2、分式--整章学案--鲁教版

3.1-分式

【前情回顾】

1、单项式：单独的一个数、单独一个字母、数与字母的乘积或字母与字母的乘积统称为单项式。如1，0，-x，5x，-3x2y3等。

多项式：由几个单项式的和或差组成的代数式叫做多项式，其中每一个单项式叫做这个多项式的项。

2、整式： 统称为整式。

下列式子中那些是整式？

a，-3x2y3，5x-1，x2+xy+y2，

（3）当x去何值时，分式

（4）当x去何值时，分式

x?1有意义；

5x?10x?1有意义； 2x?1

4、分式无意义：分式的分母等于零。 （1）当a取何值时，分式

（2）当x去何值时，分式

（3）当x去何值时，分式

a?1无意义； 2a2xyamc ,,,,m?ny9a?13abx无意义； 2x?31、观察上面的几个代数式，它们有什么共同特征？ 它们与整式有什么不同？

（1）都是 的形式； （2）分子、分母都是 ； （3）分母中都含有 。

与整式的区别：整式的分母中 字母。 2、分式的定义：

整式A除以整式B，可以表示成 的形式，如果除式B中含有 ，那么称 为分式。其中A称为分式的 ， B称为分式的 ；

注意：对于任意一个分式，分母都 。 【典型应用】

1、下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？

x?1无意义； 2x?1

5、分式值为零：分子为零，分母不为零； （1）当x取何值时，分式

（2）当x取何值时，分式

（3）当a取何值时，分式

（4）当x去何值时，分式

x?2值为零； x?2x?2值为零； x?2bx?11 (1),(2)2a?b(3)?(4)xy?x2y2a4?x2a?1的值； 2a2、求分式的值

a?1值为零； 2a当a?1,2时，求分式

3、分式有意义：分式的分母不为零。 （1）当a取何值时，分式

（2）当x去何值时，分式

1

x值为零； 2x?3a?1有意义； 2ax2?1（5）当x去何值时，分式值为零；

x?1

x有意义； 2x?3

3.1-2分式

【前情回顾】

1、分数的基本性质：分数的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的数，分数的值不变。 如：

x2?16x2?16x2?1（3） 补： （4）2

x?2x?12x?88?2xx2?94?a2（5）2 （6）2

a?2ax?6x?95、化简求值：先化简，再求值。

类型一：

11?3333?31?? ?? 22?3666?32【知识链接】

1ann21、问题情景：与相等吗？与相等吗？

22amnm它们是怎么变化的？

2、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 【典型例题】

1、下列等式的右边是怎样从左边得到的？ （1）

x2?8x?16（1），其中x?5；

x2?16x2?y2（2）2，其中x?110，y?10； 2x?2xy?yx2?16（3），其中x??2；

8?2xaxabby? ?(y?0) （2）

bxb2x2xy2、课本73业，第3题；

3、填空：

x2?2x，y?2； （4），其中x??12y?xy类型二：

2xy?21（1） （2）2??

x?y(x?y)(x?y)y?44、化简

(1)化简的基本步骤：

①找公因式：找分子、分母的公因式，方法与前面一样；

②分离公因式：把公因式从分子，分母中分离出来； ③约分：把分子、分母的公因式约去----约分。 （2）最简分式：

分子、分母中没有 的分式称为最简分式； 习题：

类型一：公因式为单项式；

m5mmn2??2（1）已知?，求的2n3m?nm?nm?n值； （2）已知

xyzx?3y?z??，求的值； 2342x?y?z11?2，求x2?2的值； xx（3）已知x?

3.2分式的乘除法

【前情回顾】

分数乘除法的法则：

分数乘以分数，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分数除以分数，把除数的分子分母颠倒位置，与被除数相乘.

a2bc5xy（1） （2）

ab20x2y?2ac212x2y3（3） （4） 23214abc9xy

类型二：公因式为多项式，利用整体思想，将公因式看做一个整体，然后按类型一进行约分； （1）

242?48??? 353?5152425?25105?? ????3534?34126如：

注意：最后结果要化成最简分数（分子、分母没有公约数的分数）。

a(a?b)x?y （2） 3b(a?b)(x?y)2

【问题情境】

猜一猜：

bd?? ；ac16xy4ax2?2ax2?(?8x2y) （3） （4）?5a?byby

类型二：分子分母为多项式，先将除式的分子、分母颠倒位置，然后，按照分式乘法的类型二进行计算；

bd?? ； ac【知识小结】

2ax?xyxy分式乘除法的法则： (a2?a)?（1） （2） ?a?1x?yx?y两个分式相乘,把分子相乘的积作

为 ,把分母相乘的积作

22a?1a?1x?1x?1为 ; ?2（3） ?2 （4）2a?4a?4a?4yy两个分式相除,把除式的分子和分母 后再与被除式相乘.

