上海交大物理答案（上）

习 题

1-1. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为

r?R(cosωti?sinωtj)

其中?为常量．求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。

解：1） 由r?R(cosωti?sinωtj)知 x?Rcosωt y?Rsinωt

消去t可得轨道方程 x2?y2?R2

2） v?drdt??ωRsinωti?ωRcosωtj

12 v?[(?ωRsinωt)2?(ωRcosωt)2]?ωR

1-2. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为r?4t2i?(3?2t)j，式中r的单位为m，

t的单位为s.求：（1）质点的轨道；（2）从t?0到t?1秒的位移；（3）t?0和t?1秒两时

刻的速度。

解：1）由r?4t2i?(3?2t)j可知

x?4t y?3?2t

2 消去t得轨道方程为：x?(y?3) 2）v?Δr?drdt102

?8ti?2j

?vdt??10(8ti?2j)dt?4i?2

3） v(0)?2j v(1)?8i?2j

1-3. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为r?ti?2tj，式中r的单位为m，t的单位为s.求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。

解：1）v? a?drdtdvdt?2ti?2j ?2i

2

2）v?[(2t)?4]212?2(t?1)212 at?dvdt?2tt?12

an?a2?at2?2t?12 1-4. 一升降机以加速度a上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升降机的天花板与底板相距为d，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。

解：以地面为参照系，坐标如图，升降机与螺丝的运动方程分别为

y1?v0t?12at （1） 12gt （2）

22图 1-4

y2?h?v0t? y1?y2 （3）

解之 t?2dg?a 1-5. 一质量为m的小球在高度h处以初（1）小球的运动方程；

（2）小球在落地之前的轨迹方程； （3）落地前瞬时小球的

drdtdvdt速度v0水平抛出，求：

，，

dvdt.

解：（1） x?v0t 式（1）

y?h?12gt 式（2）

12gt)j

22 r(t)?v0ti?(h-（2）联立式（1）、式（2）得 y?h?gx2v2

20 （3）

drdt?v0i-gtj 而 落地所用时间 t?drdt22hg

所以

v?2?v0i-22ghj

2dvdt??gj

vx?vy?v0?(?gt)

g2ghg2tdv ??12dt[v2?(gt)2]12(v0?2gh)201-6. 路灯距地面的高度为h1，一身高为h2的人在路灯下以匀速v1沿直线行走。试证明

人影的顶端作匀速运动，并求其速度v2.

证明：设人从O点开始行走，t时刻人影中足的坐标为x1 ，人影中头的坐标为x2，由几何关系可得 图 1-6

x2x2?x1?h1h2 而 x1?v0t

所以，人影中头的运动方程为 x2?h1x1h1?h2?h1th1?h2v0

人影中头的速度 v2?dx2dt?h1h1?h2v0

1-7. 一质点沿直线运动，其运动方程为x?2?4t?2t2(m)，在 t从0秒到3秒的时间间隔内，则质点走过的路程为多少？

解：v?dxdt?4?4t 若v?0 解的 t?1s

?x1?x1?x0?(2?4?2)?2?2m

2 ?x3?x3?x1?(2?4?3?2?3)?(2?4?2)??8m

?x??x1??x2?10m

1-8. 一弹性球直落在一斜面上，下落高度

h?20cm，斜面对水平的倾角??30?，问它

第二次球碰斜角)。

图 1-8

碰到斜面的位置距原来的下落点多远(假设小面前后速度数值相等，碰撞时人射角等于反射

一

解：小球落地时速度为v0?点为坐标原点如图

2gh建立直角坐标系，以小球第一次落地

0 vx0?v0cos60 x?v0cos60t?01212gcos60t （1） gsin60t （2）

0202 vy0?v0sin60 y?v0sin60t?第二次落地时 y?0 t?2v0g00

所以 x?v0cos60t?012gcos60t02?2v0g2?0.8m

1-9. 地球的自转角速度最大增加到若干倍时，赤道上的物体仍能保持在地球上而不致离开地球?已知现在赤道上物体的向心加速度约为3.4cm/s2，设赤道上重力加速度为

29.80m/s.

解：赤道上的物体仍能保持在地球必须满足 g?R?2

3.4?10R?2 现在赤道上物体???

