003.论数学教学设计的创意生成点

第19 卷第6 期2010 年12 月

数学教育学报

JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATION

Vol.19, No.6

Dec., 2010 论数学教学设计的创意生成点

黄晓学，李艳利

（徐州师范大学数学科学学院，江苏徐州221116）

摘要：设计离不开思考、想像和创意．只有从课题引入的理由、活动情节的线索和反馈评定的效应 3 个方面对数学

教学设计进行思考、想像和创意才能充分发挥教课在引起理智的欲求、导入良好的学习习惯和测验理智的获得方面的功用．关键词：数学教学设计；创意；课题引入；活动情节；反馈评定

1问题提出

为了使教学富有成效（动态生成），需要对教学进行精心设计（弹性预设）．所谓教学设计就是根据教学对象的水平和需要，在确定合理的教学起点和教学终点的基础上，对文本内容重组和转化，有序并系统地安排教学诸要素，使之形成教学预设方案的过程．之前，我们已就知识生长点、思维生惑点与数学教学设计的关系进行了初步探讨（见文

[1~2]）．此外，朱德全教授就教学设计的逻辑生长点进行了较为深入的阐释（见文[3]）．但从指导教学实践的效果看，还应继续探讨数学教学设计的创意生成点．因为任何设计离不开思考、想象和创意，创意是设计的灵魂．在设计中哪些地方能生成创意是值得研究和系统总结提炼的课题，本研究基于几次成功指导教学设计实践的案例，结合国内外相关研究，提炼出数学教学设计中的若干创意生成点，为指导师范生和在职教师的教学设计与说课服务．

2研究教学设计创意生成点的基本线索

数学教学设计的创意生成点是数学教学设计中能生成教学创意的地方，教学创意的判断标准是简明、本真、准确、独特．简明就是简单明了，创意不能太复杂、不能过度情景化；本真就是课题的本意和本然状态，创意不能偏离课题的本真意义、不能脱离学生的原有经验、更不能背离教学目标制造虚假的创造；准确就是准确表达信息，创意应让学生明明白白地理解旨意，避免学生对旨意的不解、误解和曲解；独特就是与众不同，创意必须有新意，有超越已有设计框架的意识，有充分发挥由特定符号情境给出新涵义的别解语效的意识．如，为了激发学生的求知欲，出示“指数函数”教学目标，使学生明确学习方向．教师可以设计如下的导语：

古希腊著名的科学家阿基米德说：“给我一个支点，我可以撬起地球．”那么，今天我们可以试试，“给我一张纸，能不能使它长过珠穆朗玛峰？”从而借助学生理智的好奇和丰满的想象引出试验的探索——折纸，体会指数函数的性质．这样的折纸活动就不单单是外部操作活动，而是有内部思维活动引导的外部操作活动．这样的导语设计就体现了简明、本真、准确和独特4 个特点．收稿日期：2010–08–14

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在数学教学设计中能生成创意的地方很多，没有必要也不可能全部概括，本研究主要基于教课的3 重目的：引起理智的欲求、导入

学习的良好习惯、测验理智的获得[4]，从课题引入、活动情节和反馈评定3 个阶段的教学设计来提炼创

意生成点．这3 个层面事实涵盖教学设计的3 个关键要素：教学目标设计、教学策略设计和教学评价设计．教学创意的外显形式主要是

将内隐的设计诉求具体化为关键教学环节的导语、过渡语（提问语、阐述语、应变语）和结语．

3课题引入的创意生成点

课题引入，即在教学的起始阶段，提出本节课要研究的问题．课题引入的创意在于课题引入的理由，即“为什么和为了什么”要研究

某个课题（概念或章节）．为什么可以这么说呢？因为教材一般不给出引入课题的理由，多数概念的引入十分“简单”，举几个例子，

解释说这样的表达式就叫什么什么式子等，并以同样教条的学习方式给出随后的概念．像这样来学习某个课题不会促进学生形成有目的

的学习活动．因此，课题引入时，“必须弄清楚新引入的概念（章节或课题）的来源，从数学原理的理论认识的角度指出它们的必要性”[5]．只有学生感受到学习某课题的必要性，学生才会从事有目的的学习活动．寻找课题引入的理由可以通过以下3 种途径．

