南通市教研室2012年高考全真模拟试卷二(数学)

南 通 市 教 研 室 2012 年 数 学 全 真 模 拟 试 卷 二 试题Ⅰ 试题Ⅰ一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案直接填写在答题卡相应位 ．．．．．． 置上. ．． 1． 已知 i 为虚数单位，则 ∑ i r = ．r =2 10
▲ ．
2． 在区间 [ ?1, 2] 内随机选取一个实数，则该数为正数的概率是 ▲ ． ． 3． 对某种电子元件使用寿命跟踪调查，所得样本频率分布直方图如图，若一批电子元件中寿命在 100~300 小时的电子元件的数量为 400， 则寿命在 500~600 小时的电子元件的数 量为 ▲ ．
开始
频率 组距1 250
S←2，i←1Y
i≥20111 400 3 2000 1 2000
N
S ←1? 1 S
输出 S
结束
i←i+1100 200 300 400 500 600 寿命 （h）
（第 3 题图）
（第 5 题图）
4． 设定义在区间 0, π 上的函数 y = sin 2 x 的图象与 y = 1 cos x 图象的交点横坐标为 α ，则 2 2tan α 的值为 ▲ ．
(
)
5． 运行如图所示的流程图，则输出的结果 S 是
▲ ．
6． 在△ ABC 中， a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边，若 a 2 , b 2 , c 2 成等差数列，则 cos B 的最小值为
▲ ． 7 ． 若定义在 R 上的函数 f ( x) = ax 3 （ a 为常数）满足 f (?2) > f (1) ，则 f ( x) 的最小值是 ▲．2
2 y2 8． 已知双曲线 x 2 ? 2 = 1 （ a > 0, b > 0 ）的两个焦点为 F1 ? 3 , 0 、 F2 2 a b
(
)
( 23 , 0) ，点 P
1
是第一象限内双曲线上的点，且 tan ∠PF1 F2 = 1 ， tan ∠PF2 F1 = ?2 ，则双曲线的离心率 2 为 ▲ ．
9． 函数 y = e x 的图象在点 ak , eak 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 ak +1 ，其中 k ∈ N * ， ．a1 = 0 ，则 a1 + a3 + a5 =
(
)
▲ ．
b a c
10．如图，在 6 × 6 的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量 a , b , c满足 c = xa + yb （ x, y ∈ R ） ，则 x + y =
▲
.（第 10 题图）
11．记 Sk = 1k + 2k + 3k + ? ? ? + n k , 当 k = 1, 2, 3, ? ? ? 时，观察下列等式：S1 = 1 n2 + 1 n ， 2 2
S2 = 1 n3 + 1 n 2 + 1 n ， 3 2 6 S 4 = 1 n5 + 1 n 4 + 1 n3 ? 1 n ， 5 2 3 30
S3 = 1 n 4 + 1 n 3 + 1 n 2 ， 4 2 4 S5 = An6 + 1 n5 + 5 n 4 + Bn 2 ， 2 12
???
