两件至少取到一件次品”；则

（1）两件都是正品的概率 P(A)?2C102C12?15 22 （2）恰有一件次品的概率 P(B)?11C10C22C12?10 33 （3）至少取到一件次品的概率 P(C)?1?P(A)?1?2C102C12?1?157? 22226．一工人照看三台机床，在一小时内，甲机床需要照看的概率是0.6，乙机床和丙机床需

要照看的概率分别是0.5和0.8。求在一小时中，

（1）没有一台机床需要照看的概率； （2）至少有一台机床不需要照看的概率。

解：设A表示：“没有一台机床需要照看”；B表示：“至少有一台机床不需要照看“；Ci表示：“第i台机床需要照看”（i=1，2，3）。则A?C1C2C3；B?C1?C2?C3。 P(A)?P(C1C2C3)?P(C1)P(C2)P(C3) ?(1?P(C1))(1?P(C2))(1?P(C3))?0.04

P(B)?P(C1?C2?C3)?P(C1C2C3)?1?P(C1C2C3) ?1?P(C1)P(C2)P(C3)?0.76

7．在某城市中发行三种报纸A、B、C，经调查，订阅A报的有50%，订阅B报的有30%，订阅C报的有20%，同时订阅A及B报的有10%，同时订阅A及C报的有8%，同时订阅B及C报的有5%，同时订阅A、B、C报的有3%，试求下列事件的概率： （1）只订阅A及B报；（2）恰好订阅两种报纸。 解：（1）P(ABC)?P(AB?C)?P(AB?ABC)

?P(AB)?P(ABC)?0.1?0.03?0.07 （2）P(ABC?ABC?ABC)?P(ABC)?P(ABC)?P(ABC)) ?0.07?0.02?0.05?0.14

8．一盒子中黑球、红球、白球各占50%、30%、20%，从中任取一球，结果不是红球，求：（1）取到的是白球的概率；

（2）取到的是黑球的概率。

解：设Ai分别表示：“取到的是黑球、红球、白球”（i=1，2，3），则问题（1）化为求

P(A3|A2)；问题（2）化为求P(A1|A2)。由题意A1、A2、A3两两互不相容，所以，

（1）P(A3A2)?P(A3?A2)?P(A3)。因此由条件概率公式得 P(A3|A2)?P(A3A2)P(A3)0.22?? ?P(A2)1?0.37P(A2)（2）P(A1A2)?P(A1?A2)?P(A1) P(A1|A2)?P(A1A2)P(A1)0.55?? ?P(A2)1?0.37P(A2)9．已知工厂A、B生产产品的次品率分别为1%和2%，现从由A、B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，求：

（1） 该产品是次品的概率；

（2） 若取到的是次品，那么该产品是B工厂的概率 。

解：设C表示“取到的产品是次品”；A“取到的产品是A工厂的”； 。则 B“取到的产品是B工厂的”

（1） 取到的产品是次品的概率为

P(C)?P(A)P(C|A)?P(B)P(C|B)

?6014027???? 100100100100500（2）若取到的是次品，那么该产品是B工厂的概率为

P(B|C)?P(BC)P(B)P(C|B)?

P(C)P(A)P(C|A)?P(B)P(C|B)402?4 ?100100?

77500 10．有两个口袋，甲袋中盛有4个白球，2个黑球；乙袋中盛有2个白球，4个黑球。由甲袋任取一球放入乙袋，再从乙袋中取出一球，求从乙袋中取出的是白球的概率。

解：设A表示：“由甲袋取出的球是白球”； B表示：“由甲袋取出的球是黑球”； C表示：“从乙袋取出的球是白球”。则 P(C)?P(A)P(C|A)?P(B)P(C|B) ?42?1228???? 66?166?12111．设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中1/2是第一家工厂生产的，其余两家各生产1/4，又知第一、二、三家工厂生产的产品分别有2%、4%、5%的次品，现从箱中任取一件产品，求：

（1）取到的是次品的概率；

（2）若已知取到的是次品,它是第一家工厂生产的概率。

解：设事件A表示：“取到的产品是次品”；事件Ai表示：“取到的产品是第i家工厂生产的”（i?1，2，3）。 则A1?A2?A3??，且P(Ai)?0，A1、A2、A3两两互不相容，

（1） 由全概率公式得

P(A)??P(Ai)?P(A|Ai)?i?1312141513?????? 210041004100400 （2）由贝叶斯公式得

12?P(A1)P(A|A1)4 P(A1|A)=3 ?2100?

