学而思2011年秋季四年级超常123班难题汇总（共15讲）

学而思2011年秋季北京四年级超常123班难题汇总

第一讲 整数与数列

找规律、记公式是本讲的主要内容，尤其是平方差公式、平方和公式，孩子第一次接触，需要有个理解消化的过程。

1、一列数是按以下条件确定的：第一个是3，第二个是6，第三个是18，以后每一个数是前面所有数的和的2倍，则第六个数等于：______，从这列数的第______个数开始，每个都大于2007。 【难度级别】★★☆☆☆ 【解题思路】找规律。 第1个：3 第2个：6＝3×2

第3个：18＝(3+2×3)×2＝3×(1+2)×2＝3×3×2＝32×2 第4个：54＝(3+6+18)×2＝(3+3×2+3×3×2)×2＝(3×3+3×3×2)×2＝(3×3×3)×2＝33×2 ??

第n个：3n-1×2

这个式子孩子不一定理解，但是孩子可以明白：每个数是其前面数的3倍(第1、2个数除外)，前8个数是：3、6、18、54、162、486、1458、4374。

由公式，第6个数：35×2＝486。

由3n-1×2 > 2007，得3n-1 > 1003.5，n>=8（其实，第6个数是486，第7个数就是486×3＝1458，第8个数1458×3＝4374>2007）。 【答案】486，8。

2、【例5】计算：11×19 + 12×18 + 13×17 + 14×16

计算：1×99 + 2×98 + 3×97 + ? + 49×51

【难度级别】★☆☆☆☆

【解题思路】此题没有难度，就是平方差公式的应用，列在这里是想说一下如何找中间数。

2个数的中间数＝2个数的和除以2，或者＝小的数 + 2个数的间隔的一半（大的数 - 2个数的间隔的一半）。例如11和19的中间数是15（(11+19)/2=15,19-11=8,8/2=4,11+4=15,19-4=15）, 2和98的中间数是50（(2+98)/2=50,98-2=96,96/2=48,2+48=50,98-48=50）。 计算题中平方差的应用主要是找准中间数。

另外，项数要数对了，例如第2道计算题是49项，而不是50项。 (1)=(152-42)+(152-32)+(152-22)+(152-12)=870 (2)=(502-492)+(502-482)+(502-472)+?+(502-12) =502×49-(492+482+472+?+12) =2500×49-49×50×99÷6=82075 【答案】870，82075。

3、【学案4】计算：2×4 + 4×6 + 6×8 + ? + 28×30

【难度级别】★☆☆☆☆

【解题思路】此题不难，主要是考一下孩子要先提取公因式，再继续往下做，用到n(n+1)= n2+n和平方和公式：12+22+?+n2=n(n+1)(2n+1)/6。 每个乘积的2个数分别提取个2，2×2＝4，相等于提取4。 2×4 + 4×6 + 6×8 + ? + 28×30

＝4×（1×2 + 2×3 + 3×4 + ? + 14×15）

括号内的，例题讲过，通用的方法是：n×（n + 1）= n2 + n 这样构成了2个数列，一个平方和，一个等差数列（连续自然数）。 ＝4×（12+1 + 22+2 + 32+3 + ? + 142+14） ＝4×[（12+22+32+?+142+）+（1+2+3+?+14）] ＝4×（14×15+29÷6 + 15×14÷2）＝4480 【答案】4480。

4、【学案1】我们把相差为2的两个奇数称为连续奇数，自然数1111155555是否是两个连续奇数的乘积？ 【难度级别】★★☆☆☆

【解题思路】这道题，直接证明不太容易，尝试拆分是可做的。当然本题考孩子的是找规律。

先说一下不找规律，看看用尝试法如何做，以下分拆过程是大家容易想到的。

1111155555＝1111100000 + 55555

＝11111×100000+11111×5

＝11111×（100000+5）

＝11111×100005（因100005比11111大，想办法变小） ＝11111×20001×5（先考虑是5的倍数） ＝11111×6667×5×3（再看到20001是3个倍数） ＝33333×33335

从11111×6667×5×3这个式子可以看出来，11111×3得到3万多，6667×5也得到3万多，这样两两组合应该可以得到比较接近的两个数（当然也是尝试法）。 找规律，方法如下： 1个1，1个5，15＝3×5 2个1，2个5，1155＝33×35 3个1，3个5，111555＝333×335 ??

n个1，n个5，11?155?55＝33?3×33?35(都是n位数) 所以，5个1，5个5，1111155555＝33333×33335 【答案】可以，1111155555＝33333×33335。

5、【学案2】47个互不相同的非零自然数之和为2000，问最少有多少个偶数？

【难度级别】★★★☆☆

【解题思路】此题，孩子可能无从下手。

先将最少多少个偶数，转换为最多多少个奇数。

要想奇数最多，肯定越小越好，所以从1、3、5开始考虑，从1、3、5一直加到多少会接近2000呢？假设有n个奇数，第n个奇数是2n-1。 1+3+5+?+(2n-1)=(1+2n-1)*n/2=n2 n=44时，n2=1936；n=45时，n2=2025

所以n最大为44，47－44＝3，偶数最多3个。

给出一例：2000=1+3+5+?+85+87+(2+4+58)，保证3个偶数和为64即可（2000-1936=64）。 【答案】最少有3个偶数。

6、【作业1】计算：12345678987654321×9＝_____________ 【难度级别】★★☆☆☆

【解题思路】这道题，将9变成(10-1)也不是太复杂，当然本题考孩子的是找规律。 12=1 112=121 1112=12321 11112=1234321 ??

