人教版高中数学《数列》全部教案

2016届文科人教版数学

数列

姓 名： 院 、 系： 数学学院 专 业: 数学与应用数学

2015年10月25日

第三章 数列 第一教时

教材：数列、数列的通项公式

目的：要求学生理解数列的概念及其几何表示，理解什么叫数列的通项公式，给

出一些数列能够写出其通项公式，已知通项公式能够求数列的项。 过程：

一、从实例引入（P110）

1．堆放的钢管 4,5,6,7,8,9,10

11112．正整数的倒数 1,,,,?

23453．2精确到1，0.1，0.001?的不足近似值1，1.4，1.41，1.414，? 4．?1的正整数次幂：?1,1,?1,1,? 5．无穷多个数排成一列数：1,1,1,1,? 二、提出课题：数列

1．数列的定义：按一定次序排列的一列数（数列的有序性） 2．名称：项，序号，一般公式a1,a2,?,an，表示法?an? 3．通项公式：an与n之间的函数关系式

如 数列1： an?n?3 数列2：an?1 数列4：nan?(?1)n,n?N*

4．分类：递增数列、递减数列；常数列；摆动数列； 有穷数列、无穷数列。

5．实质：从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集 N*（或它的有限子集{1，2，?，n}）的函数，当自变量从小到大依

次取值时对应的一列函数值，通项公式即相应的函数解析式。 6．用图象表示：— 是一群孤立的点 例一 （P111 例一 略） 三、关于数列的通项公式

1．不是每一个数列都能写出其通项公式 （如数列3）

2．数列的通项公式不唯一 如 数列4可写成 an?(?1)n和

n?2k?1,k?N*??1 an??

n?2k,k?N*?13．已知通项公式可写出数列的任一项，因此通项公式十分重要 例二 （P111 例二）略

四、补充例题：写出下面数列的一个通项公式，使它的前n项分别是下列

各数：

1?(?1)n?1,n?N* 1．1，0，1，0 an?2 2．?23456n?1，，?，，? an?(?1)n?

24353815(n?1)2?17?(10n?1) 9 3．7，77，777，7777 an? 4．?1，7，?13，19，?25，31 an?(?1)n(6n?5)

359172n?1 5．，，， an?2n?1

24162562 五、小结：

1．数列的有关概念 2．观察法求数列的通项公式

六、作业： 练习 P112 习题 3．1（P114）1、2 《课课练》中例题推荐2 练习 7、8

第二教时

教材：数列的递推关系

目的：要求学生进一步熟悉数列及其通项公式的概念；了解数列递推公式的意义，

会根据给出的递推公式写出数列的前n项。 过程：

一、复习：数列的定义，数列的通项公式的意义（从函数观点出发去刻划）

(n?2)?Sn?Sn?1二、例一：若记数列?an?的前n项之和为Sn试证明：an??

(n?1)?S1 证：显然n?1时 ，a1?S1 当

n?1即n?2时

Sn?a1?a2???an

Sn?1?a1?a2???an?1

∴ Sn?Sn?1?an ∴an???Sn?Sn?1(n?2)

S(n?1)?1 注意：1? 此法可作为常用公式

2? 当a1(?S1)时 满足Sn?Sn?1时，则an?Sn?Sn?1

例二：已知数列?an?的前n项和为① Sn?2n2?n ② Sn?n2?n?1 求数列?an?的通项公式。 解：1．当n?1时，a1?S1?1

当n?2时，an?2n2?n?2(n?1)2?(n?1)?4n?3 经检验 n?1时 a1?1 也适合 an?4n?3 2．当n?1时，a1?S1?3

当n?2时，an?n2?n?1?(n?1)2?(n?1)?1?2n

(n?1)?3 ∴ an??

(n?2)2n? 三、递推公式 （见课本P112-113 略） 以上一教时钢管的例子 an?n?3

(n?1)a1?4 从另一个角度，可以： ?

an?an?1?1(n?2) “递推公式”定义：已知数列?an?的第一项，且任一项an与它的前 一项an?1（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫 做这个数列的递推公式。 例三 （P113 例三）略

例四 已知a1?2，an?1?an?4 求an．

解一：可以写出：a1?2，a2??2，a3??6，a4??10，?? 观察可得：an?2?(n?1)(n?4)?2?4(n?1)

解二：由题设： an?1?an??4

an?an?1??4 ∴

an?1?an?2??4

an?2?an?3??4??a2?a1??4 ?) an?a1??4(n?1) ∴ an?2?4(n?1) 例五 已知a1?2，an?1?2an 求an．

解一：a1?2 a2?2?2?22 a3?2?22?23 观察可得： an?2n

解二：由an?1?2an ∴an?2an?1 即

an?2 an?1 ∴

anan?1an?2a??????2?2n?1 an?1an?2an?3a1 ∴ an?a1?2n?1?2n 四、小结： 由数列和求通项

递推公式 （简单阶差、阶商法） 五、作业：P114 习题3．1 3、4

《课课练》 P116-118 课时2中 例题推荐 1、2 课时练习 6、7、8

第三教时

教材：等差数列（一）

目的：要求学生掌握等差数列的意义，通项公式及等差中项的有关概念、计算公

式，并能用来解决有关问题。 过程：

一、引导观察数列：4，5，6，7，8，9，10，??

3，0，?3，?6，??

1234，，，，?? 2101010 an?12?3(n?1) 12，9，6，3，??

特点：从第二项起，每一项与它的前一项的差是常数 — “等差” 二、得出等差数列的定义： （见P115） 注意：从第二项起，后一项减去前一项的差等于同一个常数。 ．．．．．．．．．．

1．名称：AP

首项 (a1) 公差 (d)

2．若d?0 则该数列为常数列 3．寻求等差数列的通项公式：

a2?a1?d

a3?a2?d?(a1?d)?d?a1?2d

a4?a3?d?(a1?2d)?d?a1?3d???? 由此归纳为 an?a1?(n?1)d 当n?1时 a1?a1 （成立） 注意: 1? 等差数列的通项公式是关于n的一次函数

2? 如果通项公式是关于n的一次函数，则该数列成AP 证明：若an?An?B?A(n?1)?A?B?(A?B)?(n?1)A 它是以A?B为首项，A为公差的AP。

3? 公式中若 d?0 则数列递增，d?0 则数列递减 4? 图象： 一条直线上的一群孤立点

三、例题： 注意在an?a1?(n?1)d中n，an，a1，d四数中已知三个可以求 出另一个。

例一 （P115例一）

例二 （P116例二） 注意：该题用方程组求参数 例三 （P116例三） 此题可以看成应用题

a?b四、关于等差中项： 如果a,A,b成AP 则A?