3.1 通过对课题的教材进行逻辑心理分析

所谓逻辑心理分析就是从论理的角度分析课题的教材，这种分析的目的是要揭示学生进行具体活动的内容和结构，搞清知识的

来龙去脉及该课题在该门学科中的地位和作用，学生借助这些活动才能进入这个课题的知识领域．为此，应当研究在数学中这个题目

的基本概念产生和发展的历程，还应分析教育和教学及高观点下的数学研究（如《什么是数学》

（R. Courant & H. Robbins）、《数学的发现》（G. Polya）等）书籍中有关这些概念的说明．在这种分析的基础上必须找出，哪些观点是

这个题目的基础，掌握哪些观点是学习这个题目的深刻目的．接着建立题目的逻辑结构，在这些基本概念的基础上建立所有其余的概念和他们

之间的逻辑联系．最后编制一份知识技能清单并用学生容易明白的形式表述

基金项目：教育部全国教育科学2010 年度中小学数学教育研究专项立项课题——高中教师数学学科教学知识（PCK）的案例研究（G0A107004）；

江苏省教育科学“十一五”规划重点课题——发生认识论视角下的数学教学设计理论与实验（B—b/2008/01/023）；徐州师范大学人文社会科学研究

基金重点项目——高中新课程中现代数学专题内容的本原思想与文化内涵研究（07XWA17）

作者简介：黄晓学（1965—），男，江苏睢宁人，教授，博士，硕士生导师，主要从事数学课程与教学论研究．

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出来．

根据有目的的学习活动导入数学课题，这就要求提出一定的学习任务，从一开始就要对这些数学课题的本质形成正确的科学的理论认识．当然，引入某课题的理由到底是什么需要教师去思考、想像和创造．比如，引入“方程”的理由可以认为是“为了找出

未知数，用两种不同方法表示同一个量”，将引入方程的目的（为了找出未知数）与方程的本质特征（用两种不同方法表示同一个量[6]）统一起来，这正是方程的本质．再如，引入“单项式”的理由可以认为是“我们遇到代数式已经许多年了，这些代数式有

无穷多个，为了学习这些代数式，应当学会把它们分类，按照代数式的本质特征把代数式分为分式和整式，然后从整式中分出特殊的最简单的形式——单项式”，这样学生就清楚了单项式的来源，从数学原理的理论认识角度明白了引入课题的必要性．可见，从逻

辑心理分析角度，探寻数学对象的本质，有助于找出教学设计中的创意生成点．

3.2通过对学生的原有认知进行教育心理分析

从教学过程的主要主体学生的活动来研究数学教学过程的这种分析，就叫教育心理分析．教育心理分析是数学教学过程的主导的和基本的分析．教课的第一需要是学生的心理准备，这种心理准备就是理智的欲求．理智欲求的引发可以采用将学生的原有

认知问题化或将问题解决意义化的途径实现．也就是将原有认知作为新知的生长点和研究工具，抓住学生的思维生惑点引发学生的思考．这样便于从洞察学情角度，探讨课题引入方面的创意生成点．

例如，“三角形内角和”（七年级下）一则内容的课题引入，可以这样设计：“小学里我们已用实验的方法得出三角形内角和为180°，请回忆一下当时是怎么做的？那样得到的结论可靠吗？为什么？有没有其它方法来说明？”在学生回忆已有认知

基础上，引导学生将原有认知问题化：实际画出的三角形并非几何学中的三角形，对角的测量精度和平角的判断也总有一定限度，即

使画图和测量结果都准确，经过实测的三角形其内角和为180°，但尚未测量的那些三角形其内角和为多少呢？由此说明实验法

决定结果的正确性是不可靠的，我们有必要给出数学证明，即用推理的方法说明结论的正确性．于是导入今天要用推理的方法研

究“三角形的内角和”这一课题．该课题导入不仅起到了将原有认知问题化、引发理智欲求和转移学生兴奋点的作用，而且还体

现了教材的编写意图——螺旋上升的设计理念和引言的教学功能．

又如，“复数”一则内容的课题导入，可以这样设计：

在初中大家解决过如下问题：已知x 2 +x + 1 = 0 ，求x +1 的

x 值．不解方程，学生仅利用方程变形，两边同除以（x因x ≠0），

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复数，进而导入复数这一研究课题．该案例也是通过将学生原有认知问题化或问题解决意义化导入课题的，引发了理智的欲求，创意在于利

用了新知的生长点、抓住了学生的思维困惑点．

3.3通过对情境的类型进行社会心理分析

根据情境认知理论，知识的意义具有情境性，认知和发生的情境不可分割．情境是一个人在进行某种行动时所处的社会环境，可分3 类：真实存在的情境、意识中想像出来的情境和行为中暗含的具有象征意义的情境．基于数学源于问题的发生特点，发生数学认知的情境表现为现

