Willam-Warnke模型

William-Warnke 5参数模型简介

摘要：本文从William-Warnke 5参数模型的由来、其表达式的推导以及该模型如何在ANSYS中应用等方面简单的介绍了该强度准则。说明了该破坏准则在模拟混凝破坏的合理性及其优点。

关键字：混凝土；破坏准则；William-Warnke 5参数模型；ANSYS

一、本构模型的由来

有侧压力（围压）的混凝土三轴实验是Richart于1928年首次进行的。后来，随着三轴实验机的改进，可以进行不同比例（?1,?2,?3）的三轴强度实验。由国内外的三轴实验得出的混凝土破坏曲线具有以下特征。（1）三向应力下混凝土的破坏面是与三个方向应力都有关的函数，是一个在等压轴方向开口的曲面，即在三向等压的情况下，混凝土强度随着压力增强而提高。（2）这个曲面是一个光滑的凸曲面。无论在偏曲面上截面的外形曲线还是在子午面上的截线都是光滑的凸曲线。（3）在θ=常数的子午面上的截线是曲线，不是直线；在ξ=常数的偏平面上的外形曲线是非圆曲线，但随着ξ的增大而越来接近圆形。

因此，许多学者针对混凝土的这些破坏特点，对古典强度理论做出了改进，提出了包含更多参数的破坏模型。

其中William-Warnke （1975）建议一个三参数强度准则模型。模型的特点是在偏平面上形成三轴对称凸面光滑边三角形。当?1??2时，偏平面退化圆形。但是该模型子午线即?与I1或ξ关系仍然为直线。后来考虑到三参数模型子午线为直线的缺点，与实现相差比价大，因此在此基础上提出来更加普遍的William-Warnke五参数强度准则模型。

二、模型的表达式

在模型中弯曲的子午线有二次抛物线表达式来描述，偏平面中的非圆迹线有椭圆曲线对0°≤θ≤60°的每个部分给予近似。因此，完整破坏面的表达式分成两个部分：第一，对于0°≤θ≤60°，推导偏斜截面的椭圆表达式；第二，按二次抛物线来近似拉、压子午线，然后将两条子午线由偏曲线为基准面的椭球面连起来。

2.1 偏平面表达式

William-Warnke模型在偏平面上为三轴对称凸面光滑三角形，因此只需要研究0°≤θ≤60°部分。该部分曲线为一段椭圆曲线。当长短轴为a，b时，椭圆方程

x2y2为： f(x,y)?2?2?1?0 （1）

ab图1为用x、y作为主应力坐标轴，?、?作为极坐标轴对1/4椭圆曲线

P至60°部分的分析。在θ=0°和θ=60°时，?t和?c分别垂直于1?P?P2?P3的0°椭圆上的点P这样，短轴y轴与?t重合，且在P1点?t与1(0,b)和P2(m,n)的切线。椭圆成直角相交。a、b可用?t、?c来确定。

图1 William-Warnke在偏平面上的投影 图2 1/4椭圆曲线

在椭圆上，P2(m,n)外向法向方向向量可用下述偏微分方程求得

(?f/?x,?f/?y)(m/a2,n/b2)n??24241/2 （2） 22[(?f/?x)?(?f/?y)][m/a,n/b]因此可得到a、b的关系 a2?m2b （3） 3nP2(m,n)点坐标当用向量?t、?c和椭圆短轴b表示时，有

m?13?c n?b?(?t??c) （4）

22由于P2(m,n)在椭圆上，所以有

m3n4a2?b2?1 整理得

2a2??c(?t?2?c)225?b?2?2t?5?t?c?2?c4? c?4?tt?5?c将直角坐标转换为极坐标，取

x??sin2? y??cos??(?t?b) 则极坐标椭圆曲线方程为

?2sin2?[?cos??(?2a2?t?b)]b2?1 解极坐标?(?)，当0°≤θ≤60°时，可得

?(?)?a2(?t?b)cos??ab[2b?tsin2???22tsin??a2cos2?]1/2a2cos2??b2sin2? 将式（6）代入式（9）中，得到?(?)与?t、?c和θ的关系