2 证明：设公差为d，则A?a?d b?a?2d

a?ba?a?2d??a?d?A ∴22 例四 《教学与测试》P77 例一：在?1与7之间顺次插入三个数a,b,c使这五个数成AP，求此数列。

解一：∵?1,a,b,c,7成AP ∴b是-1与7 的等差中项

∴ b?a??1?3?1 2?1?7?3 a又是-1与3的等差中项 ∴2 c又是1与7的等差中项 ∴c?3?7?5 2 解二：设a1??1 a5?7 ∴7??1?(5?1)d ?d?2 ∴所求的数列为-1，1，3，5，7 五、小结：等差数列的定义、通项公式、等差中项 六、作业： P118 习题3．2 1-9

第四教时

教材：等差数列（二）

目的：通过例题的讲解，要求学生进一步认清等差数列的有关性质意义，并且能

够用定义与通项公式来判断一个数列是否成等差数列。 过程：

一、复习：等差数列的定义，通项公式

二、例一 在等差数列?an?中，d为公差，若m,n,p,q?N?且m?n?p?q

求证：1? am?an?ap?aq 2? ap?aq?(p?q)d

证

明

：

1?

设

首

项

为

a1，

则

am?an?a1?(m?1)d?a1?(n?1)d?2a1?(m?n?2)dap?aq?a1?(p?1)d?a1?(q?1)d?2a1?(p?q?2)d ∵ m?n?p?q ∴

am?an?ap?aq

2?

∵

ap?a1?(p?1)d

aq?(p?q)d?a1?(q?1)d?(p?q)d?a1?(p?1)d

∴ ap?aq?(p?q)d

注意：由此可以证明一个定理：设成AP，则与首末两项距

离相等的两项和等于首末两项的和 ，即：

a1?an?a2?an?1?a3?an?2???

同样：若m?n?2p 则 am?an?2ap 例二 在等差数列?an?中，

1? 若a5?a a10?b 求a15 解：2a10?a5?a15 即2b?a?a15 ∴ a15?2b?a 2? 若a3?a8?m 求 a5?a6 解：a5?a6=a3?a8?m

3? 若 a5?6 a8?15 求a14

解：a8?a5?(8?5)d 即 15?6?3d ∴ d?3 从而 a14?a5?(14?5)d?6?9?3?33

4? 若 a1?a2???a5?30 a6?a7???a10?80 求

a11?a12???a15

解：∵ 6+6=11+1 7+7=12+2 ?? ∴ 2a6?a1?a11 2a7?a2?a12 ?? 从

而

(a11?a12???a15)+(a1?a2???a5)?2(a6?a7???a10)

∴a11?a12???a15=2(a6?a7???a10)?(a1?a2???a5) =2×80?30=130 三、判断一个数列是否成等差数列的常用方法 1．定义法：即证明 an?an?1?d(常数) 例三 《课课练》第3课 例三

已知数列?an?的前n项和Sn?3n2?2n，求证数列?an?成等差数列，并求其首项、公差、通项公式。 解：a1?S1?3?2?1 当

n?2时

an?Sn?Sn?1?3n2?2n?[3(n?1)2?2(n?1)]?6n?5

n?1时 亦满足 ∴ an?6n?5

首项a1?1 an?an?1?6n?5?[6(n?1)?5]?6(常数) ∴?an?成AP且公差为6

2．中项法： 即利用中项公式，若2b?a?c 则a,b,c成AP。

例四 《课课练》第4 课 例一

111b?cc?aa?b 已知，，成AP，求证 ，，也成

abcbcaAP。

111211 证明： ∵，，成AP ∴?? 化简得：

abcbac2ac?b(a?c)

b?ca?bbc?c2?a2?abb(a?c)?a2?c22ac?a2?c2???? acacacac

(a?c)2(a?c)2a?c??2?= b(a?c)acb2b?cc?aa?b，，也成AP

bca 3．通项公式法：利用等差数列得通项公式是关于n的一次函数这一

∴

性质。

例五 设数列?an?其前n项和Sn?n2?2n?3，问这个数列成AP

吗？

解：

n?1时

a1?S1?2

n?2时

an?Sn?Sn?1?2n?3

∵a1不满足an?2n?3 ∴

n?1n?2

?2 an??2n?3?

∴ 数列?an?不成AP 但从第2项起成AP。 四、小结： 略

五、作业： 《教学与测试》 第37课 练习题 《课课练》 第3、4课中选

第五教时

教材：等差数列前n项和（一）

目的：要求学生掌握等差数列的求和公式，并且能够较熟练地运用解决问题。 过程：

一、引言：P119 著名的数学家 高斯（德国 1777-1855）十岁时计算

1+2+3+?+100的故事

故事结束：归结为 1．这是求等差数列1，2，3，?，100前100项和

100?(1?100) 2．高斯的解法是：前100项和S100?

2 即Sn?二、提出课题：等差数列的前n项和 1．证明公式1：Sn?n(a1?an) 2n(a1?an) 2 证明： Sn?a1?a2?a3???an?1?an ① Sn?an?an?1?an?2???a2?a1 ②

①+②：2Sn?(a1?an)?(a2?an?1)?(a3?an?2)???(an?an) ∵a1?an?a2?an?1?a3?an?2??? ∴2Sn?n(a1?an) 由此得：Sn?n(a1?an) 2 从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性。 2．推导公式2

用上述公式要求Sn必须具备三个条件：n,a1,an 但an?a1?(n?1)d 代入公式1即得： Sn?na1?n(n?1)d 2 此公式要求Sn必须具备三个条件：n,a1,d （有时比较有用）

总之：两个公式都表明要求Sn必须已知n,a1,d,an中三个 3．例一 （P120 例一）：用公式1求Sn 例二 （P120 例一）：用公式2求n 学生练习：P122练习 1、2、3

三、例三 （P121 例三）求集合M??m|m?7n,n?N*且m?100?的元素个 数，并求这些元素的和。

1002?14 解：由7n?100得 n?77 ∴正整数n共有14个即M中共有14个元素

即：7，14，21，?，98 是a1?7为首项a14?98的AP

14?(7?98)?735 答：略 2 例四 已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，

∴ Sn? 由此可以确定求其前n项和的公式吗？ 解：由题设： S10?310 S20?1220

?10a1?45d?310?a?4 得： ? ??1

20a?190d?12201??d?6n(n?1)?6?3n2?n 2 四、小结：等差数列求和公式

∴ Sn?4n? 五、作业 （习题3．1） P122-123

第六教时

教材：等差数列前n项和（二）

目的：使学生会运用等差数列前n项和的公式解决有关问题，从而提高学生分析

问题、解决问题的能力。 过程：

一、复习：等差数列前n项和的公式

二、例一 在等差数列?an?中 1? 已知S8?48 S12?168 求a1和d；

?8a?28d?48 解：?1 ?a1??8 d?4

?12a1?66d?168 2? 已知a3?a5?40，求S17．

解

S17?：∵

a1?a17?a3?a15?40 ∴

17(a1?a17)17?40??340 22 例二 已知?an?，?bn?都成AP，且 a1?5，b1?15，a100?b100?100试求数

列?an?bn?的前100项之和S100． 解：S100?100?(a1?a1?a100?b100)100?(5?15?100)??600 0

22 例三 一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比

为32：27，求公差。

12?11?12a?d?3541?2?6?5?2d 解一：设首项为a1，公差为d 则? ?d?5 ?6(a1?d)?322??17?6a?6?5?2d1?2??S奇?S偶?354?S偶?192?S32 解二：?偶 ?? 由 S偶?S奇?6d ?S?162?奇?S?奇27?d?5