可以推测， A ? B =
▲ ．
12．有一个各条棱长均为 a 的正四棱锥，现用一张正方形包装纸将其完全包住，不能剪裁，但可以折叠，则包装纸的最小边长是 ▲ ．
13． 定义在 [1, + ∞ ) 上的函数 f ( x) 满足： f (2 x) = 2 f ( x) ； 当 x ∈ [ 2, 4] 时，f ( x) = 1 ? x ? 3 ， ① ②则集合 { x f ( x) = f (36)} 中的最小元素是 ▲ ．
14 ． 已 知 关 于 x 的 实 系 数 一 元 二 次 不 等 式 ax 2 + bx + c≥0 (a < b) 的 解 集 为 R ， 则M = a + 2b + 4c 的最小值是 b?a
▲ ．
二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 ．．．．．．． 说

明、证 明过程或演算步骤． 15． （本题满分14分）已知集合 A = { x x 2 ? 2 x ? 8≤0} ， B = { x x 2 ? (2m ? 3) x + m 2 ? 3m≤0, m ∈ R} ．（1）若 A I B = [ 2, 4] ，求实数 m 的值； （2）设全集为 R ，若 A ? eR B ，求实数 m 的取值范围．
2
16． ． （本题满分 14 分） 如图， 在四棱锥 P ? ABCD 中，PD ⊥ 平面 ABCD ， AD ⊥ CD, BC ⊥ CD ， BC = 2 AD ． 且 （1）若点 E 为线段 PC 的中点，求证： DE // 平面 PAB ； （2）若二面角 P ? BC ? A 的大小为 π ，求证：平面 PAB ⊥ 平 4 面 PBC ．D
PE
C
A B（第 16 题图）
17． ． （本题满分 15 分） 如图， P 在 ?ABC 内，AB = CP = 2, BC = 3, 点 记 ∠B = α ． （1）试用 α 表示 AP 的长； （2）求四边形 ABCP 的面积的最大值，并写出此时 α 的值．A
∠P + ∠B = π ，
αB
PC
（第 17 题图）
18． ． （本题满分 15 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C1 ：( x ? 1)2 + y 2 = 16 ，圆 C2 ：( x + 1) 2 + y 2 = 1 ，点 S 为圆 C1 上的一个动点，现将坐标平面折叠，使得圆心 C2 (?1, 0) 恰与点 S 重合，折痕与直线 SC1 交于点 P ． （1）求动点 P 的轨迹方程； （2）过动点 S 作圆 C2 的两条切线，切点分别为 M 、N ，求 MN 的最小值；（3）设过圆心 C2 (?1, 0) 的直线交圆 C1 于点 A、B ，以点 A、B 分别为切点的两条切线 交于点 Q ，求证：点 Q 在定直线上．
（本题满分 16 分） 19．
3
已知整数列 {an } 满足 a3 = ?1 ， a7 = 4 ，前 6 项依次成等差数列，从第 5 项起依次成等 ．．． 比数列． （1）求数列 {an } 的通项公式； （2）求出所有的正整数 m，使得 am + am +1 + am + 2 = am am +1am + 2 ．
20． ． （本题满分 16 分） 已知函数 f ( x) = x 2 ， g ( x) = a ln x ， a ∈ R ． （1）若 ?x≥1 ， f ( x) < g ( x) ，求实数 a 的取值范围； （2）证明：“方程 f ( x) ? g ( x) = ax (a > 0) 有唯一解”的充要条件是“ a = 1 ”．
试题Ⅱ（附加题）21． 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作 ．．．．．．．．．．．．．．．．．． 答．若 ． 多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 骤． A． （几何证明选讲） 如图，以正方形 ABCD 的顶点 C 为圆心， CA 为半径的圆G A D F
交 BC 的延长线于点 E 、 F ，且点 B 为线段 CG 的中点． 求证： GE ? GF = 2 BE ? BF ．
E B
C
（第 21 —A 题）
B． （矩阵与变换）?0 1 ? 若直线 y = kx 在矩阵 ? ? 对应的变换作用下得到的直线过点 P (4, 1) ，求实数 k 的值． ?1 0 ?
