2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编7：立体几何

2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编7：立体几何

一、选择题 1 ．（2013年高考重庆卷（文））某几何体的三视图如题(8)所示,则该几何体的表面积为

A．180 【答案】D

B．200

C．220

D．240

（ ）

2 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz中的坐标分别是

(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到正视图可以为

A． B． C． D．

【答案】A 3 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））某几何函数的三视图如图所示, 则该几何的体积为（ ）

A．16 8 B．8 8 C．16 16 D．8 16 【答案】A 4 ．（2013年高考大纲卷（文））已知正四棱锥

（ ）

ABCD A1B1C1D1中，AA1 2AB,则CD与平面BDC1所成角

的正弦值等于（ ）

A．

2

3

B C．

3

D．

1 3

【答案】A 5 ．（2013年高考四川卷（文））一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体可以是（ ）

A．棱柱

B．棱台 C．圆柱

D．圆台

【答案】D 6 ．（2013年高考浙江卷（文））已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示, 则该几何体的体积是（ ）

3333

A．108cm B．100 cm C．92cm D．84cm 【答案】B 7 ．（2013年高考北京卷（文））如图,

在正方体ABCD A1B1C1D1中,P为

对角线BD1的三等分点,则P到各顶点的距离的不同取值有 （ ）

A．3个

【答案】B

B．4个

C．

5个

D．6个

8 ．（2013年高考广东卷（文））某三棱锥的三视图如图2所示,则该三棱锥的体积是（ ）

A．

1

6

B．

1 3

C．

2 3

D．1

【答案】B 9 ．（2013年高考湖南（文））已知正方体的棱长为1,的正方形,的矩形,A

B．1

CD

正视图侧视图

【答案】D 10．（2013年高考浙江卷（文））设m.n是两条不同的直线,α.β是两个不同的平面,

A．若m∥α,n∥α,则m∥n

B．若m∥α,m∥β,则α∥β

C．若m∥n,m⊥α,则n⊥α D．若m∥α,α

⊥β,则m⊥β 【答案】C

俯视图

（ ）

图 2

11．（2013年高考辽宁卷（文））已知三棱柱ABC A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若

AB 3，AC 4,AB AC,AA1 12,则球O的半径为

A（ ）

B．

C．

13 2

D．【答案】C

12．（2013年高考广东卷（文））设l为直线, , 是两个不同的平面,下列命题中正确的是 （ ）

A．若l// ,l// ,则 // C．若l ,l// ,则 //

B．若l ,l ,则 // D．若 ,l// ,则l

【答案】B 13．（2013年高考山东卷（文））一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主) 视图如右图所示该四棱锥侧面积和体积分别是（ ）

A

． B

．8 3

C

．1),

8 3

D．8,8

【答案】B 14．（2013年高考江西卷（文））一几何体的三视图如右所示,则该几何体 的体积为 （ ）

A．200+9π B．200+18π C．140+9π D．140+18π 【答案】A 二、填空题

15．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知正四棱锥O-ABCD的体积为

,底面

边长为,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为________.

【答案】24 16．（2013年高考湖北卷（文））我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆

台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸,则平地降雨量是__________寸.

(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸) 【答案】3 17．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知H是球O的直径AB上一点,AH:HB 1:2,AB 平面 ,H为

垂足, 截球O所得截面的面积为 ,则球O的表面积为_______.

【答案】

9

; 2

18

,该四棱锥的体积为__________.

【答案】3 19．（2013年高考陕西卷（文））某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为________.

【答案】3 20．（2013年高考大纲卷（文））已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆,其公共弦长等于球O的半

3

，且圆O与圆K所在的平面所成角为60 ，则球O的表面积等于______. 2

【答案】16 21．（2013年上海高考数学试题（文科））已知圆柱 的母线长为l,底面半径为r,O是上地面圆心,A、B是

π1

下底面圆周上两个不同的点,BC是母线,如图.若直线OA与BC所成角的大小为,则 ________.

6r

径,OK

22．（2013年高考天津卷（文））已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为

9

, 则正方体的2

棱长为 ______.

23．（2013年高考辽宁卷（文））某几何体的三视图如图所示,则该 几何体的体积是____________.

【答案】16 16 24．（2013年高考江西卷（文））如图,正方体的底面与正四面体的底面在同

一平面α上,且AB//CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_____________.