????9.83.4?10?2?17

1-10. 已知子弹的轨迹为抛物线，初速为v0，并且v0与水平面的夹角为?.试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。

解：在顶点处子弹的速度v?v0cos?，顶点处切向加速度为0。

v2因此有：g???(v0cos?)2? ??2v0cos?gv0222

在落地点速度为v0 gcos??v0? ??gcos?

1-11. 飞机以v0?100m/s的速度沿水平直线飞行，在离地面高h?98m时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标上，问：投放物品时，驾驶员看目标的视线和竖直线应成什么角度?此时目标距飞机下方地点多远?

解：设此时飞机距目标水平距离为x有：x?v0t h?x12gt

20联立方程解得：x?447m ??arctan?77.5

h1-12. 设将两物体A和B分别以初速vA和vB抛掷出去．vA与水平面的夹角为?；vB与水平面的夹角为?，试证明在任何时刻物体B相对物体A的速度是常矢量。

解：两个物体在任意时刻的速度为 ?i?(v0sin??gt)j vA?v0cos?-gt)j vB?v0cos?i?(v0sin

?vBA?vB-vA?(v0cos??v0cos?)i?(v0sin??v0sin?)j

与时间无关，故B相对物体A的速度是常矢量。

1-13. 一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动，物体初速为v0?49.0m/s，而气球以速度v?19.6m/s匀速上升，问气球中的观察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各多少？

物体在任意时刻的速度表达式为 vy?v0?gt 故气球中的观察者测得物体的速度?v?vy?v 代入时间t可以得到第二秒末物体速度?v?9.8m第三秒末物体速度 ?v?0 第四秒末物体速度 ?v??9.8mss

1-14. 质点沿x在轴向运动，加速度a??kv，k为常数．设从原点出发时速度为v0，求运动方程x?x(t).

解：

dvdtdxdt??kv ?v0e?kt?vv01vdv??tt0?kdt v?v0e?kt?kt

?x0dx??0v0edt

x?v0k(1?e?kt)

1-15. 跳水运动员自10m跳台自由下落，入水后因受水的阻碍而减速，设加速度

a??kv，k?0.4m2?1.求运动员速度减为入水速度的10%时的入水深度。

解：取水面为坐标原点，竖直向下为x轴 跳水运动员入水速度 v0?22gh?14mv0s

x0?kv?1kdvdt?vdvdx

?10v01vdv???kdx

x?ln10?5.76m

1b?t)ln(1?bt)，其中b是与燃料燃烧

1-16. 一飞行火箭的运动学方程为：x?ut?u(速率有关的量，u为燃气相对火箭的喷射速度。求：（1）火箭飞行速度与时间的关系；（2）火箭的加速度。

解：（1）v?dxdt??uln(1?bt)

Ncos??mg?may （2）

M的运动方程为：Nsin??MaM （3）

下面列出约束条件的方程：取M作为参考系，设m在其中的相对加速度为a?，在x,y

方向的分量分别为a?a?a?yx与y，那么：tan??a?

x利用相对运动的公式，am?aM?a? 所以：a?x?ax?aM a?y?ay 于是：tan??a?ya??ayxa

x?aM即：axsin??aycos??aMsin? （4） 由（1）（2）（3）（4）联立，计算可得：

aM?msin?cos?M?msin2?g

2-8. 圆柱形容器内装有一定量的若它们一起绕圆柱轴以角速度?匀速试问稳定旋转时液面的形状如何？ 解：受力分析如图

Nsinα?Δmω2y （1） Ncosα?Δmg （2）

ω2 两式相比 tanα?yg?dzdy

22

?dz??ωyωgdy z?2gy2?C

当 y?0 时 z?z0 所以 C?z0

z?ω222gy?z0 稳定旋转时液面是一个抛物面

由于旋转后成为立体，故方程变为【z??22g(x2?y2)?z0】

2-9. 质量为m2的物体可以在劈形物体的斜面上无摩擦形物质量为m1，放置在光滑的水平面上，斜面倾角为?，求

液体，转动，

滑动，劈释放后

两物体的加速度及它们的相互作用力。

解：隔离物块和斜面体，分析力，列出方程，发现方程完备性不够，即未知数比方程数多，关键在于，m1与m2的运动有联系的，m1沿地面运动，m2沿斜面运动，这就是约束条件。取地面作为参考系，则m2的运动为：

?Nsin??m2ax （1）

Ncos??m2g?m2ay （2）

m1的运动方程为：Nsin??m1a1 （3）

下面列出约束条件的方程：取m1作为参考系，设m2在其中的相对加速度为a?，在x,y方向的分量分别为ax?a?y?a与y，那么：tan??

a?x利用相对运动的公式，a2?a1?a?

