一轮复习学案 - 电磁感应

第九章 电磁感应学案

高考物理一轮复习学案——电磁感应

电磁感应综合问题，不仅涉及电学多个知识的综合，还常和力学知识相联系，能够考查学生的理解能力、分析综合能力。是历年高考考查的热点、重点，题型有选择题也有解答题。所以，本专题在考前应重点强化复习。在考试说明中两个I级要求：电磁感应现象、自感和互感；两个II级要求：感应电流产生的条件和法拉第电磁感应定律 楞次定律。 知识结构：

本专题涉及到的问题有以下几种类型：

1． 电磁感应和电学知识综合应用。可以和闭合电路欧姆定律、法拉第电磁感应定律、楞次定律、左右手定则等知识结合，判断电动势、电压和电流大小方向等问题。

2． 电磁感应和力学知识综合应用。可以和力学中的牛顿定律、动量知识结合，判断有关导体棒，线圈速度加速度变化情况。

3． 电磁感应和能量转化结合。判断外力做功情况、电路产热情况以及导体棒或线圈动能变化情况。

第九章 电磁感应学案

重点提示：在教学和学习过程中要注意以下几点。

1． 要注意基本规律的理解。本单元涉及的内容综合性强，但深刻理解基本概念和规律是解决综合问题的基础。（1）要注意感应电动势的大小和磁通量的变化率成正比，与磁通量的大小无关。（2）要注意E=

和E=BLv 和 联系和区别。（3）要注意左手定则和右手

定则的区别。（4）要深刻理解楞次定律。理解阻碍含义。阻碍并不是相反，阻碍也不是阻止。增反减同，来拒去留。对线框导体棒在磁场中运动问题要弄清楚哪部分相当于电源，知道电源内部电流是从负极到正极，根据这点判断导体的哪端相当于电源正极。

2． 电磁感应与力和运动结合的问题，研究方法与力学相同。首先明确研究对象，搞清物理过程，正确地进行受力分析。导体棒在磁场中运动问题是个重点。对导体棒和线框在磁场中运动时受力情况、运动情况的动态分析，思考方向是：导体受力运动产生感应电动势 ------感应电流---------导体受安培力-------阻碍导体相对运动-------合外力变化---------加速度变化-------速度变化---------感应电动势变化 ……，当加速度等于零，导体达到稳定运动状态，速度达到最大。 3．电磁感应现象中，产生的电能是其他形式的能转化来的，外力克服安培力做多少功，就有多少电能产生．从能量转化和守恒的观点看，楞次定律是能量守恒定律在电磁感应现象中的具体表现，电磁感应现象是能量守恒定律的重要例证，也是解决一些电磁感应问题的重要方法，从能量守恒和转化方面分析电磁感应问题往往可以使问题变的简单，在复习中应注意应用．

第九章 电磁感应学案

典型例题 知识网络：

单元切块：

本章内容可以分成四部分，即：电磁感应 楞次定律；法拉第电磁感应定律、自感。从知识综合体系分析存在以下问题：电磁感应与电路规律的综合应用、电磁感应与力学规律的综合应用、电磁感应与能量规律的综合应用。其中重点是电磁感应与电路规律的综合应用、电磁感应与力学规律的综合应用，同时也是复习的难点。

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一．电磁感应 楞次定律

学习目标：

1．理解电磁感应现象产生的条件、磁通量；

2．能够熟练应用楞次定律或右手定则判断感应电流及感应电动势的方向 知识回顾： 一、电磁感应现象

1.产生感应电流的条件 感应电流产生的条件是：

（以上表述是充分必要条件）

2.感应电动势产生的条件。 二、楞次定律

1．楞次定律

感应电流总具有这样的方向，即感应电流的磁场总要阻碍引起感应电流的磁通量的变化。

（楞次定律解决的是感应电流的方向问题）

2．对“阻碍”意义的理解：

（1）阻碍原磁场的变化。“阻碍”不是阻止，而是“延缓”，感应电流的磁场不会阻止原磁场的变化，只能使原磁场的变化被延缓或者说被迟滞了，原磁场的变化趋势不会改变，不会发生逆转．

（2）阻碍的是原磁场的变化，而不是原磁场本身，如果原磁场不变化，即使它再强，也不会产生感应电流．

（3）阻碍不是相反．当原磁通减小时，感应电流的磁场与原磁场同向，以阻碍其减小；当磁体远离导体运动时，导体运动将和磁体运动同向，以阻碍其相对运动．

（4）由于“阻碍”，为了维持原磁场的变化，必须有外力克服这一“阻碍”而做功，从而导致其它形式的能转化为电能．因此楞次定律是能量转化和守恒定律在电磁感应中的体现．

3．楞次定律的具体应用

（1）从“阻碍磁通量变化”的角度来看，由磁通量计算式Φ=BSsinα可知，磁通量变化ΔΦ=Φ2-Φ1有多种形式，主要有：

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①S、α不变，B改变，这时ΔΦ=ΔB?Ssinα ②B、α不变，S改变，这时ΔΦ=ΔS?Bsinα ③B、S不变，α改变，这时ΔΦ=BS（sinα2-sinα1）

当B、S、α中有两个或三个一起变化时，就要分别计算Φ1、Φ2，再求Φ2-Φ1了。 （2）从“阻碍相对运动”的角度来看，楞次定律的这个结论可以用能量守恒来解释：既然有感应电流产生，就有其它能转化为电能。又由于是由相对运动引起的，所以只能是机械能减少转化为电能，表现出的现象就是“阻碍”相对运动。

（3）从“阻碍自身电流变化”的角度来看，就是自感现象。

在应用楞次定律时一定要注意：“阻碍”不等于“反向”；“阻碍”不是“阻止”。 4．右手定则。

对一部分导线在磁场中切割磁感线产生感应电流的情况，右手定则和楞次定律的结论是完全一致的。这时，用右手定则更方便一些。

5．楞次定律的应用步骤

楞次定律的应用应该严格按以下四步进行：①确定原磁场方向；②判定原磁场如何变化（增大还是减小）；③确定感应电流的磁场方向（增反减同）；④根据安培定则判定感应电流的方向。

6．解法指导：

（1）楞次定律中的因果关联

楞次定律所揭示的电磁感应过程中有两个最基本的因果联系，一是感应磁场与原磁场磁通量变化之间的阻碍与被阻碍的关系，二是感应电流与感应磁场间的产生和被产生的关系.抓住“阻碍”和“产生”这两个因果关联点是应用楞次定律解决物理问题的关键.