例四 已知：an?1024?lg21?n （lg2?0.3010）n?N* 问多少项之和为最

大？前多少项之和的绝对值最小？

?an?1024?(1?n)lg2?0 解：1? ?

a?1024?nlg2?0?n?1 ?n?3402

10241024?n??1?3401?n?3403 ∴lg2lg2n(n?1)(?lg2)?0 2 2? Sn?1024n? 当Sn?0或Sn近于0时其和绝对值最小

令：Sn?0 即 1024+ 得：n?n(n?1)(?lg2)?0 22048?1?6804.99 lg2 ∵ n?N* ∴n?6805

例五 项数是2n的等差数列，中央两项为an和an?1是方程

x2?px?q?0的 两

根

，

求

证

此

数

列

的

和

是

方

程

lg2x?(lgn2?lgp2)lgx?(lgn?lgp)2?0 的根。 （S2n?0）

解：依题意：an?an?1?p ∵

S2n?2n(a1?a2n)?np

2a1?a2n?an?an?1?p ∴

∵lg2x?(lgn2?lgp2)lgx?(lgn?lgp)2?0 ∴ (lgx?lgnp)2?0 ∴x?np?S2n （获证）

例六 （机动，作了解）求和

111???? 1? 1? 1?21?2?31?2?3???n 解：an? ∴

11111?12n? Sn?2?(1?)?(?)???(?)??2(1?)?223nn?1?n?1n?1?1211??2(?)

1?2?3???nn(n?1)nn?1 2? (1002?992)?(982?972)???(42?32)?(22?12) 解

：原式

(199?3)?50?101?50?5050 2 三、作业 《精编》P167-168 6、7、8、9、10

=199?195???7?3?第七教时

教材：等差数列的综合练习

目的：通过练习，要求学生对等差数列的定义，通项公式，求和公式及其性质有

深刻的理解。 过程：

一、复习：1．等差数列的定义，通项公式—关于n的一次函数 2．判断一个数列是否成等差数列的常用方法 3．求等差数列前n项和的公式 二、处理《教学与测试》P79 第38课 例题1、2、3 三、补充例题《教学与测试》备用题

1．成等差数列的四个数之和为26，第二数和第三数之积为40，求这四个数． 解：设四个数为a?3d,a?d,a?d,a?3d

?(a?3d)?(a?d)?(a?d)?(a?3d)?26 则：?

(a?d)(a?d)?40?133 代入②得： d?? 22 ∴ 四个数为2,5,8,11或11,8,5,2．

由①： a?2．在等差数列?an?中，若a1?a4?a8?12?a15?2 求S15． 解：∵a1?a15?a4?a12 ∴ a8??2 而S15?15a8??30 3．已知等差数列的前n项和为a，前2n项和为b，求前3n项和． 解：由题设 Sn?a S2n?b ∴an?1?an?2???a2n?b?a 而

(a1?a2???an)?(a2n?1?a2n|2???a3n)?2(an?1?an?2???a2n) 从而：

S3n?(a1?a2???an)?(an?1?an?2???a2n)?(a2n?1?a2n|2???a3n) ?3(an?1?an?2???a2n)?3(b?a) 四、补充例题：（供参考，选用）

4．已知a1?1，Sn?n2an (n?1) 求an及Sn． 解：an?Sn?Sn?1?n2an?(n?1)2an?1 从而有an? ∵

a5?n?1an?1 n?1a1?1 ∴a2?13

a3?21?43

a4?321?? 5434321??? 6543 ∴an?2n(n?1)(n?2)???3?2?12 ∴Sn?n2an? ?n?1(n?1)n(n?1)???4?3n(n?1) 5．已知Sn?4?an?12n?2(n?N*) 求a1,an?1和an的关系式及通项公式

an

解： a1?S1?4?a1?121?2?a1?1

1?S?4?a?nn?2?n2 ?

1?Sn?1?4?an?1?(n?1)?22?1111 ?②?①：an?1??an?1?an?n?1?n?2 即：an?1?an?n

2222 将上式两边同乘以2n得： 2nan?1?2n?1an?1 即：2nan?1?2n?1an?1 显然：2n?1an是以1为首项，1为公差的AP ∴ 2n?1an?1?(n?1)?1?n ∴ an?n2n?1??

6．已知a1?3且an?Sn?1?2n，求an及Sn．

解：∵an?Sn?Sn?1 ∴ Sn?2Sn?1?2n ∴

Sn2nSnSn?1?n?1?1 n22 设bn? 则?bn?是公差为1的等差数列 ∴bn?b1?n?1

SnS1a131?? ∴n?n? ∴Sn?(2n?1)2n?1 22222 又：∵b1?

当n?2时 an?Sn?Sn?1?(2n?3)2n?2

(n?1)?3n?1 ∴an?? S?(2n?1)2nn?2(n?2)?(2n?3)?2n(n?1)(n?1)2?an? 7．设an?1?2?2?3?3?4???n(n?1)求证： 2212n?1 证：∵ n(n?1)?n2?n n(n?1)?(n?)2?

222n?1 21?3???(2n?1) ∴ 1?2?3???n?an?

2 ∴ n?n(n?1)?n(n?1)(n?1)2?an? ∴ 22五、作业：《教学与测试》第38课 练习题P80

第八教时

教材：等比数列（一）

目的：要求学生理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式并会根据它进行

有关计算。 过程：

一、1.印度国王奖赏国际象棋发明者的实例：得一个数列：

1,2,22,23,??,263 (1) 2.数列：5,25,125,625,?? (2)

111 1,?,,?,?? (3)

248观察、归纳其共同特点：1?“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)

2? 隐含：任一项an?0且q?0 3? q= 1时，{an}为常数

二、通项公式：

a2?a1q?a3?a2q?a1q2?a1n?n?1?a?aq或a??q?n1na4?a3q?a1q3?q????????如数列：(1)：an?1?2n?1?2n?1(2)：an?5?5n?1?5n

11(3)：an?1?(?)n?1?(?)n?122a图象：an?1?qn是经过指数函数纵向伸缩后图象上的孤立点。q1如：数列(1):an?2n?1??2n(n?64,且n?N*)2三、例一：（P127 例一）

实际是等比数列，求 a5

∵a1=120, q=120 ∴a5=120×1205?1=1205?2.5×1010 例二、（P127 例二） 强调通项公式的应用 例三、求下列各等比数列的通项公式：