?ax?a1 所以：a?x a?y?ay 于是：tan??a?ya?x?ayax?a1

即：axsin??aycos??a1sin? （4） 由（1）（2）（3）（4）联立，计算可得： a1?m2sin?cos?m1?m2sin2?g；a2??m1sin?cos?m1?m2sin2?g

g；a??(m1?m2)sin?m1?m2sin2?g

相互作用力N=

m1m2cos?m1?m2sin?22-10. 一小环套在光滑细杆上，细杆以倾角?绕竖直轴作匀角速

度转动，角速度为?，求：小环平衡时距杆端点O的距离r. 解：根据题意，当小环能平衡时，其运动为绕Z轴的圆周运动，所以可列式：

Nsin??mg Ncos??m?rsin?

2z ?r O g所以，可得：r??tan?sin?2

2-11. 设质量为m的带电微粒受到沿x方向的电力F?(b?cx)i，计算粒子在任一时刻t的速度和位置，假定t?0时，v0?0,F、x、t的单位分别为kg、N、m、s.

x0?0.其中b、c为与时间无关的常数，m、

解：根据题意和牛顿第二定律，可列式：F?(b?cx)i?mdxdt22，

整理可得二阶微分方程：m令?2?cmdxdt22?cx?b?0。

下面分c为正负再做进一步讨论。

2bbdxb当c?0时，2??2x??0 ，可得：x?cos?t?

ccmdt 一次求导，得到：v??2bc?sin?t

bbdxb?t??t(e?e)? 当c?0时，2??2x??0 ，可得：x?2ccmdt 一次求导，得到：v?b?2c(e?t?e??t)

2-12. 在光滑的水平面上设置一竖直的圆筒，半径为R，一靠圆筒内壁运动，摩擦系数为?，在t?0时，球的速率为v0，时刻球的速率和运动路程。 解：在法向上有 N?mv2小球紧求任一

R 而 f?μN

v2 在切向上有 ?f?mdvdt 由上面三个式子可得

dvdt??μR

v0RR?v0μt ??vv01vdv?2?t0μRtdt v?

S??t0vdt?v0R?dtR?v0μt0?Rμln1(?v0μtR)

2-1. 质量为m的小球，放在光滑的木板和光滑的墙壁之间，并衡，如图所示．设木板和墙壁之间的夹角为?，当?逐渐增大时，小

的压力将怎样变化？

解：假设墙壁对小球的压力为N1，木板对小球的压力为N2。 由受力分析图可知：

N2sin??mg

保持平球对木板

所以当所以?增大，小球对木板的压力为N2将减小；

同时：N2cos??N1

N1?mgct?g 所以?增大，小球对墙壁的压力N1也减小。

2-2. 质量分别为m1和m2的两滑块A和B通过一轻弹簧水平连结后置于水平桌面上，滑块与桌面间的摩擦系数均为μ，系统在水平拉力F作用下匀速运动，如图所示．如突然撤

消拉力，则刚撤消后瞬间，二者的加速度aA和aB分别为多少 ？解：分别对A，B进行受力分析，由受力分析图可知：

F??(m1?m2)g F?kx??m1g kx??m2g

所以aA??m1?m2m1g,aB?0.

2-3. 如图所示，用一斜向上的力F(与水平成30°角)，将一G的木块压靠在竖直壁面上，如果不论用怎样大的力F，都不能使向上滑动，则说明木块与壁面间的静摩擦系数?的大小为多少？ 解：假设墙壁对木块的压力为N，由受力分析图可知：

Fsin??G??N N?Fcos?

