最优证券组合投资模型

最优证券组合投资模型

最优证券组合投资模型潘慕琳一

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Ma k wi ro t z以证券收益率的方差作为投资风险的测度建立了组合证券投资决策模型，进行最优并

证券组合的选择。M a k wi ro t z提出其核心问题是要解决证券投资市场上各种各样的投资机会，资者如何投

根据各种证券的特征和自身偏好来选择理想的证券组合 .括证券组合投资资金的比例。使投资风险最包以小而预期收益最大。M ak wi ro t z以后发展中又有了单指数模型 ( igeid x,本资产定价模型 ( Sn l n e )资 CAP ) M和套利定价理论 ( T)它们构成了现代证券组合投资理论的主要内容。 AP .

本文主要以弥补 Ma k wi .论中的某些不足之处 .三方面对原理论进行了修正 .出了新的目标 ro t理 z从提函数和最优投资组合投资模型。三方面分别是“资偏好曲线”优证券组合，损失概率和临界收益辜 这投最以为目标的最优证券组合投资模型和以半方差 ( s )险测度为基础 .基础确定的风险目标函数的组合 E—h风该证券最优化模型。

二、 ak wi M ro t z没有从理论上告诉特定投资者如何根据自己的风险偏好在两个组合中进行选择。如即何在二组合之间的投资比倒 .文利用特定投资者对风险的偏好 .计出一种确定的特定投资者的最优投本设资组合方法 .

投资者的风险厌恶程度代表了投资者的投资倾向 .可通过以下参数的选择来进行， R为元风险它设，

收益率。为市场证券组合的收益率和风险。t - ( m—Rf=a r,≥ 0 a o h ) Rm l aR -￣ ) () r,∈[ .o r的增函数。且渐进于 h,险型投资者偏向于高风险，收益。以随着超额收益 r的增加。险偏好 a以递增的速度增加 . o冒高所风 保守型投资者更看重收益。着超颈收益 r的增长。随 a开始的速度增量小于零。超额收益增长到很高程度当时， a的速度增量大于零 .无限近 h。并 o一

般地.要令p 1 :{+a和

j一 . o,∈[,) a lB o1 a=h￣

是线

性关系 .践中只要对 8行选择即可。实进

S 0到 1变化过程，就是投资者从极度风险厌恶状态到完全风险暴露状态变化的过程 .同的投从也不资可以选择不同的 B。值

而 R= -6 1为经过原点斜率为 -代表投资偏好程度. =…()=我们又叫它“投资偏好曲线”。(- - )投资者偏好曲线的最优证券组合。设资本市场线 C L方程为 R=Rt ( - R )f m… ( ) M+ Rm- t 66 2

f:1 Q R -6 S¨一

8 m R m - R—Sm’—+— —

…

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( 1一 a) m Rt 6

(一 a 6— a Rm— Rt 1 )m ( )’

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球以上方程组解.

i。 1一 a) m— a( =( 6 S Rm— Rt )

a 6m R t

即 B点的坐标为 (。 o。是该投资者的最优均值方差证券组合， Rf B(。R。点的有向线段长度为 R)它记到艿。 ) d . 8。 ) m的有向线段长度为 d。从 m到 B(。R。的有向线段长度为一d .且，算时总是从线 ,B(oRo到尉 6. ):而计段的左端开始向右度量。则 .面加负号 .否前则一

31—

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(一 a 8— a( 1 )m Rm— Rf‘ )I

d=:当 ( . 在 R= R )

=I

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8方时 .即 B(。 R )落在线段 R下意 a.。必 h内 .时有￣ - (一 aa此 Rm- 1 )m< 0 .

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t !十d=————_ 『d l—

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[ 1 )m-￣ Rm- R ) (一￣ a - ( - f]·、 ( m-Rt m:/ R - )+6a R{ ( -￣ 8 -— Rm - Rf 1 )m a( )(1一口) m— a m a R==, dl 一 d+ d—— l 2

_——一 r -

d2 —— z d+ d l

即资把例 资投到风证上把余例 资投到险券 投者比为睾的金资无险券·剩比为芊的金资风证组合 m上。

当组合 (, 在 R=·￣的上方时 .优均值方差组保落在射线 R R ) 1 t -a最上 m点的右边，时有此Rm ( - 1) 1- 1 am> 0, :> 1, - d.--

I- -

< o

此结果说明投资者是冒险蛩的 .

不仅把自己的全部资金投资到风险证券组合 m上，且卖空比例为他而的无风险证券，把所得资金全部投资到风险证券组合 m上并

该方法具有简单便、效和可操作性特点，资者只要在 0和 l之间选择自己的风险偏好因子 .方有投就能很快确定他的最优投资组合。

三、证券投资风险的度来看 . ak wi从 M ro t z以证券收益率的方差作为铡度 .是 M ak wi模型在实但 ro t z

际应用中也存在差不足之处：.大量数据表明 R= ( .: . .券收益率并不一定服从正态分布。 1 R。R… R )证2 M a k wi . ro t z模型对风险最小化的同时 .使得证券组合的收益也相对减少，对 M a k w t也针 ro i z模型不足之处 .文提出以证券收益率 R的半方差为证券投资风险的测度 (为 E s风险测度 )本记 -h。 E—h风险测度下的投资决策模型虽然可以避免 Ma k wi关于证券收益率正态分布的局限性 .是 s ro t z但

