均值不等式教学设计（宋国鸣）

北京市中小学“京教杯”青年教师教学设计大赛

教学基本信息 课题 是否属于 地方课程或校本课程 学科 教材 教学设计参与人员 设计者 实施者 指导者 姓名 宋国鸣 宋国鸣 张吉 刘雪明 卢寒芳 李砚书 单位 北京师范大学良乡附属中学 北京师范大学良乡附属中学 房山区教师进修学校 北京师范大学良乡附属中学 联系方式 13699107527 13699107527 13521399268 13681354383 13401011498 15810522494 数学 学段： 高一第二学段 均值不等式 否 年级 高一 书名：普通高中课程改革标准实验教科书 数学 必修5 出版社：人民教育出版社 出版日期： 2015年6月 其他参与者 指导思想与理论依据 1.指导思想 新课程倡导学生自主探究、动手实践、合作交流，体验数学发现和创造的历程，深刻地理解基本结论的本质，力求对客观事件蕴涵的数学模型进行思考判断，能够从数学的角度看待问题，用数学的思维思考问题，用数学的方法解决问题. 本节课中教师从知识的传授者向课堂的设计者、组织者、引导者、合作者转化，注重对学生的基本数学能力、数学素养和学习潜能的培养，利用师生的互动合作，提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识和创新意识. 2．理论依据 皮亚杰的建构理论认为，知识必须由主体自我建构，因此课堂中教师要为学生创设学习情境，促进学生主动参与，主动思考，使学生感受到自主探究式学习显得非常重要. 建构主义还强调：（1）学生在学习的过程中不是对教师所传授的知识的被动接受，而是以自身已有知识和经验为基础主动地建构；（2）学生在学习的过程中不断地对已有的认知结构做必要的调整和更新、使它适应新的学习并实现“整合”；（3）学生的学习过程是一个需要不断同外界交流发展和改进的过程。 教学背景分析 1.内容分析 均值不等式选自普通高中课程标准实验教科书(人教B版) 必修5第三章第2节内容。是不等式这一章的核心，是在不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，在各种不等式的研究中均有着广泛的应用，在知识体系中起着承上启下的作用. 对于利用均值不等式求最值等实际问题都起到工具

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性作用.从知识的应用价值看，均值不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴含的数学思想方法（如数形结合、抽象归纳、演绎推理等）；从内容的人文价值上看，均值不等式的探究、推导和应用需要学生观察、分析、猜想、归纳和概括，有助于培养学生思维能力和探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体. 2.学情分析 （1）知识层面：学生已经学习了不等关系和不等式，对不等式有了感性的认识. （2）能力层面：学生掌握了解决不等式问题的基本方法，能够解决简单的问题，具备一定的分析能力. （3）情感层面：学生对数学新内容的学习有相当的兴趣和积极性。但探究问题的能力以及合作交流等方面发展不够均衡. 3.教学方法 建构理论认为，知识必须由主体自我建构，为了激发学生的学习兴趣,自主建构知识、形成方法提高课堂实效性,本节课主要采用的是“教师引导、学生探究” 的教学模式.教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，通过启发式、谈话式、讲授式等教学方法引导学生主动参与、揭示本质、经历过程. 4.教学手段：多媒体辅助教学 5.技术准备： PPT、实物投影仪 教学目标、重难点 教学目标： 1.知识与技能： 了解均值不等式的形成过程，能够从文字语言、符号语言、图形语言等方面理解均值不等式。 2.过程与方法： 在均值不等式的推导过程中，了解不等式的基本证明方法，培养推理论证能力；通过对均值不等式的简单应用，体会类比、数形结合等思想方法。 3.情感、态度与价值观： 认识到数学从实际中来，学会用数学思维认知世界，养成勤于动手善于思考的良好品质。 教学重难点 1.重点：均值不等式的形成过程 2.难点：理解均值不等式及其初步应用 教学流程示意(可选项)

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北京市中小学“京教杯”青年教师教学设计大赛 初探均值不等式 创设情境 证明均值不等式 符号语言 概念形成 文字语言 数列观点 概念深化 图形语言 应用举例 完善不等式链 归纳小结 构建知识体系 教学过程(文字描述) 教学环节 教学内容 创 设

