线性代数必须熟练掌握的方法1213
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《线性代数》课程必须熟练掌握的方法
周海港整理 2007年12月13日
1
行列式的计算方法:
(1) 运用性质化为上(下)三角形行列式;
(2) 运用按行(列)展开,化为低一阶的行列式; (3) 运用分块行列式的性质; (4) 运用递推公式;
(5) 运用特殊形式的行列式,如范德蒙行列式的公式; (6) |?A|??n|A|; (7) |AB|?|A||B|;
(8) |A|??1?2??n,?i是A的特征值;
【典型题目】:(p12-21)例7,例8,例9,例10,例11,例12,例13; (p26-28)6. 8.(2)(3)(4)(6),9; (p55-56)14,24, (p135)12,13
2
可逆矩阵的判定方法及求逆阵方法: (1) A?E, (2) |A|?0,(A,E)?(E,A?1);
A?1?1*A; |A| (3) AB?E(或BA?E), (4) |A|?0,|B|?0,A?1?B;
(AB)?1?B?1A?1.
【典型题目】:(p43)逆矩阵唯一性、定理1、定理2、推论的证明; (p44) 性质的证明;(p56)习题21,22,23;(p64)例2,例3 (p78)4,5,6
3
矩阵方程的求解方法:
(1) AX?B,|A|?0?X?AB?1
(A,B)?(E,A?1B)
(2) XA?B,|A|?0?X?BA?1
?A??E??????1? ?B??BA?【典型题目】: (p78)4,5,6
4
分块矩阵的应用:
(1)分块矩阵的乘法的前提条件(i)左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数;
(ii)左边矩阵的列的分块方法与右边矩阵行的分法一致. (2)矩阵按行(列)分块.
(3) Aej??j,eiTA??iTeiTAej??ij.
【典型题目】:(p51)例17,(p56)27,28,(p64)例1,例2,例3(p70)例9
5
初等变换、初等矩阵的应用: (1) 求矩阵的秩; (2) 求可逆矩阵; (3) 解线性方程组; (4) 解矩阵方程;
(5) 求向量组的线性组合; (6) 向量组线性相关性的判断; (7) 求向量组的秩及最大无关组; 【典型题目】:(p78)2,3.
6
求矩阵秩的方法:
(1) 应用初等变换化为阶梯形矩阵; (2) 应用秩的性质;
(3) 应用方程组的解的判定定理; (4) 应用向量组的线性相关性; (5) 应用方程组的解的结构定理.
【典型题目】:(p69)例7,例8,例9;(p77-78)定理7 (p79)9,11,12
7
线性方程组解的判定及求解方法:
(1) n元齐次线性方程组Ax?0有非零解? r ?n ? (2) n元非齐次线性方程组Ax?b
(i) 无解 ?R(A)?R(A? b)? (ii) 有唯一解 ?R(A)?R(A? b)?n? (iii) 有无限多解?R(A)?R(A? b)?n? (3) 矩阵方程AX=B有解 ?R(A)?R(A? B).
【典型题目】:(p74-76)例11,例12,例13; (p79-80)14,15,16,17,18
8
线性表示的方法:
(1)判断一个向量能否由一个向量组线性表示,求线性表示的系数: (i)找到x1? x2? ???? xm? 使x1a1?... ?xmam?b (ii) R(A)=R(A,b);
(iii) 解线性方程组Ax? b. (2)向量组线性表示
(i)矩阵方程AX=B可解; (ii) R(A )= R(A, B). (3)向量组的等价
(i) 矩阵方程AX=B, BY=A可解; (ii) R(A )= R(B )= R(A, B). 【典型题目】:
9
向量组的线性相关性:
(1) 向量组A? a1? a2? ???? am 线性相关:
? (i) )(定义)存在不全为零的必有k1,k2,???=,km使得 k1a1?k2a2? ??? ?kmam?0; ? (ii)(方程组) Ax=0有非零解; ? (iii)(矩阵) R(A)<m
(2) 向量组A? a1? a2? ???? am 线性无关的充要条件:
? (i) (定义)若 k1a1?k2a2? ??? ?kmam?0, 必有k1=k2=???= km=0; ? (ii) (方程组) Ax=0只有零解; ? (iii) (矩阵) R(A)=m
(3) 若向量组A? a1? a2? ???? am线性相关? 则向量组B? a1? a2? ???? am, am+1也线性相关? 反之? 若向量组B线性无关? 则向量组A也线性无关?
