数学高二（上）沪教版（数列的实际应用题）教师版 - 图文

年 级：高二 辅导科目： 数学 课时数：3 课 题 数列的实际应用题 能够利用数列通过建模解决一些常见的实际问题，如平均增长率、复利、人口增长、工作效率等问题。 教学内容 教学目的 【知识梳理】 1．数列实际应用题常见的数学模型 （1）复利公式 按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为x期，则本利和y = a(1+r)x . （2）产值模型 原来产值的基数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值y = （3）单利公式 利用按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y = a + a·r·x . （4）递推与猜证型 递推型有an+1 = f (an)与Sn+1 = f (Sn)或Sn = f (an)类，猜证型主要是写出前若干项，猜测结论，并用数学归纳法加以证明. N (1 + p)x . 【典型例题分析】 一、有关等差数列的应用题 例1、由于美伊战争的影响，据估计，伊拉克将产生60~100万难民，联合国难民署计划从4月1日起为伊难民运送食品.第一天运送1000 t，第二天运送1100 t，以后每天都比前一天多运送100 t，直到达到运送食品的最大量，然后再每天递减100 t，连续运送15天，总共运送21300 t，求在第几天达到运送食品的最大量. 剖析：本题实质上是一个等差数列的求通项和求和的问题. 解析：设在第n天达到运送食品的最大量. 则前n天每天运送的食品量是首项为1000，公差为100的等差数列. an=1000+（n－1）·100=100n+900. 其余每天运送的食品量是首项为100n+800，公差为－100的等差数列. 依题意，得 1000n+n(n?1)(15?n)(14?n)×100+（100n+800）（15－n）+×（－100）=21300（1≤n≤15）. 22整理化简得n2－31n+198=0. 解得n=9或22（不合题意，舍去）. 答：在第9天达到运送食品的最大量. 评述：对数列应用题要分清是求通项问题还是求和问题. 例2、在美国广为流传的一道数学题目是：老板给你两种加工资的方案。第一种方案是每年年末（12月底）加薪一次，每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加1000元；第二种方案是每半年（6月底和12月底）各加薪一次，每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加300元，请选择一种. 根据上述条件，试问： （1）如果你将在该公司干十年，你将选择哪一种加工资的方案？（说明理由） （2）如果第二种方案中的每半年加300元改成每半年加a元，那么a在什么范围内取值时，选择第二种方案总是比选择第一种方案多加薪？ 解析：（1）第10年末，依第一方案得 1000+2000+?+10000=55000（元） 依第二方案得300+300×2+300×3+?+300×20=63000（元） ∵63000－55000=8000（元） ∴在该公司干10年，选择第二方案比选择第一方案多加薪8000元. （2）第n年末，依第一方案，得：1000（1+2+3+?+n）=500n（n+1）（元） 依第二方案，得：a（1+2+3+?+2n）=an（2n+1） 由题意an（2n+1）>500n（n+1）对所有正整数恒成立 500(n?1)2502501000?250??250??. 2n?12n?1331000∴当a>时，总是第二方案加薪多. 3即a>4 7 （ ） （ ） ? ai1 ? 7 12 （ ） （ ） ? ai2 ? （ ） （ ） （ ） （ ） ? ai3 ? （ ） （ ） （ ） （ ） ? ai4 ? （ ） （ ） （ ） （ ） ? ai5 ? ? ? ? ? ? ? ? a1j a2j a3j a4j ? aij ? ? ? ? ? ? ? ? 例3、下表给出一个“等差数阵”： 其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数. （1）写出a45的值； （2）写出aij的计算公式； （3）证明：正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积. 解析：（1）解：a45=49. （2）解：该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a1j=4+3（j－1）， 第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a2j=7+5（j－1）， ?? 第i行是首项为4+3（i－1），公差为2i+1的等差数列， 因此aij=4+3（i－1）+（2i+1）（j－1）=2ij+i+j=i（2j+1）+j. （3）证明：必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i、j使得N=i（2j+1）+j， 从而2N+1=2i（2j+1）+2j+1=（2i+1）（2j+1）， 即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积. 充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k、l，使得2N+1=（2k+1）（2l+1）， 从而N=k（2l+1）+l=akl， 可见N在该等差数阵中. 综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积. 变式练习：甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第一分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m,乙每分钟走5 m. (1)甲、乙开始运动后，几分钟后第1次相遇? （2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？ n（n－1）解析：（1）设n分钟后第1次相遇，依题意得2n＋ ＋5n＝70 2整理得：n2＋13n－140＝0，解得：n＝7，n＝－20(舍去）(3分) n（n－1）（2）设n分钟后第2次相遇，依题意有：2n＋ ＋5n＝3×70 2整理得：n＋13n－6×70＝0，解得：n＝15或n＝－28(舍去）(7分) 答: 第1次相遇在开始运动后7分钟, 第2次相遇在开始运动后15分钟. 