重为木块

整理上式，并且根据题意，如果不论用怎样大的力F，都不能使木块向上滑动，则说明：

12F?G??32F 即当

12F??32F 此式中F无论为多大，总成立，则可得：

??33

桌面上，

系统原

2-4. 质量分别为m和M的滑块A和B，叠放在光滑水平如图所示．A、B间静摩擦系数为?s，滑动摩擦系数为?k，

处于静止．今有一水平力作用于A上，要使A、B不发生相对滑动，则F应取什么范围？

解：根据题意，分别对A，B进行受力分析，要使A，B不发生相对滑动，必须使两者具有相同的加速度，所以列式：a?可得：F??sm（m?M）g

MFmsxm?M??smgM

2-5. 如图，物体A、B质量相同，B在光滑水平桌面上．滑的质量以及空气阻力均不计，滑轮与其轴之间的摩擦也不无初速地释放，则物体A下落的加速度是多少？

轮与绳计．系统

解：分别对A，B进行受力分析，由受力分析图可知：

m1g?T?m1a1 2T?m2a2

a2?12a1

45g

则可计算得到：a1?2-6. 如图所示，假设物体沿着竖直面上圆弧形轨道下滑，光滑的，在从A至C的下滑过程中，下面哪个说法是正确(A) 它的加速度大小不变，方向永远指向圆心。 (B) 它的速率均匀增加。

(C) 它的合外力大小变化，方向永远指向圆心。 (D) 它的合外力大小不变。

(E) 轨道支持力的大小不断增加。

轨道是的？

在下滑过程中，物体做圆周运动。并且v在增大，所以它既有法向加速度，又有切向加速度，A的说法不对；

速率的增加由重力沿切线方向的分力提供，由于切线方向始终在改变，所以速率增加不均匀；

外力有重力和支持力，后者的大小和方向都在变化，所以合力的大小方向也在变化。C，D的说法都不对。

下滑过程中的θ和v都在增大，所以N也在增大，N?mgsin??mv2R

则E的说法正确。

2-7. 一小珠可在半径为R的竖直圆环上无摩擦地滑动，且圆环能以其竖直直径为轴转动．当圆环以一适当的恒定角速度?转动，小珠偏离圆环转轴而且相对圆环静止时，小珠所在处圆环半径偏离竖直方向的角度为多大？

解：根据题意，当小珠能相对于圆环平衡时，其运动为绕Z轴的圆周运动，假设小珠所在处圆环半径偏离竖直方向的角度为θ，可列式：

Ncos??mg Nsin??m?Rsin?

2所以，可得：cos?? 2?R2-8. 几个不同倾角的光滑斜面，有共同的底边，顶点也在同一

g上（如图所示）．为使一物体（视为质点）从斜面上端由静止滑到下间最短，则斜面的倾角应选

(A) 60°． (B) 45°． (C) 30°． (D) 15°．

解：根据题意，假设底边长为s，斜面的倾角为θ，可列式：

12gsin?t2竖直面端的时

?scos?

t2?4sgsin2? 当θ=45。时，时间最短。

?B与O?2B系2-9. 如图所示，小球A用轻弹簧O1A与轻绳O2A系住；小球B用轻绳O1住，今剪断O2A绳和O?2B绳，在刚剪断的瞬间，A、B球的加速度量值和方向是否相同？ 解：不同。

对于a图，在剪断绳子的瞬间，弹簧的伸长没所以弹簧的拉力F不变，A的加速度应该是由簧的拉力提供的合力T，所以：

Fsin??T?ma

有变化，重力和弹

Fcos??mg

所以加速度大小为：a?gtan?，方向为水平方向。

对于b图，在剪断绳子的瞬间，绳子拉力F变化，它将提供物体做圆周运动，的加速度应该有切向加速度和法向加速度。所以：

mgsin??mat T?mgcos??man?mv2R?0

所以加速度大小为：a?gsin?，方向为与绳垂直的切线方向。

2-10. 两质量均为m的小球穿在一光滑圆环上，并由一轻绳相连，环竖直固定放置，在图中位置由静止释放，试问释放瞬间绳上张力为多少？

解：在释放瞬间上面的小球作水平运动，下面小球作竖直运动，两者加速度大小相等，方向互相垂直。

Tsin450?ma （1）

0mg?Tsin45?ma （2）

两式联立消去a T?mg2sin450?2mg2

3-1. 如图，一质点在几个力作用下沿半径为R=20m的圆周运动，其中有一恒力F=0.6iN，求质点从A开始沿逆时针方向经3/4圆周到达B的过程中，力F所做的功。