实情境、数学情境和游戏情境，现实情境基于数学外部现实的实际需要、数学情境基于数学的内部需要和想像、游戏情境基于游戏暗含的数学意义．在课题引入时，选择何种情境引入课题受到参与教学过程设计的所有人员之间相互关系的影响．姑且把对数学教学过程设计从参加教学过

程设计所有人员之间的相互影响角度所进行的分析称为数学教学过程设计的社会心理分析．这样，在情境择取上，设计者主体的价值取向（更看重什么）是主导和基本的因素，避开教学共同体习以为常的课题引入方式（或已有的课题引入模式），另辟蹊径，才能让参评教

学设计的所有人员感到有创意．下面以“勾股定理”一则内容的课题导入为例说明这种创意的生成．

案例：课题引入不为习囿．2006 年7 月，我们应徐州市教育局邀请指导青年教师李贺说课设计．在听完几个教师的说课后，我们

就教学设计的课题引入、活动情节和效果评定几个方面谈了一般性的应然分析，并就勾股定理和字母表示数两则内容的设计给出了针对性指

导．关于勾股定理内容的课题引入，说课者本人的原始设计是从大家都非常熟悉的生活实际问题和反映地球文明标志性信息的勾股数组引入

的（这也是时下流行的习惯引入方式），但听后总感觉到这样的引入没有把握勾股定理的本质，没有解决“怎么想到” 要研究勾股定

理的困惑．勾股定理的实质是直角三角形三边之间的关系，它的生长点或上位命题是一般三角形三边关系．因此，我们建议说课者从一

般三角形三边关系入手，将原有认知作为新知的生长点和研究之框架创建数学情境引出本节课探究的主题——直角三角形三边之间的关系．修改后的课题引入是这样的：“如果一个三角形的两条边长分别为6 和8，第三边的长确定吗？如果这两边的夹角确定了，那么第

三边的长确定吗？若这两边的夹角是90°，第三边的长确定吗？如何求第三边的长呢？”

该教师在随后的参赛说课中指出了这一设计创意的生成过程：在课题引入上原本想从学生感兴趣的生活实际问题入手，这样做虽然

能引起学生的好奇心，激发学生兴趣，但是总感觉不能引发学生深层次的思考，因此选择了从数学问

可得x +1 =-1 ，可是，通过解方程发现，x

3

=- 1 ±- 3 ，在

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题出发，激活原有认知，将学生的原有认知作为新知的生长

x 1,22

实数范围内原方程无解，无法求出所求式子的值，认识发生冲突，学生感到困惑．如何解决这个问题呢？应该承认有一种新数的存在，即虚数．在数学发展史中也曾出现过上述现象，本无意义的东西，而在公式中反复出现，人们便要创造出意义，有远见的数学家便引入了虚数，虚数与实数统称为

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点，揭示这节课产生的根源，自然地引出本节课的探索目标．该说课在2006 年第5 届全国青年初中数学教师优秀课

观摩与评比中荣获一等奖．据中国教育学会专家介绍：徐州高级中学李贺的数学课《勾股定理》之所以获全国一等奖，主要有两点：一

是该课从数学情景引入，而不是从生活情景引入，这可以引发学生更深层次的思考．二是以学生原有知

第6 期黄晓学等：论数学教学设计的创意生成点11 识作为新知的生长点和研究工具，突破了学生倍感困惑的

“为什么李老师会这么想”的教学难点，使学生完整地经历知识的形成过程．

概言之，课题引入的本质是提出本节课要研究的对象

（即问题），可以从现实情境、数学情境和游戏情境3 个角度综合考虑，选择具有创意而又不失本质的方式引入．

4活动情节设计的创意生成点

活动情节即围绕要解决的问题所设计的教与学双边数学活动的情境和细节，这些情境和细节之间的线索是贯穿在整个教学活动情节发展中的脉络．它把显示知识发生发展的材料、揭示主题意义的各个事件联系成一个有机整体．每一节课都有一条或一条以上的线索，但主要线索只有一条，其他线索围绕主要线索展开．教材仅能引起问题，供给解答问题的材料，但这些材料如何调用，采用什么样的呈现形式，按照什么样的线索和程序组织起来，如何以特殊材料为思想载体促进学生获得一般活动方法的导向结构，这些问题的解决都需要设计者去思考、想像和创造．因此，活动情节的线索是活动情节设计的创意生成点．那么，如何寻找互动情节的线索呢？