（2）运用楞次定律处理问题的思路

运用楞次定律判定感应电流方向的基本思路可归结为：“一原、二感、三电流” ①常规法：

楞次定律安培定则据原磁场（B原方向及ΔΦ情况）??????确定感应磁场（B感方向）??????左手定则判断感应电流（I感方向）??????导体受力及运动趋势.

②效果法

由楞次定律可知，感应电流的“效果”总是阻碍引起感应电流的“原因”，深刻理解“阻碍”的含义.据\阻碍\原则，可直接对运动趋势作出判断，更简捷、迅速.

【例1】（1996年全国）一平面线圈用细杆悬于P点，开始时细杆处于水平位置，释

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放后让它在如图所示的匀强磁场中运动，已知线圈平面始终与纸面垂直，当线圈第一次通过位置Ⅰ和位置Ⅱ时，顺着磁场的方向看去，线圈中的感应电流的方向分别为

位置Ⅰ

位置Ⅱ

（A）逆时针方向 逆时针方向 （B）逆时针方向 顺时针方向 （C）顺时针方向 顺时针方向 （D）顺时针方向 逆时针方向

命题意图：考查对楞次定律的理解应用能力及逻辑推理能力.

错解分析：由于空间想象能力所限，部分考生无法判定线圈经位置Ⅰ、Ⅱ时刻磁通量的变化趋势，从而无法依据楞次定律和右手螺旋定则推理出正确选项.

解题方法与技巧：线圈第一次经过位置Ⅰ时，穿过线圈的磁通量增加，由楞次定律，线圈中感应电流的磁场方向向左，根据安培定则，顺着磁场看去，感应电流的方向为逆时针方向.当线圈第一次通过位置Ⅱ时，穿过线圈的磁通量减小，可判断出感应电流为顺时针方向，故选项B正确.

【练一练】如图所示，有两个同心导体圆环。内环中通有顺时针方向的电流，外环中原来无电流。当内环中电流逐渐增大时，外环中有无感应电流？方向如何？

解：由于磁感线是闭合曲线，内环内部向里的磁感线条数和内环外向外的所有磁感线条数相等，所以外环所围

面积内（应该包括内环内的面积，而不只是环形区域的面积）的总磁通向里、增大，所以外环中感应电流磁场的方向为向外，由安培定则，外环中感应电流方向为逆时针。

【例2】 如图所示，闭合导体环固定。条形磁铁S极向下以初速度v0沿过导体环圆心的竖直线下落的过程中，导体环中的感应电流方向如何？

解：从“阻碍磁通量变化”来看，原磁场方向向上，先增后减，感应电流磁场方向先下后上，感应电流方向先顺时针后逆时针。

从“阻碍相对运动”来看，先排斥后吸引，把条形磁铁等效为螺线管，根据“同向电流互相吸引，反向电流互相排斥”，也有同样的结论。

【练一练】 如图所示，O1O2是矩形导线框abcd的对称轴，其左方有匀强磁场。以下哪些情况下abcd中有感应电流产生？方向如何？

A.将abcd 向纸外平移 B.将abcd向右平移 C.将abcd以ab为轴转动60° D.将abcd以cd为轴转动60°

O1 a d b c O2 N v0

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解：A、C两种情况下穿过abcd的磁通量没有发生变化，无感应电流产生。B、D两种情况下原磁通向外，减少，感应电流磁场向外，感应电流方向为abcd。

【例3】如图所示装置中，cd杆原来静止。当ab 杆做如下那些运动时，cd杆将向右移动？

A.向右匀速运动 B.向右加速运动 C.向左加速运动 D.向左减速运动

解：.ab 匀速运动时，ab中感应电流恒定，L1中磁通量不变，穿过L2的磁通量不变化，L2中无感应电流产生，cd保持静止，A不正确；ab向右加速运动时，L2中的磁通量向下，增大，通过cd的电流方向向下，cd向右移动，B正确；同理可得C不正确，D正确。选B、D

【练一练】 如图所示，绝缘水平面上有两个离得很近的导体环a、b。将条形磁铁沿它们的正中向下移动（不到达该平面），a、b将如何移动？

解：根据Φ=BS，磁铁向下移动过程中，B增大，所以穿过每个环中的磁通量都有增大的趋势，由于S不可改变，为阻碍增大，导体环应该尽量远离磁铁，所以a、b将相互远离。

【例4】如图所示，a、b灯分别标有“36V 40W”和“36V 25W”，闭合电键调节R，能使a、b都正常发光。断开电键后重做实验：电键闭合后看到的现象是什么？稳定后那只灯较亮？再断开电键，又将看到什么现象？

解：闭合瞬间，由于电感线圈对电流增大的阻碍作用，a将慢慢亮

起来，b立即变亮。这时L的作用相当于一个大电阻；稳定后两灯都正常发光，a的功率大，较亮。这时L的作用相当于一只普通的电阻（就是该线圈的内阻）；断开瞬间，由于电感线圈对电流减小的阻碍作用，通过a的电流将逐渐减小，a渐渐变暗到熄灭，而abRL组成同一个闭合回路，所以b灯也将逐渐变暗到熄灭，而且开始还会闪亮一下（因为原来有Ia>Ib），并且通过b的电流方向与原来的电流方向相反。这时L相当于一个电源。 三、电磁感应在实际生活中的应用例析

【例5】如图所示是生产中常用的一种延时继电器的示意图。铁芯上有两个线圈A和B。线圈A跟电源连接，线圈B的两端接在一起，构成一个闭合电路。在拉开开关S的时候,弹簧k并不能立即将衔铁D拉起，从而使触头C（连接工作电路）立即离开，过一段时间后触头C才能离开；延时继电器就是这样得名的。试说明这种继电器的工作原理。

