空间解析几何与向量代数

高等数学教案 第八章 空间解析几乎与向量代数

第八章 空间解析几何与向量代数

教学目的：

1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向量垂直和平行的条件。

3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。

4、掌握平面方程和直线方程及其求法。

5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。 6、会求点到直线以及点到平面的距离。

7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。 8、了解空间曲线的参数方程和一般方程。

9、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。 教学重点：

1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算； 2、两个向量垂直和平行的条件； 3、平面方程和直线方程；

4、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件； 5、点到直线以及点到平面的距离； 6、常用二次曲面的方程及其图形；

7、旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程； 8、空间曲线的参数方程和一般方程。 教学难点：

1、向量积的向量运算及坐标运算，数量积和向量积的运算； 2、平面方程和直线方程及其求法；

3、空间曲线在坐标面上的投影 4、点到直线的距离； 5、二次曲面图形；

6、旋转曲面及柱面的方程。 主要外语词汇：

Vector, Mold, Direction Cape, Direction cosine, The quantity accumulate，The vector accumulate, Curved face square distance, Revolve curved face，Pillar noodles, Curves, Equations, Plane, Straight line.

辅助教学情况：

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高等数学教案 第八章 空间解析几乎与向量代数

多媒体课件第四版和第五版（修改） 参考教材：

同济大学《高等数学》第五版

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高等数学教案 第八章 空间解析几乎与向量代数

§8? 1 向量及其线性运算

一、教学目的与要求：

1． 理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

2． 掌握向量的线性运算、掌握单位向量、方向余弦、两向量的夹角、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。 二、重点（难点）：向量的运算

三、主要外语词汇：Vector,Mold,Direction Cape ,Direction cosine.

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一、向量概念

向量：既有大小? 又有方向? 这一类量叫做向量?

在数学上? 用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量? 有向线段的长度表示向量的大小? 有向线段的方向表示向量的方向.? 向量的符号?

以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作AB? 向量可用粗体字母表示? 也可用上加箭头书写体字母表示? 例如? a、r、v、F或a、r、v、F?

自由向量? 由于一切向量的共性是它们都有大小和方向? 所以在数学上我们只研究与起点无关的向量? 并称这种向量为自由向量? 简称向量? 因此? 如果向量a和b的大小相等? 且方向相同? 则说向量a和b是相等的? 记为a ? b? 相等的向量经过平移后可以完全重合? 向量的模? 向量的大小叫做向量的模?

向量a、a、AB的模分别记为|a|、|a|、|AB|? 单位向量? 模等于1的向量叫做单位向量?

零向量? 模等于0的向量叫做零向量? 记作0或0? 零向量的起点与终点重合? 它的方向可以看作是任意的?

向量的平行? 两个非零向量如果它们的方向相同或相反? 就称这两个向量平行? 向量a与b平行? 记作a // b? 零向量认为是与任何向量都平行?

当两个平行向量的起点放在同一点时? 它们的终点和公共的起点在一条直线上? 因此? 两向量平行又称两向量共线?

类似还有共面的概念? 设有k(k?3)个向量? 当把它们的起点放在同一点时? 如果k个终点和公共起点在一个平面上? 就称这k个向量共面? 二、向量的线性运算

1．向量的加法

向量的加法? 设有两个向量a与b? 平移向量使b的起点与a的终点重合? 此时从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和? 记作a+b? 即c?a+b . 三角形法则

平行四边形法则?

当向量a与b不平行时? 平移向量使a与b的起点重合? 以a、b为邻边作一平行四边形? 从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a?b? ? 向量的加法的运算规律?

C D C ???c c ?b b A

?a

??????????B

A ?a B

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(1)交换律a?b?b?a?

(2)结合律(a?b)?c?a?(b?c)? ?

由于向量的加法符合交换律与结合律? 故n个向量a1? a2? ? ? ?? an(n ?3)相加可写成

a1?a2? ? ? ??an?

并按向量相加的三角形法则? 可得n个向量相加的法则如下? 使前一向量的终点作为次一向量的起点? 相继作向量a1? a2? ? ? ?? an? 再以第一向量的起点为起点? 最后一向量的终点为终点作一向量? 这个向量即为所求的和?

负向量? 设a为一向量? 与a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量? 记为?a?

2.向量的减法?

我们规定两个向量b与a的差为

b?a?b?(?a)?

即把向量?a加到向量b上? 便得b与a的差b?a? ? 特别地? 当b?a时? 有 a?a?a?(?a)?0?

??a? b ??b?a

????b a

b?a

显然? 任给向量AB及点O? 有 AB?AO?OB?OB?OA?

因此? 若把向量a与b移到同一起点O? 则从a的终点A向b的终点B所引向量AB便是向量b与a的差b?a ? 三角不等式?

由三角形两边之和大于第三边的原理? 有

|a?b|?|a|?|b|及|a?b|?|a|?|b|?