1．a1=?2, a3=?8

解：a3?a1q?q2?4?q??2

?an?(?2)2n?1??2n或an?(?2)(?2)n?1?(?2)n 2．a1=5, 且2an+1=?3an 解：q?an?13??an2an?1n ?ann?13又：a1?5?an?5?(?)n?1

23．a1=5, 且

解：?an?1an1??2?,ann?1a12a32an?1 ?,??,n?a23an?1n 以上各式相乘得：an?13a1? nn四、关于等比中项：

如果在a、b中插入一个数G，使a、G、b成GP，则G是a、b的等比中项。 Gb??G2?ab?G??ab（注意两解且同号两项才有等比中项） aG例：2与8的等比中项为G，则G2=16 G=±4

例四、已知：b是a与c的等比中项，且a、b、c同号，

求证：

a?b?cab?bc?ca3,,abc 也成GP。 33证：由题设：b2=ac 得：

a?b?c3a?b?c33ab?b2?bcab?bc?ca2 ?abc??b??()

3333∴

a?b?cab?bc?ca3,,abc 也成GP 33五、小结：等比数列定义、通项公式、中项定理

六、作业：P129 习题3．4 1—8

第九教时

教材：等比数列（二） 目的：在熟悉等比数列有关概念的基础上，要求学生进一步熟悉等比数列的有关性质， 并系统了解判断一个数列是否成等比数列的方法。 过程： 一、复习：1、等比数列的定义，通项公式，中项。 2、处理课本P128练习，重点是第三题。 二、等比数列的有关性质：

1、与首末两项等距离的两项积等于首末两项的积。 与某一项距离相等的两项之积等于 这一项的平方。 2、若m?n?p?q，则aman?apaq。

例一：1、在等比数列?an?，已知a1?5，a9a10?100，求a18。 解：∵a1a18?a9a10，∴a18?a9a10100??20 a15 2、在等比数列?bn?中，b4?3，求该数列前七项之积。 解：b1b2b3b4b5b6b7??b1b7??b2b6??b3b5?b4

∵b4?b1b7?b2b6?b3b5，∴前七项之积32?3?37?2187 3、在等比数列?an?中，a2??2，a5?54，求a8， 解：a8?a5q3?a5?2??3a554?54???1458 a2?2 另解：∵a5是a2与a8的等比中项，∴542?a8??2

∴a8??1458

三、判断一个数列是否成GP的方法：1、定义法，2、中项法，3、通项公式法 例二：已知无穷数列10,10,10,??10 求证：（1）这个数列成GP

1， 10 （3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。

051525n?15,??，

（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的

a10证：（1）n?n?2?105（常数）∴该数列成GP。

an?1105n?151 （2）

an1101?n?4?10?1?，即：an?an?5。

10an?510510p?15q?15n?15 （3）apaq?1010?10p?q?25，∵p,q?N，∴p?q?2。

p?q?25?1?n5???10?，（第p?q?1项）。 ?? ∴p?q?1?1且?p?q?1??N，∴10例三：设a,b,c,d均为非零实数，a2?b2d2?2b?a?c?d?b2?c2?0， 求证：a,b,c成GP且公比为d。

证一：关于d的二次方程a2?b2d2?2b?a?c?d?b2?c2?0有实根，

∴??4b2?a?c??4a2?b2?0，∴?b2?ac?0

2????????2 则必有：b2?ac?0，即b2?ac，∴a,b,c成GP 设公比为q，则b?aq，c?aq2代入

a2?a2q2d2?2aqa?aq2d?a2q2?a2q4?0 ∵q2?1a2?0，即d2?2qd?q2?0，即d?q?0。 证二：∵a2?b2d2?2b?a?c?d?b2?c2?0 ∴a2d2?2abd?b2?b2d2?2bcd?c2?0

22 ∴?ad?b???bd?c??0，∴ad?b，且bd?c

????????????

bc??d。 ab四、作业：《课课练》P127-128课时7中 练习4~8。

P128-129课时8中 例一，例二，例三，练习5，6，7，8。

∵a,b,c,d非零，∴

第十教时

教材：等比数列的前n项和

目的：要求学生掌握求等比数列前n项的和的（公式），并了解推导公式所用的方法。 过程：

一、复习等比数列的通项公式，有关性质，及等比中项等概念。 二、引进课题，采用印度国际象棋发明者的故事，

即求s64?1?2?4?8???262?263 ① 用错项相消法推导结果，两边同乘以公比：

2S64?2?4?8?16???263?264 ②

②－①：S64??1?264?264?1这是一个庞大的数字>1．84×10， 以小麦千粒重为40g计算，则麦粒总质量达7000亿吨——国王是拿不出来的。 三、一般公式推导：设Sn?a1?a2?a3????an?1?an ①

乘以公比q，qSn?a2?a3????an?1?an?qan ②

19a1?qana1?aqna11?qn①?②：?1?q?Sn?a1?qan，q?1时：Sn? ??1?q1?q1?q q?1时：Sn?na1

注意：（1）a1,q,n,Sn和a1,an,q,Sn各已知三个可求第四个， （2）注意求和公式中是q，通项公式中是qnn?1??不要混淆，

（3）应用求和公式时q?1，必要时应讨论q?1的情况。

四、例1、（P131，例一略）——直接应用公式。

例2、（P131，例二略）——应用题，且是公式逆用（求n），要用对数算。 例3、（P131-132，例三略）——简单的“分项法”。 例4、设数列?an?为1,2x,3x,4x??nx23n?1??x?0?求此数列前n项的和。

3n?1 解：（用错项相消法） Sn?1?2x?3x?4x????nx xSn?x?2x?3x?????n?1?x232n?12 ①

?nxn ② ?nxn，

①?②?1?x?Sn?1?x?x????x

n?1

当x?1时，

1?xn1?xn?nxn?nxn?11??1?n?xn?nxn?1n?nx?? ?1?x?Sn? 1?x1?x1?x Sn?1??1?n?xn?nxn?1?1?x?2

当x?1时，Sn?1?2?3?4???n?n?1?n?

2 五、小结：（1）等比数列前n项和的公式，及其注意点，（2）错项相消法。 再介绍两种推导等比数列求和公式的方法，（作机动） 法1：设Sn?a1?a2?a3????an ∵?an?成GP，∴

aa2a3a4??????n?q a1a2a3an?1 由等比定理：

a1?a2?a3????anS?a1?q,即：n?q

a1?a2?a3????an?1Sn?ana1?anqa11?qn 当q?1时，Sn? ?1?q1?q 当q?1时，Sn?na1

法2：Sn?a1?a1q?a1q2????a1qn?1 ?a1?qa1?a1q?a1q????a1q ?a1?qSn?1?a1?q?Sn?an?