1313?P(Aj)P(A|Aj)j?140012．三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%，其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件，求：

（1）恰好取到不合格品的概率；

（2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。

解：设事件A表示：“取到的产品是不合格品”；事件Ai表示：“取到的产品是第i家工厂生产的”（i?1，2，3）。

则?Ai??，且P(Ai)?0，A1、A2、A3两两互不相容，由全概率公式得

i?13 （1）P(A)??P(Ai)?P(A|Ai)

i?13 ?405254352??????37/1000 100100100100100100 （2）由贝叶斯公式得 P(A2|A)=

P(A2)P(A|A2)?P(Aj)P(A|Aj)j?13

?0.25?0.04?10/37

37/1000 13．有朋友远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为3/10、1/5、1/10、2/5，而乘火车、轮船、汽车、飞机迟到的概率分别为1/4、1/3、1/12、1/8。求：

( 1 ) 此人来迟的概率；

( 2 ) 若已知来迟了，此人乘火车来的概率。

解：设事件A表示：“此人来迟了”；事件Ai分别表示：“此人乘火车、轮船、汽车、飞机

?0，?1/8，??F(x)?P{X?x}??4/8，?7/8，???1，x?00?x?11?x?2

2?x?3x?3 3．从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假定在各个交通岗遇到红绿信号灯的事件是相互独立的，且概率都是2/5。设X表示途中遇到红灯的次数，求X的分布律、分布函数。 解：由题意知X服从二项分布B(3，)，从而 P{X?0}?(1?)? P{X?1}?C3?212525327 1252254?(1?)2? 55125252 P{X?2}?C3?()?(1?)? P{X?3}?()?即X的概率分布列为

2536 1252538 125 X 0 1 2 3

pk 27/125 54/125 36/125 8/125 由分布函数定义得

?0，?27/125，?? F(x)?P{X?x}??81/125，?117/125，???1，x?00?x?11?x?2

2?x?3x?34．一台设备有三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率分别为0.10，0.20，0.30，假设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，试求X的概率分布。 解：设：Ai(i?1“部件i需要调整”。 ，2，3)表示：

P{X?0}?P(A1A2A3)?0.9?0.8?0.7?0.504；

P{X?1}?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?0.398； P{X?2}?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?0.092

P{X?3}?P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?0.006 故X的概率分布列为

X 0 1 2 3

pk 0.504 0.398 0.092 0.006

5．已知某种型号的雷管在一定刺激下发火率为4/5，今独立重复地作刺激试验，直到发火为止，则消耗的雷管数X是一离散型随机变量，求X的概率分布。

解：X的可能取值为1，2，3，?。 记Ak表示“第k次试验雷管发火”则Ak表示“第

k次试验雷管不发火”从而得

p1?P{X?1}?P(A1)?4 5 p2?P{X?2}?P(A1A2)?P(A1)P(A2)?14? 55152 p3?P{X?3}?P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?()?4 5

14

pk?P{X?k}?P(A1A2?Ak?1Ak)?()k?1?5541k?1?()55??依次类推，得消耗的雷管数X的概率分布为 P{X?k}?（k?1，2，3，?）

???Acosx，x?6．设随机变量X的概率密度为f(x)??2，求：

?其它?0，（1）系数A；（2）X的分布函数；（3）X落在区间(??，)内的概率。

44? 解：连续型随机变量X的概率密度必须满足归一性，因此由归一性及定义可求出系数A及

X的分布函数，至于（3）可由X的分布函数求得。

（1）由归一性， 解得A?1/2。

（2）由连续型随机变量的定义知X的分布函数为

??????f(x)dx??2?Acosxdx?2A?1

?2 F(x)? 当x?? 当??xx??f(u)du

?2时，F(x)????f(u)du=0；

?2?x??2时，

F(x)??x??f(u)du??0dx???2????111cosxdx??sinx ?2222x 当x?