其中等号在b与a同向或反向时成立? 3．向量与数的乘法

向量与数的乘法的定义?

向量a与实数?的乘积记作?a? 规定?a是一个向量? 它的模|?a|?|?||a|? 它的方向当?>0时与a相同? 当?<0时与a相反?

当??0时? |?a|?0? 即?a为零向量? 这时它的方向可以是任意的? 特别地? 当???1时? 有

1a?a? (?1)a??a?

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???????

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运算规律?

(1)结合律 ?(?a)??(?a)?(??)a； (2)分配律 (???)a??a??a； ?(a?b)??a??b?

例1? 在平行四边形ABCD中? 设AB?a? AD?b?

试用a和b表示向量MA、MB、MC、MD? 其中M是平行四边形对角线的交点?

解：由于平行四边形的对角线互相平分? 所以 a?b?AC?2AM? 即 ?(a?b)?2MA? 于是 MA??1(a?b)?

2 因为MC??MA? 所以

???????????????

?????????????????????D?bC

M?????????MC?1(a?b)?

2??? 又因?a?b?BD?2MD? 所以MD?1(b?a)? A 2 由于MB??MD? 所以MB?1(a?b)?

2

向量的单位化? ?

设a?0? 则向量a是与a同方向的单位向量? 记为ea?

|a|于是a?|a|ea?

向量的单位化? ?

设a?0? 则向量a是与a同方向的单位向量? 记为ea?

|a|??????????aB

于是a ? | a | ea?

定理1 设向量a ? 0? 那么? 向量b平行于a的充分必要条件是? 存在唯一的实数?? 使 b ? ?a?

证明? 条件的充分性是显然的? 下面证明条件的必要性?

|b| 设b // a? 取|?|?? 当b与a同向时?取正值? 当b与a反向时?取负值? 即b??a? 这是因为

|a|此时b与?a同向? 且

|b| |?a|?|?||a|?|a|?|b|?

|a| 再证明数?的唯一性? 设b??a? 又设b??a? 两式相减? 便得 (???)a?0? 即|???||a|?0?

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因|a|?0? 故|???|?0? 即????

给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴? 设点O及单位向量i确定了数轴Ox? 对于轴上任一点P? 对应一个向量OP? 由OP//i? 根据定理1? 必有唯一的实数x? 使OP?xi(实数x叫做轴上有向线段OP的值)? 并知OP与实数x一一对应? 于是 点P?向量OP? xi?实数x ?

从而轴上的点P与实数x有一一对应的关系? 据此? 定义实数x为轴上点P的坐标? 由此可知? 轴上点P的坐标为x的充分必要条件是 OP? xi ? 三、空间直角坐标系

在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量i、j、k? 就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴? 依次记为x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)? 统称为坐标轴? 它们构成一个空间直角坐标系? 称为Oxyz坐标系?

注: (1)通常三个数轴应具有相同的长度单位?

(2)通常把x 轴和y轴配置在水平面上? 而z轴则是铅垂线?

(3)数轴的的正向通常符合右手规则

在空间直角坐标系中? 任意两个坐标轴可以确定一个平面? 这种平面称为坐标面? ? x轴及y轴所确定的坐标面叫做xOy面? 另两个坐标面是yOz面和zOx面? 卦限?

三个坐标面把空间分成八个部分? 每一部分叫做卦限? 含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限? 它位于xOy面的上方? 在xOy面的上方? 按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限? 在xOy面的下方? 与第一卦限对应的是第五卦限? 按逆时针方向还排列着第六卦限、第七卦限和第八卦限? 八个卦限分别用字母I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII表示? 向量的坐标分解式? r?OM?xi?yj?zk?

称为向量r的坐标分解式? xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量? 向量r与三个有序x、y、z之间有一一对应的关系 M?r?OM?xi?yj?zk?(x, y, z)?

有序数x、y、z称为向量r(在坐标系Oxyz)中的坐标? 记作r?(x? y? z)? 有序数x、y、z也称为点M(在坐标系Oxyz)的坐标? 记为M(x? y? z)?

向量r?OM称为点M关于原点O的向径? 上述定义表明? 一个点与该点的向径有相同的坐

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标? 记号(x? y? z)既表示点M? 又表示向量OM.

坐标面上和坐标轴上的点? 其坐标各有一定的特征? 例如? 点M在yOz面上? 则x?0? 同相? 在zOx面上的点? y?0? 在xOy面上的点? z?0? 如果点M在x轴上? 则y?z?0? 同样在y轴上,有z?x?0? 在z轴上 的点? 有x?y?0? 如果点M为原点? 则x?y?z?0.