二、有关等比数列的应用题 例1、某市2008年底有住房面积1200万平方米，计划从2008年起，每年拆除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%. （1）分别求2008年底和2009年底的住房面积； （2）求2027年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01） 剖析：本题实质是一个等比数列的求和问题. 解析:（1）2008年底的住房面积为 1200（1+5%）－20=1240（万平方米）， 2009年底的住房面积为 1200（1+5%）2－20（1+5%）－20=1282（万平方米）， ∴2008年底的住房面积为1240万平方米，2009年底的住房面积为1282万平方米. （2）2027年底的住房面积为 1200（1+5%）20－20（1+5%）19－20（1+5%）18－?－20（1+5%）－20 21.0520?1=1200（1+5%）－20× 0.05≈2522.64（万平方米）， ∴2027年底的住房面积约为2522.64万平方米. 评述：应用题应先建立数学模型，再用数学知识解决，然后回到实际问题，给出答案. 例2、据某城市2002年末所作的统计资料显示，到2002年末，该城市堆积的垃圾已达50万吨，侵占了大量的土地，并且成为造成环境污染的因素之一.根据预测，从2003年起该城市还将以每年3万吨的速度产生新的垃圾，垃圾的资源化和回收处理已经成为该市城市建设中的重要问题. （1）假设1992年底该城市堆积的垃圾为10万吨，从1993年到2002年这十年中，该城市每年产生的新垃圾以8%的年平均增长率增长，试求1993年该城市产生的新垃圾约有多少万吨？（精确到0.01，参考数据：1.0810≈2.159） （2）如果从2003年起，该市每年处理上年堆积垃圾的20%，现有b1表示2003年底该市堆积的垃圾数量，b2表示2004年底该市堆积的垃圾数量??bn表示2002+n年底该城市堆积的垃圾数量，①求b1；②试归纳出bn的表达20式（不用证明）；③计算limbn，并说明其实际意义. n??解：（1）设1993年该城市产生的新垃圾为x万吨.依题意，得 10+x+1.08x+1.082x+?+1.089x=50， 1?1.0810∴·x=40. 1?1.080.08∴x=×40≈2.76万吨. 101.08?1∴1993年该城市产生的新垃圾约为2.76万吨. （2）①b1=50×80%+3=43（万吨）. 4②∵b1=50×80%+3=50×+3， 5444b1+3=50×（）2+3×+3， 5554444b3=b2+3=50×（）3+3×（）2+3×+3， 55554444－－∴可归纳出bn=50×（）n+3×（）n1+3×（）n2+?+3×+3 555541?()n45=50×（4）n+15［1－（4）n］=35×（4）n+15. =50×（）n+3×455551?5b2=③limbn=lim［35×（n??n??4n）+15］=15. 5这说明，按题目设想的方法处理垃圾，该市垃圾总量将逐年减少，但不会少于15万吨. 变式练习1：某林厂年初有森林木材存量S m3，木材以每年25%的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量x m3，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%，则x的值是 A.S 32 B.S 34 C.S 36 D.S 38解析：一次砍伐后木材的存量为S（1+25%）－x； 二次砍伐后木材存量为［S（1+25%）－x］（1+25%）－x. 由题意知（解得x=525）S－x－x=S（1+50%）， 44S. 36答案：C 变式练习2：从2004年1月2日起，每年1月2日到银行存入一万元定期储蓄，若年利率为p，且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期存款，到2010年1月1日将所有存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数为___________万元. 解析：存款从后向前考虑 （1+p）+（1+p）2+?+（1+p）5 (1?p)[(1?p)6?1]= p=1［（1+p）7－（1+p）］. p注：2010年不再存款. 答案：1［（1+p）7－（1+p）］ p变式练习3：某工厂去年产值为a，计划在今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为___________. 解析：每年的总产值构成以a（1+10%）=1.1a为首项，公比为1.1的等比数列， 1.1a(1?1.15)∴S5==11×（1.15－1）a. 1?1.1答案：11×（1.15－1）a 变式练习4：从盛满a L（a＞1）纯酒精容器里倒出1 L，然后再用水填满，再倒出1 L混合溶液后，再用水填满，如此继续下去，问第九次、第十次共倒出多少纯酒精. a?1a?12a?13，（），（），?， aaaa?1a?12a?1n－1故每次倒出的纯酒精为1，，（），?，（），?. aaa解：每次用水填满后酒精浓度依次为∴第九、十两次共倒出的纯酒精为 （a?18a?19a?18a?1）＋（）＝（）（1＋） aaaa(2a?1)(a?1)8＝. a9变式练习5：有一序列图形P1,P2,P3??.已知P1是边长为1的等边三角形，将P1的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得P2，?..，将Pk-1的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得Pn试分别求Pn的周长Cn和面积Sn. 解：这序列图形的边数构成的数列为：3,3?4,3?4,?,3?4它们的边长构成的数列为：1,,2n?1,?; 111,?,,?. 2n?1333n?11?4??Cn?n?1?3?4n?1?3???3?3?S2比S1多3个面积为. S1的正三角形.即 9S1?3,同理，9S1 S3?S2?2?12,9?S2?S1?S1n?2?3?4,累加得：n?1901n?2n?1S1??4??4??4??S15??4?? Sn?S1?????????????????1????.3??9????9??9??39???9???n?133??4??又S1?,所以Sn??8?3???.420??9????Sn?Sn?1?

