湖北汽车工业学院线性代数答案 10 向量的线性相关及其性质

线性代数习题册解答·第四章 向量组的线性相关性

10 向量的线性相关性及其性质

一、 填空

1．设向量?1??5,1,T 4 ， 7 ， ?1 )． ??( ?7 ，2?,?2??3,T2,?1?,则???????? ( 19 ， 8 ， 1 )．

TTT2．已知3??4??(2,1,1,2)T,2??3??(?1,2,3,1)T，则向量??( 10 ， ?5 ， ?9 ， 2 )，

二、是非判断题

1． 若?1,?2,?3 线性无关 ，则??????????． (√ )

2． 若?1,?2,?3线性相关， 则??????????． （ ? ） 3． 若??,??线性相关，??,??线性无关，则??,??,??,??线性相关． (√ ) 4． 若向量组??,??,??,??中??可由??,??,??线性表示，即

???k????k????k??? ，则k?,k?,k?全不为零． （ ? ）

5． 若??,??,??,??线性相关，则??可由??,??,??线性表示． (? )

6． 向量组??,??,?,?m(m??)线性相关的充要条件是?1,?2,?,?m中至少有一向量

可由其余向量线性表示． （ √ ） 7． 向量组??,??,?,?n线性相关，且?i?R(i??,?,?,n)，则 当r?n时，??,??,?,?r也线性相关． （ ? ）

8设向量组??,??,?,?s?R且s?n,则??,??,?,?s必线性相关． （ ? ） 三、判断下列向量组是线性相关还是线性无关：

TTT,?2?(0,2,0),?3?(0,0,3)． 1．?1?(1,1,0)nn?1?3

112000?6?0, 所以?1 ,?2 ,?3线性无关． 3解：因为?2?00TTTT2．?1?(1,2,3,4),?2?(1,0,1,2),?3?(3,?1,?1,0),?4?(1,2,0,?1)．

k2 ， k3 ， k4, 使得k1?1?k2?2?k3?3?k4?4?0, 即有 解：设有数k1 ，?k1?k2?3k3?k4???2k1 ?k3?2k4???3k1?k2?k3 ??4k?2k ?k?24?1000011003721?51??0? ?1??5?? (1)

对系数矩阵施行初等行变换如下

31?r?2r?113?11???27?20?12?r?3r?0A??~31?11?r?4r?0?2?10??r?(?1)??42?0?2?120?1????21314121?r?r?1?32?0?r4?r2?0~???3r2?10?2???5?r3?(?1)?03?线性代数习题册解答·第四章 向量组的线性相关性 ?1?r2?(72)r3?0 ~r1?3r3?0?r1?r2?0?因为R(A)?r4?5r301003?32??0?72?．

11??00??4(未知量个数), 所以方程组(1)有非零解, 即向量组?1 ,?2 ,?3 ,?4线性相关．

0四、试将向量??(0,2,1)T用向量组?1?(1,2,3)T,?2?(2,3,1)T,?3?(3,1,2)T线性表示．

解：设有数k1 ， k2 ， k3, 使得??k1?1?k2?2?k3?3, 即有 1?k1?2k2?3k3?0??2k1?3k2?k3?2． 其系数行列式为D? 2?3k?k?2k?1323?10 2k1?1231D31 2?121 2021D1223131 21231 ??18, 由克莱姆法则，得其解为 21 2?12231D02 1??12，k2?3，k3?123．

于是有 ??五、问k取何值时下列向量组线性相关？

?1??2??3．

TTT?1?(1,0,1),?2?(k,2,1)，?3?(3,1,2)．

?2、?3线性相关，需 解：要向量组?1、1k2131?k?3?0． 2?1、?2、?3?01解得k?3．

六、设有向量组?1,?2,?3,?4，试证：向量组?1??2,?2??3,?3??4,?4??1必线性相 关．

k2 ， k3 ， k4, 使得 解：(解法一)设有数k1 ，k1(?1??2)?k2(?2??3)?k3(?3??4)?k4(?4??1)?0,

即有

(k1?k4)?1?(k1?k2)?2?(k2?k3)?3?(k3?k4)?4?0 ①

（1）若?1,?2,?3,?4线性无关, 则有

?k1? k4???k1?k2 ??k2?k3 ???k3?k4??0000． ②

线性代数习题册解答·第四章 向量组的线性相关性

1??100??r010?1??又因方程组②的系数矩阵 A~? , 即R(A)?3?4(未知量个数), 所以方程

001?1????0000???组②有非零解, 此说明存在不全为零的数k1 ， k2 ， k3 ， k4, 使得①式成立．由定义, 知向量组

?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性相关．

（2）若?1,?2,?3,?4线性相关, 则由①知数

(k1?k4)、(k1?k2)、(k2?k3)、(k3?k4) ③

不全为零，从而数k1、k2、，即存在不全为零的数k3、k4不全为零（否则③中各数必全为零）

k1、k2、k3、k4，使得k1(?1??2)?k2(?2??3)?k3(?3??4)?k4(?4??1)?0．由定义，知

向量组?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性相关．

综上所述，故向量组?1??2,?2??3,?3??4,?4??1必线性相关． (解法二) 因为(?1??2)?(?2??3)?(?3??4)?(?4??1)?0，所以 向量组?1??2,?2??3,?3??4,?4??1必线性相关．

七、设向量组a1,a2线性相关，问向量组a1?b1,a2?b2是否一定线性相关？b1,b2也线性相关，试举例说明之．

?1??2??1??3????????解：否．例如取a1???,a2???，b1???,b2????，则向量组a1,a2线性相关，b1,b2也0013????????线性相关（对应分量成比例），但向量组

?2??5???a1?b1??,a?b?22?1??3?? ????线性无关（对应分量不成比例）．

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