北京市大兴区2013届高三4月一模数学文试题

大兴区2013年高三统一练习

数学（理科）

一、选择题

（1）复数(1+i)2的值是

（A）2 （B）-2 （C）2i （D）-2i （2）设集合A={x|x2>1}，B={x|log2x>0|}，则A?B等于 （A）{x|x（C）{x|x?1}

（B）{x|x?0}

（D）{x|x??1，或x?1}

开始 ??1}

（3）执行如图所示的程序框图．若n?4，则输出s的值是 （A）-42 （B） -21 （C） 11 （D） 43

(4)设y1?40.7,y2?80.45,y3?()?1.5，则

21输入n s=1,i=1 （A）y3>y1>y2 （C）y1>y2>y3

（B ）y2>y1>y3 （D）y1>y3>y2

i≤n? i?i?1 is=s+(-2) (5)已知平面?,?，直线m,n，下列命题中不正确的是 ．（A）若m??，m??，则?∥? （B）若m∥n，m??，则n?? （C）若m∥?，????n，则m∥n （D）若m??，m??，则???．

1?cosxcosx2是 否 输出s 结束 （6）函数f(x)?（A）在(?

ππππ,)上递增 （B）在(?,0]上递增，在(0,)上递减

2222

（C）在(?ππππ,)上递减 （D）在(?,0]上递减，在(0,)上递增

2222（7）若实数a,b满足a2+b2≤1，则关于x的方程x2-2x+a+b=0无实数根的概率为 ．（A）（C）

14 （B）

（D）

34

3π+24ππ-24π（8）抛物线y=x2(-2≤x≤2)绕y轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的棱长是

（A）1 （B）2 （C）22 （D）4

二、填空题

（9）函数f(的最小正周期是 x)?sinxcosx（10）已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率为

程是

????????????AB=2，AD=1，（11）已知矩形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，则(AE+AF) AC32，实轴长为4，则双曲线的方

等于 ．

禳镲118=an+2，a1=1，数列镲的前n项和为，则n= . 睚镲anan+137镲铪（12）已知数列{an},an+1?x??21?1x?0（13）已知函数f(x)?? 在区间[-1,m]上的最大值是1，则m的取值范围是

2x?0??x ．

（14）已知函数f(x)是定义在(0,+ )上的单调递增函数，且x?N*时，f(x)?N*，若

f[f(n)]=3n，则f(2)= ；f(4)+f(5)=

三、解答题

（15）（本小题满分13分）

在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,cosA=(Ⅰ)求a的值；

(Ⅱ)求sinC及?ABC的面积． （16）（本小题满分13分）

一次考试结束后，随机抽查了某校高三(1)班5名同学的数学与物理成绩如下表： 学生 数学 物理 A1 A235，B=π4，b=2．

A3 A4 A5 89 87 91 89 93 89 95 92 97 93 (Ⅰ)分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定；

(Ⅱ)从以上5名同学中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率．

（17）（本小题满分13分）

如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，DABC是等边三角形，D是BC的中点. （Ⅰ）求证：直线A1D⊥B1C1；

（Ⅱ）判断A1B与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论.