?(?)?2?c(?2c?b)cos???c[4(?2c??222t)cos??5?t?4?t?c]1/24(?2??2 ct)相似角θ公式为

cos??2?1??2??32[(?21??2)?(?2??21/2 3)?(?3??1)]（5） （6） （7）

（8）

（9）

10） 11）

（（2.2 拉压子午线表达式

William-Warnke（1975）考虑到三参数模型子午线为直线的缺点，提出来更普遍的拉、压子午线表达式：

?mtfc???t5fc??a0?a1?mfc??a2(?mfc?)2,??0o （12）

?mtfc???t5fc??b0?b1?mfc??b2(?mfc?)2,??60o （13）

由于拉、压子午线交于静水压力坐标轴上，r?轴拉力fttt），因此只需要五个参数来确定。

?m0fc?（相对于静水拉力或三

模型的偏平面和子午线如符合下列情况时，则呈外凸状，即当

?a0＞0，a1?0,a2?0

?b＞0，b?0,b?0?012

?

??1/2?t?1

??c?

这种模型子午线向负静水压力轴展开，但当高静水应力下，子午线可能与与静水压力骤相交，这是不符合试验结果的。因此规定了1/2≤?t/?c≤1即限制拉、压子午线试用的静水压力的上限值，这样准则适用范围内的子午线便不可能出现与静水压力轴相交的不合理现象。

2.3 参数的确定

确定参数的条件：

（1） 单轴抗压强度fc?（θ=60°，fc?＞0）； （2） 单轴抗拉强度ft（θ=0°），采用比值；

（3） 二轴等压强度fbc?（θ=0°，fbc?＞0），采用fbc?fbcfc?比值； （4） 在拉子午线上的三轴强度(?mfc?,?mfc?)?(??1,?1)；

（5） 在压子午线上的三轴强度(?mfc?,?mfc?)?(??2,?2)； （6） 两子午线相交于?m0，此时?t(r)??c(r)?0;r?因此可以求得拉子午线参数为：

?24222a?fa?fa?fbc?0bc1bc3915??f?fbc15a1?(2fbc?ft)a2?()2t??362fbc?ft （14） ??55?1(ft?fbc)?ftfbc?r1(2fbc?ft)?66?a2?212?2(2f?f)(??f??f??ftfbc)1bctbc1t1?339??mofc??0。

压子午线参数为：

?b0???b1??2b2?5??3?2?16?b1?(?2?)b2?3?3?2?1 （15） ??12r(?+)-（?+?2）2?315?b2?1??1????+?2??2-???+??3??3?????三、William-Warnke模型在ANSYS中的应用

ANSYS的SOLID65单元是专门为混凝土、岩石等抗压能力远大于抗拉能力的非均匀材料开发的单元。他可以模拟混凝土中的加强钢筋，以及材料的拉裂和压溃现象。她是三维8节点等参元SOLID65的基础上，增加了针对混凝土性能参数和组合式钢筋模型。

由于混凝土材料的复杂性，混凝土的强度准则有考虑1-5个参数的多种方法。一般来说，强度准则的参数越多，对混凝土强度性能的描述就越精确。SOLID65采用的是William-Warnke五参数强度模型，其中需要的材料特性可通过ANSYS材料属性定义对话框完成。如图3所示

图3 SOLID65单元破坏准则参数

对话框中9个参数的含义依次为： （1） 张开裂缝的剪切传递系数； （2） 闭合裂缝的剪切传递系数； （3） 抗拉强度 ； （4） 单轴抗压强度 ； （5） 双轴抗压强度 ； （6） 静水压力 ；

（7） 静水压力下的双轴抗压强度 ； （8） 静水压力下的单轴抗压强度； （9） 材料拉裂后的应力释放因子 。

从William-Warnke五参数强度模型理论可知：在低静水压力和高静水压力状态下，混凝土的性能是不同的。在低静水压力状态下，只需要输入建立传递系数与单轴抗压强度即可。其他的参数取缺省值；在高静水压力状态下，需要输入上述1-8个参数。

因此通过SOLID65单元可以模拟三轴受力下的混凝土William-Warnke五参数强度准则模型。

四、总结

William-Warnke在1975提出的具有弯曲弯曲子午线的五参数的强度准则，在模型中弯曲的子午线有二次抛物线表达式来描述，偏平面中的非圆迹线有椭圆曲线对0°≤θ≤60°的每个部分给予近似。克服了以前他们提出的三参数准则的缺点，使其既能够描述低静水压力区混凝土的性能，又能够描述高静水压力区混凝土的性能。

参考文献

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[4] 张正海, 董羽蕙. 裂缝模型及其在 ANSYS 中的模拟[J]. 山西建筑, 2006, 31(24): 49-50.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/xsr8.html