从而：?1?q?Sn?a1?anq?当q?1时Sn????2n?2?

a1?anq（下略）

1?q 当q?1时Sn?na1 六、作业：P132-133 练习 ①，②，③

习题3．5 ①，②，③，④，⑤

第十一教时

教材：等比数列《教学与测试》第40、41课

目的：通过处理有关习题以达到复习、巩固等比数列的有关知识与概念的目的。 过程：

一、复习：等比数列的有关概念，等比数列前n项和的公式

二、处理《教学与测试》第40课：

例一、（P83）先要求x，还要检验（等比数列中任一项an?0, q?0） 例二、（P83）注意讲：1?“设”的技巧

2? 区别“计划增产台数”与“实际生产台数”

例三、（P83）涉及字母比较多（5个），要注意消去a2, a4

1例四、（备用题）已知等比数列{an}的通项公式an?3?()n?1且：

2bn?a3n?2?a3n?1?a3n，求证：{bn}成GP

1 证：∵an?3?()n?1

2111∴bn?a3n?2?a3n?1?a3n?3()3n?3?3()3n?2?3()3n?1

222111211?3()3n?3(1??)?()3n?3

22442 ∴

bn?11?()3 ∴{bn}成GP bn2三、处理《教学与测试》第41课：

例一、（P85）可利用等比数列性质a1an = a2 an?1, 再结合韦达定理求出a1与

an（两解），再求解。

例二、（P85）考虑由前项求通项，得出数列{an}，再得出数列{

1和——注意：从第二项起是公比为的GP ．．．．21}，再求an例三、（P85）应用题：先弄清：资金数=上年资金×（1+50%）?消费基金。

然后逐一推算，用数列观点写出a5，再用求和公式代入求解。

例四、（备用题）已知数列{an}中，a1=?2且an+1=Sn，求an ,Sn 解：∵an+1=Sn 又∵an+1=Sn+1? Sn ∴Sn+1=2Sn

∴{Sn}是公比为2的等比数列，其首项为S1= a1=?2, ∴S1= a1×2n?1=

?2n

∴当n≥2

时, an=Sn?Sn?1=?2n?1 ∴an??2??n?1??2(n?1) (n?2)例五、（备用题）是否存在数列{an}，其前项和Sn组成的数列{Sn}也是等比

数列，且公比相同？

解：设等比数列{an}的公比为q，如果{Sn}是公比为q的等比数列，则：

Sn?S1qn?1?a1qn?1∴

?na1?而Sn??a1(1?qn)??1?qq?1q?1

q?1时,Sn?a1qn?1?na1S(n?1)a1n?1即：n?1???q?1得n?1?n(矛盾)

Snna1n1?qSn1?qnSn?11?qn?111?q） q?1时,Sn?a1qn?1?a（即：??q?q?1(矛盾) n所以，这样的等比数列不存在。

四、作业：《教学与测试》P84、P86 练习题

第十二教时

教材：等比数列综合练习

目的：系统复习等比数列的概念及有关知识，要求学生能熟练的处理有关问题。 过程：

一、处理《教学与测试》P87第42课习题课（2） 1、“练习题”1 选择题。

Pn 2、（例一）略：注意需用性质。

3、（例三）略：作图解决： A P1 P3 P4 P2 解：APn?AB?BP1?P1P2?P2P3?P3P4??????1?Pn?1Pn

nB

?a?aana?2??????1?n 222n2???1???11n1? ?a?1??2??????1?n??a?1?n?1?

2?3?2??22二、补充例题：

1、在等比数列?an?中，a1a3?36,a2?a4?60,Sn?400，求n的范围。 解：∵a1a3?a1q2?36，∴a1q??6

又∵a2?a4?a1q1?q260，且1?q2?0，∴a1q?0，

2???a?2?a1??2 ∴a1q?6,1?q2?10解之：?1 或??q?3?q??3a11?qn23n?1当a1?2,q?3时，Sn???400?3n?401，∴n?6

1?q2（∵35?27336?729） 当a1??2,q??3时，Sn∵n?N*且必须为偶数

∴n?8，（∵??3???2187,??3??6561）

78n???2???3??1?n??400???3??????4?801，

?1?2、等比数列?an?前n项和与积分别为S和T，数列??的前n项和为S'，

?an??S? 求证：T??'?

?S?2n证：当q?1时，S?na1，T?a1，S'?nnn， a1?S? ∴??S???1?n????na2n（成立） ??1??a1?T2，

?n???a?1??n?1?na11?qna11?q?nqn?1'2当q?1时，S?， ,T?a1q,S???1n?11?q1?qa1q?q?1???1?1???S?2n?1?'??a1q?S?n??nn?n?1???n12（成立） ??a1q2??T，

??2综上所述：命题成立。

3、设首项为正数的等比数列，它的前n项之和为80，前2n项之和为6560，且前

n项中数值最大的项为54，求此数列。

?a11?qn?80?1???1?q 解：??1?qn?82?qn?81 2n?a11?q?6560?2???1?q???? 代入（1）， a11?qn?80?1?q?，得：a1?q?1?0，从而q?1， ∴?an?递增，∴前n项中数值最大的项应为第n项。 ∴a1qn?1?54，∴

???q?1?qn?1?q?qnn?1?54,qn?1qn?81?54?27,q?n?1?3，

q ∴a1?2，∴此数列为2,6,18,54,162??

4、设数列?an?前n项之和为Sn，若S1?1,S2?2且Sn?1?3Sn?2Sn?1?0?n?2?， 问：数列?an?成GP吗？

解：∵Sn?1?3Sn?2Sn?1?0，∴?Sn?1?Sn??2?Sn?Sn?1??0，即an?1?2an?0 即：

an?1?2?n?2?，∴?an?成GP?n?2? ana2?2， a1 又：a1?S1?1,a2?S2?S1?1,?1?n?1? ∴?an?不成GP，但?n?2?时成GP，即：an??n?1。

?n?2??2三、作业：《教学与测试》P87-88 练习题 3，4，5，6，7

补充：1、三数成GP，若将第三数减去32，则成AP，若将该等差数列中项减

22638 去4，以成GP，求原三数。（2，10，50或,,）

999 2、一个等比数列前n项的和为Sn?48,前2n项之和S2n?60，求S3n。 （63）

?1? 3、在等比数列中，已知：a3?4,S6?36，求an。 ??2n?1?

?7? 《精编》P176-177 第2，4题。

第十三教时

教材：数列求和

目的：小结数列求和的常用方法，尤其是要求学生初步掌握用拆项法、裂项法和

错位法求一些特殊的数列。

过程：

一、提出课题：数列求和——特殊数列求和

常用数列的前n项和：1?2?3????n?n(n?1) 21?3?5????(2n?1)?n2

n(n?1)(2n?1)

6n(n?1)213?23?33????n3?[]

212?22?32????n2?二、拆项法：

例一、（《教学与测试》P91 例二）

1111求数列1?1,?4,2?7,3?10,??,n?1?(3n?2),??的前n

aaaa

项和。

解：设数列的通项为an，前n项和为Sn，则 an??Sn?(1?1an?1?(3n?2)

111?2????n?1)?[1?4?7????(3n?2)] aaa(1?3n?2)n3n2?n?当a?1时，Sn?n?