【答案】4 25．（2013年高考安徽（文））如图,正方体

ABCD A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,

Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平

面截该正方体所得的截面记为S,则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号).

11

时,S为四边形;②当CQ 时,S为等腰梯形; 2231

③当CQ 时,S与C1D1的交点R满足C1R ;

43

① 当0 CQ ④当

3

CQ 1时,S为六边形;⑤当CQ 1时,S

4

【答案】①②③⑤

三、解答题

26．（2013年高考辽宁卷（文））如图,AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点.

(I)求证:BC 平面PAC；

(II)设Q为PA的中点，G为 AOC的重心，求证：QG//平面PBC.

【答案】

27．（2013

年高考浙江卷（文））如图,在在四棱锥

P-ABCD

中,PA⊥面

ABCD,AB=BC=2,AD=CD=7,PA=3,∠ABC=120°,G为线段PC上的点. (Ⅰ)证明:BD⊥面PAC ;

(Ⅱ)若G是PC的中点,求DG与APC所成的角的正切值; (Ⅲ)若G满足PC⊥面BGD,求

PG

的值. GC

【答案】解:证明:(Ⅰ)由已知得三角形

ABC

是等腰三角形,且底角等于30°,且

AB CB

AD CD ABD CBD ABD CBD 60 且 BAC 30 BD DB

,所以;、

BD AC,又因为

(Ⅱ)设

PA ABCD BD PA

BD PAC;

BD AC

,连接GO,所以

AC BD O,由(1)知DO PAC

,

由

已

知

及

(1)

知

:

DG

与面

APC

所

成的角是

,

DGO

BO 1,AO CO

DO

2

1OD2GO

PA tan DGO ,所以DG与面APC

所成的角的

2GO

; ,

因为PC BGD PC GD

,在

(Ⅲ)由已知得到:PC

PDC中

,PD

CD

PC

,设

PG x CG x 10 x2 7 x)2 PG x

PG3

GC GC2

28．（2013年高考陕西卷（文））如图, 四棱柱ABCD-A1B1

C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平

面ABCD, AB AA1(Ⅰ) 证明: A1BD // 平面CD1B1;

(Ⅱ) 求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.

【答案】解: (Ⅰ) 设B1D1线段的中点为O1.

A

1

BD和B1D1是ABCD A1B1C1D1的对应棱 BD//B1D1

.

同理， AO和A1O1是棱柱ABCD A1B1C1D1的对应线段

AO//A1O1且AO//OC A1O1//OC且A1O1 OC 四边形A1OCO1为平行四边形 A1O//O1C.且A1O BD O,O1C B1D1 O1 面A1BD//面CD1B1.(证毕)

(Ⅱ) A1O 面ABCD A1O是三棱柱A1B1D1 ABD的高. 在正方形AB CD中,AO = 1 . 在RT A1OA中，A1O 1.

三棱柱A1B1D1 ABD的体积VA1B1D1 ABD S ABD A1O

所以,三棱柱A1B1D1 ABD的体积VA1B1D1 ABD 1.

1

(2)2 1 1. 2

29．（2013年高考福建卷（文））如图,在四棱锥P ABCD中,PD 面ABCD, AB//DC,AB AD,

BC 5,DC 3,AD 4, PAD 60 .

(1)当正视图方向与向量AD的方向相同时,画出四棱锥P ABCD的正视图.

(要求标出尺寸,并画出演算过程);

(2)若M为PA的中点,求证:DM//面PBC;

(3)求三棱锥D PBC的体积.

【答案】解法一:(Ⅰ)在梯形ABCD中,过点C作CE AB,垂足为E, 由已知得,四边形ADCE为矩形,AE CD 3 ,在Rt BEC中,由BC 5,CE 4,依勾股定理得: BE 3,从而AB 6 ,又由PD 平面ABCD得,PD AD 从而在Rt PDA中,由AD 4, PAD 60

,得PD 正视图如右图所示:

(Ⅱ)取PB中点N,连结MN,CN ,在 PAB中,M是PA中点,

1

AB 3,又CD AB,CD 3 2

∴MN CD,MN CD, ∴四边形MNCD为平行四边形,∴DM CN 又DM 平面PBC,CN 平面PBC, ∴DM 平面PBC

1

(Ⅲ)VD PBC VP DBC S DBC PD,

3

∴MN AB,MN

又

s PBC 6,

PD ,所以VD PBC 解法二:

(Ⅰ)同解法一

(Ⅱ)取AB的中点E,连结ME,DE

在梯形ABCD中,BE CD,且BE CD ,∴四边形BCDE为平行四边形 ∴DE BC,又DE 平面PBC,BC 平面PBC ∴DE 平面PBC,又在 PAB中,ME PB

ME 平面PBC,PB 平面PBC ∴ME 平面PBC.又DE ME E,

∴平面DME 平面PBC,又DM 平面DME ∴DM 平面PBC

(Ⅲ)同解法一

30．（2013年高考广东卷（文））如图4,在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC边上的

点,AD AE,F是BC的中点,AF与DE交于点G,将 ABF沿AF折起,得到如图5

所示的三棱锥

A BCF,其中BC

. 2

(1) 证明:DE//平面BCF; (2) 证明:CF 平面ABF;

2

时,求三棱锥F DEG的体积VF DEG. 3

【答案】

(1)

在等边三角形ABC中,AD AE

(3) 当AD

图 4

ADAE

DBEC,在折叠后的三棱锥A BCF中

也成立, DE//BC , DE 平面BCF,

BC 平面BCF, DE//平面BCF;

(2)在等边三角形ABC中,F是BC的中点,所以AF BC①,

BF

CF

12.

在三棱锥A BCF中,

BC

2, BC2 BF2 CF2 CF BF②

BF CF F CF 平面ABF;

(3)由(1)可知GE//CF,结合(2)可得GE 平面

DFG

.

11111 11 VF DEG VE DFG DG FG GF 32323 3 3

31．（2013年高考湖南（文））如图2.在直菱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=

点E在菱BB1上运动. (I) 证明:AD⊥C1E;

(II) 当异面直线AC,C1E 所成的角为60°时,求三菱子C1-A2B1E的体积. 【答案】解: (Ⅰ) 因为E为动点，所以需证AD 面CBB1C1.

,AA1=3,D是BC的中点,

ABC A1B1C1是直棱柱 BB1 面ABC,且AD 面ABC BB1 AD

又 RT ABC是等腰直角且D为BC的中点， BC AD.

由上两点，且BC BB1 B AD 面CBB1C1且C1E 面CBB1C1 AD C1E.(证毕)

(Ⅱ) CA//C1A1, A1C1E 60 在RT A1C1E中，AE

6.

.

在RT A1B1E中，EB1 2. ABC A1B1C1是直棱柱 EB1是三棱锥E A1B1C1的高

VC1 A1B1E VE A1B1C1

1122

S A1B1C EB1 1 2 所以三棱锥C1 A1B1E的体积为. 3333

32．（2013年高考北京卷（文））如图,在四棱锥P ABCD中,AB//CD,AB AD,CD 2AB,平面

PAD 底面ABCD,PA AD,E和F分别是CD和PC的中点,求证:

(1)PA 底面ABCD;(2)BE//平面PAD;(3)平面BEF 平面PCD

【答案】(I)因为平面PAD⊥平面ABCD,且PA垂直于这个平面的交线AD 所以PA垂直底面ABCD.

(II)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点 所以AB∥DE,且AB=DE 所以ABED为平行四边形,

所以BE∥AD,又因为BE 平面PAD,AD 平面PAD 所以BE∥平面PAD.

(III)因为AB⊥AD,而且ABED为平行四边形 所以BE⊥CD,AD⊥CD,由(I)知PA⊥底面ABCD, 所以PA⊥CD,所以CD⊥平面PAD

所以CD⊥PD,因为E和F分别是CD和PC的中点

所以PD∥EF,所以CD⊥EF,所以CD⊥平面BEF,所以平面BEF⊥平面PCD. 33．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））如图,三棱柱ABC A1B1C1中,CA CB,

AB AA1, BAA1 60 .

(Ⅰ)证明:AB AC;

1

,求三棱柱ABC A1B1C1的体积.