?2

时，

F(x)??x??f(u)du??2????x10dx???cosxdx???0dx?1

?2222?故X的分布函数为

0，x???/2?? F(x)??(1?sinx)/2，??/2?x??/2

?1，x??/2，? （3）所求概率为 P{?????2?X?}?F()?F(?)? 44442 7．设随机变量X的分布函数为 F(x)?a?求：（1）系数a；

（2）X落在区间（－1，1）中的概率；

（3）随机变量X的概率密度。（提示：Arctanx为反正切函数） 解：（1）由F(??)?a? F(x)?1?Arctanx (???x???)

?()?1，解得a?。故得

?221?111?Arctanx (???x???) 2?11?11?1???[??(?)]? 2?42?42（2）P{?1?X?1}?F(1)?F(?1) ? （3）所求概率密度为 f(x)?F?(x)?(?121??Arctanx)??1?(1?x)2 (???x???)

8．设随机变量X的概率分布为f(x)???Ax，0?x?1?0，其它，以Y表示对X的三次独立重

复观察中事件{X?解：由归一性

1}出现的次数，试确定常数A，并求概率P{Y?2}。 2A? 1????f(x)dx??0Axdx2所以A=2。即

??1?2x，0?x?1 f(x)??

0，其它?11111 P{X?}?F()??2f(x)dx??22xdx ???0224所以Y~B(3，)，从而 P{Y?2}=C3()?21414239? 4649．在某公共汽车站甲、乙、丙三人分别独立地等1，2，3路汽车，设每个人等车时间（单位：分钟）均服从[0，5]上的均匀分布，求三人中至少有两个人等车时间不超过2分钟的概率。

解 ：设X表示每个人等车时间，且X服从[0，5]上的均匀分布，其概率分布为

?1/5,0?x?5 f(x)??其它?0, P{X?2}??2??f(x)dx??1/5dx?0.4

02 又设Y表示等车时间不超过2分钟的人数，则Y~B(3,0.4)，所求概率为 P{Y?2}?1?P{Y?1}

01?1?C3?0.63?C3?0.4?0.62?0.352

10．在电源电压不超过200，200~240和超过240伏的三种情况下，某种电子元件损坏的

?(0.8)?0.788）概率分别为0.1，0.001和0.2,假定电源电压X~N(220试求： （提示： ,25)，

2（1） 该电子元件被损坏的概率?

（2） 电子元件被损坏时，电源电压在200~240伏内的概率?。 解：设A1：“电源电压不超过200伏”；A2：“电源电压在200~240伏”； “电源电压超过240伏”； B：“电子元件被埙坏”。 A3：

由于X~N(220，252)，所以

P(A1)?P{X?200}?F(200)??(200?220) 25 ??(?08.)?1??(08.)?1?0.788?0.212 P(A2)?P{200?X?240}??(240?220200?220)??() 2525.)??(?08.)?2?(08.)?1?0576. ??(08

P(A3)?P{X?240}?1??(240?220) 25.)?1?0.788?0.212 ?1??(08.,P(B|A2)?0.001,P(B|A3)?0.2,所以由全概率公式 由题设P(B|A1)?01 ??P(B)?由条件概率公式

??P(A2|B)??(A)P(B|A)?0.0642

iii?13P(A2)P(B|A2)?0.009

P(B)11．一个盒子中有三只乒乓球，分别标有数字1，2，2。现从袋中任意取球二次，每次取一只（有放回），以X、Y分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：