4.1寻找解答疑难方法的暗示源

好的教课不仅要有好的问题引发学生的活动，还需要导入专注于探寻解答疑难方法暗示源的良好习惯．解答疑难的方法是怎么想到的？这是课题引入后要重点探索的问题，也是活动情节设计阶段的首要任务和根本性的任务．根据杜威的观点，发现解答疑难方法线索的过程是反省思维的过程，即“从现有事实暗示其它事实，而以其间的实在关系作为信念的根据的过程”[4]．观察不到的解答疑难的方法是怎样由可见事物暗示起来的，这就是解答疑难问题的线索，这个已知的可见事物就是暗示未知的暗示源，这个待暗示的方法就是暗示源暗示的意义．比如，在探索勾股定理一则内容的活动情节时，有一个困惑“怎么想到在直角三角形外做正方形

用面积法来探索试证勾股定理”不好解决，这一方法的暗示源在哪里？为此，我们研究了勾股定理发现的相关历史材料，发现我

国古人擅长用面积来发现几何命题，面积用两个线段之积表示，而当两个线段相等时，线段之积就是线段的平方，其几何意义就是

构造正方形，因此，想到了以直角三角形三边为边向形外作3 个正方形，然后通过面积计算而发

现 3 个正方形之间的面积关系，进而逐步一般化为勾股定理，并指出定理名称的解释．鉴于此，我们指导说课教师李贺将古人

使用面积法及其意义作为解答上述困惑的暗示源，而且这个面积法又存在于学生的已有知识中．将这一思想用到说课上，效果很好．

4.2探索处理活动细节的暗示源

活动细节的设计主要包括教学的重点、难点、关键点和衔接点的处理设计．上述4 点的基本要求是：重点要讲透、难点要讲通、关键要讲清、衔接要自然．为此，概念的阐述、结论的发现、难点的突破、易犯的错误、规律的总结、结论的延伸、可以进一步思考的问题及环节的过渡，这些细节处理要通过充分思考、想像并在此基础上生成创意．如三角诱

