第十二章 压杆稳定

12-4 图示边长为a的正方形铰接结构，各杆的E、I、A均相同，且为细长杆。试求达到临界状态时相应的力P等于多少？若力改为相反方向，其值又应为多少？

BBNBAPACNBCBNBANCB45454545NBCP45P45CNCD45P45CNCDNCBD

解：（1）各杆的临界力

Pcr.外??2EIa2Pcr.BD??2EI(2a)2??2EI2a2

（2）求各杆的轴力与P的关系。

由对称性可知，外围的四个杆轴力相同，NAB?NBC?NCD?NDA。研究C、B结点，设各杆都是受拉的二力杆，则与结点相联系的杆施与背离结点指向杆内的拉力，C、B结点受力如图所示。

第一种情况： C:B:

?X?0??P?2NCBcos45?0?NCB??P2?压杆?

?Y?0??NP2BD?2NBCcos45?0?NBD??2NBC?P?拉杆?

令NCB??=Pcr,CB?Pcr.外??2EIa22?2EI ?P=a2第二种情况：

NCB?P2?拉杆? NBD??2NBC?-P?压杆?

NBD??2NBC?-P=Pcr.BD??2EI2a2?P=?2EI2a2

12-6 图示矩形截面松木柱，其两端约束情况为：在纸平面内失稳时，可视为两端固定；在出平面内失稳时，可视为上端自由下端固定。试求该木柱的临界力.

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xxxPcryzPcrPcr2001207myzzy

解：（1）计算柔度：

①当压杆在在平面内xoz内失稳，y为中性轴。

?xz??xz?liy?0.5?7?101.04

0.12012②当压杆在出平面内xoy内失稳，z为中性轴。

?xy??xy?liz2?7??242.49 0.20012③λ越大，压杆越容易失稳，故此压杆将在在平面内先失稳。

??max(?xz.?xy)?242.49

（2）松木?P?75?242.49，故采用欧拉公式计算Pcr

?2EPcr??cr?A?2?A??2?(0.1?1011)?242.492

?(0.120?0.200)N?40.28kN

12-7铰接结构ABC由具有相同截面和材料的细长杆组成。若由于杆件在ABC平面内失稳而引起破坏。试确定荷载P为最大时的θ角。（0????2）

PθBPNBAxθBNBCyA6030C

解：（1）研究B结点求两杆轴力与P的关系：

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设两杆都是受拉的二力杆，则与结点相联系的杆施与背离结点指向杆内的拉力， B结点受力如图所示。列平衡方程

??NBC??Psin?(压杆)??X?0?Psin??NBC?0?? ????Pcos??NBA?0?NBA??Pcos?(压杆)???Y?0（2）求两细长压杆的临界荷载 设AB长度为a，则BC长为3a

Pcr??2EIl2?Pcr,AB??2EIa2,Pcr,BC??2EI3a2

（3）当两压杆的轴力同时到达各自临界力时，P为最大值

???2EIP?=N??Pcos?P?BA???cr,AB?a2???2?EI?P?P??=NBA??Psin?cr,BC2??3a??

?2EI3a2sin?a2cos??1=2=3tan????18.43 2acos??EI3a2sin?3212-10 图示压杆，材料为Q235钢，横截面有四种形式，其面积均为3.2?10mm，试计算其临界力.

xPyzyaa(b)yzz(c)z2b3mb(a)yyDzd0.7(d)

解：（1）矩形：

①计算柔度：2b?3.2?10?1023?6?3.2?10?3?b?0.04

?xz??xz?liy?0.5?30.5?3??129.9 b0.041212 ?xz?129.9>123

矩形截面压杆属于细长压杆，采用欧拉公式计算其临界力 ②计算其临界力

?2E?2?2?1011Pcr?2?A??3,2?10?3N?374.34kN 2?129.9（2）正方形截面：

①计算柔度：a?3.2?10?10

23?6?3.2?10?3?a?0.057

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?xz??xz?liy?0.5?30.5?3??91.86 b0.0571212 60??xz?91.86<123

正方形截面压杆属于中柔度杆，采用经验公式计算其临界力 ②采用直线经验公式计算其临界力

6?3P???A?(a?b?)?A?(304?1.12?91.86)?10?3.2?10N?643.57kN crcr（3）圆形截面： ①计算柔度：

?4d2?3.2?103?10?6?3.2?10?3?d?0.064

?xz??xz?liy?0.5?30.5?3??94.00 d0.06444 60??xz?94<123

圆形截面压杆属于中柔度杆，采用经验公式计算其临界力 ②采用直线经验公式计算其临界力

6?3Pcr??cr?A?(a?b?)?A?(304?1.12?94)?10?3.2?10N?635.9kN

（3）圆环形截面： ①计算柔度：

?4D2(1??2)??4D2(1?0.72)?3.2?103?10?6?3.2?10?3?D?0.0894m

?xz??xz?liy?0.5?3D1??24?0.5?3?54.99

0.089421?0.74 ?xz?54.99<60

圆环形截面压杆属于粗短杆，临界应力为屈服极限 ②计算其临界力

Pcr??cr?A??s?A??235?106???3.2?10?3?N?752kN

12-16 图示结构中，横梁AB由14号工字钢制成，材料许用应力[?]?160MPa，CD杆为Q235轧制钢管，d?26mm,D?36mm。试对结构进行强度与稳定校核。

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1m1mP=12kNXA450P=12kNA450CBYANDCDN图（kN）24+012M图（kN m）-

解:（1）求反力：取ABC杆为研究对象，受力如图所示。

?m所示。

A(F)?0??NDCsin45?12?2?0?NDC?242?33.941kN

（2）内力分析：ABC杆的AC段发生拉弯组合变形，CB段发生弯曲；CD杆为轴向压缩杆件。内力图如图

（3）对压杆进行稳定性校核。 ①求压杆的柔度

???li?1?20.036?26?1+??4?36?2?127.39

②Q235轧制钢管为a类杆件，查表求折减系数

?50.4?5?1)?(?0.451)? (0.44③采用稳定实用计算法，校核压杆的稳定性

(1?2812?7)?(1?27.?344866912 7N??A24?1030.44866??262???0.0362?1-（）436???Pa?136.64MPa?[?]?160MPa

故，压杆的稳定性足够。

（4）对梁ABC进行强度计算

梁的C的左截面为拉弯组合变形的危险面，其上距中性轴最远的上边缘点位危险点。 查表可知14号工字钢的A?21.516cm2,Wz?102cm3。则梁的最大拉应力为：

?maxNMmax24?10312?103????Pa?11.154?117.647MPa?128.8MPa AWz21.516?10?4102?10?6故，ABC梁的的强度足够。

12-17 图示两端铰支格构式压杆，由四根Q235钢的70×70×6的角钢组成，按设计规范属于b类截面，杆长l=5m,受轴向压力P=400kN，材料的强度设计值f=215MPa,试求压杆横截面的边长a。

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