（1）X和Y的联合概率分布； （2）关于X和Y边缘分布； （3）X和Y是否相互独立？为什么？

（X，Y）解：（1）的所有可能取值为(1，1)、(1，2)、 (2，1)、(2，2)。

p11?P{X?1，Y?1}?111?? 339122?? 339，Y?2}? p12?P{X?1

p21?P{X?2，Y?1}? p22?P{X?2，Y?2}?于是（X，Y）的概率分布表为

212?? 339224?? 339 Y X 1 2 1 1/9 2/9

2 2/9 4/9 （2）关于X和Y的边缘概率分布分别为

X 1 2 Y 1 2 pi? 1/3 2/3 p?j 1/3 2/3

（3）X和Y相互独立。因为?i,j有pi??p?j?pij

12．一袋中装有3个球，分别标有号码1、2、3，从这袋中任取一球，不放回袋中，再任取一球。用X、Y分别表示第一次、第二次取得的球上的号码，试求：

（1）随机向量（X，Y）的概率分布；

（2）(X，Y)关于X和关于Y的边缘概率分布； （3）X和Y是否相互独立？为什么？

解：（1）(X，Y)的取值为(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，由概率乘法公式可得

p12?P{X?1，Y?2}?p13?P{X?1，Y?3}?111?? 326111?? 326同理可得 p21?p23?p31?p32?1/6

此外事件{X?1，Y?1}，{X?3，Y?3}，{X?2，Y?2}都是不可能事件，所以

p11?p33?p22?0,于是（X，Y）的概率分布表为

Y X 1 2 3 1 0 1/6 1/6 2 1/6 0 1/6 3 1/6 1/6 0 （2）（X，Y）关于X的边缘概率分布

X 1 2 3 pi? 1/3 1/3 1/3 （X，Y）关于Y的边缘概率分布 Y 1 2 3

p?j 1/3 1/3 1/3 （3）X和Y不相互独立，由于Pi??P?j?Pij。

13．一口袋中装有四只球，分别标有数字1，1，2，3。现从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以X、Y分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：

（1）X和Y的联合概率分布及关于X和关于Y边缘分布； （2）X与Y是否独立？为什么？ 解：（1）（X，Y）的概率分布表为

Y X 1 2 3 1 1/6 1/6 1/6 2 1/6 0 1/12 3 1/6 1/12 0 X的边缘概率分布为

X 1 2 3 pi? 1/2 1/4 1/4

Y的边缘概率分布为

Y 1 2 3 p?j 1/2 1/4 1/4

（2）X与Y不独立，由于

P{X?1，Y?1}?P{X?1}P{Y?1}

214．设G为由抛物线y?x和y?x所围成区域，(X，Y)在区域G上服从均匀分布，试

求：（1）X、Y的联合概率密度及边缘概率密度；

（2）判定随机变量X与Y是否相互独立。

解：如图所示，G的面积为 y A??10(x?x2)dx?12 y?x 6因此均匀分布定义得X、Y的联合概率密度为 o 1 x

?6,(x,y)?G f(x,y)??

0,其他?而

fX(x)? fY(y)???x???f(x,y)dy??26dy?6(x?x2)，0?x?1

x?????f(x,y)dx??6dx?6(y?y)，0?y?1

yy所以关于X和关于Y的边缘分布密度分别为

?6(x?x2),0?x?1 fX(x)??

0,其他? fY(y)???6(y?y),0?y?1

0,其他?（2）由于fX(x)fY(y)?f(x,y)，故随机变量X与Y不相互独立。 15．设二维随机变量（X，Y）的概率分布为

?e?y,0?x?y f(x,y)??

0,其它?求：（1）随机变量X的密度函数fX(x)； （2）概率P{X?Y?1}。

解：（1）x?0时，fX(x)=0；

x?0时，fX(x)=?f(x,y)dy??e?ydy?e?x

??x?????e?x，0?x故随机变量X的密度函数fX(x)=?

?0，x?0 （2）P{X?Y?1}?X?Y?1???1f(x,y)dxdy??dx??121201?xxe?ydy

?e?1?2e

16．设随机向量(X，Y)的概率密度为

f(x,y)???A,0?x?1,0?y?x

其他?0,试求:（1）常数A；（2）关于X、Y的边缘概率密度。

解：（1）由归一性 1???????f????(x,y)dxdy??0?0Adydx?1xA 2所以A?2。

X、Y的联合概率密度为

f(x,y)???2,0?x?1,0?y?x

0,其他? （2）关于X、Y的边缘概率密度为 fX(x)??f(x,y)dy??2dy?2x??0即

??x(0?x?1)

?2x,0?x?1 fX(x)??其它?0同理可求得关于Y的边缘分布密度为

fY(y)???2(1?y),0?y?1

0,其他? 17．设随机变量（X，Y）具有概率密度

?Ce?(x?y),x?0,y?0 f(x,y)??，

其它?0,求（1）常数C；（2）边缘分布密度。 解：（1）由于 1=

??Ce????????f(x，y)dxdy?1，故

dxdy?C?edx?e?ydy?C

00???x????0?????(x?y)0所以C=1，即

?e?(x?y)，x?0,y?0 f(x,y)??

0，其他?（2）fX(x)??f(x,y)dy????0????e?(x?y)dy?e?x x?0，即

??e?x,x?0 fX(x)??