解析：当拉开开关S时使线圈A中电流变小并消失时，铁芯中的磁通量发生了变化（减小），从而在线圈B中激起感应电流，根据楞次定律，感应电流的磁场要阻碍原磁场的减小，

c a L2 L1 d b a a b R k S P a b 第九章 电磁感应学案 这样，就使铁芯中磁场减弱得慢些，因此弹簧K不能立即将衔铁拉起。

【例6】如图所示是家庭用的“漏电保护器“的关键部分的原理图，其中P是一个变压器铁芯，入户的两根电线”（火线和零线）采用双线绕法，绕在铁芯的一侧作为原线圈，然后再接入户内的用电器。Q是一个脱扣开关的控制部分（脱扣开关本身没有画出，它是串联在本图左边的火线和零线上，开关断开时，用户的供电被切断），Q接在铁芯另一侧副线圈的两端a、b之间，当a、b间没有电压时，Q使得脱扣开关闭合，当a、b间有电压时，脱扣开关即断开，使用户断电。

（1）用户正常用电时，a、b之间有没有电压？

（2）如果某人站在地面上，手误触火线而触电，脱扣开关是否会断开？为什么？ 解析：（1） 用户正常用电时，a、b之间没有电压，因为双线绕成的初级线圈两根导线中的电流总是大小相等而方向相反的，穿过铁芯的磁通量总为0，副线圈中不会有感应电动势产生。

（2）人站在地面上手误触火线，电流通过火线和人体而流向大地，不通过零线，这样变压器的铁芯中就会有磁通量的变化，从而次级产生感应电动势，脱扣开关就会断开。

二．法拉第电磁感应定律 自感

学习目标：

1．熟练掌握法拉第电磁感应定律，及各种情况下感应电动势的计算方法。 2．知道自感现象及其应用，日光灯 知识回顾：

一、法拉第电磁感应定律

1.法拉第电磁感应定律

电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比。 即E?k????，在国际单位制中可以证明其中的k=1，所以有E?。对于n

?t?t

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匝线圈有E?n??。 ?t在导线切割磁感线产生感应电动势的情况下，由法拉第电磁感应定律可推出感应电动势的大小是：E=BLvsinα（α是B与v之间的夹角）。

【例1】如图所示，长L1宽L2的矩形线圈电阻为R，处于磁感应强度为B的匀强磁场边缘，线圈与磁感线垂直。求：将线圈以向右的速度v匀速拉出磁场的过程中，?拉力F大小； ?拉力的功率P； ?拉力做的功W； ?线圈中产生的电热Q ；?通过线圈某一截面的电荷量q 。

解：这是一道基本练习题，要注意要注意所用的边长究竟是L1还是L2 ，还应该思考一下所求的各物理量与速度v之间有什么关系。

B2L22v?E?BL2v,I?E,F?BIL2,?F??v

RRL1 L2 v B2L2v22?P?Fv??v2 RB2L22L1v?W?FL1??v R?Q?W?v

? q?I?t?E??t?与v无关 RR特别要注意电热Q和电荷q的区别，其中q???与速度无关！（这个结论以后经常会

R遇到）。

【练一练】如图所示，竖直放置的U形导轨宽为L，上端串有电阻R（其余导体部分的电阻都忽略不计）。磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直于纸面向外。金属棒ab的质量为m，与导轨接触良好，不计摩擦。从静止释放后ab保持水平而下滑。试求ab下滑的最大速度vm

解：释放瞬间ab只受重力，开始向下加速运动。随着速度的增大，感应电动势E、感应电流I、安培力F都随之增大，加速度随之减小。当F增大到F=mg时，加速度变为零，这时ab达到最大速度。

a

m L b mgRB2L2vmv? 由F?，可得 ?mgm22BLR点评：这道题也是一个典型的习题。要注意该过程中的功能关系：重力做功的过程是重

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力势能向动能和电能转化的过程；安培力做功的过程是机械能向电能转化的过程；合外力（重力和安培力）做功的过程是动能增加的过程；电流做功的过程是电能向内能转化的过程。达到稳定速度后，重力势能的减小全部转化为电能，电流做功又使电能全部转化为内能。这时重力的功率等于电功率也等于热功率。

进一步讨论：如果在该图上端电阻右边安一只电键，让ab下落一段距离后再闭合电键，那么闭合电键后ab的运动情况又将如何？（无论何时闭合电键，ab可能先加速后匀速，也可能先减速后匀速，但最终稳定后的速度总是一样的）。

【练一练】 如图所示，U形导线框固定在水平面上，右端放有质量为m的金属棒ab，ab与导轨间的动摩擦因数为μ，它们围成的矩形边长分别为L1、L2，回路的总电阻为R。从t=0时刻起，在竖直向上方向加一个随时间均匀变化的匀强磁场B=kt，（k>0）那么在t为多大时，金属棒开始移动？

解：由E???= kL1L2可知，回路中感应电动势是恒定的，电流大小也是恒定的，但由

?ta L1 L2 b 于安培力F=BIL∝B=kt∝t，随时间的增大，安培力将随之增大。当安培力增大到等于最大静摩擦力时，ab将开始向左移动。这时有：kt?L1?kL1L2??mg,t??mgR

2Rk2L1L22.转动产生的感应电动势

?转动轴与磁感线平行。如图磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直于纸面向外，长L的金属棒oa以o为轴在该平面内以角速度ω逆时针匀速转动。求金属棒中的感应电动势。在用导线切割磁感线产生感应电动势的公式时注意其中的速度v应该是平均速度，即金属棒中点的速度。

E?BL??L?1B?L2

22?线圈的转动轴与磁感线垂直。如图矩形线圈的长、宽分别为L1、L2，所围面积为S，向右的匀强磁场的磁感应强度为B，线圈绕图示的轴以角速度ω匀速转动。线圈的ab、cd两边切割磁感线，产生的感应电动势相加可得E=BSω。如果线圈由n匝导线绕制而成，则E=nBSω。从图示位置开始计时，则感应电动势的即时值为e=nBSωcosωt 。该结论与线圈的形状和转动轴的具体位置无关（但是轴必须与B垂直）。