221n(1?3n?2)nan?1(3n?1)na 当a?1时，Sn? ??n?122a?an?11?a三、裂项法：

1?例二、求数列

6666,,,??,,??前n项和 1?22?33?4n(n?1)?11?6(?)

n(n?1)nn?1解：设数列的通项为bn，则bn?

11111?Sn?b1?b2????bn?6[(1?)?(?)????(?)]223nn?1?6(1?16n)?n?1n?1

例三、求数列

111,,??,,??前n项和 1?21?2?31?2????(n?1)1211??2(?)

1?2????(n?1)(n?1)(n?2)n?1n?2 解：?an?11111111n?)]?2(?)? ?Sn?2[(?)?(?)????(

2334n?1n?22n?2n?2四、错位法：

1例四、求数列{n?n}前n项和

21111 解：Sn?1??2??3???????n?n ①

2482111111Sn?1??2??3????(n?1)?n?n?n?1 ② 248162211(1?n)1111112?n 两式相减：Sn???????n?n?n?1?212248222n?11?2

?Sn?2(1?1n1n?)?2?? 2n2n?12n?12n例五、设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn?(求数列{an}的前n项和

解：取n =1，则a1?(a1?12)?a1?1 2an?12)(n?N*)， 2又： Sn?n(a1?an)n(a1?an)a?12?(n) 可得：

222?an??1(n?N*)?an?2n?1

?Sn?1?3?5????(2n?1)?n2

五、作业：《教学与测试》P91—92 第44课 练习 3，4，5，6，7

补充：1. 求数列?1,4,?7,10,??,(?1)n(3n?2),??前n项和

??3n?1n为奇数?2 (Sn??)

3n?n为偶数?22n?32n?1 2. 求数列{n?3}前n项和 (8?n?3)

22 3. 求和：(1002?992)?(982?972)????(22?12) (5050)

4. 求和：1×4 + 2×5 + 3×6 + ??+ n×(n + 1)

n(n?1)(n?5)()

3 5. 求数列1，(1+a)，(1+a+a2)，??，(1+a+a2+??+an?1)，??前n项和

a?0时，Sn?n a?1时，Sn?n(n?1)2

n(n?1)a?an?1a?1、0时，Sn?(1?a)2

第十四教时

教材：数列的应用

目的：引导学生接触生活中的实例，用数列的有关知识解决具体问题，同时了解

处理“共项” 问题。

过程： 五、例题：

1．《教学与测试》P93 例一）大楼共n层，现每层指定一人，共n人集中到

设在第k层的临时会议室开会，问k如何确定能使n位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最短。（假定相邻两层楼梯长相等） 解：设相邻两层楼梯长为a，则

S?a(1?2????k?1)?0?[1?2????(n?k)] n2?n?a[k?(n?1)k?]2n?1当n为奇数时，取k? S达到最小值

2nn?2当n为偶数时，取k?或 S达到最大值

222．在［1000，2000］内能被3整除且被4除余1的整数有多少个？

2解：不妨设an?3n,bm?4m?1(m,n?N*)，

则{cp}为{ an }与{ bn }的公共项构成的等差数列 (1000≤cp≤2000) ∵an = bm ,即：3n=4m+1 令n=3 , 则m=2 ∴c1=9且有上式可知：

d=12

∴cp=9+12(p?1) ( p?N*)

711?p?166 1212∴p取84、85、??、166共83项。

由1000≤cn≤2000解得：833．某城市1991年底人口为500万，人均住房面积为6 m2，如果该城市每

年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万m2，求2000年底该城市人均住房面积为多少m2？(精确到0.01) 解：1991年、1992年、??2000年住房面积总数成AP

a1 = 6×500 = 3000万m2，d = 30万m2，a10 = 3000 + 9×30 = 3270

1990年、1991年、??2000年人口数成GP

b1 = 500 , q = 1% , b10?500?1.019?500?1.0937?546.8

3270?5.98m2 546.84．（精编P175 例3）从盛有盐的质量分数为20%的盐水2 kg的容器中倒

∴2000年底该城市人均住房面积为：

出1 kg盐水，然后加入1 kg水，以后每次都倒出1 kg盐水，然后再加

入1 kg水，

问：1.第5次倒出的的1 kg盐水中含盐多少g？

2.经6次倒出后，一共倒出多少k盐？此时加1 kg水后容器内盐水

的盐的质量分数为多少？

解：1.每次倒出的盐的质量所成的数列为{an}，则：

11 a1= 0.2 kg , a2=×0.2 kg , a3= ()2×0.2 kg

22111 由此可见：an= ()n?1×0.2 kg , a5= ()5?1×0.2= ()4×0.2=0.0125

222kg

1 2.由1.得{an}是等比数列 a1=0.2 , q=

210.2(1?6)6a(1?q)2?0.3937?S6?1?kg511?q1?2 0.4?0.3937?50.006250.0062?52?0.003125

六、作业：《教学与测试》P94 练习 3、4、5、6、7

《精编》P177 5、6

第十五教时

教材：等差、等比数列的综合练习

目的：通过复习要求学生对等差、等比数列有更深刻的理解，逐渐形成熟练技巧。 过程：

七、小结：等差、等比数列的定义、通项公式、中项公式、性质、求和公式。 八、处理《教学与测试》P81第39课 习题课（1）

1．基础训练题

2．例一 由Sn求an 用定义法判定?an?成AP 例二 关键是首先要判定d?0或d?0 九、处理《教学与测试》P89第43课 等差数列与等比数列

1．例一 “设”— 利用中项公式 — 求解 2．例二 “设”的技巧，然后依题意列式，再求解

3．例三 已知数列?an?中，Sn是它的前n项和，并且Sn?1?4an?2，a1?1 1? 设bn?an?1?2an，求证数列?bn?是等比数列；

2? 设cn?an，求证数列?cn?是等差数列。 2n证：1? ∵a1?1 ∴a1?a2?S2?4a1?1?a2?5，b1?a2?2a1?3

∵Sn?1?4an?2 Sn?2?4an?1?2 两式相减得：an?2?4an?1?an 即：an?2?2an?1?2(an?1?2an) ∵bn?an?1?2an ∴bn?1?2bn 即?bn?是公比为2的等比数列 bn?3?2n?1 2? ∵cn?anan?1anan?1?2anbnc?c???? ∴ n?1nnn?1nn?1n?1222223 ∴?cn?成AP 4 将bn?3?2n?1代入：cn?1?cn?十、