??0，其他fY(y)????f(x,y)dx??0????e?(x?y)dx?e?y y?0，即

??e?y,y?0 fY(y)??

??0，其他 18．设X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X，Y)联合分布律及关于X和关于

Y的边缘分布律的部分值，试将其余数值填入表中的空白处。

X Y x1 x2 y1 1/12 1/6 y2 1/8 y3 P{X?xi}?pi? 1 P{Y?yj}?p?j 解：

X Y x1 x2 y1 1/12 1/12 1/6 y2 1/8 1/8 1/4 y3 7/24 7/24 7/12 P{X?xi}?pi? 1/2 1/2 1 P{Y?yj}?p?j

第三章 随机变量的数字特征

三、解答题

?1?x，?1?x?0? 1．设随机变量X~f(x)??A?x，0?x?1，求：

?0，其它?（1） 常数

A；（2）EX；（3）DX。

解：（1）由归一性 1=???01f(x)dx?(1?x)dx?(A?x)dx?A ?????10

从而得，A?1；

（2）EX=???xf(x)dx ??01x(1?x)dx??0x?(1?x)dx?0 ?1 ??（3）由于

EX2=???x2f(x)dx

???1x(1?x)dx??0x(1?x)dx?1/6 于是

0212??DX?EX2?(EX)2?1 6?x，当0?x?1?2．设X的分布密度为f(x)??2?x，当1?x?2，求：数学期望EX和方差DX。

?0，其它? 解：EX=

2?????xf(x)dx??0x?xdx??1x?(2?x)dx?1 x2f(x)dx??x2?xdx??x2(2?x)dx?011212 EX=于是

?????7 6 DX?EX?(EX)?221 6 3．已知随机变量X的分布列如下，

X 0 1 2 Pk 0.3 0.2 0.5 试求：（1）EX、DX；（2）E(X?1)2；（3）X的分布函数。

解： （1）EX?2k?1?xkpk3?0?0.3?1?0.2?2?0.5?1.2

22 EX?0?0.3?1?0.2?2?0.5?2.2 DX?EX2?(EX)2?2.2?1.22?0.76 （2）经计算得(X?1)2??Y的概率分布列

Y 1 0 Pk 0.8 0.2 EY??ykpk?1?0.8?0?0.2?0.8

k?12?0，x?0?0.3，0?x?1? （3） F(x)??

0.5，1?x?2???1，2?x4．设X、Y的概率分布为

?1?4e?4y，y?0,?，1?x?5, ?(x)??4 ?(y)??

0，y?0,???0，其它,求：E(X?Y)和E(2X?3Y2)。

解：由于X在有限区间[1，5]上服从均匀分布，所以EX?为4的指数分布，所以EY=

5?1?3；又由于Y服从参数211、DY?， 因此由数学期望性质2、性质3及重要公式得 41611?3 44 E(X?Y)?EX?EY?3?E(2X?3Y2)?2E(X)?3E(Y2)

?6?3(DY?(EY)2)?6?5．已知r?vX、Y分别服从正态分布N(0,35?5。 8832)和N(2,42)，且X与Y的相关系数

?XY??1/2，设Z?X/3?Y/2，求：

（1）数学期望EZ，方差DZ；

（2）X与Z的相关系数?XZ。

解：（1）由数学期望、方差的性质及相关系数的定义得 EZ?E(XYXY11?)?E()?E()??0??2?1 323232 DZ?D(XYXYXY?)?D()?D()?2Cov(，) 323232 ? ?132132DX??32?11DY?2???XYDXDY 23221112?4?2???(?)?3?4?1?4?2?3 232221111X?Y)?Cov(X,X)?Cov(X,Y) 323211 （2）Cov(X，Z)?Cov(X， ?11DX??XYDXDY?0 32从而有X与Z的相关系数?XZ?Cov(X,Z)?0

DXDZ 6．设随机变量X、Y独立同服从参数为?泊松分布，U?2X?Y，V?2X?Y，求U与V的相关系数?UV。

解：由条件X、Y独立同服从参数为?泊松分布，所以EX?EY??,DX?DY??，因此

EY?EX?DX?(EX)???? EU?2EX?EY?3? EV?2EX?EY??

DU?DV?4DX?DY?4????5?