1

(Ⅱ)若AB CB 2,AC1

【答案】【答案】(I)取AB的中点O,连接OCO、OA、A1O1B,

因为CA=CB,所以OC AB,由于AB=A A1,∠BA A1=60,故 AA,B因为OC OA1=O,所以AB 平面OA1C.又A1CC平面OA1C,故AB AC. (II)由题设知

ABC与 AA1B都是边长为

2的等边三角形，

AA

1B都是边长为2的等边三角形，所以

2

OC

OA1又ACAC OA12，故OA1 OC. 11

因为OC AB O,所以OA1 平面ABC，OA1为棱柱ABC-A1B1C1的高，又 ABC的面积S ABC ABC-A1B1C1的体积V=S ABC OA1 3.

34．（2013年高考山东卷（文））如图,四棱锥P ABCD中,AB AC,AB PA, AB∥CD,AB 2CD,

E,F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点

(Ⅰ)求证:CE∥平面PAD;(Ⅱ)求证:平面EFG 平面EMN 【答案】

35．（2013年高考四川卷（文））

如图,在三棱柱ABC A1B1C中,侧棱AA1 底面ABC,AB AC 2AA1 2, BAC 120,

D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,P是线段AD上异于端点的点.

(Ⅰ)在平面ABC内,试作出过点P与平面A1BC平行的直线l,说明理由,并证明直线l 平面ADD1A1; (Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l交AC于点Q,求三棱锥A1 QC1D的体积.

1

Sh,其中S为底面面积,h为高) 3

【答案】解:(Ⅰ)如图,在平面ABC内,过点P作直线l//BC,因为l在

(锥体体积公式:V

平面A1BC外,BC在平面A1BC内,由直线与平面平行的判定定理可知,l//平面A1BC.

由已知,AB AC,D是BC中点,所以BC⊥AD,则直线l AD, 又因为AA1 底面ABC,所以AA1 l,

又因为AD,AA1在平面ADD1A1内,且AD与AA1相交, 所以直线l 平面ADD1A1

(Ⅱ)过D作DE AC于E,因为AA1 平面ABC,所以AA1 DE,

又因为AC,AA1在平面AA1C1C内,且AC与AA1相交,所以DE 平面AA1C1C, 由AB AC 2,∠BAC 120 ,有AD 1,∠DAC 60 , 所以在△ACD中,DE 又S AQC1

C1

1

C

B

B1

33

AD , 22

111

1 A1C1 AA1 1,所以VA1 QC1D VD A1QC1 DE SA1QC1

33262

3

因此三棱锥A1 QC1D的体积为

6

36．（2013年高考湖北卷（文））如图,某地质队自水平地面A,B,C三处垂直向地下钻探,自A点向下钻到A1处发现

矿藏,再继续下钻到A2处后下面已无矿,从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2 d1.同样可得在B,C处正下方的矿层厚度分别为B1B2 d2,C1C2 d3,且d1 d2 d3. 过AB,AC的中点M,N且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1 A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面,其面积记为S中. (Ⅰ)证明:中截面DEFG是梯形;

(Ⅱ)在△ABC中,记BC a,BC边上的高为h,面积为S. 在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量

1

(即多面体A1B1C1 A2B2C2的体积V)时,可用近似公式V估 S中 h来估算. 已知V (d1 d2 d3)S,试

3

判断V估与V的大小关系,并加以证明.

第20题图

【答案】(Ⅰ)依题意A1A2 平面ABC,B1B2 平面ABC,C1C2 平面ABC, 所以A1A2∥B1B2∥C1C2. 又A1A2 d1,B1B2 d2,C1C2 d3,且d1 d2 d3 . 因此四边形A1A2B2B1、A1A2C2C1均是梯形.

由AA2∥平面MEFN,AA2 平面AA2B2B,且平面AA2B2B 平面MEFN ME, 可得AA2∥ME,即A1A2∥DE. 同理可证A1A2∥FG,所以DE∥FG. 又M、N分别为AB、AC的中点,

则D、E、F、G分别为A1B1、A2B2、A2C2、AC11 的中点, 即DE、FG分别为梯形A1A2B2B1、A1A2C2C1的中位线.

1111

因此 DE (A1A2 B1B2) (d1 d2),FG (A1A2 C1C2) (d1 d3),

2222而d1 d2 d3,故DE FG,所以中截面DEFG是梯形. (Ⅱ)V估 V. 证明如下:

由A1A2 平面ABC,MN 平面ABC,可得A1A2 MN. 而EM∥A1A2,所以EM MN,同理可得FN MN. 由MN是△ABC的中位线,可得MN

11

BC a即为梯形DEFG的高, 22

1d d2d1 d3aa

因此S中 S梯形DEFG (1 ) (2d1 d2 d3),

22228即V估 S中 h

ah

(2d1 d2 d3). 8

11ah

又S ah,所以V (d1 d2 d3)S (d1 d2 d3).