C． （极坐标与参数方程）在极坐标系 ( ρ , θ ) (0≤θ < 2 π) 中，求曲线 ρ = 2sin θ 与 ρ cos θ = 1 的交点 Q 的极坐标．4
D

． （不等式选讲） 设 a, b 为互不相等的正实数，求证： 4(a 3 + b3 ) > ( a + b)3 ．
【必做题】第 22、23 题，每小题 10 分，共计 20 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时 ．．．．．．． 应写出文 字说明、证明过程或演算步骤．uuu r uuur uuuu r 22．如图，在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中， AB = 1 ， A1 P = λ A1C (0 < λ < 1) ．DC1 B1 P D C
1
（1）若 λ = 1 ，求直线 PB 与 PD 所成角的正弦值； 2 （2）是否存在实数 λ ，使得直线 A1C ⊥ 平面 PBD ？并说明理由．
A1
A
B
（第 22 题）
23．我们知道，对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同可以构造等式，这是一种非常 有用的思想方法——“算两次”（G.Fubini 原理） ，如小学有列方程解应用题，中学有等 积法求高 ? ? ? 请结合二项式定理，利用等式 (1 + x) n ? (1 + x)n = (1 + x) 2 n (n ∈ N*) 证明： （1） ∑ (Cr ) 2 = C n n ； n 2r =0 n
（2） ∑ (Cr C m ? r ) = Cmn ． n n 2r =0
m
南 通 市 教 研 室 2012 年 数 学 全 真 模 拟 试 卷 二 参考答案1．?1 ； ． 8．3 5 ； ． 5 答案解析： 答案解析 1． ． 2． 2 ； ． 3 9．? 6； ． 3．300； ． 10．19 ； ． 7 4． 15 ； ． 15 11．1 ； ． 4 5．2； ． 6． 1 ； ． 2 7．0； ． 14． ． 8．
12． 6 + 2 a ； 13． ． 12； ． 2
∑ir =2
10
r
= i2+(i3+i4+i5+i6)+(i7+i8+i9+i10)=i2= ?1 ；
5
2． 易得正数的取值区间长度是 2，总长度是 3，由几何概型得所求概率为 2 ； ． 3 3 ． 寿 命 在 100~300 小 时 的 电 子 元 件 的 频 率 是400 ÷ 1 = 2000 ， 5 1 3 ( 200 + 200 ) × 100 = 1 ， 故 样 本 容 量 是 5
从而寿命在 500~600 小时的电子元件的数量为 2000 ×
3 ( 2000 ×100) = 300 ；
4． 易得锐角 α 满足 sin 2α = 1 cos α ， 2sin α cos α = 1 cos α ， ． 即 所以 sin α = 1 ，cos α = 15 ， 2 2 4 4于是tan α = 15 ． 15
5． 变量 i 的值分别取 1，2，3，4，…时，变量 S 的值依次为 1 ，? 1，，1 ，…，不难发现变 2 2 2量 S 的值是以 3 为周期在变化，当 i 的取值为 2010 时， S = 2 ，而后 i 变为 2011 退出循 环．2 2 2 2 2 6． 易得 2b 2 = a 2 + c 2， B = a + c ? b = b ≥ 2 b 2 = 1（当且仅当 a = c 时等号成立） cos ． 2ac 2ac a + c 2
7． 由 f (?2) > f (1) 得 a (?2) 3 > a ，即 a > 0 ，所以偶函数 f ( x) 在 [ 0，+ ∞ ) 上是单调增函数，在 ( ?∞， ] 上是单调减函数，所以 f ( x)min = f (0) = 0 ； 0PF 8． sin∠PF1F2 = = 5 ，sin∠PF1F2 = = 2 5 ，由正弦定理得 1 = 2 ，又易得 tan∠F1PF2= 3 ， 5 5 PF2 4
2
由利用余弦定理得 PF1 = 2 15 ， 2 = 15 ， PF 所以 PF1 ? PF2 = 15 ， 所以 cos∠F1PF2 = 4 ， 5 3 3 3故 2a = 15 ，又 2c = 3 ，所以离心率 e = 3 5 ； 3 5
9． 易求得切线方程为 y ? eak = e ak ( x ? ak ) ，令 y = 0 得，x = ak ?