(4) m个n维向量组成的向量组? 当维数n小于向量个数m时一定线性相关? 特别地? n?1 个n维向量一定线性相关?
(5) 设向量组A? a1? a2? ???? am线性无关? 而向量组B? a1? a2? ???? am? b线性相关? 则向量 b必能由向量组A线性表示? 且表示式是唯一的? 【典型题目】:
10 求正交规范基(正交矩阵)的方法:
b1?a1,b2?a2?
[b1,a2]b1,[b1,b1][b1,an][b,a]b1?...?n?1nbn?1.[b1,b1][bn?1,bn?1]......bn?an?
单位化:
e1?bb1,...,en?n. ||b1||||bn||【典型题目】:
11 将二次型化为标准形步骤:
(i)写出二次型对应的对称矩阵A; (ii)求出A的特征值;
(iii)求出特征向量,正交化,单位化; (iv)写出正交矩阵及标准形. 【典型题目】:
12 判断正定矩阵(二次型)的方法
(i)定义;
(ii)特征值全为正;
(iii)(霍尔维茨定理)顺序主子式全为正. 【典型题目】:
13 判断线性空间的方法
(1)集合V上定义加法和数乘运算满足下面8条运算规律: (i)????????
(ii)(???)?????(???)?
(iii)在V中存在零元素0?即, 对任何??V? 都有??0?? ? (iv)对任何??V? 都有?的负元素??V? 也即????0? (v)1???? (vi)?(??)?(??)??
(vii)(???)???????? (viii)?(???)???????
(2) 线性子空间的判断只需验证对加法和数乘运算封闭. 【典型题目】:
14 求线性空间基变换公式,坐标变换公式的方法
(1)基坐标变换公式:
(i)(定义) ?1?a11?1?a21?2? ??? ?an1?n, … ……......………………
?i?a1i?1?a2i?2? ??? ?ani?n; ................................
?n?a1n?1?a2n?2? ??? ?ann?n.
则 (?1? ?2? ???? ?n)= (?1? ?2? ???? ?n)A.
(ii)(定理) 已知(?1? ?2? ???? ?n)= (?1? ?2? ???? ?n)A, (?1? ?2? ???? ?n)= (?1? ?2? ???? ?n)B?
则 (?1? ?2? ???? ?n)=(?1? ?2? ???? ?n)A-1B. (2)基坐标变换公式:
若(?1? ?2? ???? ?n)= (?1? ?2? ???? ?n)A, ?=(?1? ?2? ???? ?n)X=(?1? ?2? ???? ?n)Y, 则X=AY,或Y=A-1X. 【典型题目】:
15 求线性变换的矩阵的方法
(i)(定义) T(?1)?a11?1?a21?2? ??? ?an1?n, … ……......………………
T(?i)?a1i?1?a2i?2? ??? ?ani?n; ................................
T(?n)?a1n?1?a2n?2? ??? ?ann?n.
则T(?1? ?2? ???? ?n)= (?1? ?2? ???? ?n)A,
?a11?a1n??? A??????
?a?a?nn??n1(ii)(定理) 已知T(?1? ?2? ???? ?n)= (?1? ?2? ???? ?n)A,
T(?1? ?2? ???? ?n)= (?1? ?2? ???? ?n)B? (?1? ?2? ???? ?n)=(?1? ?2? ???? ?n)P. 则 B?P?1AP? 【典型题目】:
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