实际上，这就是交流发电机发出的交流电的即时电动势公式。

y 【例2】 如图所示，xoy坐标系y轴左侧和右侧分别有垂直于纸面向外、向里的匀强磁场，磁感应强度均为B，一个围成四分之一圆形的导体环oab，其圆心在原点o，半径为R，开始时在第一象限。从t=0起绕o点以角速度ω逆时针匀速转动。试画出环内感应电动势E随时间t而变的

v o a ω

ω L2 L1 b c b ω o a x

第九章 电磁感应学案 函数图象（以顺时针电动势为正）。

解：开始的四分之一周期内，oa、ob中的感应电动势方向相同，大小应相加；第二个四分之一周期内穿过线圈的磁通量不变，因此感应电动势为零；第三个四分之一周期内感应电动势与第一个四分之一周期内大小相同而方向相反；第四个四分之一周期内感应电动势又为

零。感应电动势的最大值为Em=BR2ω，周期为T=2π/ω，图象如右。

3.电磁感应中的能量守恒

只要有感应电流产生，电磁感应现象中总伴随着能量的转化。电磁感应的题目往往与能量守恒的知识相结合。这种综合是很重要的。要牢固树立起能量守恒的思想。

【例3】 如图所示，矩形线圈abcd质量为m，宽为d，在竖直平面内由静止自由下落。其下方有如图方向的匀强磁场，磁场上、下边界水平，宽度也为d，线圈ab边刚进入磁场就开始做匀速运动，那么在线圈穿越磁场的全过程，产生了多少电热？

解：ab刚进入磁场就做匀速运动，说明安培力与重力刚好平衡，在下落

2d的过程中，重力势能全部转化为电能，电能又全部转化为电热，所以产生电热Q =2mgd。

【练一练】如图所示，水平面上固定有平行导轨，磁感应强度为B的匀强磁场方向竖直向下。同种合金做的导体棒ab、cd横截面积之比为2∶1，长度和导轨的宽均为L，ab的质量为m ，电阻为r，开始时ab、cd都垂直于导轨静止，不计摩擦。给ab一个向右的瞬时冲量I，在以后的运动中，cd的最大速度vm、最大加速度am、产生的电热各是多少？

解：给ab冲量后，ab获得速度向右运动，回路中产生感应电流，cd受安培力作用而加速，ab受安培力而减速；当两者速度相等时，都开始做匀速运动。所以开始时cd的加速度最大，最终cd的速度最大。全过程系统动能的损失都转化为电能，电能又转化为内能。由于ab、cd横截面积之比为2∶1，所以电阻之比为1∶2，根据Q=I 2Rt∝R，所以cd上产生的电热应该是回路中产生的全部电热的2/3。又根据已知得ab的初速度为v1=I/m，因此有：

2B2L2IEF ，解得。最后的共同速度为vm=2I/3m，am?E?BLv1,I?,F?BLI,am?2r?2rm/23mr系统动能损失为ΔEK=I 2/ 6m，其中cd上产生电热Q=I 2/ 9m 二、感应电量的计算

根据法拉第电磁感应定律，在电磁感应现象中，只要穿过闭合电路的磁通量发生变化，闭合电路中就会产生感应电流。设在时间?t内通过导线截面的电量为q，则根据电流定义式I?q/?t及法拉第电磁感应定律E?n??/?t，得：

Em o t d c a b

a d b c 第九章 电磁感应学案

q?I??t?En??n????t???t? RR?tR??. R如果闭合电路是一个单匝线圈（n?1），则q?【例4】如图所示，闭合导线框的质量可以忽略不计，将它从如图所示的位置匀速拉出匀强磁场。若第一次用0.3s时间拉出，外力所做的功为W1，通过导线截面的电量为q；第二次用0.9s时间拉出，外力所做的功为W2，通过导线截面的电量为q2，则（ ）

A. W1?W2，q1?q2 C. W1?W2，q1?q2

B. W1?W2，q1?q2 D. W1?W2，q1?q2

解析：设线框长为L1，宽为L2，第一次拉出速度为V1，第二次拉出速度为V2，则V1=3V2。匀速拉出磁场时，外力所做的功恰等于克服安培力所做的功，有

W1?F1?L1?BI1L2L1?B2L2L1V1/R，

同理 W2?B2L2L1V2/R， 故W1>W2；

又由于线框两次拉出过程中，磁通量的变化量相等，即??1???2， 由q???/R，得：q1?q2 故正确答案为选项C。

三、自感现象

1、自感现象

自感现象是指当线圈自身电流发生变化时，在线圈中引起的电磁感应现象，当线圈中的

22 第九章 电磁感应学案

电流增加时，自感电流的方向与原电流方向相反；当线圈中电流减小时，自感电流的方向与原电流的方向相同．自感电动势的大小与电流的变化率成正比．

自感系数L由线圈自身的性质决定，与线圈的长短、粗细、匝数、有无铁芯有关．

除线圈外，电路的其它部分是否存在自感现象？ 2、自感现象的应用——日光灯

（1）启动器：利用氖管的辉光放电，起自动把电路接通和断开的作用

（2）镇流器：在日光灯点燃时，利用自感现象，产生瞬时高压，在日光灯正常发光时，，利用自感现象，起降压限流作用。

3、日光灯的工作原理图如下：

图中A镇流器，其作用是在灯开始点燃时起产生瞬时高压的作用；在日光灯正常发光时起起降压限流作用．B是日光灯管，它的内壁涂有一层荧光粉，使其发出的光为柔和的白光；C是启动器，它是一个充有氖气的小玻璃泡，里面装上两个电极，一个固定不动的静触片和一个用双金属片制成的U形触片组成．

第九章 电磁感应学案

三．电磁感应与电路规律的综合应用

学习目标：

1．熟练运用右手定则和楞次定律判断感应电流及感应电动势的方向。 2．熟练掌握法拉第电磁感应定律，及各种情况下感应电动势的计算方法。 3．掌握电磁感应与电路规律的综合应用 知识回顾： 一、电路问题