1 ，即 ak +1 ? ak = ?1 ，故数列 {ak } 是等差数列，所以 a1 + a3 + a5 = ?6 ；
10 ． 由 向 量 坐 标 的 引 入 可 以 认 为 a = (1， )， = ( 2，? 3)， = ( 3， ) ， 代 入 c = xa + yb 得 2 b c 4x = 17 ， = 2 ， y 7 7 故x+ y=
19 ； 7
11．易观察出 A = 1 ，对于 S5 ，可令 n = 1 得 S5 = 1 ，即有 1 + 1 + 5 + B = 1 ，所以 B = 1 ； 6 6 2 12 12
6
12．如图，是某正四棱锥的平面展开图，等腰△ ABC 的底边 BC 即为所求正方形包装纸的边 ． 长 的 最 小 值 ， 由 余 弦 定 理 得 C
BC = a 2 + a 2 ? 2a 2 cos150o = 6 + 2 a ； 2
13．易得 f (36) = 2 f (18) = 4 f (9) = 8 f 9 = 16 f 9 = 16 × 1 = 4 ， ． 2 4 44 [ 8 [ 16 由条件可知， f ( x)在 [ 2， ]， 4， ]， 8， ] ? ? ? 上的最大值依次为 1，
()
()
A B
（第 12 题图）
2，4…，即最大值构成一个以 2 为公比的等比数列，结合图象不难发现 f ( x)=4 时 x 的最小值是 12；1+ 2? b + b a a 2 a + 2ab + 4ac ≥ a + 2ab + b = 14．由题意得 b ? 4ac ≤ 0， > 0 ，所以 M = a b ?1 a (b ? a ) ab ? a 2 a2 2 2
()
2
，
2 令 b = t，t > 1) ， M ≥ t + 2t +1 = ( t ? 1) + 4 + 4 ≥ 2 4 + 4 = 8（当且仅当 t = 3， b = 3a ( 则 即 a t ?1 t ?1
时等号 成立） ．
15．命题立意：本题主要考查集合的交、并、补集运算以及一元二次不等式等基础知识， 命题立意：本题主要考查集合的交、 补集运算以及一元二次不等式等基础知识， 一元二次不等式等基础知识考查运算求解能力． 考查运算求解能力． （ （ 解： 1）易得集合 A = { x ?2 ≤ x ≤ 4} ，集合 B = { x m ? 3 ≤ x ≤ m} ， 4 分）? m ? 3 = 2， 由 A I B = [ 2， ] 得 ? 4 所以 m=5． 7 分） （ ? m ≥ 4，（2）由（1）得 eR B = { x x < m ? 3， x > m} ， 10 分） 或 （
因为 A ? eR B ，所以 m ? 3 > 4或m < 2 ，解得 m > 7或m < ?2 ． 14 分） （
16．命题立意：本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系、二面角的概念等基础 命题立意：本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系、知识，考查空间想象、推理论证能力． 知识，考查空间想象、推理论证能力． 证明： （ 证明： 1）取 BP 得中点 F，连结 AF，EF， 又点 E 为线段 PC 的中点， 且 AD ⊥ CD, BC ⊥ CD ，且 BC = 2 AD ， 所以 EF // 1 BC // AD， 2 所以四边形 ADEF 是平行四边形，(2 分) 故 ED // AF，D
PE
F
C
A B（第 16 题图）
7
又因为 DE ? 平面 PAB， AF ? 平面 PAB，所以 DE // 平面 PAB．(5 分) （2）因为 PD ⊥ 平面ABCD ，且 BC ? 平面ABCD ， 又 CD ⊥ BC ， PD I CD = D， 、CD ? 平面PCD ， PD 所以 PD ⊥ BC ，所以 BC ⊥ 平面PCD ．
于是 ∠PCD是二面角P ? BC ? A的平面角 ，即有 ∠PCD = π ，(7 分) 4 此时， △PCD是等腰三角形 ， 又 E 是PC的中点

，故 DE ⊥ PC ，(9 分)