三、有关递推的应用题 例1、2010年底某县的绿化面积占全县总面积的40%，从2003年开始，计划每年将非绿化面积的8%绿化，由于修路和盖房等用地，原有绿化面积的2%被非绿化. （1）设该县的总面积为1，2010年底绿化面积为a1=4，经过n年后绿化的面积为an+1，试用an表示an+1； 10（2）求数列{an}的第n+1项an+1； （3）至少需要多少年的努力，才能使绿化率超过60%.（lg2=0.3010，lg3=0.4771） 剖析：当年的绿化面积等于上年被非绿化后剩余面积加上新绿化面积. 解：（1）设现有非绿化面积为b1，经过n年后非绿化面积为bn+1. 于是a1+b1=1，an+bn=1. 依题意，an+1是由两部分组成，一部分是原有的绿化面积an减去被非绿化部分部分是新绿化的面积298an后剩余的面积an，另一1001008bn，于是 100988988an+1=an+bn=an+（1－an） 10010010010092=an+. 102549492（2）an+1=an+，an+1－=（an－）. 51051025444429数列{an－}是公比为，首项a1－=－=－的等比数列. 55105510429∴an+1=+（－）（）n. 5510（3）an+1＞60%，lg24219n39+（－）（）＞，（）n＜，n（lg9－1）＜－lg2，n＞≈6.5720. 1?2lg355521010至少需要7年，绿化率才能超过60%. 例2、据报道，我国森林覆盖率逐年提高，现已达国土面积的14%，某林场去年底森林木材储存量为a立方米，若树林以每年25%的增长率生长，计划从今年起，每年冬天要砍伐的木材量为x立方米，为了实现经过20年木材储存量翻两番的目标，问每年砍伐的木材量x的最大值是多少？ 解析：设从今年起的每年年底木材储存量组成的数列为?an?,则 a1?a?1???25?5?x?a?x; ?100?4225???5??5? a2?a1??1??x?a??????1?x; ?100??4??4?25?? a3?a2?1???x ?100?3??5?2?5???5? ???a????????1?x; ?4????4??4???依次类推可归纳出 an?an?1?5?x 4n??5?n?1?5?n?2?5??5?? ???a?????????????1?x ?4??4??4?????4??n??5?n??5? ???a?4?1????x. ?4????4???根据题意 20??5?20??5? ??a?4????1?x?4a. ?4?????4???5?利用lg2?0.3可计算出???100,代入得 ?4?8a. x?33即每年砍伐的木材量的最大值是去年储存量的208. 335an?x,可得 4说明 本题通项an也可以不通过类推得出，如用递推公式an?1? an?1?4x?5(an?4x). 45这表明数列?an?4x?是以a1?4x为首项，以为公比的等比数列，那么 4?5? an?4x?(a1?4x)?? ?4?n??5?n??5? ???a?4?1????x?4x, ?4????4???n??5?n??5? an???a?4?1????x. ?4????4??? n?1 【课堂小练】 一、稀释溶液 化工厂的某容器的容积为Vcm3,装满了浓度为100%的纯酒精，现欲使其稀释，从中倒 出11后用清水兑满，再从中倒出，又用清水兑满，为此反复进行了n次，所得的溶液浓度为多少？欲使浓度不超1010解：设操作k次后的浓度为ak00过50%，至少要进行多少次操作？ (k?1,2,?),则操作k?1次后的浓度为 9 ak?1%?ak%?, 10a%9即 k?1?. ak9故数列?ak00?是首项为90%，公比为的等比数列，那么操作n次后的浓度为 10?9? an%???. ?10?要使 n?9? ???50%, ?10?只要 n?即至少操作7次. 二、定期复利存款问题 某家庭打算以一年定期的方式存款，计划从1998年起，每年年初到银行新存入a元， 年利率p保持不变，并按复利计算，到2008年年初将所有存款和利息全部取出，共取回多少元？ 解：从1998年年初到1999年年初有存款b1?a(1?p)元，设第n年年初本息有bn元，第n?1年年初有bn?1元，则有bn?1?(bn?a)(1?p). 将之变形为 bn?1?n?lg2?6.6. 2lg3?1?a(1?p)a(1?p)??(1?p)?bn?? pp??a(1?p)a(1?p)2其中 b1??. pp ?a(1?p)2a(1?p)?为首项，?1?p?为公比的等比数列，于是 ? ?bn??