解：?r?rB?rA??20i?20j

由做功的定义可知：W?F??r?0.6i?(?20i?20j)??12J

3-2. 质量为m=0.5kg的质点，在xOy坐标平面内运动，其运动方程为x=5t2,y=0.5(SI),从t=2s到t=4s这段时间内，外力对质点的功为多少？

?r?r4?r2?(80i?0.5j)?(20i?0.5j)?60i

a ?dv/dt?d2r/dt2?10i F?ma ?m?10i?5i

由做功的定义可知：W?F??r?5i?60i?300J

3-3.劲度系数为k的轻巧弹簧竖直放置，下端悬一小球，球的质量为m，开始时弹簧为原长而小球恰好与地接触。今将弹簧上端缓慢提起，直到小球能脱离地面为止，求此过程中外力的功。

根据小球是被缓慢提起的，刚脱离地面时所受的力为F=mg，k?x?mg 可得此时弹簧的伸长量为：?x??xmgk

12mg由做功的定义可知：W??0kxdx?kx20k?mg2k22

3-4.如图，一质量为m的质点，在半径为R的半球形容器中，由静止开始自边缘上的A点滑下，到达最低点B时，它对容器的正压力数值为N，求质点自A滑到B的过程中，摩擦力对其做的功。

分析：Wf直接求解显然有困难，所以使用动能定理，那就要知道它的末速度的情况。 解：求在B点的速度： N-G=mv2R 可得：

12mv2?12(N?G)R

mgR?Wf?12mv2?012 由动能定理：

Wf?12

(N?3mg)R(N?G)R?mgR?3-5.一弹簧并不遵守胡克定律，其弹力与形变的关系为F?(?52.8x?38.4x)i，其中

F和x单位分别为N和m．

2（1）计算当将弹簧由x1?0.522m拉伸至x2?1.34m过程中，外力所做之功； （2）此弹力是否为保守力? 解：

（1）由做功的定义可知：

W?x21.34?x1F?dx??0.522(?52.8x?38.4x)dx??26.4(x2?x1)?12.6(x2?x1)22233?69.2J（2）由计算结果可知，做功与起点和终点的位置有关，与其他因素无关，所以该弹力为保守力。

3-6. 一质量为m的物体，在力F?(ati?btj)的作用下，由静止开始运动，求在任一时刻t此力所做功的功率为多少。

解：要求功率就必须知道力和速度的情况，由题意：

2

v??Fmt??m1(ati?btj)dt?21m2(1ati?213btj)

3所以功率为：

N?F?V?(ati?btj)?21m2(1ati?213btj)?31m2(1at?2313bt)

253-7. 一质点在三维力场中运动．已知力场的势能函数为

Ep??ax2?bxy?cz.

（1）求作用力F；

（2）当质点由原点运动到x?3、y?3、z?3位置的过程中，试任选一路径，计算上述力所做的功。其中Ep的单位为J，x、y、z的单位为m，F的单位为N. 解：（1）由作用力和势能的关系： F???EP?r???(?ax2?bxy?cz)?r?(2ax?by)i?bxj?ck

（2）取一个比较简单的积分路径：r?dxi?dyj?dzk，则积分可得：

W??F?dr??[(2ax?by)i?bxj?ck]?(dxi?dyj?dzk)

=9a-9b-3c

3-8. 轻弹簧AB的上端A固定，下端B悬挂质量为m的重物。已知弹簧原长为l，劲

0度系数为k，重物在O点达到平衡，此时弹簧伸长了x，

0如图所

O?；力

示。取x轴向下为正，且坐标原点位于：弹簧原长位置的平衡位置O。若取原点为重力势能和弹性势能的势能分别计算重物在任一位置P时系统的总势能。

解：（1）取弹簧原长位置O?为重力势能和弹性势能

零点，则重物在任一位置P（坐标设为x?）时系统的总势能：EP??mgx??12零点，试的势能

kx?