因为 BC ⊥ 平面PCD ， 又 DE ? 平面PCD ， 所以 DE ⊥ BC ， 又 DE // AF ， 所以 AF ⊥ PC ，且 AF ⊥ BC ， 又 PC I BC = C，PC、BC ? 平面PBC ， 所以 AF ⊥ 平面PBC ，(12 分) 又 AF ? 平面PAB ， 所以 平面PAB ⊥ 平面PBC ．(14 分)
17． 命题立意： 本题主要考查三角形的余弦定理与面积公式以及三角函数的性质等基础知识， 考 查运算求解能力．解： 1） ABC 与△ APC 中， （ △ 由余弦定理得，AC 2 = 22 + 32 ? 2 × 2 × 3cos α ， AC 2 = AP 2 + 22 ? 2 × AP × 2 cos ( π ? α ) ，②（4 分） 由①②得 AP 2 + 4 AP cos α + 12 cos α ? 9 = 0， ∈ ( 0， ) ，解得 AP = 3 ? 4 cos α ； α π （7 分） （2） S = S?ABC ? S?APC = 1 × 2 × 3sin α ? 1 × 2 × AP sin ( π ? α ) , α ∈ ( 0， ) π 2 2 由（1）得 S = 4sinα ? cosα = 2sin2α，α ∈ ( 0， )（13 分）所以当 α = π 时， Smax = 2 ． 15 π （ 4
①
分）
18． 命题立意：本题主要考查直线、圆、椭圆基础知识，考查运算求解、综合应用能力． 命题立意：本题主要考查直线 直线、 椭圆基础知识，考查运算求解、综合应用能力．（ 解： 1）由题意得 PC1 + PC2 = PC1 + PS = 4 > C1C2 ，故 P 点的轨迹是以 C1、C2 为焦点，4 为 长轴长 的椭圆，则 2a = 4， = 1 ，所以 a = 2 ，b = 3 ， c 分） （2）法 1（几何法） 四边形 SMC2N 的面积 = 1 SC2 ? MN = 1 SM ? MC × 2 = SM ， 法 2 2 所以 MN = 2 SM = 2 cos ∠MSC2 = 2 1 ? sin 2 ∠MSC2 = 2 1 ? 1 2 ， 9 分） （ SC2 SC22 y2 故 P 点的轨迹方程是 x + =1． 5 （ 4 3
8
从而 SC2 取得最小值时， 取得最小值， MN 所以 MN min = 2 1 ? 1 = 3 ． （12 分） 4
显然当 S ( ?3， 时， 2 取得最大值 2， SC 0)
法 2（代数法） 设 S(x0，y0)，则以 SC2 为直径的圆的标准方程为
(
x?
x0 ? 1 y + y? 0 2 22
) (
) (2
=
x0 + 1 2
) ( )，2
+
y0 2
2
（8 该方程与圆 C2 的方程相减得， ( x0 + 1) x + y0 y + x0 = 0 ， 分） 则圆心 C2 到直线 MN 的距离 d =2
1
( x0 + 1)
2
+ y0
=2
1
x0 + y0 2 + 2 x0 + 12
，
因 为 ( x0 ? 1) + y0 2 = 16 ， 所 以 x0 2 + y0 2 = 15 + 2 x0 ，x0 ∈ [ ?3， ] ， 5
从而 d =
1 ， 16 + 4 x0
故当 x0 = ?3 时 dmax = 1 ， 2 因为 MN = 2 1 ? d 2 ，所以 MN min = 2 1 ? 1 2
()
2
= 3 ． 12 分） （
（3）设 Q( m， ) ，则“切点弦”AB 的方程为 ( m ? 1) ( x ? 1) + ny = 16 ， n将点（-1，0）代入上式得 m = ?7 ， n ∈ R， 故点 Q 在定直线 x = ?7 上． 16 （分）
19．命题立意：本题主要考查等差、等比数列的定义与通项公式等基础知识，考查灵活运用 基本量 进行探索求解、推理分析能力．解： 1）设数列前 6 项的公差为 d，则 a5 = ?1 + 2d ， a6 = ?1 + 3d ，d 为整数． （ 又 a5，a6，a7 成等比数列，所以 ( 3d ? 1)

= 4 ( 2d ? 1) ，解得 d = 1 ，2
当 n≤6 时， an = n ? 4 ， 3 分） （ 由此 a5 = 1 ， a6 = 2 ，数列从第 5 项起构成的等比数列的公比为 2， 所以，当 n≥5 时， an = 2n ?5 .
n ? n ? 4， ≤4， 故 an = ? n ? 5 （7 分） ? 2 ， n≥5.
