卓越学案数学必修2(人教A版)-第二章2.1 2.1.3 2.1.4课后分层训

一、选择题

1．三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是()

A．相交B．平行

C．直线在平面内D．平行或直线在平面内

[导学号10710112]解析：选A．因为棱台是由棱锥被一个与底面平行的平面截去一个小棱锥以后得到的几何体，延长各侧棱恢复成棱锥的形状，可知三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交．

2．在长方体ABCD A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(平面AA1C1C，平面ABC1D1，

平面ADC1B1，平面BB1D1D，平面A1BCD1及平面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有()

A．2个B．3个

C．4个D．5个

[导学号10710113]解析：选B．与AA1平行的平面有平面BCC1B1，平面CC1D1D，平面BB1D1D．

3．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系是()

A．平行B．斜交

C．平行或相交D．垂直

[导学号10710114]解析：选C．

如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，AB?平面ABCD，C1D1?平面A1B1C1D1，

C1D1?平面CDD1C1，AB∥C1D1，但平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABCD与平面CDD1C1相交．

4．已知a，b表示两条不同的直线，α表示平面，若a∥b，a∥α，则b与α的位置关系是()

A．b∩α＝A B．b∥α

C．b?αD．b∥α或b?α

[导学号10710115]解析：选D．如图所示，

在正方体ABCD A1B1C1D1中，直线A1D1∥BC，直线A1D1与平面AC没有公共点，

即A1D1∥平面AC，由图知直线BC?平面AC；另外，直线B1C1∥A1D1，又直线B1C1与平面AC无公共点，即B1C1∥平面AC，由图知直线A1D1∥平面AC．因此满足题意的直线b 与α的位置关系是b∥α或b?α，故选D．

5．下列三个结论：

(1)两条直线没有公共点，则这两条直线平行；

(2)两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；

(3)一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．

其中正确的个数为()

A．0 B．1

C．2 D．3

[导学号10710116]解析：选A．(1)两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面；

(2)两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线三种位置关系都有可能；

(3)一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线也可在这个平面内或与这个平面相交．

二、填空题

6．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与平面AA1D1D平行的平面是________；与平面A1B1C1D1平行的平面是________；与平面BDD1B1平行的棱有________．

[导学号10710117]答案：平面BB1C1C平面ABCD AA1和CC1

7．若直线a?平面α，直线b?平面β，a，b是异面直线，则α，β的位置关系是__________．

[导学号10710118]解析：在正方体ABCD A1B1C1D1中，AB?平面ABCD，B1C1?平面A1B1C1D1，B1C1?平面BCC1B1，AB，B1C1是异面直线，但平面ABCD∥平面A1B1C1D1，

平面ABCD与平面BCC1B1相交．

答案：平行或相交

8．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为__________．

[导学号10710119]解析：取CD的中点为G，连接EG，FG(图略)，由题意知平面EFG 与正方体的左、右侧面所在平面重合或平行，从而EF与正方体的左、右侧面所在的平面平行或EF在平面内．所以直线EF与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交．故直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4．

答案：4

三、解答题

9．已知三个平面α，β，γ．如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c?β，c∥b．

(1)判断c与α的位置关系，并说明理由；

(2)判断c与a的位置关系，并说明理由．

[导学号10710120]解：(1)c∥α．因为α∥β，所以α与β没有公共点，又c?β，所以c与α无公共点，则c∥α．

(2)c∥a．因为α∥β，所以α与β没有公共点，又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则a?α，b?β，且a，b?γ，所以a，b没有公共点．由于a，b都在平面γ内，因此a∥b，又c∥b，所以c∥a．10．一条直线经过平面内一点，又经过平面外一点，判断这条直线与平面的位置关系，并说明理由．

[导学号10710121]解：

这条直线与平面相交，如图所示，设A∈l，A∈α，B?α，B∈l，因为A∈l，A∈α，即直线l与平面α有公共点，所以直线l与平面α不平行．假设直线l与平面α不相交，则l ?α，又B∈l，所以B∈α，这与题设B?α矛盾，所以l?α．所以直线l与平面α相交．

1．若直线l1和l2是异面直线．l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是()

A．l与l1，l2都不相交

B．l与l1，l2都相交

C．l至多与l1，l2中的一条相交

D．l至少与l1，l2中的一条相交

[导学号10710122]解析：选D．法一：如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确，选D．

法二：因为l分别与l1，l2共面，故l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交．若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，从而l1∥l2，与l1，l2是异面直线矛盾，故l至少与l1，l2中的一条相交，选D．

2．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有()

A．3个B．4个

C．6个D．7个

[导学号10710123]解析：选D．把不共面的四个定点看作四面体的四个顶点，平面α可以分为两类：

图(1)

第一类：如图(1)所示，四个定点分布在α的一侧1个，另一侧3个，此类中α共有4个．

第二类：如图(2)所示，四个定点分布在α的两侧各两个，此类中α共3个．

综上，α共有4＋3＝7(个)，故选D．

图(2)

3．若不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A、B、C都在平面α外，则平面ABC与平面α的位置关系为__________．

[导学号10710124]解析：当A、B、C在平面α的同侧时，两平面平行；当A、B、C 在平面α的两侧时，两平面相交．

答案：平行或相交

4．(选做题)如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A?l，B?l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．

[导学号10710125]解：平面ABC与β的交线与l相交．证明如下：

∵AB与l不平行，且AB?α，l?α，

∴AB与l一定相交．设AB∩l＝P，则P∈AB，P∈l．

又∵AB?平面ABC，l?β，∴P∈平面ABC，P∈β．

∴点P是平面ABC与β的一个公共点，而点C也是平面ABC与β的一个公共点，且P，C是不同的两点，

∴直线PC就是平面ABC与β的交线，

即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P，

∴平面ABC与β的交线与l相交．

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