EUV?E(4X?Y)?4EX?EY?3??3? Cov(U，V)?EUV?EUEV?3??3?2?3?2?3? 于是U与V的相关系数?UV?222222222Cov(U，V)DUDV?3?3? 5?57．设一部机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日内无故障可获利8万元，发生一次故障仍获利4万元，发生两次故障获利0元，发生三次或三次以上要亏损2万元，求一周内期望利润是多少。

解：设Y表示生产利润,X表示每周发生故障的次数，则Y是X的函数，而

X~B(5，0.2)，其概率分布为P{X?k}?C5kpkq5?k

Y可能取值为－2，0，4，8。

P{Y?8}?P{X?0}?0.85?45/55?1024/3125

1 P{Y?4}?P{X?1}?C5?0.2?0.84?5?44/55?1280/3125

2 P{Y?0}?P{X?2}?C5?02.2?08.3?10?43/55?640/3125

P{Y??2}?P{X?3}?1?P{X?3}?181/55?181/3125 EY?8?1024128064018112950?4??0??(?2)???4.144 31253125312531253125 8．设?与?独立同分布，已知?的概率分布为P{??i}?1/3(i?1，2，3)，又设（1）EX、EY；（2）随机变量X，Y的协方差。 X?max{?，?}，Y?min{?，?}。求： 解：（1）(X，Y)的概率分布为

Y X 1 2 3 1 1/9 2/9 2/9 2 0 1/9 2/9 3 0 0 1/9 关于X、Y的边缘概率分布分别为

X 1 2 3 P 1/9 3/9 5/9

Y 1 2 3 P 5/9 3/9 1/9 从而得

13522?2??3?? 999953114 EY?1??2??3??

999912122136 （2）EXY?1?1??2?1??2?2??3?1??3?2??3?3??

999999936221416??? Cov(X，Y)=EXY?EXEY?99981 EX?1? 9．游客乘电梯从低层到电视塔顶层观光，电梯每个整点的第5分钟、25分钟、55分钟从低层起行。假设一游客在早八点的第X分钟到达低层候梯处，且X在[0，60]上均匀分布，求该游客等候时间的数学期望。

解：已知X在[0，60]上均匀分布，其概率分布为

?1?,0?x?60 f(x)??60

?其它?0，设Y表示游客等候电梯时间（单位：分），则

?5?X，0?X?5?25?X，5?X?25? Y?g(X)??

55?X，25?X?55???60?X?5，55?X?60因此

??EY?Eg(Y)??g(x)f(x)dx???160g(x)dx ?06055256015[(5?x)dx??(25?x)dx+?(55?x)dx??(65?x)dx] ?5255560?0 ?35/3?11.67

第四章随机变量及其分布

三、解答题

1．已知随机变量X的概率分布为

X 1 2 3

Pk 0.2 0.3 0.5 试利用切比雪夫不等式估计事件{X?E(X)?1.5}的概率。

解：依题意，EX?2.3，DX?0.61，故由切比雪夫不等式知，所求事件的概率为 P{X?EX?1.5}?1?

DX0.61?1??0.7289 1.521.52第五章随机变量及其分布

三、解答题

1．设X1，X2，?，Xn为X的一个样本，

???(??1)x,0?x?1 X~f(x,?)??

?其它?0,其中???1为未知参数，求?的极大似然法估计量。

解：设x1，x2，?，xn为X1，X2，?，Xn观测值，则构造似然函数 L(?)?(??1)(?xi)?

ni?1n lnL?nln(??1)???lnxi

i?1n令

ndlnLn ???lnxi?0

d???1i?1解得?的极大似然估计量为

???1??n?lnXi?1n

i 2．设总体X的分布列为

X 1 0

pk p 1?p

X1，X2，?，Xn为X的一个样本，求p的极大似然估计。

解：设x1，x2，?，xn为X1，X2，?，Xn观测值，X的分布律为

p(x,p)?px(1?p)1?x （x?1，0）

于是似然函数 L(p)??p(x,p)??pii?1i?1nnxi(1?p)1?xi

?pi?1(1?p)ni?1?xinn??xii?1n

lnL?lnp?xi?(n??xi)ln(1?p)

i?1ndlnL?