2（2）取力的平衡位置O为重力势能和弹性势能的势能零点，则重物在任一位置P（坐

EP??mgx?而mg?kx012k（x?x0）?212标设为x）时系统的总势能：

kx02

所以EP??mgx?12k（x?x0）?212kx02?12kx

23-9. 在密度为?1的液面上方，悬挂一根长为l，密度为?2的均匀棒AB，棒的B端刚和液面接触如图所示，今剪断细绳，设细棒只在浮力和重力作用下运

动，在

?12??2??1的条件下，求细棒下落过程中的最大速度vmax，以及细棒能进入液体的最大

深度H。

解：分析可知，棒下落的最大速度是受合力为零的时候，所以：?2lsg??1hsg ，则h??2?1l。

h12?slv??2sglh????1gsydy

022在下落过程中，利用功能原理：

?2gl ?1所以：vmax?进入液体的最大深度H为细棒运动的速度为零时： ??2sglh????1gsydy 所以H?0H?1?1??2?l 23-10. 若在近似圆形轨道上运行的卫星受到尘埃的微弱空气阻力f的作用，设阻力与速度的大小成正比，比例系数k为常数，即f??kv，试求质量为m的卫星，开始在离地心

r0?4R（R为地球半径）陨落到地面所需的时间。

解：根据题意，假设在离地心r0?4R处质点的速度为v1，地面上的速度为v2。提供卫

v2星运动的力为万有引力：mr?G0Mmr2，所以

v2v1?r0R?2

在这个过程中阻力的作用时间可通过动量定理求出：

fdt??kvdt?mdv

通过分离变量取积分，可 得t?：

v21??v2v1mkl d?mvnt?k3-11. 一链条放置在光滑桌面上，用手揿住一端，另一端有四分之一长度由桌边下垂，设链条长为L，质量为m，试问将链条全部拉上桌面要做多少功？

解：直接考虑垂下的链条的质心位置变化，来求做功，则：

W??EP?111mg?l?mgl 48323-12. 起重机用钢丝绳吊运质量为m的物体时以速

率v0

匀速下降，当起重机突然刹车时，因物体仍有惯性运动使钢丝绳有微小伸长。设钢丝绳劲度系数为k，求它伸长多少?所受拉力多大?(不计钢丝绳本身质量)

解：当起重机忽然刹车时，物体的动能将转换为钢丝绳的弹性势能：由可得：

x?mkv0

12mv02?12kx，

2分析物体的受力，可得到绳子的拉力为： T?mg?kx?mg?mkv0

3-13. 在光滑水平面上，平放一轻弹簧，弹簧一端固定，另一端连一物体A、A边上再放一物体B，它们质量分别为mA和mB，弹簧劲度系数为k，原长为l．用力推B，使弹簧压缩x0，然后释放。求：

（1）当A与B开始分离时，它们的位置和速度； （2）分离之后．A还能往前移动多远? 解：（1）当A和B开始分离时，两者具有相同的速度，根据能量守恒，可得到：

12(mA?mB)v2?12kx0，所以：v?2kmA?mBx0;x?l

（2）分离之后，A的动能又将逐渐的转化为弹性势能，所以：

12mAv2?12kx ，则： xA?2mAmA?mBx0

3-14. 已知地球对一个质量为m的质点的引力为F??和半径)。

Gmemr3r（me,Re为地球的质量

（1）若选取无穷远处势能为零，计算地面处的势能；

（2）若选取地面处势能为零，计算无穷远处的势能．比较两种情况下的势能差． 解：（1）取无穷远处势能为零，计算地面处的势能为：

?EP??Re??f?dr?rb??Gmemrarb11 dr??Gmmer2Re（2）若选取地面处势能为零，计算无穷远处的势能为：

ReE??????f?dr???Gmemra11 dr?Gmmer2Re两种情况下势能差是完全一样的。

3-15. 试证明在离地球表面高度为h?h??Re?处，质量为m的质点所具有的引力势能近似可表示为mgh.