1、P90“思考题”在△ABC中，三边a,b,c成等差数列，a,b,c也

成等差数列，求证△ABC为正三角形。

证：由题设，2b?a?c且2b?a?c ∴4b?a?c?2ac

∴a?c?2ac 即 (a?c)2?0 从而a?c ∴b?a?c （获证）

2、“备用题” 三数成等比数列，若将第三个数减去32，则成等差数列，若

再将这等差数列的第二个数减去4，则又成等比数列，求原来三个数。 解：设原来三个数为a,aq,aq2 则必有 2aq?a?(aq2?32) ① (aq?4)2?a(aq2?32) ②

4a?25代入②得：a?2或a? 从而q?5或13 a9226338 ∴原来三个数为2,10,50或,,

999十一、 作业：《教学与测试》P81-82 练习题 3、4、5、6、7

由①： q?P90 5、6、7、8

第十六教时

教材：数列极限的定义

目的：要求学生首先从实例（感性）去认识数列极限的含义，体验什么叫无限地

“趋近”，然后初步学会用??N语言来说明数列的极限，从而使学生在学习数学中的“有限”到“无限”来一个飞跃。

过程：

十二、 实例：1?当n无限增大时，圆的内接正n边形周长无限趋近于圆周长 2?在双曲线xy?1中，当x???时曲线与x轴的距离无限趋近于0 十三、 提出课题：数列的极限 考察下面的极限

11111? 数列1：,2,3,?,n,?

10101010 ①“项”随n的增大而减少 ②但都大于0

1 ③当n无限增大时，相应的项n可以“无限趋近于”常数0

10123n,? 2? 数列2：,,,?,234n?1 ①“项”随n的增大而增大 ②但都小于1

n ③当n无限增大时，相应的项可以“无限趋近于”常数1

n?111(?1)n,? 3? 数列3：?1,,?,?,23n ①“项”的正负交错地排列，并且随n的增大其绝对值减小

(?1)n ②当n无限增大时，相应的项可以“无限趋近于”常数

n引导观察并小结，最后抽象出定义：

一般地，当项数n无限增大时，无穷数列?an?的项an无限地趋近于

某个数a（即an?a无限地接近于0），那么就说数列?an?以a为极限，或者说a是数列?an?的极限。 （由于要“无限趋近于”，所以只有无穷数列才有极限）

数列1的极限为0，数列2的极限为1，数列3的极限为0 十四、 例一 （课本上例一）略

注意：首先考察数列是递增、递减还是摆动数列；再看这个数列当n无

限增大时是否可以“无限趋近于”某一个数。

练习：（共四个小题，见课本）

十五、 有些数列为必存在极限，例如：an?(?1)n?2或an?n都没有极限。 2例二 下列数列中哪些有极限？哪些没有？如果有，极限是几？

1?(?1)n1?(?1)n 1．an? 2．an? 3．an?an(a?R)

22?35?? 4．an?(?1)n?1? 5．an?5?????n?3?n解：1．?an?：0,1,0,1,0,1,?? 不存在极限

222．?an?：2,0,,0,,0,?? 极限为0

353．?an?：a,a2,a3,?? 不存在极限

334．?an?：3,?,1,?? 极限为0

24n???5555255?????5．?an?：先考察??：?,,?,,?? 无限趋近于0 ?3??392781?????? ∴ 数列?an?的极限为5

十六、 关于“极限”的感性认识，只有无穷数列才有极限 十七、 作业： 习题1

补充：写出下列数列的极限：1? 0.9,0.99,0.999,?? 2? an?1 n234561111??3? ?(?1)n?1?? 4? ,,,,?? 5? an?1?????n

2345242n??第十七教时

教材：数列极限的定义（??N）

目的：要求学生掌握数列极限的??N定义，并能用它来说明（证明）数列的极

限。 过程：

十八、 复习：数列极限的感性概念 十九、 数列极限的??N定义

?(?1)n?111a:?1,,?,,?? 1．以数列?为例 ?nn234??

观察：随n的增大，点越来越接近

?1 0

12(?1)n1?0?可以充即：只要n充分大，表示点an与原点的距离an?0?nn

分小

进而：就是可以小于预先给定的任意小的正数

(?1)n111?0?< 2．具体分析：(1) 如果预先给定的正数是，要使an?0?nn1010?(?1)n?只要n?10即可 即：数列??的第10项之后的所有项都满足

n??(2) 同理：如果预先给定的正数是(3) 如果预先给定的正数是

13n?10，同理可得只要即可 3101k(k?N*)n?10，同理可得：只要即可 k10 3．小结：对于预先给定的任意小正数?，都存在一个正整数N，使得只要n?N

就有an?0

4．抽象出定义：设?an?是一个无穷数列，a是一个常数，如果对于预先给定

的任意小的正数?，总存在正整数N，使得只要正整数n?N，就有

an?a

记为：liman?a 读法：“?”趋向于 “n??” n无限增大时

n?? 注意：①关于?：?不是常量，是任意给定的小正数

②由于?的任意性，才体现了极限的本质

③关于N：N是相对的，是相对于?确定的，我们只要证明其存在 ④an?a：形象地说是“距离”，an可以比a大趋近于a，也可以比a小趋

近于a，也可以摆动趋近于a

二十、 处理课本 例二、例三、例四

例三：结论：常数数列的极限是这个常数本身 例四 这是一个很重要的结论 二十一、 用定义证明下列数列的极限：

3n?132n?1? 1．limn?1 2．limn??2n?1n??22证明1：设?是任意给定的小正数

2n?1111n?1???2? 要使 即： nnn?222

两边取对数 n?log21?? 取 N??log2? ????介绍取整函????1数

2n?12n?1?1??恒成立 ∴limn?1 当n?N时，

n??22n 证明2：设?是任意给定的小正数

要使

1?513n?13? n?? ??? 只要

2n?154?22n?123n?13?51?取N???? 当n?N时，???恒成立

2n?12?4?2?∴lim3n?13?

n??2n?12第十八教时

教材：数列极限的四则运算

目的：要求学生掌握数列极限的四则运算法则，并能运用法则求数列的极限。 过程：

二十二、 复习：数列极限的??N定义 二十三、 提出课题：数列极限的四则运算法则

1．几个需要记忆的常用数列的极限 1n?1a?a(a为常数) qn?0 (q?1) lim?1 lim lim?0 limn??n??nn??n??n 2．运算法则：

如果 liman?A limbn?B

n??n??anA(a?b)?A?B limn?,(B?0) 则： lim(a?b)?A?B limn??n??n??bBnnnn3．语言表达（见教材，略）

此法则可以推广到有限多个数列的情形

123n,? 它的极限为1 解释：如数列 ,,,?,234n?1 2,2,2,?,2,? 它的极限为2

123n,?它的极限为3 则 2,2,2,?,2?234n?1

nn)?lim2?lim?2?1?3

n??n??n?1n?1n??二十四、 处理课本 例一、例二 略

即：lim(2? 例三（机动，作巩固用）求下列数列的极限：

2n?11．lim

n??3n?21112?lim(2?)lim2?lim2?02n??n??nn?n??解：原式=limn???