1、确定电源：首先判断产生电磁感应现象的那一部分导体（电源），其次利用E?n或E?BLvsin?求感应电动势的大小，利用右手定则或楞次定律判断电流方向。

2、分析电路结构，画等效电路图

3、利用电路规律求解，主要有欧姆定律，串并联规律等 二、图象问题

1、定性或定量地表示出所研究问题的函数关系

2、在图象中E、I、B等物理量的方向是通过正负值来反映 3、画图象时要注意横、纵坐标的单位长度定义或表达 【例1】如图所示，平行导轨置于磁感应强度为B的匀强磁场中（方向向里），间距为L，左端电阻为R，其余电阻不计，导轨右端接一电容为C的电容器。现有一长2L的金属棒ab放在导轨上，ab以a为轴顺时针转过90°的过程中，通过R的电量为多少？

解析：（1）由ab棒以a为轴旋转到b端脱离导轨的过程中，产生的感应电动势一直增大，对C不断充电，同时又与R构成闭合回路。ab产生感应电动势的平均值

???tE???B?S? ① ?t?t?S表示ab扫过的三角形的面积，即?S?132L?3L?L ② 22通过R的电量Q1?I?t?E?t ③ R

第九章 电磁感应学案

3BL2由以上三式解得Q1? ④

2R在这一过程中电容器充电的总电量Q=CUm ⑤ Um为ab棒在转动过程中产生的感应电动势的最大值。即

1Um?B?2L?(??2L)?2BL2? ⑥

2联立⑤⑥得：Q2?2BL2?C

（2）当ab棒脱离导轨后（对R放电，通过R的电量为 Q2，所以整个过程中通过 R的总电量为：

2 Q=Q1＋Q2=BL(3?2?C) 2R电磁感应中“双杆问题”分类解析

【例2】匀强磁场磁感应强度 B=0.2 T，磁场宽度L=3rn，一正方形金属框边长ab=l=1m，每边电阻r=0.2Ω，金属框以v=10m/s的速度匀速穿过磁场区，其平面始终保持与磁感线方向垂直，如图所示，求：

（1）画出金属框穿过磁场区的过程中，金属框内感应电流的I-t图线 （2）画出ab两端电压的U-t图线 解析：线框进人磁场区时 E1=B l v=2 V，I1?E1=2.5 A 4rl=0.1 s v方向沿逆时针，如图（1）实线abcd所示，感电流持续的时间t1=线框在磁场中运动时：E2=0，I2=0 无电流的持续时间：t2=

L?l=0.2 s， v图（1）

第九章 电磁感应学案

线框穿出磁场区时：E3= B l v=2 V，I3?E3=2.5 A 4r此电流的方向为顺时针，如图（1）虚线abcd所示，规定电流方向逆时针为正，得I-t图线如图（2）所示

（2）线框进人磁场区ab两端电压 U1=I1 r=2.5×0.2=0.5V

线框在磁场中运动时；b两端电压等于感应电动势 U2=B l v=2V

线框出磁场时ab两端电压：U3=E - I2 r=1.5V 由此得U-t图线如图（3）所示

点评：将线框的运动过程分为三个阶段，第一阶段ab为外电路，第二阶段ab相当于开路时的电源，第三阶段ab是接上外电路的电源 三、综合例析

图（3） 图（2）

电磁感应电路的分析与计算以其覆盖知识点多，综合性强，思维含量高，充分体现考生能力和素质等特点，成为历届高考命题的特点.

1、命题特点

对电磁感应电路的考查命题，常以学科内综合题目呈现，涉及电磁感应定律、直流电路、功、动能定理、能量转化与守恒等多个知识点，突出考查考生理解能力、分析综合能力，尤其从实际问题中抽象概括构建物理模型的创新能力.

2、求解策略

变换物理模型，是将陌生的物理模型与熟悉的物理模型相比较，分析异同并从中挖掘其内在联系，从而建立起熟悉模型与未知现象之间相互关系的一种特殊解题方法.巧妙地运用“类同”变换，“类似”变换，“类异”变换，可使复杂、陌生、抽象的问题变成简单、熟悉、具体的题型，从而使问题大为简化.

解决电磁感应电路问题的关键就是借鉴或利用相似原型来启发理解和变换物理模型，即把电磁感应的问题等效转换成稳恒直流电路，把产生感应电动势的那部分导体等效为内电路.感应电动势的大小相当于电源电动势.其余部分相当于外电路，并画出等效电路图.此时，处理问题的方法与闭合电路求解基本一致，惟一要注意的是电磁感应现象中，有时导体两端有电压，但没有电流流过，这类似电源两端有电势差但没有接入电路时，电流为零.

【练一练】据报道，1992年7月，美国“阿特兰蒂斯”号航天飞机进行了一项卫星悬

第九章 电磁感应学案

绳发电实验，实验取得了部分成功.航天飞机在地球赤道上空离地面约3000 km处由东向西飞行，相对地面速度大约6.5×103 m/s，从航天飞机上向地心方向发射一颗卫星，携带一根长20 km，电阻为800 Ω的金属悬绳，使这根悬绳与地磁场垂直，做切割磁感线运动.假定这一范围内的地磁场是均匀的.磁感应强度为4×10-5T，且认为悬绳上各点的切割速度和航天飞机的速度相同.根据理论设计，通过电离层（由等离子体组成）的作用，悬绳可以产生约3 A的感应电流，试求：

（1）金属悬绳中产生的感应电动势； （2）悬绳两端的电压；

（3）航天飞机绕地球运行一圈悬绳输出的电能（已知地球半径为6400 km）. 命题意图：考查考生信息摄取、提炼、加工能力及构建物理模型的抽象概括能力. 错解分析：考生缺乏知识迁移运用能力和抽象概括能力，不能于现实情景中构建模型（切割磁感线的导体棒模型）并进行模型转换（转换为电源模型及直流电路模型），无法顺利运用直流电路相关知识突破.

解题方法与技巧：将飞机下金属悬绳切割磁感线产生感应电动势看作电源模型，当它通过电离层放电可看作直流电路模型.如图所示.