dp?xii?1np?n??xii?1n1?p

1ndlnL?0，解得p??xi?X，因此p的极大似然估计为 令

ni?1dp1n???xi?X pni?13．设X1，X2，?，Xn为总体X的一个样本，且X的概率分布为

P{X?k}?(1?p)k?1p,k?1,2,3,?。x1，x2，?，xn为来自总体X的一个样本观察值，

求p的极大似然估计值。 解：构造似然函数

L（p)??p(xi,p)??p(1?p)i?1i?1nnxi?1

?p(1?p)i?1nn?xi?n

nlnL?nlnp?(?xi?n)ln(1?p)

i?1?x?ndlnLni?1i?? dpp1?pndlnL?0，解得p?n/?xi，因此p的极大似然估计值为 令

dpi?1n??n/?xi。 pi?1n4．设X1，X2，?，Xn为总体X的一个样本，且X服从参数为m,p的二项分布，求

p的极大似然估计量。

解：设x1，x2，?，xn为X1，X2，?，Xn观测值，则构造似然函数 L（p)??p(xi,p)??Cmipi(1?p)i?1i?1nnxxm?xi

??i?1nxiCm?p?xii?1n?(1?p)nm??xii?1n

lnL??xilnCm?lnp?xi?(nm??xi)ln(1?p)

i?1i?1nndlnL ?dp?xii?1nnm??xi?i?1np1?p

1ndlnL令?0，解得p??xi/m，

dpni?1因此p的极大似然估计量为

??X/m p5．设X1，X2，?，Xn为来自总体X的样本，X为样本均值，试问

1nQ??(Xi?X)2是否为总体方差DX的无偏估计量？为什么？

ni?11n2解：Q??(Xi?X)不是总体方差DX的无偏估计量。

ni?1设EX??，DX??，因为

21n1n EX?E(?Xi)??EXi?u

ni?1ni?11n1 DX?D(?Xi)?2ni?1n?DXii?1n??2n

21n1n22 EQ?E[?(Xi?X)] =E[?(Xi?2XXi?X)]

ni?1ni?1n212 =E(?Xi?nX)

ni?11n22 =[?(DXi?(EXi))?n(DX?(EX))]

ni?1n?121n?222??DX =[?(??u)?n(?u2)] ?nni?1n6．设X1，X2，X3为来自总体X~N(?,?2) 的一个样本，且EX??存在，验证统

计量(1)、(2)都是?的无偏估计，并指出哪一个较好。

?1? （1）?131111?2?X1?X2?X3。 X1?X2?X3； （2）?5102362 解：（1）由于

?1?E(X1? E??1?所以?1531X2?X3)?? 102131X1?X2?X3是?的无偏估计； 51021311X2?X3)?? 62?2?E(X1? （2） E??2?所以?111X1?X2?X3是?的无偏估计。 362153119X2?X3)??2 10250117X2?X3)??2 6218?1?D(X1?而 D?13?2?D(X1? D?显然

19272131?1?X1?X2?X3较好。 ???，故?501851027．设X?a(X1?2X2)2?b(3X3?4X4)2，其中X1，X2，X3，X4是来自总体

N(0，22)的简单随机样本。试问当a、b各为何值时，统计量X服从?2分布，并指出其自由

度。

解：依题意，要使统计量X服从?2分布，则必需使a1/2(X1?2X2)及b1/2(3X3?4X4)服从标准正态分布。 由相互独立的正态随机变量的性质知

a1/2(X1?2X2)~N(0，(4a?16a)) 从而解得a?1/20。 b1/2(3X3?4X4)~N(0,(36b?64b)) 从而解得b?1/100。

故a?1/20，b?1/100时，统计量X服从?2分布。且自由度为2。

8．某车间生产滚珠，从长期实践中知，滚珠直径X可以认为服从正态分布，其方差为0.05，从某天的产品中随机抽取6个，量得直径（mm）如下：14.70, 15.21, 14.90, 14.91, 15.32, 15.32。试求??EX的置信度为0.95的置信区间。 解：依题意取样本函数 U?X???2~N（0，1）

n对于给定的?=0.05，由

P{U??}?1??/2?1?20.05?0975. 216求得?=1.96，又n?6，??0.05，X??xi?1506.

6i?1于是得?的置信度为0.95的置信区间是1506.?018.，1506.?018.)?(14.08，1524.）

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