是以pp??an?1 bn??(1?p)?(1?p)??. p?即这个家庭到2008年年初本利可达 三、分期付款的方案 据《经济日报》报道，记者采访建设部侯部长，谈工薪阶层购房问题， 侯部长说：“??造价每平方米1000元左右，还可以采取个人购房抵押贷款的方式，解决一次性付款有困难的问题，比如首先支付40%的房款，剩下的分10年还清。” 若职工小李年初向银行贷款2万元用于购房，购房贷款的年利率优惠为10%，按复利计算，若这笔借款要求分10次等额归还，每年1次，并从借款后次年初开始归还，问每年应还多少元（精确到1元）？ 解：我们先把这个问题作一般化的处理，设某人向银行贷款M0元，年利率为a?100%,按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），并从借款后次年年初开始每次a元等额归还，每N次全部还清. 那么，一年后欠款数 M1?(1?a)M0?a, 两年后欠款数 a11?(1?p)?(1?p)?元. ??pM2?(1?a)M1?a?(1?a)??(1?a)M0?a??a ?(1?a)M0?a?(1?a)?1?, 2 ?? N年后欠款数 MN?(1?a)MN?1?a NN?1N?2(1?a)?(1?a)???(1?a)?1? ?(1?a)M0?a???. 因为MN?0,所以 N?a(1?a)?1???, N (1?a)M0?a a(1?a)NM0 a?. N(1?a)?1这就是每期归还额与贷款数额、贷款利率、归还年限之间的关系式. 对于上述购房问题，将a?0.1,M0?20000,N?10代入得 20000?0.1?1.110?3254.9（元）. a?101.1?1故每年应还3255元. 四、贷款经营 有一个个体户，一月初向银行贷款10 000元作为启动资金开店，每月月底获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需要交纳所得税为该月利润的10%，每月的生活费开支为300元，余额作为资金全部投入下个月的经营，如此继续，问到这年年底这个个体户有多少资金？若贷款的年利息为25%，问这个个体户还清银行贷款后纯收入多少元？ 解：第一个月月底的余款 a1?10000?(1?20%)?10000?20%?10%?300?11500. 设第n个月月底的余款为an元，第n?1个月月底的余款为an?1元，则有 an?1?an?(1?20%)?an?20%?10%?300?1.18an?300. 根据这个递推关系式和a1的值，我们作一般化的处理，这就是人民教育出版社编写的课本上的一道习题： 已知数列?an?的项满足： ?a1?b, ? a?ca?d,n?n?1其中c?0,c?1,则这个数列的通项为， bcn?(d?b)cn?1?d. an?c?1利用这个结论，将有关数据代入： b?11500,c?1.18,d??300,所以 n?12. 11500?1.1812?(?300?11500)?1.1811?300a12? 1.18?1 ?62400（元）. 纯收入为 a12?10　000?(1?25%)?49900（元）. 所以到年底这个个体户有资金62400元，还清银行贷款后纯收入为49900元. 【课堂总结】 1.等差、等比数列的应用题常见于：产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题，求利率、增长率等问题也常归结为数列建模问题. 2.将实际问题转化为数列问题时应注意： （1）分清是等差数列还是等比数列； （2）分清是求an还是求Sn，特别要准确地确定项数n. 3.解应用题的关键是建立数学模型，转化为数学问题，要加强培养学生的转化意识. 4.分期付款问题要弄清付款方式，不同方式抽象出的数学模型则不一样. 5.“等额还款方式”采用“双向储蓄”的方法比较简便. 6.强化转化思想、方程思想的应用. 【课后练习】 1.一批花盆堆成三角形垛，顶层一个，以下各层排成三角形，逐层每边增加一个花盆，若第n层与第n+1层花盆总数分别为f?n?和f?n?1?，则f?n?和f?n?1?的关系为（ ） A f?n??f?n?1??n?1 B f?n??f?n?1??n C f?n?1??f?n??2n D f?n??f?n?1??1 【答案】A 2.某工厂去年产值为a，计划在今年后5年内每年比上半年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为_____________ 【答案】6.71561a 3．