四、利用坐标作向量的线性运算 设a?(ax? ay? az)? b?(bx? by? bz) 即 a?axi?ayj?azk? b?bxi?byj?bzk ? ?则 a?b?(axi?ayj?azk)?(bxi?byj?bzk) ?(ax?bx)i?(ay?by)j?(az?bz)k ?(ax?bx? ay?by? az?bz)?

a?b?(axi?ayj?azk)?(bxi?byj?bzk) ?(ax?bx)i?(ay?by)j?(az?bz)k ?(ax?bx? ay?by? az?bz)? ?a??(axi?ayj?azk) ?(?ax)i?(?ay)j?(?az)k ?(?ax? ?ay? ?az)?

利用向量的坐标判断两个向量的平行? 设a?(ax? ay? az)?0? b?(bx? by? bz)? 向量b//a?b??a ? 即b//a?(bx? by? bz)??(ax? ay? az)? 于是

bxbybz??? ?axayaz??5x?3y?a 例2 求解以向量为未知元的线性方程组??

?3x?2y?b其中a?(2? 1? 2)? b?(?1? 1? ?2).

解 如同解二元一次线性方程组? 可得 x?2a?3b? y?3a?5b ? 以a、b的坐标表示式代入? 即得

x?2(2? 1? 2)?3(?1? 1? ?2)?(7? ?1? 10)? y?3(2? 1? 2)?5(?1? 1? ?2)?(11? ?2? 16)?

例3 已知两点A(x1? y1? z1)和B(x2? y2? z2)以及实数???1? 在直线AB上求一点M? 使AM??MB? 解 由于AM?OM?OA? MB?OB?OM?

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因此 OM?OA??(OB?OM)?

??1(OA??OB) 从而 OM?1??????? ? ?( x1??x2x1??x2x1??x2, , )? 1??1??1???这就是点M的坐标?

当??1? 点M的有向线段AB的中点? 其坐标为 x?x1?x2y?yz?z? y?12? z?12? 222 五、向量的模、方向角、投影 1．向量的模与两点间的距离公式 设向量r?(x? y? z)? 作OM?r? 则 r?OM?OP?OQ?OR? 按勾股定理可得

|r|?|OM|?|OP|2?|OQ|2?|OR|2? 设 OP?xi? OQ?yj? OR?zk? 有 |OP|?|x|? |OQ|?|y|? |OR|?|z|?

于是得向量模的坐标表示式 |r|?x2?y2?z2? 设有点A (x1? y1? z1)、B(x2? y2? z2)? 则

AB?OB?OA?(x2? y2? z2)?(x1? y1? z1)?(x2?x1? y2?y1? z2?z1)? 于是点A与点B间的距离为

????????????|AB|?|AB|?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2??

例4 求证以M1(4? 3? 1)、M2 (7? 1? 2)、M3 (5? 2? 3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形? 解 因为 | M1M2|2 ?(7?4)2?(1?3)2?(2?1)2 ?14?

| M2M3|2 ?(5?7)2?(2?1)2?(3?2)2 ?6? | M1M3|2 ?(5?4)2?(2?3)2?(3?1)2 ?6? 所以|M2 M3|?|M1M3|? 即? M1 M2 M3为等腰三角形?

例5 在z轴上求与两点A(?4? 1? 7)和B(3? 5? ?2)等距离的点?

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解 设所求的点为M(0? 0? z)? 依题意有|MA|2?|MB|2?

即 (0?4)2?(0?1)2?(z?7)2?(3?0)2?(5?0)2?(?2?z)2? 解之得z?14? 所以? 所求的点为M(0, 0, 14)?

99 例6 已知两点A(4? 0? 5)和B(7? 1? 3)? 求与AB方向相同的单位向量e? 解 因为AB?(7, 1, 3)?(4, 0, 5)?(3, 1, ?2)? |AB|?32?12?(?2)2?14? 所以 e?AB?1(3, 1, ?2)?

?14|AB| 2．方向角与方向余弦

向量a与b的夹角 当把两个非零向量a与b的起点放到同一点时? 两个向量之间的不超过?的夹角称为向量a与b的夹角? 记作(a, b)或(b, a)? 如果向量a与b中有一个是零向量? 规定它们的夹角可以在0与?之间任意取值?

类似地? 可以规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角? 非零向量r与三条坐标轴的夹角?、?、?称为向量r的方向角? 向量的方向余弦? 设r?(x? y? z)? 则

x?|r|cos?? y?|r|cos?? z?|r|cos? ? cos?、cos?、cos? 称为向量r的方向余弦?

^^????y cos??x? cos??? cos??z?

|r||r||r|从而 (cos?, cos?, cos?)?1r?er?

|r|上式表明? 以向量r的方向余弦为坐标的向量就是与r同方向的单位向量e r ? 因此

cos2??cos2??cos2??1? 例7 设已知两点A (2, 2, 2))和B (1, 3, 0)? 计算向量AB的模、方向余弦和方向角? 解 AB?(1?2, 3?2, 0?2)?(?1, 1, ?2)?

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