（1）金属绳产生的电动势：

E=Blv=4×10-5×20×103×6.5×103 V=5.2×103 V

（2）悬绳两端电压，即路端电压可由闭合电路欧姆定律得： U=E-Ir=5.2×103-3×800 V=2.8×103 V （3）飞机绕地运行一周所需时间

（电离层）

2?R2?3.14?(6400?103?3000?103)3 t==s=9.1×10s 3v6.5?10则飞机绕地运行一圈输出电能： E=UIt=2800×3×9.1×103 J=７.6×107 J

【练一练】如图所示，竖直向上的匀强磁场，磁感应强度B=0.5 T，并且以

?B=0.1 T/s?t在变化，水平轨道电阻不计，且不计摩擦阻力，宽0.5 m的导轨上放一电阻R0=0.1 Ω的导体棒，并用水平线通过定滑轮吊着质量M=0.2 kg的重物，轨道左端连接的电阻R=0.4 Ω，图中的l=0.8 m，求至少经过多长时间才能吊起重物.

命题意图：考查理解能力、推理能力及分析综合能力 错解分析：（1）不善于逆向思维，采取执果索因的有效途径

第九章 电磁感应学案

探寻解题思路；（2）实际运算过程忽视了B的变化，将B代入F安=BIlab，导致错解.

解题方法与技巧：

由法拉第电磁感应定律可求出回路感应电动势：E=

???B?S ?t?t

①

由闭合电路欧姆定律可求出回路中电流 I=

E

R0?R ②

由于安培力方向向左，应用左手定则可判断出电流方向为顺时针方向（由上往下看）.再根据楞次定律可知磁场增加，在t时磁感应强度为： B′ =（B＋

此时安培力为 F安=B′Ilab 由受力分析可知 F安=mg

?B·t） ?t

⑤

④

③

由①②③④⑤式并代入数据：t=495 s

【例3】（2001年上海卷）半径为a的圆形区域内有均匀磁场，磁感强度为B=0.2T，磁场方向垂直纸面向里，半径为b的金属圆环与磁场同心地放置，磁场与环面垂直，其中a=0.4m，b=0.6m，金属环上分别接有灯L1、L2，两灯的电阻均为R =2Ω，一金属棒MN与金属环接触良好，棒与环的电阻均忽略不计

（1）若棒以v0=5m/s的速率在环上向右匀速滑动，求棒滑过圆环直径OO′ 的瞬时（如图所示）MN中的电动势和流过灯L1的电流。

（2）撤去中间的金属棒MN，将右面的半圆环OL2O′ 以OO′ 为轴向上翻转90o，若此时磁场随时间均匀变化，其变化率为ΔB/Δt=4T/s，求L1的功率。

解析：（1）棒滑过圆环直径OO′ 的瞬时，MN中的电动势 E1=B2a v=0.2×0.8×5=0.8V ① 等效电路如图（1）所示，流过灯L1的电流 I1=E1/R=0.8/2=0.4A ②

（2）撤去中间的金属棒MN，将右面的半圆环OL2O′ 以OO′

为轴向上翻转90o，半圆环OL1O′中产生感应电动势，相当于电源，灯L2为外电路，等效电路如图（2）所示，感应电动势

E2=ΔФ/Δt=0.5×πa2×ΔB/Δt=0.32V ③ L1的功率

图（1）

图（2）

第九章 电磁感应学案

P1=(E2/2)2/R=1.28×102W

四．电磁感应与力学规律的综合应用

学习目标：

1．综合应用电磁感应等电学知识解决力、电综合问题； 2．培养学生分析解决综合问题的能力 知识回顾：

一、电磁感应中的动力学问题

这类问题覆盖面广，题型也多种多样；但解决这类问题的关键在于通过运动状态的分析来寻找过程中的临界状态，如速度、加速度取最大值或最小值的条件等，基本思路是：

EI?

R?r确定电源（E，r） 界状态

运动状态的分析

感应电流 F=BIL 运动导体所受的安培力 v与a方向关系 a变化情况 F=ma合外力

【例1】如图所示，AB、CD是两根足够长的固定平行金属导轨，两导轨间的距离为L，导轨平面与水平面的夹角为θ，在整个导轨平面内都有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场，磁感应强度为B，在导轨的 AC端连接一个阻值为 R的电阻，一根质量为m、垂直于导轨放置的金属棒ab，从静止开始沿导轨下滑，求此过程中ab棒的最大速度。已知ab与导轨间的动摩擦因数为μ，导轨和金属棒的电阻都不计。

解析：ab沿导轨下滑过程中受四个力作用，即重力mg，支持力FN 、摩擦力Ff和安培力F安，如图所示，ab由静止开始下滑后，将是v??E??I??F安??a?（?为增大符号），所以这是个变加速过程，当加速度减到a=0时，其速度即增到最大v=vm，此时必将处于平衡状态，以后将以vm匀速下滑

ab下滑时因切割磁感线，要产生感应电动势，根据电磁感应定律： E=BLv ①

闭合电路AC ba中将产生感应电流，根据闭合电路欧姆定律： I=E/R ②

第九章 电磁感应学案

据右手定则可判定感应电流方向为aAC ba，再据左手定则判断它受的安培力F安方向如图示，其大小为：

F安=BIL ③

取平行和垂直导轨的两个方向对ab所受的力进行正交分解，应有： FN = mgcosθ Ff= μmgcosθ B2L2v由①②③可得F安?

