线性代数必须熟练掌握的方法1213

《线性代数》课程必须熟练掌握的方法

周海港整理 2007年12月13日

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行列式的计算方法：

(1) 运用性质化为上（下）三角形行列式；

(2) 运用按行（列）展开，化为低一阶的行列式； (3) 运用分块行列式的性质； (4) 运用递推公式；

(5) 运用特殊形式的行列式，如范德蒙行列式的公式; (6) |?A|??n|A|； (7) |AB|?|A||B|；

(8) |A|??1?2??n,?i是A的特征值；

【典型题目】：(p12-21)例7，例8，例9，例10，例11，例12，例13； （p26-28）6. 8.(2)(3)(4)(6),9； (p55-56)14,24, (p135)12,13

2

可逆矩阵的判定方法及求逆阵方法： (1) A?E, (2) |A|?0,(A,E)?(E,A?1);

A?1?1*A; |A| (3) AB?E(或BA?E)， (4) |A|?0,|B|?0,A?1?B;

(AB)?1?B?1A?1.

【典型题目】：（p43）逆矩阵唯一性、定理1、定理2、推论的证明； (p44) 性质的证明；(p56)习题21，22，23；(p64)例2，例3 (p78)4,5,6

3

矩阵方程的求解方法：

(1) AX?B,|A|?0?X?AB?1

(A,B)?(E,A?1B)

(2) XA?B,|A|?0?X?BA?1

?A??E??????1? ?B??BA?【典型题目】： (p78)4,5,6

4

分块矩阵的应用:

(1)分块矩阵的乘法的前提条件(i)左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数；

(ii)左边矩阵的列的分块方法与右边矩阵行的分法一致． (2)矩阵按行（列）分块.

(3) Aej??j,eiTA??iTeiTAej??ij.

【典型题目】：(p51)例17，(p56)27,28,(p64)例1，例2，例3(p70)例9

5

初等变换、初等矩阵的应用： (1) 求矩阵的秩； (2) 求可逆矩阵； (3) 解线性方程组； (4) 解矩阵方程；

(5) 求向量组的线性组合； (6) 向量组线性相关性的判断； (7) 求向量组的秩及最大无关组； 【典型题目】：(p78)2,3.

6

求矩阵秩的方法：

(1) 应用初等变换化为阶梯形矩阵； (2) 应用秩的性质；

(3) 应用方程组的解的判定定理； (4) 应用向量组的线性相关性； (5) 应用方程组的解的结构定理.

【典型题目】：(p69)例7，例8，例9；(p77-78)定理7 (p79)9,11,12

7

线性方程组解的判定及求解方法：

(1) n元齐次线性方程组Ax?0有非零解? r ?n ? (2) n元非齐次线性方程组Ax?b

(i) 无解 ?R(A)?R(A? b)? (ii) 有唯一解 ?R(A)?R(A? b)?n? (iii) 有无限多解?R(A)?R(A? b)?n? (3) 矩阵方程AX=B有解 ?R(A)?R(A? B).

【典型题目】：(p74-76)例11，例12，例13； (p79-80)14,15,16,17,18

8

线性表示的方法：

(1)判断一个向量能否由一个向量组线性表示，求线性表示的系数： (i)找到x1? x2? ???? xm? 使x1a1?... ?xmam?b (ii) R(A)=R(A,b)；

(iii) 解线性方程组Ax? b. (2)向量组线性表示

(i)矩阵方程AX=B可解; (ii) R(A )= R(A, B). (3)向量组的等价

(i) 矩阵方程AX=B, BY=A可解; (ii) R(A )= R(B )= R(A, B). 【典型题目】：

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向量组的线性相关性：

(1) 向量组A? a1? a2? ???? am 线性相关：

? (i) )(定义)存在不全为零的必有k1,k2,???=,km使得 k1a1?k2a2? ??? ?kmam?0； ? (ii)(方程组) Ax=0有非零解； ? (iii)(矩阵) R(A)＜m

(2) 向量组A? a1? a2? ???? am 线性无关的充要条件：

? (i) (定义)若 k1a1?k2a2? ??? ?kmam?0, 必有k1=k2=???= km=0； ? (ii) (方程组) Ax=0只有零解； ? (iii) (矩阵) R(A)=m

(3) 若向量组A? a1? a2? ???? am线性相关? 则向量组B? a1? a2? ???? am, am+1也线性相关? 反之? 若向量组B线性无关? 则向量组A也线性无关?