系数k?40N/m，当??0?时弹簧无形变，细棒的质量m?5.0kg，求在??0?的位置上细棒至少应具有多大的角速度?，才能转动到水平位置？

解：机械能守恒

mg12?12J?2?12kx

2 根据几何关系 (x?0.5)2?1.52?12 ??3.28rad?s?1 5-7. 如图所示，一质量为m、半径为R的圆盘，可绕O轴在内转动。若盘自静止下落，略去轴承的摩擦，求：

（1）盘到虚线所示的铅直位置时，质心C和盘缘A点的速率；（2）位置轴对圆盘的作用力。

解：在虚线位置的C点设为重力势能的零点，下降过程

机械能守恒

mgR?12J? J?2铅直面在虚线

12mR2?mR

2??4g3R vc?R??734Rg3

vA?2R??16Rg 3R2? Fy?mg?m?m g 方向向上

2m的小

5-8. 如图所示，长为l的轻杆，两端各固定质量分别为m和球，杆可绕水平光滑固定轴O在竖直面内转动，转轴O距两端分和

23l．轻杆原来静止在竖直位置。今有一质量为m的小球，以

12别为

13l水平速度

v0与杆下端小球m作对心碰撞，碰后以v0的速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度。

解：根据角动量守衡 有

23mv0l?(2ll2212)m??()?2m??ml?v0 3332 ??3v02l

5-9. 一质量均匀分布的圆盘，质量为M，半径为R，放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为?)，圆盘可绕通过其中心O固定光滑轴转动。开始时，圆盘静止，一质量为m的水平速度v垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘求：(1)子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度；(2)经时间后，圆盘停止转动。(圆盘绕通过O的竖直轴的量为

12MR，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩。)

2的竖直子弹以边上，过多少转动惯

解（1）角动量守恒 mvR? ??（2）M?2312MR??mR?

222mv

(2m?MR)?dM?12??dmgr?22?R0?grM?R22πrdr?23?MgR

?MgR??t?(MR?mR)??0，??t?2?M?2m?4?MgR?

由（1）已得：??2mv?M?2m?R，代入即得?t?3mv

2?Mg

5-10. 有一质量为m1、长为l的均匀细棒，静止平摩擦系数为?的水平桌面上，它可绕通过其端点O且与的固定光滑轴转动。另有一水平运动的质量为m2的小侧面垂直于棒与棒的另一端A相碰撞，设碰撞时间极小滑块在碰撞前后的速度分别为v1和v2，如图所示。从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间。

(已知棒绕O点的转动惯量J? 碰撞时角动量守恒

m2v1l?1m1l2??m2v2l 313m1l)

2放在滑动桌面垂直滑块，从短。已知求碰撞后

??3m2(v1?v2)m1l

细棒运动起来所受到的摩擦力矩 M??l0?m1lgxdx?12?m1gl

?M?Jd?dt

21?t0dt??31m1ld?

2?m1gl2m2(v1?v2)t?2l?3?g??m1g

5-11. 如图所示，滑轮转动惯量为0.01kg?m，半径为7cm；物体的质量为5kg，用一细绳与劲度系数k?200N/m的弹簧相连，若绳与滑轮间滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计。求：（1）当绳拉直、弹簧时使物体由静止而下落的最大距离。(2)物体的速度达最大

无相对

无伸长值时的

2

位置及最大速率。

（1）机械能守恒。 设下落最大距离为h

12kh2?mg h?0.49m mv2 h?（2）

12kx22mgk?12?122J?122?mgx

?x?2mg? v??Jm???r2?k?x ???若速度达最大值，

x?mgkdvdx?0

?0.245(m)

1212??2mgx?kx2v??Jm???r2???2?5?9.8?0.245?200?0.2452????0.015????(7?10?2)2?????1.31m/s ??5-12. 设电风扇的功率恒定不变为P，叶片受到的空气阻力矩与叶片旋转的角速度?成正比，比例系数的k，并已知叶片转子的总转动惯量为J。（1）原来静止的电扇通电后t秒时刻的角速度；（2）电扇稳定转动时的转速为多大？（3）电扇以稳定转速旋转时，断开电源后风叶还能继续转多少角度？

d?解：（1）通电时根据转动定律有 M?Mr?J

dt M?P? Mr?k?