在具体应用中也存在以下的问题： )券组合的风险表达式比较复杂 .复杂性超过了 M ak wi 1证其 r o t方产 z的左风险度，为实际计算带来了困难。2该风险测度并未很好地解决 Ma k w t“险厌恶假设” )这 ) ro i z的风。3

证券投资的风险来源于期望收益率高于期望收益率时 .是无风险的 M ak wi则 ro t型没有考虑到这种无 z模风险情况的存在，以在对证券组合的风险所最小化的同时 .使组合投资收益不能达到最大 .— h风也 Es

险测度模型虽然考虑到这种无风险情况的存在 .是该模型只对风险最小化 .没有对收益最大化。但而本文以 Es—h风险测度为基础 .出了一种兼顾风险和收益的最优化风险目标函数，建立了组合投提并资决策模型 .出了该模型的解法及有效边界的确定方法。给

2 .最优化风险目标函数及投资决策模型投资者在权衡证券的投资收益和风险时，常以其在证券市场中的经验对不同的有价证券选择不同通的预期收益率 R i l 2 . )所在一个证

券组合中，该以 R。 ( … . )标准来确定证券投资 (:,… m,应= R R为的风险 .券的实际收益率 R.为一个随机变量 .证作只有当其低于预期收益率 R o时 .产生投资证券投资才的风险 .券的实际收益率 R.为一个随机变量 .有当其低于预期惧益率 Ro时 .产生投资风险；当证作只才而

实际收益率高于顶期收益率时，可以认为投资于该证券是无风险的，设一个证券组合的收益率分别为则假R: ( 一 )根据文献 l 3所定义的关于证券收益率的半方差 .券组合的风险 m Q 它反映低于 R R, 证— R o的收益率的离散程度，而 Q m则反映高于 Ro的证券收益率的离散程度 ., 的值越大 .明证券 ‘Q m‘,说

收益率越高于 R从而证券组合的收益率 Rp也就越大 .以 .们提出如下的组合证券投资模型。 o.所我m i on一 ( n￣‘ J

一

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st ..三∞= 1

0≤∞≤ 1一 1,…, ) ( 2, m

为了求得该模型的一个有效解，们定义如下的最优化风险目标函数我/(∞)=三三 i∞一三三∞ “ 0 ( 2)

其中 8 E[ R一 R ) ( )] 8 EE R. R ( R0] (一 Q—— Q一是投资者 = C 一 R一R0一，= J (一 ) R一 ) f ) J 对于不同的有价证券所愿意接受的最低收益率，风险目标函数可以简记为：该i f( )一∞ n￣ o n一∞一∞ n∞ t Rp一 R≥ R .,

f兰 :1L 0≤∞≤ 1 一】2…。,,

( 3

其中 Ro o是投资者对于证券组合所愿意接受的最低投资收益率。定理 1组合证券投资模型 ( )最优解，模型 ( )有效解。 3的是 3的 证明 (证法 )设 0不是模型 ()有效解。存在 0反假 0 3的则 0使得0 Q一 0< 0’Q一0’ 0 00:0 0 0 Q 0≥∞ Q一 0 0 0 0 0

或者 0 Q一 0≤∞’ 0 0 0 o Q一 0

0Q 0≥ 0’ 0 0 0 0 Q一 0 0

那么 0 0 Q一一 Q') 0∞ ( 0( 。∞< Q

一一 Q一)0 0

最优化风险目标函数分析：决策模型 ( ) .优化目标函数为 f ) Q一0 Q—对其最小化时，在 3中最 ( 0-,一

方面使投资风险 Q—最小化，一方面使投资收益最大化，为 Q 另因 反映高于预期收益率的实际

收益率的离散程度，其最大化会使组合投资收益 Rp最大化。对

对于模型 ( )选择的证券组合，果 f ) 0说明该证券组合的风险可能性大于收益可能性， 3所如 (≥ . 理性的投资者在这种情况下不投资于该证券组合， f ) 0时，明该证券组合的风险可能性小于收当 (≤说益右能性，资者可以按照投资权重进行组合证券投资，这种决策方案是 M ak wi模型 ( ) E s投而 ro t z 1和— h风

险测度模型 ()不能提供的。 2所 组合证券投资决策模型的求解，们所提出的决策模型 ( )线性约束条件下的二次规划问题，以我 3是所模型 ( )以通过二次规划的求解方法得到最优投资权重。 5可 在允许卖空的条件下 (合证券投资决策模型 ( ),掉≥ 0的约束条件 )令 Q= Q一一 Q一，组 3中去， R一(, …, ∞= ( 1∞,,J ), RIR2, R ),∞, 2… n F一 (,,。 ),且 m 1 1… 1并A—

— I:R, BII l I 1 R∞一

那么，型 ( )最优解 w和最小化目标函数值分别为模 3的∞’一一 A An一 A Bf( )一 B An一。 ) ( )￣ o’ ( A一 B

如果将矩阵 ( A )表示为 AQ ( AD-I ) A' -'=

该函数的图象在 f一 R ( ) p平面直角坐标系中是开口向左的抛物线。

在不允许卖空的条件下，合证券投资决策模型即为模型即为模型 ( )其求解过程及证券组合有效组 3,边界的确定方法可参见文献[—]证券组合的有效边界 f ) 56, (一Rp平面直角坐标系中一系列开口向右的，抛物线连结而成。

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