学生活动 1.动手操作，计算求出设计意图 1. 初探均值不等式：由生活实际入手，通过简单的比较校园内有一个边长分别为a和b(a>0,b>0)的矩形花坛，以及三个正方形花坛,①第一个正方形花坛与矩形花坛的周长相等，设它的边长为x1；②第二个正方形花坛与矩形花坛的面积相等，设它的边长为x2；③第三个正方形花坛面积与周长的比值和矩形花坛面积与周长的比值相等，设它的边长为x3. 问题： 1.你能分别用a和b表示x1,x2,x3吗? 2.你能比较x1,x2,x3的大小吗？ 3.你能尝试证明不等式x1,x2,x3 2.观察、思考、发现不等式a?b2ab?ab?2a?b 由一名同学说出结论 3.动手操作，尝试证明不等式x1,x2,x3的a?b?ab吗？ 24.在证明过程中，这个不等式什么时候取得3

大小，直观感知均值不等式；同时，由生活实际激a?b发学生学习?ab，由一兴趣，认识到2名同学板演证明过数学和现实程，其他同学书写在生活是密切学案上 联系的，数学4.认真思考，发现来源于生活，a?b时，取得“=”，应用于生活，并且只有此时取得“数学美化北京市中小学“京教杯”青年教师教学设计大赛

情 境 “=”？ “=” 生活”。 2.再探均值不等式：通过证明均值不等式，引领学生从感性认识到理性证明，进而培养勤于思考、勇于探索的数学品质。通过不等式成立条件、等号取得条件的探究，培养严谨的数学思维。 1.三探均值不等式：通过符号语言、文字语言、数列观点的相互联系，构建知识体系，锻炼数学思维。 2. 培养学生的抽象概括能力，强化学生分析问题、解答问题的能力。 1.深探均值不等式：体会均值不等式的图形语言，完善知识构建，学会多角度思考问题。 2.体会数形结合思想，提升数学思维。 概 念 形 成 均值定理： 1.完善上面不等式结a?b论，概括出均值定理?ab 如果a,b?R?，那么内容，注意均值定理2的使用条件以及等号当且仅当a?b时，等号成立 a?b成立条件 算术平均数： 几何平均数：ab 2.尝试将均值定理的2 符号语言转化成文字文字语言：两个正数的算术平均值大于或等于语言，进一步理解均它的几何平均值. 值定理 数列观点：两个正数的等差中项不小于它们正3.数列观点再次认识的等比中项. 均值定理 概 念 深 化 练习：如图，在以AB为直径的圆O中，线段1.利用初中所学知识，用a,b表示出线段CD的长度，得到发现几何CD=ab，AD=a,DB?b，过D点作CD?AB于D,交圆于点C 问题： CAODB平均数的几何度量 2.构造出算术平均数a?b的几何度量 23.观察图形，得到等号成立条件，通过图形语言，多角度的理解均值不等式 1.你能用a,b表示出线段CD的长度吗？ 4

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2.你能在这个图形中构造出算术平均数的几何度量吗？ 3.在图形中何时得到a?b2a?b=ab？ 2均值不等式的几何解释：半径不小于半弦 举 例 应 用 例题:已知a,b?R?,证明: （ab?2ab a?b2ab2可以变形为,叫做两个正数的调11a?b?ab和平均数） 1.积极思考，证明不等式 2.一部分同学利用投影仪展示证明过程，其他同学补充完善 3.了解完善不等式链 1.通过均值不等式的简单应用，理解均值不等式的内涵，将均值不等式内化提高。 2.通过部分同学展示，锻炼语言表达能力，培养推理论证能力。体会学习成功带来的喜悦。 3.通过不等式链的完善，了解均值不等式的外延，螺旋上升构建知识体系。 1.培养抽象概括能力、语言表达能力。 2.循序渐进，构建知识系统，促使知识形成正向迁移 归 纳 小 结 引导学生回顾本节课所学的知识及数学思想方法 1.均值定理的符号语言、文字语言、图形语言的相互统一； 2.均值定理的使用条件，等号成立条件； 3.了解调和平均数，几何平均数，算术平均数的大小关系； 4.类比、数形结合的数学思想方法 1.认真思考，从知识、思想方法等层面概括总结本节课知识 2.部分同学口述表达，其他同学补充完善

1.课本P72练习B组1,2习题3-2A组1 5

1.积极思考，完成作1.作业1的设

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