J?d?

代入两边积分

?t0dt???0P?k?2 ??Pk(1?e?2kJt)

（2）电扇稳定转动时的转速 ?m?（3） ?k??J?JkPkd?d?Pk

??0?kJd????d?

m0 ??

5-13. 如图所示，物体A放在粗糙的水平面上，与水平桌面之间的摩擦系数为?，细绳

的一端系住物体A，另一端缠绕在半径为R的圆柱形转轮B上，物体与转轮的质量相同。开始时，物体与转轮皆静止，细绳松弛，若转轮以?0绕其转轴转动。试问：细绳刚绷紧的瞬时，物体A的速度多大？物体A运动后，细绳的张力多大？

解：细绳刚绷紧时系统机械能守恒

12J?0?212J?2?12mv v?R?

2v?1R?0 3T??mg?ma ?TR?J? T??mg3 a?R?

5-14. 质量为m的小孩站在半径为R、转动惯量为J的可以自由转动的水平平台边缘上(平台可以无摩擦地绕通过中心的竖直轴转动)。平台和小孩开始时均静止。当小孩突然一相对地面为v的速率沿台边缘逆时针走动时，此平台相对地面旋转的角速度?为多少？

解：此过程角动量守恒 0?mrv?J?

??mRvJ

5-15. 以速度v0作匀速运动的汽车上，有一质量为m（m较小），边长为l的立方形货物箱，如图所示。当汽车遇到前方障碍物急刹车停止时，绕其底面A边翻转。试求：（1）汽车刹车停止瞬时，翻转的角速度及角加速度；（2）此时，货物箱A边所反力。

解：（1）角动量守恒 mv0根据转动定律 mg（2）Nx?mal2l2??23cn货物箱

货物箱受的支

23ml? ??23v04l3g4l0

ml? ??cos4502

cx?ma?mactcos45

5-1. 一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M的定滑轮，绳分别悬有质量m1和m2的物体 (m1

m1g?T1?m1a （1）

T2?m2g?m2a （2） 插入图5-29 (T1?T2)r?J? （3）

的两端相对滑

a?r? (4)

联立方程可得 T1、T2。 T2?T1

5-2. 一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴O以角速度方向转动，若如图所示的情况那样，将两个大小相等方不在同一条直线的力F沿盘面方向同时作用到盘上，则度?怎样变化？

答：增大

5-3. 个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,双臂伸直水平地举起二哑铃,在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中,人、哑铃与转动平台组成的系统的： （A）机械能守恒,角动量守恒;（B）机械能守恒,角动量不守恒, （C）机械能不守恒,角动量守恒;（D）机械能不守恒,角动量不守恒. 答：（C） 5-4. 在边长为a的六边形顶点上，分别固定有质m的6个质点，如图所示。试求此系统绕下列转轴的量：（1）设转轴Ⅰ、Ⅱ在质点所在的平面内，如图a所设转轴Ⅲ垂直于质点所在的平面，如图b所示。

以Ⅰ为轴转动惯量 J?9ma2 以Ⅱ为轴转动惯量 J?3ma2 以Ⅲ为轴转动惯量 J?7.5ma2

5-5. 如图a所示，半径分别是R1和R2、转动惯量分别是J1和J2的两个圆柱体，可绕垂直于图面的轴转动，最初大圆柱体的角速度为?0，小圆柱体向左靠近，直到它碰到大圆柱体为止。由于的摩擦力，小圆柱体被带着转动，最后，当相对滑动两圆柱体各以恒定角速度沿相反方向转动。

试问这种情况角动量是否守恒？为什么？小圆柱的最度多大？

答：角动量守恒，摩擦力的力矩为0。 J1?0?J2? ??J1?0J2?按图示向相反但盘的角速

量都是转动惯示；（2）

现在将相互间停止时，终角速

时处于

在细棒被

5-6. 均质细棒的质量为M，长为L，开始水平方位，静止于支点O上。一锤子沿竖直方向

x?d处撞击细棒，给棒的冲量为I0j。试讨论

球撞击后的运动情况。

答：撞击过程角动量守恒，棒获得一个角速转动，当转到最大角度时，开始往下运动，最后衡位置。

度向上回到平

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