224x?4xy?y【强化训练】 （5）?(4x2?y2)

2x?y一、分式的乘法

类型一：分子、分母为单项式，简单的可以直接约 分，复杂的可以先乘起来，然后再将积化为最简分3.3-1分式的加减法 式； 【同分母分数相加减】

ab5xy（1）?2 （2）? 2bay15xbc2a3a2y2（3）2?2 （4）?2

abc4y3a1、猜一猜：

12?? ；aa12?? ； aa2、小结：

同分母分式的加减法法则：

同分母分式相加减，分母 ，把分子 。

注意：结果要化成最简分式！ 3、练习

2mn310ab2?3ab10xy??（5） （6） 5a2b3mn4x2y21b

类型二：分子分母为多项式，仍然是利用整体思想，按照类型一进行计算； （1）

a?21ba?3?2?2 （2）2 a?2a?2aa?9b?b3bbx24? (2) ? (1) xxx?2x?2

ab?a2a?ba4?a2b2?() （4）?（3） a?bba?ba2?ab

二、分式的除法

类型一：分子、分母为单项式，先将除式的分子、分母颠倒位置，然后，按照分式乘法的类型一进行计算；

a2b2?2ab3xx?y??（3） （4） a?ba?b2x?y2x?y （5）

3

x?2x?1x?3?? x?1x?1x?16y22a2b?(?2xb) （1）3xy? （2）xx2

【异分母分数相加减】

异分母的分式相加减，关键是找准分母的最简公分母，然后通分，化为同分母的分式，再相加减。

（3）

11,; x?3x?33a?152x?1?1、? 2、

a5ax?11?x 3、 4、

11（4）2 ,a?4a?2【知识链接】 1、做一做

aa? a?bb?am?2nn2n??

n?mm?nn?mm?5n6nm?? n?9m9m?n9m?n（1） （3）

4111?? （2）a2aaba?bb?cba? （4）? abbc3a2b5、

x2?5x1?x??6、 x?2x?22?x

3.3-2 分数的加减法

【前情回顾】

1、同分母分式加减法法则：

同分母分式相加减，分母 ，把分子 。

注意：结果要化成 ！

2、通分：关键是找准最简公分母，然后，再将异分母分式化成同分母分式。 确定最简公分母的步骤：

（1）确定系数：找系数的最小公倍数，可用短除法完成；

（2）确定字母（或项）：找所有分母中出现的所有

字母（或项）

做到不重不漏，并且按照字母在字母表中的

顺序排列；

（3）确定字母（或项）的次数：取所有出现字母

（或项）的最

高次数；

（4）确定最简公分母；

2、知识小结

异分母分式加减法法则：

异分母的分式相加减，先 ，化为 的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。

注意：结果要化成 ！ 3、强化训练 （1）

1111?? （2）2 x?3x?3a?4a?2 （3）

（5）用两种方法计算：

123xx?? （4） a?11?a2(x?3)23?x3xxx2?4(?)? x?2x?2x

分式方程的定义

知识小结：

1、分式方程： 中含有 的方程叫分式方程。

典型应用：下列式子中是分式方程的是（ ）

yx1,2,; （1）

2x3y4xy（2）

4

53,； 2x?y(y?x)14xx2?15?? B、A、 3x?13x?123

C、

x33?xx?4??2? D、 2x?12x?143（4）

3?x5??4 2x?33?2x

2、列方程解应用题的一般步骤： （1）审题，找等量关系；（2）设未知数；（3）列方程；（4）解方程；（5）写出结论

【知识延伸】 1、解分式方程

1?x1??2 时，小明的x?22?x3.4-2 分式方程的解法

【前情回顾】

1．等式性质有哪些？

等式两边同时加上或减去一个代数式,所得结果仍为等式;等式两边同时乘以一个数或同时除以一个不是零的数,所得结果仍为等式． 2．解一元一次方程的基本步骤：

（1）去分母：找到分母的最小公倍数，然后分式两边同时乘以该最小公倍数，要注意：在去分母时，每一项都要乘，也就是有几项乘几项，并且如果分子是多项式，要加括号；（2）去括号（3）移向（4）合并同类项（5）系数化为1； 3．解下列一元一次方程 （1）