导公式的教学重点是发现和应用诱导公式，讲透重点的关键是抓住“角对称”和“转化思想”两个暗示源．事实上，“角对称”作为贯穿三

角诱导公式始终的一条主要线索，主要用于发现和推导三角诱导公式，“任意角三角函数值转化为锐角三角函数值”是贯穿诱导公式应用的

主要线索．这两个线索分别是由角对称和转化思想这两个暗示源暗示出来的，并具有实在的逻辑关系．关于衔接点可以举出高等数学中的微分

中值定理一则内容的设计说明，从罗尔中值定理到拉格朗日中值定理的衔接点可以从已有“图形旋转”视角转变为“坐标系旋转”的视角来过渡，

其暗示源就是日常生活中的照相问题，把坐标系看做照相机，从“正着拿相机”和“斜着拿相机”不同角度给同一物体（图形）照相，自然

过渡到新的定理，这种设计比从“图形旋转”角度设计有创意．

5反馈评定设计的创意生成点

反馈评定包括反馈评价和归纳小结两部分组成．学生反馈和分析自己个人的活动，学习把自己的结果和提出来的基本的和部分的学习任

务进行比较，并对自己的获得进行评定和小结．高质量的反馈评定设计要使学生能够体验到完成任务的满足感、战胜困难的喜悦感、认识新的

有趣事物的幸福感，引起继续学习和研究数学的热情；要使学生能够评议所经历过的认识道路，从中找出最有意义的关键地方，并从未来教学

任务的角度来评价这些关键地方．如，在学生学习反函数的概念后，可以设计“反函数反在何处”的课堂提问，用以启迪和测验学生理智方面的获

得情况；在学生学习曲线与方程的关系时，针对学生求出的方程，可以设计“你凭什么说这个方程就是那条曲线的方程”的课堂提问，学生对这个

事情能否“想得清楚”并“说得明白”，是测量和检验学生是否把握“曲线与方程”课题要义的关键点．

（1）案例1：反馈评价要启智．学生学习完一个概念、公式、法则或解决了一个问题，教师要遵循学生认识发生发展规律及时设计认

知任务并给予反馈评定，通过有思维价值的问题（或问题序列）（如，前文提到的“反函数反在何处”）来启迪和测验理智的获得，进一步找

出和缩小与学习目标的差距，并采取相应的应对措施．作为案例可以陈述如下：在徐州高级中学刘宁老师“图形的旋转”课例研讨时发生过一

个意外情况，8 年级学生在学习“图形的旋转”概念和性质后，作为理解和记忆图形旋转性质的作图，按照点、线段、三角形乃至任一图

形旋转的作图线索设计认知任务（体现了从简单到复杂、从特殊到一般的认知顺序），学生在思考第二道题“将线段AB 绕点O 按逆时

针方向旋转100°后的图形”时，任课教师刘宁巡视发现，有学生没有按预设的作两个端点对应点A′、B′ 连线的方法作图，而是在作完点

A 的对应点A′后，作∠OA′M=∠A，然后在AM 上截取A′B′=AB，从而间接作出端点

B 的对应点B′．这其实也是图形旋转性质（图形

旋转前后全等）的体现，是学生思维火花的迸发．对于这种突发情况，该教师并没有回避，而是当堂展示了该学生的做法，并给与了及时肯定

和鼓励．该认知任务的设计和反馈评价的应变启迪了学生的智慧、保护了学生的创新思维、激发了学生的探究热情．

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（2）案例2：归纳小结要点睛．2009 年受邀指导徐州青年教师刘宁“图形的旋转”一则内容的教学设计和说课．在归纳小结

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的环节设计时，我们认为务必要指出本节课点睛之处——在变化中寻找不变的东西是人类永恒的追求．刘宁老师在归纳小结时设计了3 个反思性问题追问学生：“你学到了哪些知识？有哪些收获？还有哪些疑惑？”当有一学生提出：“任意两点之间的距离旋转前、后是否相等”的问题时．刘宁老师即刻作出评定：这个问题提的非常好，说明这个学生真正体会到了本节课的精髓——在变中寻找不变，这个不变的东西就是任意两点之间的距离．事实上“在变化中寻找不变的东西是人类永恒的追求”，这一观点的给出将本节课推向高潮．该教学设计及说课获得了2010 年度全国初中青年数学教师优质课评比一等奖．该课在归纳小结环节的反馈评定的创意就在于点睛之笔．事实上“变中求不变”是数学地

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思考问题的重要视角，是数学家的眼光．

6结语

数学教学设计的根本宗旨是为了更好地促进和实现学生的有效学习和最佳发展．本研究从课题引入的理由、活动情节的线索和反

馈评定的效应3 个方面给出了数学教学设计及说课的创意生成点．虽然“我们不对教师说‘这样或那样吧’，但是我们对他们说‘研究

一下你们想要控制的心理现象的规律吧，按照这些规律和你们想要把这些规律运用于其中的实际情况办事吧！’”[5，7~11]．实践证明，只有从课题引入的理由、活动情节的线索和反馈评定的效应3 个方面对教学设计进行思考、想像和创意才能充分发挥教课

在引起理智的欲求、导入良好的学习习惯和测验理智的获得方面的功用．

［参考文献］

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[3] 朱德全．论教学设计的逻辑生长点[J]．教育研究，2008，（8）：72–76．

[4]杜威．思维与教学[M]．孟宪承，俞庆棠译．上海：商务印书馆，1936．

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[7]黄晓学，苗正科．从七桥问题看图论的本原思想与文化内涵[J]．数学教育学报，2008，17（4）：22．

[8]黄晓学．论“从惑到识”数学教学原理的建构[J]．数学教育学报，2007，16（4）：9．

[9]黄晓学，涂荣豹．数学研课框架之思考[J]．数学教育学报，2005，14（2）：5．

[10]黄晓学，史可富．数学教育贵在尚识[J]．数学教育学报，2006，15（2）：25．

[11]黄晓学．让鲜活的思想在数学课堂中流淌[J]．数学教育学报，2005，14（1）：16．

On the Generating Point of Creative Ideas in Instructional Design of Mathematics

HUANG Xiao-xue, LI Yan-li

(School of Mathematical Sciences, Xuzhou Normal University, Jiangsu Xuzhou 221116, China) Abstract: Design is inseparable from thinking, imagination and creativity. Only when we thinking, imagination and create on the

teaching design from three aspects of the reasons for the introduction of topics, the clues of activity plot, the effects of feedback

assessment can teaching bring its functions of eliciting rational desire, importing good study habits and testing intellectual obtaining to the full.

Key words: instructional design of mathematics; creative idea; introduction of topics; activity plot; feedback assessment

[责任编校：陈隽]

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/xq71.html