（2）由（1）知，数列 {an } 为： ? 3， ? 2， ? 1，0，1，2，4，8，16，… 当 m = 1 时等式成立，即 ? 3 ? 2 ? 1 = ? 6 = ( ? 3) × ( ? 2) × ( ? 1)；
9
当 m = 3 时等式成立，即 ? 1 + 0 + 1 = 0； （11 分） （13 分）
当 m = 2 或 4 时，等式均不成立；
当 m≥5 时， am am +1am + 2 = 23m ?12 ， am + am +1 + am + 2 = 2m ?5 (23 ? 1) = 7 × 2m ?5 ， 因为 2 m ?5 = 2 7 7×23 m ?12 2m?7
，而 m≥5，m ∈ Z ，所以 22 m?7 是偶数，
所以 23m ?12 ≠ 7 × 2m ?5 ，于是 am + am +1 + am + 2 ≠ am am +1am + 2 ，故 m = 1，或 m = 3． 16 分） （
20．命题立意：本题主要考查利用导数研究函数的图像与性质等基础知识，考查灵活运用数 形结合、 化归与转化、分类与讨论思想进行运算求解、推理论证的综合能力．2 解： 1）记 F ( x) = f ( x) ? g ( x) ，则 F ′( x) = 2 x ? a = 2 x ? a ， x≥1 ， （ x x
当 a≤0 时， F ′( x) > 0 恒成立， 故 F ′( x) 为 [1, + ∞ ) 上的单调增函数，所以 Fmin ( x) = F (1) = 1 ， 2 分） （
当 a > 0 时，由 F ′( x) = 0 得 x = a （负值已舍） ，若 a ≤1 ，即 0 < a≤2 时， F ′( x)≥0 恒 2 2 成立， 故 F ( x) 为 [1, + ∞ ) 上的单调增函数，所以 Fmin ( x) = F (1) = 1 ， 4 分） （ 若 a > 1 ，即 a > 2 时， F ′( x) 在 ?1, a 上恒小于 0，在 ? 2 2 ?
所以 F ( x) 在 ?1, a 上的单调递减，在 ? a , + ∞ 上的单调递增， ? ? 2 2 ? ? 故 Fmin ( x) = F
)
)
)
(
a , + ∞ 上恒大于 0， 2
)
( ) (a 2=
a 1 ? ln a ， 2 2
)
?1, a≤2, ? 综上所述， min ( x) = ? a F （6 a ? 2 1 ? ln 2 , a > 2, ?
(
)
分） 所以 a 1 ? ln a <0, 且 a > 2, 2 2
(
)
解得 a > 2e ． 8 分） （
（2）1 o 充分性：当 a = 1 时，方程 x 2 ? ln x = x ，即 x 2 ? ln x ? x = 0 ，记 G ( x) = x 2 ? ln x ? x ， x>02 ( x ? 1)(2 x + 1) 由 G ′( x) = 2 x ? 1 ? 1 = 2 x ? x ? 1 = = 0 得 x = 1 （负值已舍） ， x x x
所以 G ( x) 在 (0, 1) 上单调递减，在 [1, + ∞ ) 上单调递增， 故 Gmin ( x) = g (1) = 0 ，即 G ( x) = x 2 ? ln x ? x 在 (0, + ∞) 有唯一解 x = 1 ，即证． 11 分） （10
2o
11
ERROR: syntaxerror OFFENDING COMMAND: --nostringval-STACK:
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