计算流体力学习题一维算例

《计算流体力学》练习题 Copyright by 李新亮

一维算例

问题1：正弦波的线性传播问题

[问题描述]： 一匀速传播的正弦波，试用数值解给出t=T时刻的速度场。 [控制方程]：

?u?t??u?x?0u(x,0)?sin(2?x)x?[0,1]；

周期性边界条件

[目的] 通过算例考核差分格式的耗散及色散误差 [计算网格] 均匀网格，20个网格点 [要求]

A. 计算出t=2, 5, 10时刻的速度场

B. 为了避免时间离散误差的影响，时间推进采用较高精度的方法（推荐采用

如下三阶TVD型 Runge-Kutta方法）： 设

?u?t?Q(u)，则

u(2)(1)?un??tQ(u)(1)n

(1)u?3/4un?1/4u?1/4?tQ(u)

)

un?1?1/3un?2/3u(2)?2/3?tQ(u(2)其中 un和un?1分别为n时间步及n+1时间步的u值。

为了尽量减小时间离散误差的影响，建议采用很小的时间步长（例如 ?t?0.001，或?t?0.005）

C. 采用多种差分方法计算，对这些方法的结果进行比较 （同时画出精确

解）。

问题2：方波线性传播问题

（Jiang GS & Shu CW, J. Comput. Phys. 126,202-228,1996）.

图1. 方波、尖波的传播

[控制方程]

?u?t??u?x?0

u(x,0)?u0(x)x?[?1,1]，周期性边界条件

其中初值为：

该函数的曲线如图1所示，包含了一个方波，一个尖波及另外两个相对光滑的波。

[目的] 考察差分格式对于（导数）间断问题的分辨率。

[要求] 采用200个网格点，给出t=8时刻u的分布，并与精确解进行对比。 为了减小时间误差的影响，推荐采用三阶Runge-Kutta方法（公式见上文）或更高阶方法进行时间推进。计算的CFL数选为0.1或更小。

采用多种差分方法计算，对这些方法的结果进行比较 （同时画出精确解）。

问题 3： Sod 激波管问题

?2,u2,p2?1,u1,p1

[问题描述]

Sod激波管问题是典型的一类Riemann问题。如图所示，一管道左侧为高温高压气体，右侧为低温低压气体，中间用薄膜隔开。t=0 时刻，突然撤去薄膜，试分析其他的运动。

[控制方程]

一维Euler方程。

[无量纲化]

以初始时刻左侧气体的密度、压力及音速无量纲化。 因此计算过程中，参数Ma=1

计算域：0< x< 1；网格： 均匀网格， 网格数100 初值：

x?0.5?(1,0,1)(?,u,p)??x?0.5?(0.125,0,0.1)

要求：

给出t=0.14时刻的密度、速度和压力分布

边界处理方法：

在t=0.14时刻，扰动尚未传播到左、右边界。因此左、右边界处的值保持不变。

推荐使用Steger-Warming 分裂，差分数值方法不限。

[部分提示]

1. 计算步骤

采用一维Euler方程组，利用Steger-Warming分裂。参见《计算流体力学》（傅德薰编著），132-133页的公式。 控制方程为：

?U?t??f?x?0

各项的具体表达式见参考书128-129页。 计算步骤为： 1） 给定初值 U0

2） 由 （6.1.11）式计算出?i， 由公式?i3） 由公式（6.1.26）计算出4） 利用差分法计算

?f????i??i2,?i???i??i2计算出?i?

f?，

f?

?x，

?f??x差分格式自选，建议采用激波捕捉格式。 初次试算可采用最简单的一阶迎风差分，格式如下。

(?f1??x)i?(f1)i?(f1)i?1?x??；(?f1??x)i?(f1)i?1?(f1)i?x??

但该格式耗散太大，得出的结果不理想，仅作为调试程序时使用。

5） 计算出右端项

?f?x??f??x??f??x?Q??Q

6） 利用时间推进法求解?U?t，推进出下一时间步的U

建议采用Runge-Kutta方法。为了避免时间误差的影响（本算例的目的是考察差分格式的空间精度），可采用比较小的时间步长。

7) 反复计算直到达到指定时间步

3. 参考书中一些变量的表达式

无量纲情况下，下列变量表达式为：

Cv?1?(??1)M2，Cp1M1?1(??1)M2

c?p?T

?M2?T??1.4为比热比，M=1为Mach数。

4. 精确解的计算

可以采用 (傅德薰《计算流体力学》2.4节 ) 的Riemann间断解。也可用非常密集网格（例如8000个网格）的数值解。

采用多种差分方法计算，对这些方法的结果进行比较 （同时画出精确解）。

问题4： 一维激波-熵波干扰

（Jiang GS & Shu CW, J. Comput. Phys. 126,202-228,1996）

控制方程：

一维Euler方程， 计算域 初值：

x?[0,5]

??0.01,k?13

要求： 采用800及1200网格计算。画出熵的分布。

问题5： Shu-Osher问题

（Shu C W, Osher S. Efficient Implementation of Essentially Non-oscillatory Shock-Capturing Schemes I. J. Comp. Phys., 1988, 77: 439-471）

初值为：

???3.857,u?2.629,p?10.333????1?Asin(?x),u?0,p?1whenwhenx?0.1x?0.1

其中 A?0.3,??40 计算域

x?[0,1]

采用400，800个网格点计算，给出t=0.2时刻的流场

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