（18）（本小题满分14分） 已知函数f(x)=(ax+1)ex．

（I）求函数f(x)的单调区间； （Ⅱ）当a>0时，求函数f(x)在区间[-2,0]上的最小值．

19.（本小题满分14分）

已知动点P到点A（-2,0）与点B（2,0）的斜率之积为?(Ⅰ)求曲线C的方程；

(Ⅱ)若点Q为曲线C上的一点，直线AQ，BQ与直线x=4分别交于M、N两点，直线BM与椭圆的交点为D。求线段MN长度的最小值。

(20)（本小题满分13分）

已知数列{an}的各项均为正整数，且a1?a2???an，

n14，点P的轨迹为曲线C。

设集合Ak?{x|x???a，?iii?1i??1，或?i?0，或?i?1}（1≤k≤n）。

k性质1 若对于?x?Ak，存在唯一一组?i（i?1,2,???，k）使x?为完备数列，当k取最大值时称数列{an}为k阶完备数列。

k??aii?1i成立，则称数列{an}性质2 若记mk?（1≤k≤n），且对于任意?aii?1x≤mk，x?Z，都有x?Ak成立，则称数

列{an}为完整数列，当k取最大值时称数列{an}为k阶完整数列。

性质3 若数列{an}同时具有性质1及性质2，则称此数列{an}为完美数列，当k取最大值时{an}称为k阶完美数列；

（Ⅰ）若数列{an}的通项公式为an?2n?1，求集合A2，并指出{an}分别为几阶完备数列，几阶完整数列，几阶完美数列；

n?1（Ⅱ）若数列{an}的通项公式为an?10，求证：数列{an}为n阶完备数列，并求出集

合An中所有元素的和Sn。

（Ⅲ）若数列{an}为n阶完美数列，试写出集合An，并求数列{an}通项公式。

2013年高三统一练习 高三数学（文科）参考答案

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

（1）C （2）A （3）C （4）A （5）C （6）D （7）D （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

(9)π (10)152x24?y25?1

(11) (12)18

3,15

(13)??1,1? (14)三、解答题（共6小题，共80分） （15）（本小题共13分） 解:（Ⅰ）因为cosA?35,A是?ABC内角 ,所以sinA?45,

由正弦定理:

asinA?bsinB 知

a45?8 得: a? π5sin42 （Ⅱ）在?ABC 中, sinC?sin[??(A?B)]?sin(A?B)

4512283522721072102825 ?sinAcosB?cosAsinB?????

?ABC 的面积为:s?absinC???225

（16）（本小题共13分） 解：

12??

（I) 5名学生数学成绩的平均分为:(89?91?93?95?97)?93

51 5名学生数学成绩的方差为:

15[(89?93)?(91?93)?(93?93)?(95?93)?(97?93)]?8

122222 5名学生物理成绩的平均分为:(87?89?89?92?93)?90

5 5名学生物理成绩的方差为:

15[(87?90)?(89?90)?(89?90)?(92?90)?(93?90)]?22222245

因为样本的数学成绩方差比物理成绩方差大,所以,估计高三(1)班总体物理成绩比数学成绩稳定.

(Ⅱ)设选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分为事件A

5名学生中选2人包含基本事件有：

A1A2, A1A3,A1A4,A1A5, A2A3,A2A4,A2A5,A3A4,A3A5,A4A5, 共10个.

事件A包含基本事件有：A1A4,A1A5,A2A4,A2A5,A3A4,A3A5,A4A5,共7个. 则 P(A)?7

10 所以，5名学生中选2人, 选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率为

(17)（本小题共13分）

解: (Ⅰ)在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1?面ABC，所以AA1?BC, 在等边?ABC 中，D是BC中点，所以AD?BC

因为 在平面A1AD中，A1A?AD?A，所以 BC?面A1AD 又因为A1D?面A1AD，所以，A1D?BC

在直三棱柱ABC?A1B1C1中，四边形BCC1B1是平行四边形，所以B1C1//BC 所以，A1D?B1C1

(Ⅱ) 在直三棱柱ABC?A1B1C1中，四边形ACC1A1是平行四边形， 在平行四边形ACC1A1中联结A1C,交于AC1点O,联结DO. 故O为A1C中点.

在三角形A1CB中,D 为BC中点,O为A1C中点,故DO//A1B.

710.

因为DO?平面DAC1,A1B ?平面DAC1,所以,A1B//面 ADC 故,A1B与面 ADC1平行 （18）（本小题共14分） 解：定义域为R

f(x)?(ax?1)e?(ax?1)(e)?e(ax?a?1)

''xx'x1

(Ⅰ)①当a?0时，f'(x)?ex?0,则f(x)的单调增区间为(??,??) ②当a?0时，解f'(x)?0得, x?? 则f(x)的单调增区间为(?

a?1aa?1a,解f'(x)?0得, x??a?1,??),f(x)的单调减区间为(??,?a?1aaa?1, )

aa?1a?1 则f(x)的单调增区间为(??,?),f(x)的单调减区间为(?,??)

