2022版高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.2空间向量的基本定

3.1.2 空间向量的基本定理 学习目标 1.了解共线向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.2.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题.3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念．

知识点一 共线向量定理与共面向量定理

1．共线向量定理

两个空间向量a ，b (________)，a ∥b 的充要条件是________________，使________________．

2．向量共面的条件

(1)向量a 平行于平面α的定义

已知向量a ，作OA →＝a ，如果a 的基线OA ________________________，则就说向量a 平行于

平面α，记作________．

(2)共面向量的定义

平行于____________的向量，叫做共面向量．

(3)共面向量定理

如果两个向量a ，b __________，则向量c 与向量a ，b 共面的充要条件是____________，使____________．

知识点二 空间向量分解定理

1．空间向量分解定理

如果三个向量a ，b ，c ________，那么对空间任一向量p ，________________________，使__________．

2．基底

如果三个向量a ，b ，c 是三个____________，则a ，b ，c 的线性组合____________能生成所有的空间向量，这时a ，b ，c 叫做空间的一个________，记作________，其中a ，b ，c 都叫做__________．表达式x a ＋y b ＋z c ，叫做向量a ，b ，c 的____________或____________．

类型一 向量共线问题

例1 如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，

且A 1F →＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线．

反思与感悟 判定向量a ，b (b ≠0)共线，只需利用已知条件找到x ，使a ＝x b 即可．证明点共线，只需证明对应的向量共线．

跟踪训练1 如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，请判断向量EF →与AD →＋BC →是否共线？

类型二 空间向量共面问题

例2 如图所示，已知平行四边形ABCD ，过平面AC 外一点O 作射线OA ，OB ，OC ，OD ，在四条射线上分别取点E ，F ，G ，H ，并且使OE OA ＝OF OB ＝OG OC ＝OH OD

＝k ，求证：E ，F ，G ，H 四点共面．

反思与感悟 (1)利用四点共面求参数

向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值．

(2)证明空间向量共面或四点共面的方法

①向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p ＝x a ＋y b ，则向量p ，a ，b 共面．

②若存在有序实数组(x ，y ，z )使得对于空间任一点O ，有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x ＋y ＋z

＝1成立，则P ，A ，B ，C 四点共面．

③用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行．

跟踪训练2 已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外一点M ，满足OM →＝13OA →＋13OB →＋13

OC →，判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面．

类型三 空间向量分解定理及应用

例3 如图所示，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，P 是CA ′

的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，点Q 在CA ′上，且CQ ∶QA ′＝4∶1，用基底{a ，b ，c }表示以下向量．

(1)AP →；(2)AM →；(3)AN →；(4)AQ →.

反思与感悟 用基底表示向量的步骤

(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．

(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．

(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a ，b ，c }可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a ，b ，c ，不能含有其他形式的向量．

跟踪训练3 如图所示，空间四边形OABC 中，G 、H 分别是△ABC 、△OBC 的重心，设OA →＝a ，

OB →＝b ，OC →＝c .试用向量a ，b ，c 表示向量GH →.

1．对于空间的任意三个向量a ，b,2a －b ，它们一定是( )

A ．共面向量

B ．共线向量

C ．不共面向量

D ．既不共线也不共面的向量

2．已知空间四边形ABCD ，点E 、F 分别是AB 与AD 边上的点，M 、N 分别是BC 与CD 边上的

点，若AE →＝λAB →，AF →＝λAD →，CM →＝μCB →，CN →＝μCD →，则向量EF →与MN →满足的关系为( ) A.EF →＝MN →

B.EF →∥MN → C ．|EF →|＝|MN →| D ．|EF →|≠|MN →|

3．设e 1，e 2是平面内不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，

B ，D 三点共线，则k ＝________.

4．以下命题：

①两个共线向量是指在同一直线上的两个向量；

②共线的两个向量互相平行；

③共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量；

④共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量．

其中正确命题的序号是________．

5．已知A ，B ，M 三点不共线，对于平面ABM 外的任意一点O ，判断在下列各条件下的点P 与点A ，B ，M 是否共面．

(1)OB →＋OM →＝3OP →－OA →；

(2)OP →＝4OA →－OB →－OM →.

1．四点P ，A ，B ，C 共面?对空间任意一点O ，都有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x ＋y ＋z ＝1.

2.OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →称为空间平面ABC 的向量表达式．由此可知空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．

3．证明(或判断)三点A 、B 、C 共线时，只需证明存在实数λ，使AB →＝λBC →(或AB →＝λAC →)即

可，也可用“对空间任意一点O ，有OC →＝tOA →＋(1－t )OB →”来证明三点A 、B 、C 共线．

4．空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使MP →＝xMA →＋yMB →，满

足这个关系式的点都在平面MAB 内；反之，平面MAB 内的任一点都满足这个关系式．这个充要条件常用于证明四点共面．

提醒：完成作业第三章 3.1.2

答案精析

问题导学

知识点一

1．b ≠0 存在唯一的实数x a ＝x b

2．(1)平行于平面α或在α内 a ∥α

(2)同一平面 (3)不共线 存在唯一的一对实数x ，y c ＝x a ＋y b 知识点二

1．不共面 存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z p ＝x a ＋y b ＋z c

2．不共面的向量 x a ＋y b ＋z c 基底

{a ，b ，c } 基向量 线性表示式

线性组合

题型探究

例1 证明 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c .