(4) m个n维向量组成的向量组? 当维数n小于向量个数m时一定线性相关? 特别地? n?1 个n维向量一定线性相关?

(5) 设向量组A? a1? a2? ???? am线性无关? 而向量组B? a1? a2? ???? am? b线性相关? 则向量 b必能由向量组A线性表示? 且表示式是唯一的? 【典型题目】：

10 求正交规范基(正交矩阵)的方法:

b1?a1,b2?a2?

[b1,a2]b1,[b1,b1][b1,an][b,a]b1?...?n?1nbn?1.[b1,b1][bn?1,bn?1]......bn?an?

单位化:

e1?bb1,...,en?n. ||b1||||bn||【典型题目】：

11 将二次型化为标准形步骤：

(i)写出二次型对应的对称矩阵A; (ii)求出A的特征值；

(iii)求出特征向量,正交化,单位化; (iv)写出正交矩阵及标准形. 【典型题目】：

12 判断正定矩阵(二次型)的方法

(i)定义;

(ii)特征值全为正；

(iii)(霍尔维茨定理)顺序主子式全为正. 【典型题目】：

13 判断线性空间的方法

(1)集合V上定义加法和数乘运算满足下面8条运算规律: (i)????????

(ii)(???)?????(???)?

(iii)在V中存在零元素0?即, 对任何??V? 都有??0?? ? (iv)对任何??V? 都有?的负元素??V? 也即????0? (v)1???? (vi)?(??)?(??)??

(vii)(???)???????? (viii)?(???)???????

(2) 线性子空间的判断只需验证对加法和数乘运算封闭. 【典型题目】：

14 求线性空间基变换公式，坐标变换公式的方法

(1)基坐标变换公式:

(i)(定义) ?1?a11?1?a21?2? ??? ?an1?n, … ……......………………

?i?a1i?1?a2i?2? ??? ?ani?n; ................................

?n?a1n?1?a2n?2? ??? ?ann?n．

则 (?1? ?2? ???? ?n)= (?1? ?2? ???? ?n)A.

(ii)(定理) 已知(?1? ?2? ???? ?n)= (?1? ?2? ???? ?n)A, (?1? ?2? ???? ?n)= (?1? ?2? ???? ?n)B?

则 (?1? ?2? ???? ?n)=(?1? ?2? ???? ?n)A-1B． (2)基坐标变换公式:

若(?1? ?2? ???? ?n)= (?1? ?2? ???? ?n)A, ?=(?1? ?2? ???? ?n)X=(?1? ?2? ???? ?n)Y, 则X=AY,或Y=A-1X. 【典型题目】：

15 求线性变换的矩阵的方法

(i)(定义) T(?1)?a11?1?a21?2? ??? ?an1?n, … ……......………………

T(?i)?a1i?1?a2i?2? ??? ?ani?n; ................................

T(?n)?a1n?1?a2n?2? ??? ?ann?n．

则T(?1? ?2? ???? ?n)= (?1? ?2? ???? ?n)A，

?a11?a1n??? A??????

?a?a?nn??n1(ii)(定理) 已知T(?1? ?2? ???? ?n)= (?1? ?2? ???? ?n)A,

T(?1? ?2? ???? ?n)= (?1? ?2? ???? ?n)B? (?1? ?2? ???? ?n)=(?1? ?2? ???? ?n)P． 则 B?P?1AP? 【典型题目】：

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