n??2223?033?lim(3?)lim3?limn??n??nnn??n145??35n3?n2?4nn?5 2．lim 解：原式=limn??6n3?n?1n??1166?2?3nn514??322355n?n?40nnn3．lim 解：原式=lim??0

n??6n5?n?1n??1166?4?5nn?a0?b(p?q)pp?1p?2a0x?a1x?a2x???ap?0??0 (p?q) 小结：．．．limn??bxq?bxq?1?bxq?2???b012q?不存在(p?q)?? 例四、首项为1，公比为q的等比数列的前n项的和为Sn，又设Tn?limTn

n??Sn，求Sn?1Sn1?qn解： Tn??(q?1)

Sn?11?qn?1 当q?1时，limTn?1

n???1???q???11当q?1时，limTn?lim??n?

n??n??q?1???q???q??当q?1时，limTn?limn??nnn?1n???1

当q?1时，limTn不存在

n??二十五、 小结：运算法则、常用极限及手段

二十六、 作业：练习1、2 习题1 补充：（附纸）

第十九教时

教材：数列极限的运算

目的：继续学习数列极限的运算，要求学生能熟练地解决具体问题。 过程：

一、复习数列极限的运算法则

例一、先求极限limn??n2?n?1，再用ε—N定义证明。 22n?1解：limn??n?n?1?lim22n?1n??21?11?nn2?1 122?2nn2?n?112n?1任给??0,| ?|?2n2?122(2n2?1)则

2n?12n2n1???

2(2n2?1)4n2?22n2n(?当n?1时,n2?1,2n2?2,?4n2?2?2n2) 令

1??nn?1?1取N?[]

?n2?n?11当n?N时,|?|??22n?12恒成立?limn??n2?n?11? 222n?1二、先求和，后求极限：

例二、求极限

1．lim(n??1473n?2??????) 2222nnnnn(3n?1)1? （指出：原式=0+0+0+??+0=0 是错误的） 22n2解：原式=limn??2．limn??1?2?2?3????n(n?1) 2n(n?3)

解：原式=limn??n(n?1)(2n?1)n(n?1)?2n3?6n2?4n162?lim? 33n(n2?3)6(n?3n)n??11113．lim[(1?)(1?2)(1?4)??(1?2n?1)]

222n??2(1??)(1?2n?1122n?11解：?1?122n?122)2n?111?(?1?22)n?1211??1?122 122n?1n1?12?n?1

1111?11?11?1?1?222232n2n22222?原式?lim[??????]?lim?2 11111n??n??1?1?21?221?2n?11?222224．已知数列{an}中an?1，求limSn

n(n?1)(n?2)n??解：?

1111?[?]

n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)1111111{(?)?(?)????[?]}21?22?32?33?4n(n?1)(n?1)(n?2)1111[?]?22(n?1)(n?2)4?原式?limn??

?limn??三、先共扼变形，再求极限：

例三、求极限

1．limn??n(n?1?n)

解：原式=limn??n(n?1?n)(n?1?n)n?1?n11?1?1n?1 2?limn??nn?1?n

?limn??2．limn??n?1?nn?2?n

解：原式=limn??(n?1?n)(n?1?n)(n?2?n)(n?2?n)(n?2?n)(n?1?n)n?2?n2(n?1?n)?1 2

?limn??3．lim(1?2?3????n?1?2?3????(n?1))

n??解：原式?lim(n??n(n?1)n(n?1)?)?lim22n??11111(1?)?(1?)2n2n22nn(n?1)n(n?1)?22

?limn???四、作业：

34561．求数列,,,,?的极限为 1 23451111??????]? 1 2．lim[2?33?4n(n?1)n??1?23．lim(1?n??111?????n)? 2 2424．lim(n??31473n?2??????)? 22222n?1n?1n?1n?15．limn??..3n?1?2n?1? 9 3n?1?2n?13 116．0.27=

7．用数列极限的定义证明：limn??n21?

3n2?13510155n123n,?和,,,?,,? 8．已知数列,,,?,345n?2345n?2(1)求证：这两个数列的极限分别是5和1；

(2)作一个无穷数列，使它的各项为这两个数列的对应项的和，

验证所得数列的极限等于这两个数列的极限的和。

第二十教时

教材：求无穷递缩等比数列的和

目的：要求学生掌握无穷递缩等比数列的概念及其求和公式，并能解决具体问题。 过程： 一、例题：

1111例一、已知等比数列,,,?n,?，求这个数列的前n项和；并求当n??

2482时，这个和的极限。

11n[1?()]a1(1?qn)2112 解：公比 q? , Sn???1?n 11 21?q21?22?limSn?limn??n??11(1?n)?1?lim()n?1?0?1

22n??14 18 解释：“无穷递缩等比数列”

1? 当n??时，数列为无穷递缩等比数列相对于以前求和是求有限项（n

项）

2? 当 | q | <1时，数列单调递减，故称“递缩” 3? 数列{an}本身成GP

a1(1?qn)小结：无穷递缩等比数列前n项和是Sn?

1?q当n??时， S?limSn?limn??n??a1(1?qn)a?lim1?lim(1?qn)

1?qn??1?qn???S?a1 其意义与有限和是不一样的 1?q,0.0003,??各项和。 例二、求无穷数列0.3,0.03,0.003330.03131? 解：a1?0.3?,q? ?S?10??

193100.3101?10例三、化下列循环小数为分数：

1．2.13 2．1.1321

????13??13131313解：1．2.13?2??????2?100?2??2

11001000099991?100

13??321321321132044 2．1.1321?1.1?4?7?10????1.1?10000?1 ?1199903331010101?310小结法则： 1． 2．

纯循环小数化分数：将一个循环节的数作分子，分母是99??9，其中9的个数是循环节数字的个数。

混循环小数化分数：将一个循环节连同不循环部分的数减去不循环部分所得的差作分子，分母是99?900?0，其中9的个数与一个循环节的个数相同，0的个数和不循环部分的数字个数相同。

例四、某无穷递缩等比数列各项和是4，各项的平方和是6，求各项的立方

和。

解：设首项为a ，公比为 q，( | q | <1 ) 则

?a?4(1)??1?q?a2??6(2)2??1?q1)?(2)得：?(????21?q8524 ??q?代入(1)：a?1?q31111243)a76811∴各项的立方和：S? ??53671?q31?()113(例五、无穷递缩等比数列{an}中，lim(a1?a2????an)?n??1，求a1的范2围。

解：

a11??q?1?2a11?q2?0?|q|?1?0?|1?2a1|?1

?0?a1?1?1 ?0?4a12?4a1?1?1??a?1?2??0?a1?1且a1?1 2二、小结： 三、作业：

31111???(?)n?1??? 1．1???4392732．lim[3?(n??1n)]?3，则a的取范围是 a>3 或 a<1 a?2

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