∵A 1E →＝2ED 1→，

A 1F →＝23

FC →，

∴A 1E →＝23A 1D 1→， A 1F →＝25A 1C →.

∴A 1E →＝23AD →＝23

b ，A 1F → ＝25

(AC →－AA 1→) ＝25

(AB →＋AD →－AA 1→) ＝25a ＋25b －25

c . ∴EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25

c ＝25? ??

??a －23b －c . 又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，

∴EF →＝25

EB →.∴E ，F ，B 三点共线． 跟踪训练1 解 设AC 中点为G ，连接EG ，FG ，

∴GF →＝12AD →，EG →＝12

BC →， 又∵GF →，EG →，EF →共面，

∴EF →＝EG →＋GF →＝12BC →＋12AD →＝12

(AD →＋BC →)， ∴EF →与 AD →＋BC →共线．

例2 证明 因为OE OA ＝OF OB ＝OG OC ＝OH OD

＝k ， 所以OE →＝kOA →，OF →＝kOB →，

OG →＝kOC →，OH →＝kOD →.

由于四边形ABCD 是平行四边形，

所以AC →＝AB →＋AD →.

因此EG →＝OG →－OE →＝kOC →－kOA →＝kAC →＝k (AB →＋AD →)＝k (OB →－OA →＋OD →－OA →) ＝OF →－OE →＋OH →－OE →＝EF →＋EH →.

由向量共面的充要条件知E ，F ，G ，H 四点共面．

跟踪训练2 解 MA →，MB →，MC →三个向量共面．

因为OM →＝13OA →＋13OB →＋13

OC →， 所以3OM →＝OA →＋OB →＋OC →，

化简，得(OA →－OM →)＋(OB →－OM →)＋(OC →－OM →)＝0，

即MA →＋MB →＋MC →＝0，

即MA →＝－MB →－MC →，

故MA →，MB →，MC →共面．

例3 解 连接AC ，AD ′.

(1)AP →＝12(AC →＋AA ′→ )＝12(AB →＋AD →＋AA ′→ )＝12

(a ＋b ＋c )． (2)AM →＝12

(AC →＋AD ′→ ) ＝12

(a ＋2b ＋c ) ＝12a ＋b ＋12

c . (3)AN →＝12

(AC ′→ ＋AD ′→ ) ＝12

[(AB →＋AD →＋AA ′→ )＋(AD →＋AA ′→ )] ＝12

a ＋

b ＋

c . (4)AQ →＝AC →＋CQ →＝AC →＋45

CA ′→ ＝AC →＋45(AA ′→ －AC →)＝15AC →＋45

AA ′→ ＝15(AB →＋AD →)＋45

AA ′→ ＝15a ＋15b ＋45

c . 跟踪训练3 解 ∵H 为△OBC 的重心，D 为BC 的中点， ∴OD →＝12

(OB →＋OC →)， OH →＝23OD →＝23×12(OB →＋OC →

)

＝13

(b ＋c )． 又OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋23AD →， AD →＝OD →－OA →，

∴OG →＝OA →＋23×12(OB →＋OC →)－23OA →

＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝13

(a ＋b ＋c )． ∵GH →＝OH →－OG →，

∴GH →＝13(b ＋c )－13

(a ＋b ＋c ) ＝－13

a . 当堂训练

1．A 2.B 3.－8 4.②④

5．解 方法一 (1)原式可变形为OP →＝OM →＋(OA →－OP →)＋(OB →－OP →)＝OM →＋PA →＋PB →.

由共面向量定理的推论知，点P 与点A ，B ，M 共面．

(2)原式为OP →＝2OA →＋OA →－OB →＋OA →－OM →＝2OA →＋BA →＋MA →.

由共面向量定理的推论，可知点P 位于平面ABM 内的充要条件是OP →＝OA →＋xBA →＋yMA →.

而OP →＝2OA →＋BA →＋MA →，

∴点P 与点A ，B ，M 不共面．

方法二 (1)原式可变形为OB →＝3OP →－OA →－OM →.

∵3＋(－1)＋(－1)＝1，

∴点B 与点P ，A ，M 共面，

即点P 与点A ，B ，M 共面．

(2)原式为OP →＝4OA →－OB →－OM →.

∵4＋(－1)＋(－1)＝2≠1，

∴点P 与点A ，B ，M 不共面．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/xqwl.html