数如果是n个1(1<=n<=9)，平方就是1?n?1。 所以12345678987654321×9＝1111111112×9

＝111111111×999999999 ＝111111111×(1000000000－1)

＝111111111000000000－111111111 ＝111111110888888889

【答案】111111110888888889。

7、【作业3】非零自然数的平方按照从小到大的顺序连续排列，是：149162536??，则从左向右的第16个数字是________。 【难度级别】★★★☆☆

【解题思路】这道题，难度也就一星，但是如果问第160个数字数多少，难度就有3星了。因为第16个数字再写几个就出来了，但是如果第160个就写不出来只能计算了。

继续写下去，149162536496481100??，所以第16个数字是1。 计算过程如下：

平方数是1位的，有1、2、3，共3个。 平方数是2位的，有4、5、?、9，共6个。 平方数是3位的，有10、11、12、?、31，共22个。 平方数是4位的，有32、33、34、?、99，共68个。 因为，31的平方＝961（3位最大的）

32的平方＝1024（4位最小的） 99的平方＝9801（4位最大的） 100的平方＝10000（5位最小的） 1×3+2×6＝15 1×3+2×6+3×22＝81

1×3+2×6+3×22+4×68＝272

从这个结果知道，16-15=1，第16个数字是“平方数是3位”的第1个数字，即：10的平方（100）中1。

160－81＝79，第160个数字是“平方数是4位”的第79个数字，79÷4＝19??3，即：第20个“平方数是4位”的左数第3个，32+20-1=51，51的平方＝2601，左数第3个是0。所以地160个数字是0。 【答案】1。

8、【作业4】对于每个不小于1的整数n，令an表示1+2+3+?+n的个位数字。例如a1＝1，a2＝3，a4＝0，a5＝5，则a1+a2+a3+?+a2007＝_______。 【难度级别】★★☆☆☆

【解题思路】题目不难，但孩子不一定能做出来。这种题目一看，肯定是周期问题，一定会循环的，此题的关键是，看能否坚持下去，因为到20才出现周期。

n 1 1 2 3 3 6 4 0 5 5 6 1 7 8 8 6 9 5 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 5 6 8 1 5 0 6 3 1 0 0 an 题目求的是2007个数字的和。 2007÷20＝100??7

周期内的20个数字的和＝70，周期内前7个数字的和＝24 要求的结果＝100×70+24＝7024 【答案】7024。

第二讲 巧求面积

求面积时需要头脑灵活，但是有些题目方法确实不好想，需要摸索、体会和领悟。

21、【例7】有一大一小两块正方形试验田，他们的周长相差40米，面积相差220平方米，那么小正方形试验田的面积是多少平方米？ 【难度级别】★☆☆☆☆

【解题思路】此题，10×10＝100平方米，这个不一定容易看到。

周长相差40米，边长相差10米。如图，(3)为小试验田，则(1)的面积是100平方米，这是关键点。 40÷4＝10，10×10＝100，

220－100＝120，120÷2＝60，60÷10＝6，6×6＝36 【答案】36平方米。

22、【作业8】在图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求平行四边形ABCD的面积。 【难度级别】★★☆☆☆

【解题思路】此题问题的关键是如何使用条件

BCAFGED3 4 10 2 10 1 10 10 “阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10

平方厘米”，如果考虑到填补的方法，问题就变得简单了。

都补上梯形EGCB后，阴影就变成了“平行四边形ABCD”，三角形EFG就变成了“三角形EBC”。根据差不变性质，这2部分的面积差还是10平方厘米，而三角形EBC是个直角三角形面积可求（二个直角边已知）。 10×8÷2＝40，40+10＝50。 【答案】50平方厘米。

23、【作业1】如图所示，从一个直角三角形

A 中剪去一个面积为15cm2的长方形后剩余部分是两个直角三角形。已知AD长为3cm，求CE长是多少？

【难度级别】★★★☆☆

B E C D F 【解题思路】看到此题，作为家长的我，是真的没做出来，关键是这种巧妙的方法不是很好想的。

A G 1 3 F 5 4 2 E C 6 如图做辅助线，构成一个大长方形ABCG。由对称知道，三角形AGC和三角形ABC面积相等，又3和1面积相等，4和2面积相等，所以6和5面积相等，为15cm2。

B D 因为6的面积15cm2，宽＝AD＝3cm，所以，长＝15/3＝5cm，CE＝5cm。 【答案】5cm。

24、【例8】如图，ABCD是7×4的长方形，DEFG是10×2的长方形，求△BCO与△EFO

D C O E A B G F 的面积差。

【难度级别】★★★☆☆

【解题思路】此题的难点在于不好理解求的“△BCO与△EFO的面积差”，为什么要求2个△的面积差？不好下手。

如果使用高中知识，可知△BCO与△EFO是相似△，BC=2EF，可得CO=2EO，所以CO=2，EO=1（因为CE=3），结果是：2×4/2-1×2/2 = 3。 小学知识，就得从要求的“△BCO与△EFO的面积差”考虑，这2个△都不好求，添一个什么图形能好求呢？！ 延长BC，△BCO与△EFO都添加一个梯形CHFO，就变成了求△BHF与长方形EFHC的面积差了。3×6/2-3×2＝3。 【答案】面积差是3。

25、【学案3】图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心。如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？ 【难度级别】★★★★☆

【解题思路】此题不好考虑如何做辅助线，如何把花瓣拼凑成规整图形。

如图虚线，在一个圆内作一个正方形，此正方形与中间的正方形大小是相等的。在虚线的正方形内空白的2个花瓣，正好可以用“圆和虚线正方形

D C O E A B G H F

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