R以ab为研究对象，根据牛顿第二定律应有：

B2L2vmgsinθ –μmgcosθ-=ma Rab做加速度减小的变加速运动，当a=0时速度达最大 因此，ab达到vm时应有：

B2L2vmgsinθ –μmgcosθ-=0 ④ R由④式可解得vm?mg?sin???cos??R

B2L2注意：（1）电磁感应中的动态分析，是处理电磁感应问题的关键，要学会从动态分析的过程中来选择是从动力学方面，还是从能量、动量方面来解决问题。

（2）在分析运动导体的受力时，常画出平面示意图和物体受力图。 二、电磁感应中的能量、动量问题

无论是使闭合回路的磁通量发生变化，还是使闭合回路的部分导体切割磁感线，都要消耗其它形式的能量，转化为回路中的电能。这个过程不仅体现了能量的转化，而且保持守恒，使我们进一步认识包含电和磁在内的能量的转化和守恒定律的普遍性。

分析问题时，应当牢牢抓住能量守恒这一基本规律，分析清楚有哪些力做功，就可知道有哪些形式的能量参与了相互转化，如有摩擦力做功，必然有内能出现；重力做功，就可能有机械能参与转化；安培力做负功就将其它形式能转化为电能，做正功将电能转化为其它形式的能；然后利用能量守恒列出方程求解。

【例2】如图所示，两根间距为l的光滑金属导轨（不计电阻），由一段圆弧部分与一段无限长的水平段部分组成。其水平段加有竖直向下方向的匀强磁场，其磁感应强度为B，导轨水平段上静止放置一金属棒cd，质量为2m。，电阻为2r。

第九章 电磁感应学案

另一质量为m，电阻为r的金属棒ab，从圆弧段M处由静止释放下滑至N处进入水平段，圆弧段MN半径为R，所对圆心角为60°，求：

（1）ab棒在N处进入磁场区速度多大？此时棒中电流是多少？ （2）ab棒能达到的最大速度是多大？

（3）ab棒由静止到达最大速度过程中，系统所能释放的热量是多少？

解析：（1）ab棒由静止从M滑下到N的过程中，只有重力做功，机械能守恒，所以到N处速度可求，进而可求ab棒切割磁感线时产生的感应电动势和回路中的感应电流。

ab棒由M下滑到N过程中，机械能守恒，故有：

mgR(1?cos60?)?12mv 解得v?gR 2BlgRE进入磁场区瞬间，回路中电流强度为 I? ?2r?r3r （2）设ab棒与cd棒所受安培力的大小为F，安培力作用时间为 t，ab 棒在安培力作用下做减速运动，cd棒在安培力作用下做加速运动，当两棒速度达到相同速度v′时，电路中电流为零，安培力为零，cd达到最大速度。

运用动量守恒定律得 mv?(2m?m)v?

解得 v??1gR 3（3）系统释放热量应等于系统机械能减少量，故有

Q?1211mv??3mv?2 解得Q?mgR 223三、综合例析

（一）电磁感应中的“双杆问题”

电磁感应中“双杆问题”是学科内部综合的问题，涉及到电磁感应、安培力、牛顿运动定律和动量定理、动量守恒定律及能量守恒定律等。要求学生综合上述知识，认识题目所给的物理情景，找出物理量之间的关系，因此是较难的一类问题，也是近几年高考考察的热点。

考题回顾

【例3】（2003年全国理综卷）如图所示，两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感应强度B=0.50T的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计。导轨间的距离l=0.20m。两根质量均为m=0.10kg的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为R=0.50Ω。在t=0时刻，两杆都处于静止

第九章 电磁感应学案

状态。现有一与导轨平行、大小为0.20N的恒力F作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动。经过t=5.0s，金属杆甲的加速度为a=1.37m/s2，问此时两金属杆的速度各为多少？

解析：设任一时刻t两金属杆甲、乙之间的距离为x，速度分别为v1和v2，经过很短的时间△t，杆甲移动距离v1△t，杆乙移动距离v2△t，回路面积改变

?S?[(x?v2?t)?v1?t]?t?lx?(v1?v2)l?t

由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势E?B回路中的电流 i?乙 甲 ?S ?tE 2R杆甲的运动方程F?Bli?ma

由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等，方向相反，所以两杆的动量(t?0时为0）等于外力F的冲量Ft?mv1?mv2

1F12RR?2(F?ma)] v2?1[F1?2联立以上各式解得v1?[(F?ma)] 222mBF2mBI代入数据得v1?8.15m/sv2?1.85m/s

点评：题中感应电动势的计算也可以直接利用导体切割磁感线时产生的感应电动势公式和右手定则求解：设甲、乙速度分别为v1和v2，两杆切割磁感线产生的感应电动势分别为

E1＝Blv1 ，E2＝Blv2

由右手定则知两电动势方向相反，故总电动势为E＝E2―E1＝Bl（v2－v1）。

分析甲、乙两杆的运动，还可以求出甲、乙两杆的最大速度差?vm：开始时，金属杆甲在恒力F作用下做加速运动，回路中产生感应电流，金属杆乙在安培力作用下也将做加速运动，但此时甲的加速度肯定大于乙的加速度，因此甲、乙的速度差将增大。根据法拉第电磁感应定律，感应电流将增大，同时甲、乙两杆所受安培力增大，导致乙的加速度增大，甲的加速度减小。但只要a甲>a乙，甲、乙的速度差就会继续增大，所以当甲、乙两杆的加速度相等时，速度差最大。此后，甲、乙两杆做加速度相等的匀加速直线运动。

设金属杆甲、乙的共同加速度为a，回路中感应电流最大值Im.对系统和乙杆分别应用牛顿第二定律有：F=2ma；BLIm=ma.

由闭合电路敬欧姆定律有E=2ImR，而E?BL?vm

第九章 电磁感应学案

由以上各式可解得?vm?FR?10m/s. B2L2【例4】（2004年全国理综卷）图中a1b1c1d1和a2b2c2d2为在同一竖直平面内的金属导轨，处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨所在平面（纸面）向里。导轨的a1b1段与a2b2段是竖直的，距离为l1；c1d1段与c2d2段也是竖直的，距离为l2。x1 y1与x2 y2为两根用不可伸长的绝缘轻线相连的金属细杆，质量分别为和m1和m2，它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触。两杆与导轨构成的回路的总电阻为R。F为作用于金属杆x1y1上的竖直向上的恒力。已知两杆运动到图示位置时，已匀速向上运动，求此时作用于两杆的重力的功率的大小和回路电阻上的热功率。

解析：设杆向上的速度为v，因杆的运动，两杆与导轨构成的回路的面积减少，从而磁通量也减少。由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势的大小E?B(l2?l1)v ①