aa?a?0?(Ⅱ) ①当?a?1??2??a? ③当a?0时，解f'(x)?0得, x??,解f'(x)?0得, x??aa?1,

时, 即 当a?1时, f(x)在(?2,?a?1a)上是减函数,在

(?a?1a,0)上是增函数,则函数f(x)在区间[-2,0]上的最小值为

f(?a?1a)??ae?a?1a

?a?0? ②当?a?1??2??a?时, 即 当0?a?1时, f(x)在[?2,0]上是增函数,

则函数f(x)在区间[-2,0]上的最小值为f(?2)?1?2ae2

综上: 当a?1时, f(x)在区间[-2,0]上最小值为?ae?a?1a 当0?a?1时, f(x)在区间[-2,0]上最小值为

1?2ae2

（19）（本小题共14分）

解：（Ⅰ）设P(x,y)，由题意知 kAP?kBP??x2214，即

yx?2?yx?2??14(x??2)

化简得曲线C方程为：（Ⅱ）思路一

4?y?1 (x??2)

满足题意的直线AQ的斜率显然存在且不为零，设其方程为y?k(x?2)，

由（Ⅰ）知kQB?k??14，所以，设直线QB方程为y??12k1|2k|?14k(x?2)，

当x?4时得N点坐标为N(4,12k)，易求M点坐标为M(4,6k)

1|2k|所以|MN|?6k?=|6k|??2|6k|??23，

当且仅当k??36时，线段MN的长度有最小值23.

思路二：满足题意的直线AQ的斜率显然存在且不为零，设其方程为y?k(x?2)，

?x22?y?1?联立方程：?4

?y?k(x?2)?消元得(4k?1)x?16kx?16k?4?0， 设Q(x0,y0)，M(x1,y1),N(x2,y2)，

16k4k222222由韦达定理得：?2?x0??4?1，

所以x0?所以Q(?8k4k222?2?14k2，代入直线方程得y0?，又B(2,0)

4k?0???24k4k2?1，

2?8k1?4k,1?4k2)所以直线BQ

的斜率为,1?4k22?8k1?4k2214k

以下同思路一

y0x0?2思路三：设Q(x0,y0)，则直线AQ的方程为y?(x?2)

直线BQ的方程为y?6y0x0?22y0x0?2y0x0?2(x?2)

6y0当x当x?4，得yM??4，得yN?，即M(4,，即N(4,)x0?2)x0?22y0

则MN?6y0x0?2?2y0x0?2?2y0?2x0?8x0?42

MN2?4y0?(22x0?8x0?42)

2又x02?4y02?4 所以MN2?4(x0?4)4?x022

利用导数，或变形为二次函数求其最小值。 （20）（本题满分13分）

解：（Ⅰ）A2?{?4,?3,?2,?1,0,1,2,3,4}； {an}为2阶完备数列，n阶完整数列，2阶完美数列；

n（Ⅱ）若对于?x?An，假设存在2组?i及?i（i?1,2?,n）使x?02n?102n?1??aii?1i成立，则有

?110??210????n10(?1??1)10

0??110??210????n10n?1，即

?(?2??2)10???(?n??n)101?0，其中?i,?i?{?1,0,1}，必有

?1??1,?2??2??n??n，

n所以仅存在唯一一组?i（i?1,2?,n）使x???aii?1i成立，

即数列{an}为n阶完备数列；

nniinSn?0，对?x?An，x???ai?1，则?x????iai??(??i)ai，因为?i?{?1,0,1}，

i?1i?1则??i?{?1,0,1}，所以?x?An，即Sn?0

（Ⅲ）若存在n阶完美数列，则由性质1易知An中必有3n个元素，由（Ⅱ）知An中元素成对出现（互为相反数），且0?An，又{an}具有性质2，则An中3n个元素必为

3?12nAn?{?,?3?32n3?33?1,??1,0,1,?,}。

22nnan?3n?1

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