从盛满aL?a?1?纯酒精容器里倒出1L，然后再用水填满，再倒出1L混合液后，再用水填满，如此继续下去，问第九次、第十次共倒出________________纯酒精。 ?2a?1??a?1? 【答案】a94.假设你在某公司打工，根据表现，老板给你两个加薪的方案： ①每年年末加1000元；②每半年结束时加300元。请你选择： （1）如果在公司干10年，问两种方案各加薪多少元？ （2）对你而言，若选择两者之一，你会选哪一种？ 【答案】（1）②好 （2）做一年①好，做两年一样好，做三年以上②好 5.某市2003共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力公交车每年的投入比上一年增加50%，试问： （1）该市在2010年应该投入多少电力型公交车？ （2）到哪一年低，电力型公交车的数量开始超过该市公共车总量的81？ 3【答案】（1）1458 （2）2003+8=2011 6.据某城市2002年末所作的统计资料显示，到2002年末，该城市堆积的垃圾已达50万吨，侵占了大量的土地，并且成为造成环境污染的因素之一。根据预测，从2003年起，该城市还将以每年3万吨的速度产生新的垃圾，垃圾的资源化和回收处理已经成为该市城市建设中的重要问题。 （1）假设1992年底该城市堆积的垃圾为10万吨，从1993年到2002年这十年中发，该城市每年产生的新垃圾以8%的年平均增长率增长，试求1993年该城市产生的新垃圾约有多少万吨？（精确到0.01）

（2）如果从2003年起，该市每年处理上年堆积垃圾的20% ，现有b1表示2002+n年底该城市堆积的垃圾数量，①求；③计算limbn，并说明其实际意义。 b1；②试归纳出bn的表达式（不用证明）n??【答案】（1）x?（2）①b1?43 0.08?40?2.76 1.0810?1?4? ②bn?35????15 ?5? ③limbn?15 n??n 7.容器A中有浓度为12%的食盐水300g，容器B中有浓度为6%的食盐水300g，现约定完成以下工作程序叫做一次操作：从A,B两个容器中同时各取100g溶液，然后将A中取出的溶液注入B中，将B中取出的溶液注入A中，并搅拌。 （1）经过一次操作后，A,B容器中的食盐水的浓度各为多少？ （2）经过n次操作后，A,B容器中的食盐水的浓度各为多少？ 【答案】（1）a1?10,b1?8 ?1? （2）an?9????3? n?1?1?,bn?9??? ?3?22n?18.假设某市2004年新建住房400万m，其中有250万m是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年新建住房面积增长8%，另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年中低价房的面积增加50万m，那么，到哪一年低， （1）该市历年所建中低价房的累计面积（2004年为第一年）将首次不少于4750万m？ （2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85% 【答案】（1）2013 （2）2009 9．在某古运河上建有许多形状相同的抛物线形拱桥An?n?0,1,2,??，经测量知相邻两座桥An,An?1之间的距离为an满足an?800?150n(m),n?1,2,3,?，每年无汛期、这些拱桥当水面距拱桥顶5m时，桥洞水面宽8m，而每年汛期，船翁都要考虑拱桥的通行问题，一只装有防汛器材的船，露出水面部分的宽为4m，高为（1）要使该船能顺利通过拱桥，试问水面距桥拱顶的高度至少几米？ （2）已知河水每小时上涨0.15m，船在静水中的的速度为0.4m∕s，水流速度为0.25 m∕s，若船从A0桥起锚顺水航行时，河水开始上涨，试问船将在哪一座桥可能受阻？ 【答案】（1）2m （2）A20 223m， 410.由市场调查可知：某公司生产的一种产品，如果不做广告宣传且每件获利a元，那么销售量为b件；如果做广告宣传且每件售价不变，那么，广告费用n千元比广告费用?n?1?千元时的销售量多b?（1）试写出销售量Sn与n的函数关系式； （2）当a?10,b?4000时，公司应作几千元广告，销售量为多少件时，才能使广告费用用后的获利最大？ 1?n?N件 ??n2【答案】(1)Sn?b?1???111?1???2???n??b?2?n? 222?2?? （2）n?5,Sn?7875

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