236于是V V估

ahahah

(d1 d2 d3) (2d1 d2 d3) [(d2 d1) (d3 d1)]. 6824

由d1 d2 d3,得d2 d1 0,d3 d1 0,故V估 V.

37．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E 分别是AB,BB1的中点.

(1) 证明: BC1//平面A1CD;

(2) 设AA1= AC=CB=2,AB=2

【答案】

,求三棱锥C一A1DE的体积.

38．（2013年高考大纲卷（文））如图,四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90，BC=2AD，△PAB与△PAD 都是边长为2的等边三角形.

(I)证明:PB⊥CD； (II)求点A到平面PCD的距离.

【答案】(Ⅰ)证明:取BC的中点E,连结DE,则ABED为正方形. 过P作PO⊥平面ABCD,垂足为O. 连结OA,OB,OD,OE.

由 PAB和 PAD都是等边三角形知PA=PB=PD, 所以OA=OB=OD,即点O为正方形ABED对角线的交点, 故OE BD,从而PB OE. 因为O是BD的中点,E是BC的中点, 所以OE//CD.因此,PB CD.

(Ⅱ)解:取PD的中点F,连结OF,则OF//PB. 由(Ⅰ)知,PB CD,故OF CD.

1

BD

OP 2

故 POD为等腰三角形,因此,OF PD. 又PD CD D,所以OF 平面PCD.

因为AE//CD,CD 平面PCD,AE 平面PCD,所以AE//平面PCD.

1

因此,O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离,而OF PB 1,

2

又OD

39．（2013年高考安徽（文））如图,四棱锥P ABCD的底面ABCD是 边长为2的菱形, BAD 60 .已知PB PD 2,PA

(Ⅰ)证明:PC BD

(Ⅱ)若E为PA的中点,求三菱锥P BCE的体积. 【答案】解:

(1)证明:连接BD,AC交于O点

.

PB PD PO BD

又 ABCD是菱形 BD AC

而AC PO O BD⊥面PAC BD⊥PC (2) 由(1)BD⊥面PAC

S△PEC

211

3 S△PAC 6 23 sin45 =6 3

222

1111

S PEC BO 3 2322

VP BEC VB PEC

40．（2013年上海高考数学试题（文科））如图,正三棱锥O ABC

底面边长为2,高为1,求该三棱锥的体积及表面积.

【答案】

B

第19题图

41．（2013年高考天津卷（文））

如图, 三棱柱ABC-A1B1C1中, 侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等. D, E, F分别为棱AB, BC, A1C1的中

(Ⅰ) 证明EF//平面A1CD;

(Ⅱ) 证明平面A1CD⊥平面A1ABB1;

(Ⅲ) 求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.

【答案】

42．（2013年高考重庆卷（文））(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分)

D,PA⊥底面ABCD

如题(19)图,四棱锥P ABC中,PA ,BC CD 2, ACB ACD

3

.

(Ⅰ)求证:BD⊥平面PAC;

(Ⅱ)若侧棱PC上的点F满足PF 7FC,求三棱锥P BDF的体积.

【答案】

43．（2013年高考江西卷（文））如图,直四棱柱ABCD – A1B1C1D1中,AB//CD, AD⊥AB,AB=2,AD=

,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3

(1) 证明:BE⊥平面BB1C1C;

(2) 求点B1 到平面EA1C1 的距离

【答案】解.(1)证明:过B作CD的垂线交CD于F,

则BF ADEF AB DE 1,FC 2

在Rt BFE中，BE，Rt BFC中，BC

222

在 BCE中，因为BE BC＝9＝EC,故BE BC

由BB1 平面ABCD，得BE BB1，所以BE 平面BB1C1C

(2)三棱锥E A1B1C1的体积V＝AA1 S A1B1C1

13

在Rt A1D1C1中，AC, 11

EA1

同理

,EC1

，

因此S ACE .设点B1到平面EAC的体积

1 EAC1111的距离为d,则三棱锥B11

1V＝ d S A1EC1,

d 3

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