解为x?2，请你来解一解，并判断他的答案正确吗？ 2、（1）增根：使分式方程分母为 的根，叫原方程的增根；

（2）产生增根的原因：在方程两边同乘了一个可能使分母为零的整式；

（3）因为解分式方程可能产生增根，所以分式方程必须检验； 3、练一练

x?21.5?1? 2x?11?2x

【能力拓展】

1、某市为治理污水，需要铺设一段全长为3000m的污水排放管道，为尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工每天的工效比原计划增加25﹪，结果提前30天完成这一任务，实际每天铺设多长管道？

【当堂达标】

x2x1x?1?1?x （2）?? 2324

【知识牵引】

1、你能根据上面的例子，来解下列分式方程吗？

13? x?2x

2、你能总结解分式方程的步骤吗？

（1）去分母：找到分母的 ，然后分式两边同时乘以该 ，要注意：在去分母时，每一项都要乘，也就是有几项乘几项，并且如果分子是多项式，要加括号；（2）去括号（3）移向（4）合并同类项（5）系数化为1；（6） ； 3、练一练

11?2的解为（ ） xx?1 A．1 B. -1 C. ?1 D.

1. 方程0

（1） （2） （3）

34? x?1x480600??45（两种方法） x2x3?x1??1 x?44?x34?的解为___________． x70?xax?1?1?0有增根,则a的值3．若关于x的方程

x?12．方程为_______． 4．若分式方程

2x?1??a?0有增根，则x?1x(x?1)增根可能是（ ）

A、0 B、1 C、0或1 D、-1

5

5、（1） (2)

64? x?1x如果设客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间为

xh，那么它由普通公路从甲地到乙地所需的时

6x?5 ?x?1x?x?1?间为 _________________h。

根据题意，可得方程

________________________________

类型三：电脑网络培训问题

王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元。后因人数增加到原定人数的2倍，费用享受了优惠，一共只需要480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元，原定的人数是多少？ 这一问题中有哪些等量关系？

如果设原定是x人，那么每人平均分摊______________元。

人数增加到原定人数的2倍后，每人平均分摊

_____________元。

根据题意，可得方程

__________________________________

6

分式方程的应用

类型一：小麦试验田问题

有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000kg和15000kg。已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg，分别求出这两块试验田每公顷的产量。

你能找出这一问题中的所有等量关系吗？ 如果设第一块实验田每公顷的产量为xkg，那么第二块试验田每公顷的产量是___________kg. 根据题意，可得方程：

_______________________________________________

类型二：相遇问题

从甲地到乙地有两条长路：一条是全长600km的普通公路，另一条是全长480km的高速公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45km/h，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间。 这一问题中有哪些等量关系？

类型四：捐款问题

为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园。某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款恰好相等。如果设第一次捐款人数为x人，那么x满足怎样的方程？

类型五： 管理问题

某商场有管理人员40人，销售人员80人，为了提高服务水平和销售量，商场决定从管理人员中抽调一部分人充实销售部分，使管理人员与销售人员的人数比为1：4，那么应抽调的管理人员数x满足怎样的方程？

7

类型六：工程问题

某市为治理污水，需要铺设一段全长为3000m的污水排放管道，为尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工每天的工效比原计划增加25﹪，结果提前30天完成这一任务，实际每天铺设多长管道？

【课外作业】

1、某运输公司要装运一批货物，由于机械设备没有及时到位，只好先用人工装运，6h完成一半任务，后来机械装运和人工装运同时进行，1h完成了后一半任务，如果设单独采用机械装运xh可以完成后一半任务，那么x满足怎样的分式方程？

2、1997年以来的10年间，中国铁路连续六次大提速。一次比一次更快的火车，对推进我国铁路现代化建设、缓解运输压力、促进国民经济又好又快的发展产生着积极的影响。北京到上海的距离为1450千米,提速后速度为原来的1.25倍,时间缩短了2小时,那么现在的速度为多少?

3、质检部门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检测，结果甲厂有48件产品合格，乙厂有45件产品合格，甲厂的合格率比乙厂高5﹪，求甲厂的合格率。

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