回路中的电流 I?E ② R电流沿顺时针方向。两金属杆都要受到安培力作用，作用于杆x1y1的安培力为

f1?Bl1I ③

方向向上，作用于杆x2y2的安培力为 f2?Bl2I ④

方向向下，当杆作匀速运动时，根据牛顿第二定律有F?m1g?m2g?f1?f2?0 ⑤

解以上各式得 I?F?(m1?m2)g ⑥

B(l2?l1)F?(m1?m2)gR ⑦

B2(l2?l1)2v?作用于两杆的重力的功率的大小 P?(m1?m2)gv ⑧

第九章 电磁感应学案

电阻上的热功率 Q?I2R ⑨ 由⑥⑦⑧⑨式，可得

P?F?(m1?m2)gR(m1?m2)g ⑩

B2(l2?l1)2F?(m1?m2)g2]R ⑾

B(l2?l1)Q?[下面对“双杆”类问题进行分类例析 1、“双杆”向相反方向做匀速运动

当两杆分别向相反方向运动时，相当于两个电池正向串联。

【例5】两根相距d=0.20m的平行金属长导轨固定在同一水平面内，并处于竖直方向的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B=0.2T，导轨上面横放着两条金属细杆，构成矩形回路，每条金属细杆的电阻为r=0.25Ω，回路中其余部分的电阻可不计.已知两金属细杆在平行于导轨的拉力的作用下沿导轨朝相反方向匀速平移，速度大小都是v=5.0m/s，如图所示.不计导轨上的摩擦.

（1）求作用于每条金属细杆的拉力的大小.

（2）求两金属细杆在间距增加0.40m的滑动过程中共产生的热量.

解析：（1）当两金属杆都以速度v匀速滑动时，每条金属杆中产生的感应电动势分别为： E1=E2=Bdv

由闭合电路的欧姆定律，回路中的电流强度大小为：I?v v E1?E2 2r因拉力与安培力平衡，作用于每根金属杆的拉力的大小为F1=F2=IBd。

B2d2v?3.2?10?2N 由以上各式并代入数据得F1?F2?r（2）设两金属杆之间增加的距离为△L，则两金属杆共产生的热量为Q?I?2r?代入数据得 Q=1.28×10-2J.

2.“双杆”同向运动，但一杆加速另一杆减速

2?L， 2v 第九章 电磁感应学案

当两杆分别沿相同方向运动时，相当于两个电池反向串联。

【例6】两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L。导轨上面横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，如图所示．两根导体棒的质量皆为m，电阻皆为R，回路中其余部分的电阻可不计．在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B．设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行．开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度v0．若两导体棒在运动中始终不接触，求：

（1）在运动中产生的焦耳热最多是多少．

（2）当ab棒的速度变为初速度的3/4时，cd棒的加速度是多少？

解析：ab棒向cd棒运动时，两棒和导轨构成的回路面积变小，磁通量发生变化，于是产生感应电流．ab棒受到与运动方向相反的安培力作用作减速运动，cd棒则在安培力作用下作加速运动．在ab棒的速度大于cd棒的速度时，回路总有感应电流，ab棒继续减速，cd棒继续加速．两棒速度达到相同后，回路面积保持不变，磁通量不变化，不产生感应电流，两棒以相同的速度v作匀速运动．

（1）从初始至两棒达到速度相同的过程中，两棒总动量守恒，有mv0?2mv 据能量守恒，整个过程中产生的总热量Q?根

L a

b v0 c

d 12112mv0?(2m)v2?mv0 224（2）设ab棒的速度变为初速度的3/4时，cd棒的速度为v1，则由动量守恒可知：

3mv0?mv0?mv1

434E 2RF m

此时回路中的感应电动势和感应电流分别为：E?(v0?v1)BL，I?此时cd棒所受的安培力： F?IBL

，所以cd棒的加速度为 a? 由以上各式，可得

B2L2v0a? 。

4mR3. “双杆”中两杆都做同方向上的加速运动。

“双杆”中的一杆在外力作用下做加速运动，另一杆在安培力作用下做加速运动，最终两杆以同样加速度做匀加速直线运动。如【例3】（2003年全国理综卷）

4．“双杆”在不等宽导轨上同向运动。

“双杆”在不等宽导轨上同向运动时，两杆所受的安培力不等大反向，所以不能利用动量守恒定律解题。如【例4】（2004年全国理综卷）

第九章 电磁感应学案

（二）电磁感应中的一个重要推论——安培力的冲量公式

F?t?BLI?t?BLq?BL?? R感应电流通过直导线时，直导线在磁场中要受到安培力的作用，当导线与磁场垂直时，安培力的大小为F=BLI。在时间△t内安培力的冲量F?t?BLI?t?BLq?BL??，式中Rq是通过导体截面的电量。利用该公式解答问题十分简便，下面举例说明这一点。

【例7】如图所示，在光滑的水平面上，有一垂直向下的匀强磁场分布在宽为L的区域内，有一个边长为a（a

A．完全进入磁场中时线圈的速度大于（v0+v）/2； B．安全进入磁场中时线圈的速度等于（v0+v）/2； C．完全进入磁场中时线圈的速度小于（v0+v）/2； D．以上情况A、B均有可能，而C是不可能的 解析：设线圈完全进入磁场中时的速度为vx。线圈在穿过磁场的过程中所受合外力为安培力。对于线圈进入磁场的过程，据动量定理可得：

a a

??Ba2?F?t??Ba??Ba?mvx?mv0

RR对于线圈穿出磁场的过程，据动量定理可得：

??Ba2??Ba?mv?mvx ?F?t??BaRR由上述二式可得vx?v0?v，即B选项正确。 2【例8】光滑U型金属框架宽为L，足够长，其上放一质量为m的金属棒ab，左端连接有一电容为C的电容器，现给棒一个初速v0，使棒始终垂直框架并沿框架运动，如图所示。求导体棒的最终速度。

解析：当金属棒ab做切割磁力线运动时，要产生感应电动势，这样，电容器C将被充电，ab棒中有充电电流存在，ab棒受到安培力的作用而减速，当ab棒以稳定速度v匀速运动时，有：

a C v0 第九章 电磁感应学案

BLv=UC=q/C

而对导体棒ab利用动量定理可得： -BLq=mv-mv0

由上述二式可求得： v?mv0

m?B2L2C

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